Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

hàm số nghịch biến và 1 2x x thì  2nu là dãy số giảm và 
 2 1nu  là dãy số tăng. 
 6) Nguyên lý kẹp. Cho ba dãy số      , ,n n nu v w sao cho: 
0 0, , limlim lim
n n n
nnn nn n
n n n n u v w
v au w a 
 
           
 
 7) Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass) 
a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. 
 b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 
 c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 
 8) Định lý LAGRANGE. Nếu ( )f x là hàm số liên tục trên đoạn ;a b    , có đạo hàm 
trong khoảng  ;a b thì tồn tại  ;c a b sao cho 
( ) ( )
'( )
f b f a
f c
b a
  hay ( ) ( ) '( )( )f b f a f c b a   
2.2. Các dạng toán thường gặp: 
2.2.1. Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó. 
Trong dạng này, chủ yếu là áp dụng các công thức về định nghĩa cấp số cộng, cấp 
số nhân, công thức về tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân và đặt dãy số 
phụ. 
Bài toán 1: Cho dãy số  nu xác định bởi: 1
1
2
2 3, 1n n
u
u u n n
     
. 
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 5 
Tính giới hạn 
1
lim n
n
u
L
u 
 
Bài giải 
Theo đề suy ra: 1 2u  
2 1 2.1 3u u   
3 2 2.2 3u u   
 1 2 1 3n nu u n    
Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được 
   2 2 1 2 ... 1 3 1nu n n           
    22 1 3 1 4 5nu n n n n n         
2
1 2 3 2 2n nu u n n n       
2 2
2
1
2
4 5
1
4 5
lim lim lim 1
2 22 2 1
n
n
u n n n nL
u n n
n n

     
   
Bài toán 2: Cho dãy số  nu xác định bởi: 
 
1
1
1
; 1
1 3 2
n
n
n
u
u
u n
n u
     
. 
Tính giới hạn lim nL u 
Bài giải 
Từ công thức truy hồi suy ra 
1
1 1
3 2; 1
n n
n n
u u
    
Từ đó ta có 
1
1
1
u
 
2 1
1 1
3.1 2
u u
   
3 2
1 1
3.2 2
u u
   
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 6 
4 3
1 1
3.3 2
u u
   
 
1
1 1
3 1 2
n n
n
u u 
    
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được 
   1 1 3 1 2 ... 1 2 1
n
n n
u
           
   
211 3 2
1 3 2 1
2 2n
n n n n
n
u
        
2
2
3 2
nu
n n
 
 
Vậy lim 0nL u  
Bài toán 3. Cho dãy số  nu xác định bởi: 
1
1
2
1
, 2
2
n
n
u
u
u n
     
. 
Tính giới hạn lim nL u 
Bài giải 
Ta có  1 1 11 2 1 2 1 12nn n n n n
u
u u u u u  
        
Đặt 1n nv u  . Ta được: 1 1
1
2 ( )
2n n n n n
v v v v v     là một cấp số 
nhân có số hạng đầu 1 1 1 1v u   và công bội 
1
2
q  
 Suy ra 
1 1
1 1
1, 2
2 2
n n
n nv u n
                    
 Vậy 
1
1
lim lim 1 1
2
n
nL u
             
Bài toán 4. Cho dãy số ( )nu xác định như sau: 
1 2
2 1
2, 5
5 6 , 1 (1)n n n
u u
u u u n 
      
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 7 
Tính giới hạn lim
3
n
n
u
L
     
Bài giải 
Từ đẳng thức (1), ta có:  2 1 12 3 2n n n nu u u u     
Đặt 1 2 , 1n n nv u u n    . 
Khi đó:  2 1 1 12 3 2 3. ( )n n n n n n nu u u u v v v         là một cấp số 
nhân có công bội 3q  và số hạng đầu 1 2 12 1v u u   
Suy ra 1 11. 3 , 1
n n
nv v q n
     . 
Mặt khác, cũng từ đẳng thức (1), ta có:  2 1 13 2 3n n n nu u u u     
Đặt 1 3 , 1n n nw u u n    . 
Khi đó:  2 1 1 13 2 3 2. ( )n n n n n n nu u u u w w w         là một cấp số 
nhân có công bội 2q  và số hạng đầu 1 2 13 1w u u   
Suy ra 1 11. 2 , 1
n n
nw w q n
      . 
 Ta có hệ phương trình 
1
1 11
1
1
2 3
3 2 , 1
3 2
n
n nn n
nn
n n
u u
u n
u u

 


          
 Vậy 
11 13 2 1 1 2 1
lim lim lim
3 3 3 33 3
nn n
n
n n
u
L
                         
Bài toán 5. Cho dãy số ( )nu xác định bởi công thức: 
1 2
*
2 1
1; 2
. (3 2). 2( 1). , (1)n n n
u u
n u n u n u n 
         
 . 
Tính giới hạn lim
.2
n
n
u
L
n
     
Bài giải 
Từ đẳng thức (1): 
    2 1 2 1 1. (3 2). 2( 1). 2( 1)n n n n n n nn u n u n u n u u n u u             
 2 1 12.
1
n n n nu u u u
n n
     
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 8 
Đặt 1n nn
u u
v
n
  , ta được: 1 2n nv v   ( )nv là một cấp số nhân có công 
bội 2q  và số hạng đầu 1 2 1 1v u u   
Suy ra 12 , 1nnv n
   
Khi đó: 1 0 1 2 21 1.2 1.2 2.2 3.2 ... ( 1).2
n n
n n nu u n u u n
 
           
1 2 22 2.2 3.2 ... ( 1).2 , 1nnu n n
            
2 3 2 12 4 2.2 3.2 ... ( 2).2 ( 1).2n nnu n n
             
 1 2 3 22 ( 1).2 2 2 2 ... 2n nn nu u n           
1 1 1( 1).2 (2 2) ( 2).2 2n n nnu n n
          
1
1
( 2).2 2 1 2 1 1
lim lim lim .
2 2.2 .2 .2
n
n
n n n
u n n
L
nn n n


                
2.2.2. Giới hạn của dãy số dạng  1n nu f u  
Bài toán 6. Cho dãy số thực ( )nu xác định bởi 
1
1
2
1
1
, 2 (1)
1
n
n
n
u
u
u n
u


     
 . 
Tính giới hạn lim nL u 
Bài giải 
Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh được 0, 1nu n   , vậy dãy ( )nu 
bị chặn dưới. 
Từ hệ thức (1), ta suy ra được: 
3
*
1 2 2
, 0
1 1
n n
n n n
n n
u u
n u u u
u u
        
 , vậy dãy ( )nu là dãy số 
giảm. 
Do ( )nu giảm và bị chặn dưới nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass nó có giới hạn. 
Giả sử lim nu a thì 0a  
Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: 
2
0
1
a
a a
a
  

 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 9 
Vậy lim 0nL u  
Bài toán 7. Cho dãy số thực ( )nu xác định bởi 
1
1
1
1
1 2019
, 2 (1)
2n n n
u
u u n
u 
             
 . 
Tính giới hạn lim nL u 
Bài giải 
Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh được 0, 1nu n   . Mặt khác, ta 
lại có: 
 1 1
1 1
1 2019 1 2019
.2. . 2019
2 2n n nn n
u u u
u u  
       
 , vậy dãy ( )nu bị chặn dưới. 
Từ hệ thức (1), ta suy ra được: 
2
*
1
20191 2019
, 0
2 2
n
n n n n
n n
u
n u u u u
u u
            
 , vậy dãy ( )nu là 
dãy số giảm. 
Do ( )nu giảm và bị chặn dưới nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass nó có giới hạn. 
Giả sử lim nu a thì 2019a  
Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: 
 1 2019 2019
2
a a a
a
        
Vậy lim 2019nL u  
Bài toán 8. Cho dãy số thực  nx xác định bởi: 
0
1
2019
1
,
4 3n n
x
x n
x
     
 . 
Tính giới hạn lim nL x 
Bài giải 
Xét hàm số   1 ,
4 3
f x
x
  ta có    
'
2
3
0
4 3
f x
x
 

 suy ra f là hàm tăng. 
Tính toán trực tiếp ta có 2 3x x , do đó dãy   2n nx  tăng. (1) 
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 10 
Dễ dàng chứng minh bằng qui nạp ta được 1
3n
x  , với mọi 1n  . (2) 
Từ (1) và (2) suy ra dãy có giới hạn. 
Gọi a là giới hạn của dãy thì 1
3
a  và a là nghiệm của phương trình 
  1 1
4 3 3
a f a a a
a
     
Vậy 1lim
3n
L x  . 
Bài toán 9. Cho dãy số thực  nu xác định bởi: 
1
*
1 2
2019
3 , (1)
1
n
n
n
u
u
u n
u

      
 . 
Tính giới hạn lim nL u . 
Bài giải 
Bằng quy nạp chứng minh được 3, 1nu n   
Giả sử rằng  nu có giới hạn là a thì 3a  và a là nghiệm của phương trình 
   22 223 3 11
a a
a a
aa
    

   22 2
2
2
3 2 3 3 0
3 1 3 15
23 3
a a a a
a a
a
a a
     
         
Xét hàm số 
2
( ) 3
1
x
f x
x
 

trên  3; , thì 1 ( )n nu f u  và ( )f a a
 Ta có: 
 
 
3
2
1 1
'( ) '( ) , 3;
2 2
1
f x f x x
x
      

Xét hiệu sau đây và kết hợp với định lý Lagrange ta suy ra: 
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 11 
 
   
1
1
( ) ( ) '( )
 = '( ) (c ; c ; )
1 1
 < <...< 
2 2 2 2
n n n n
n n n n n n
n
n
u a f u f a f c u a
f c u a u a a u
u a u a
     
   
      
Như thế ta có: 1 1
1
0 
2 2
n
nu a u a
        
mà 1
1
lim 0
2 2
n
n
u a

       
nên  1 1lim 0 lim 0n nn nu a u a       
 1
lim limn nn n
u u a 
   
Vậy dãy số  nu có giới hạn hữu hạn khi n   và 3 15lim 2nn u
 
Bài toán 10. Khảo sát sự hội tụ của dãy số thực  na cho bởi 
 *1 1
1
0, , .
1n n
a a a n
a
     
Bài giải 
Chứng minh bằng qui nạp ta được 0;1na      
Với   1 , 0;1
1
f x x
x
      thì  1n na f a  và    
'
2
1
0
1
f x
x
 

Xét      1 1 , 0;1
1 2
x
g x f f x f x
x x
                
,  g x là hàm tăng. (1) 
Đối với dãy  2 1na  ta có 
        2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 1n n n n ng a f f a f a a a         (2) 
Từ (1) và (2) suy ra dãy  2 1na  đơn điệu và bị chặn trên 0;1    nên  2 1na  hội tụ 
đến k , tương tự dãy  2na cũng hội tụ đến l . 
Do k và l là nghiệm dương duy nhất của phương trình  g x x hay 
5 1
2
k l
  . 
Vậy 5 1lim
2n
a
 
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 12 
Bài toán 11. Cho dãy số  nx xác định bởi 1 3 2
1 3 7 5 , 1n n n n
x a
x x x x n
      
 . 
Tìm tất cả các giá trị a để dãy  nx có giới hạn hữu hạn. 
Bài giải 
Nếu dãy có giới hạn là k thì k là nghiệm của phương trình 
3 2 43 7 5 0; 1;
3
k k k k k k k       
Xét hàm số   3 23 7 5f x x x x   . Khi đó dãy đã cho có dạng 
 1 , *n nx f x n     . 
Ta có    ' 2 59 14 5 9 1
9
f x x x x x
          
     3 23 7 4 1 3 4f x x x x x x x x       , suy ra 
     1 0 0 0 0 0 01 3 4x x f x x x x x      
Ta có bảng biến thiên sau 
Trường hợp 1. 0a  . 
Từ bảng biến thiên suy ra 0nx  và 1 0x x ; do f tăng nên  nx là dãy giảm. 
Giả sử lim nx b khi đó 
4
0;1;
3
b
        
 và b a , do 0a  nên không tồn tại b. 
Suy ra dãy không có giới hạn khi 0a  . 
Trường hợp 2. 0a  . 
 Khi đó dãy  nx là dãy hằng và lim 0nx  
Trường hợp 3. 4
3
a  
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 13 
 Từ bảng biến thiên suy ra 4 ;
3n
x
      
 và 1 0x x và do f tăng nên  nx là dãy 
tăng. Nếu tồn tại giới hạn của dãy là b khi đó 40;1;
3
b
        
 và b a , do 4
3
a  nên 
không tồn tại b . Suy ra dãy không có giới hạn khi 4
3
a  . 
Trường hợp 4. 4
3
a  
 Khi đó dãy  nx là dãy hằng và 4lim 3nx  
Trường hợp 5. 40;
3
a
      
Từ bảng biến thiên suy ra 40;
3n
x
      
 và 
   21 1 1 3 1 1n n n nx x x x       
(do 40;
3n
x
      
 nên   1 3 1 1n nx x   ). 
 Bằng phương pháp qui nạp ta thu được 1
1
1 1
3n
x a     , suy ra  nx có 
giới hạn là 1. 
2.2.3. Giới hạn của tổng thường gặp  
1
n
i
i
H x

 
 Cho dãy số  1 , 2n nx f x n   . Để tính giới hạn của  
1
n
i
i
H x

 (trong đó 
 iH x là biểu thức theo các số hạng của dãy đã cho) ta thực hiện theo các bước sau 
 Bước 1. Chỉ ra rằng lim nx   
 Bước 2. Tính  
1
n
i
i
H x

 
 Bước 3. Tìm  
1
lim
n
i
i
H x

 
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 14 
Bài toán 12. Cho dãy số  nx thoả mãn 1 2
1
1
2019 , 1n n n
x
x x x n
     
. 
 Tìm 1 2
2 3 1
lim ... n
n
x x x
L
x x x 
         
. 
Bài giải 
 Bước 1. (có thể sử dụng định nghĩa hoặc tính chất dãy đơn điệu) 
 Ta có  21 2019 0 1,2,...n n nx x x n     nên dãy  nx là dãy tăng và là dãy 
dương 
 Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là a thì 22019 0a a a a    (vô lý). 
 Vậy lim nx   
 Bước 2. 
 Ta có 21
1 1
1 1 1
2019
2019
k
k k k
k k k
x
x x x
x x x  
          
 Suy ra 1 2
2 3 1 1 1
1 1 1
...
2019
n
n n
x x x
x x x x x 
          
 Vậy 1 2
2 3 1
1
lim ...
2019
n
n
x x x
L
x x x 
         
Bài toán 13. Cho dãy số  nx xác định bởi 
1
2
1 1 1
1
2
4
, 2
2
n n n
n
x
x x x
x n  
      
. 
Chứng minh rằng dãy  ny với 2
1
1n
n
i i
y
x
 có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
Bài giải 
 Nhận thấy 0, 1nx n   . 
 Ta có 
2
1 1 1 1
1 1 2
1 1 1
4 2
0, 2
2 4
n n n n
n n n
n n n
x x x x
x x x n
x x x
   
 
  
 
      
 
 Do đó dãy  nx là dãy tăng. 
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 15 
 Giả sử lim nx a suy ra 0a  và 
2 4
0
2
a a a
a a
    (vô lí) 
 Vậy lim nx   . 
 Từ 
2
1 1 14 , 2, 3,...
2
n n n
n
x x x
x n  
 
 
 2 1 2
1
1 1 1
1 , 2n n n
n nn
x x x n
x xx


        
 Suy ra 
2 2
1 1 2 2 3 11
1 1 1 1 1 1 1 1
...
n
n
i n ni
y
x x x x x xx x 
                                   
2
11
1 1 1 1
6 , 2
n n
n
x x xx
       
 Vậy  ny có giới hạn hữu hạn và lim 6ny  . 
2.2.4. Giới hạn của các dãy sinh bởi phương trình 
Bài toán 14. Xét phương trình 
2 2
1 1 1 1 1
... ...
1 4 1 21 1x x k x n x
        
trong đó n là số nguyên dương. 
 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất 
nghiệm trong  1; và ký hiệu nghiệm đó là nx . 
 2) Chứng minh rằng lim 4nn
x

 
Bài giải 
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, phương trình có duy nhất nghiệm 
trong  1; 
Xét phương trình 
2 2
1 1 1 1 1
... ...
1 4 1 21 1x x k x n x
        
 với 
 1;x   (1) 
2 2
1 1 1 1 1
(1) ( ) ... ... 0
2 1 4 1 1 1
nf x x x k x n x
           
 (2) 
Khảo sát tính đơn điệu của ( )nf x trên  1; 
Dễ thấy rằng ( )f x liên tục trên  1; 
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 16 
Do 
       
 
2 2
'
2 2 2 22
1 4
( ) ... ... 0, 1;
11 4 1 1
n
k n
f x x
n xx x k x
                   
nên ( )nf x nghịch biến trên  1;x   . (3) 
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên  1; 
Do ( )nf x liên tục trên  1; và 1
lim ( )
1
lim ( )
2
n
x
nx
f x
f x


    
 (4) 
Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất 
nghiệm trong  1; . 
2) Ký hiệu nghiệm đó là nx .Chứng minh rằng lim 4nn
x

 
So sánh ( )n nf x và (4)nf , ta có 
    
2 2 2 2
1 1 1 1 1
(4) ... ...
2 2 1 4 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 ... ...
2 3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1
nf
k n
k k n n
       
   
                     
 
1
0
2 2 1n
 

 Do ( ) 0n nf x  nên ( ) (4)n n nf x f . 
Do ( )nf x nghịch biến trên  1; và ( ) (4)n n nf x f nên theo định nghĩa tính 
đơn điệu suy ra 4nx  
Lại tiếp tục đánh giá nx . Áp dụng định lý Lagrange cho ( )n nf x trên ; 4nx    , ta suy 
ra với mỗi số n nguyên dương, tồn tại  ;4n nc x sao cho 
     
' ' 1 4 ( ) ( )(4 ) ( )
2 2 1 4n n n n n n n n n
f f x f c x f c
n x
    
 
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 17 
Mặt khác 
       
2 2
'
2 2 2 2
2 2
1 4 1
( ) ... ...
91 4 1 1 1
n n
n n n n
k n
f c
c c k c n c
                 
 (Do  
 
2
2
1 1
1 4 0 1 9
91
n n n
n
x c c
c
        

) nên 
     
1 1 9
4
92 2 1 4 2 2 1nn
x
n x n
    
  
Tóm lại ta luôn có:  
9
4 4
2 2 1 n
x
n
  

 với mỗi số nguyên dương n (5) 
Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được lim 4nn
x

 . 
Bài toán 15. Xét phương trình 
2 2
1 1 1 1 1
... ... 0
2 1 4x x x x k x n
         
trong đó n là số nguyên dương. 
 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất 
nghiệm trong  0;1 và ký hiệu nghiệm đó là nx . 
 2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim nn
x

Bài giải 
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n , phương trình có duy nhất nghiệm 
trong  0;1 
Xét phương trình 
2 2
1 1 1 1 1
... ... 0
2 1 4x x x x k x n
         
 với 
 0;1x  (1) 
Đặt 
2 2
1 1 1 1 1
( ) ... ...
2 1 4n
f x
x x x x k x n
         
Khảo sát tính đơn điệu của ( )nf x trên  0;1 
Do 
       
 ' 2 2 2 2
2 2
2 1 1 1
( ) ... ... 0, 0;1
2 1
nf x x
x x x k x n
                  
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 18 
nên ( )nf x nghịch biến trên  0;1 . (2) 
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên  0;1 
 Do ( )nf x liên tục trên  0;1 và 0
1
lim ( )
lim ( )
n
x
n
x
f x
f x


    
 (3) 
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất 
nghiệm trong  0;1 . 
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim nn
x

Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của  nx 
Với mỗi số nguyên dương n ta có: 
 
   
1 2 2 2
12 2
1 1 1 1 1 1
( ) ... ...
2 1 4 1
1 1
( ) ( ) 0 (do 0 1)
1 1
n n
n n n n n n
n n n n n
n n
f x
x x x x k x n x n
f x f x x
x n x n


            
      
   
 Mặt khác 1
0
lim ( )n
x
f x
  và 1( )nf x nghịch biến trên  0; nx nên suy ra 
phương trình 1( ) 0nf x  có duy nhất nghiệm trên  0; nx , gọi nghiệm duy nhất này là 
1nx  . Do    0; 0;1nx  nên 10 n nx x  . 
Dãy  nx là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn 
lim nn
x

. 
Bài toán 16. Xét phương trình 2 1 0nx x x    trong đó n là số nguyên dương và 
3n  . 
 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có một 
nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là nx . 
 2) Tìm lim nn
x

Bài giải 
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình có duy nhất 
nghiệm 
Xét phương trình  2 21 0 1 1 0, 2n nx x x x x x x n           
suy ra phương trình chỉ có nghiệm 1.x  (1) 
 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 19 
Đặt    2 1, 1, 2nnf x x x x x n      
Khảo sát tính đơn điệu của ( )nf x trên  1; 
Do    1 2'( ) 2 1, "( ) 1 2 0 3, 1n nn nf x nx x f x n n x n x          
Suy ra    ''( ) 1 2 1 0, 3n nf x f n n      
nên ( )nf x đồng biến trên  1;x   . (2) 
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình trên  1; 
Do ( )nf x liên tục