Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7A2 trường THCS Mai Lâm

hân cần xem xét học sinh với những đặc điểm vốn có của các em để tìm ra những biện pháp nhằm dẫn dắt các em đạt kết quả tốt nhất đồng thời khai thác, phát triển, phát huy óc sáng tạo, rèn luyện phương pháp suy nghĩ độc lập cho học sinh. Bản thân luôn khuyến khích cho các em giải toán bằng nhiều cách khác nhau để giúp học sinh phát triển trí tuệ. Ngoài ra còn giúp học sinh làm quen với phương pháp tự tìm tòi, nghiên cứu để học sinh tiếp tục học lên. 
 Đó chính là điều bản thân muốn trao đổi, chia sẻ, học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp qua: “Một số phương pháp giải toán tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7A2 trường THCS Mai Lâm”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
 Qua những năm trực tiếp giảng dạy, bản thân cũng nắm bắt và thấu hiểu được những khó khăn của học sinh trong việc tìm phương pháp giải và phân dạng bài tập toán nói chung và toán tỉ lệ thức lớp 7 nói riêng. Nếu các em được sống trong sự yêu thương của gia đình, thầy cô và có môi trường học tập tốt thì các em sẽ ham thích và nỗ lực trong học tập. Điều này có tác động rất lớn đến các em ở lớp 7A2 do đa số gia đình các em còn nhiều khó khăn, nhà ở xa trường.
 Vì vậy, đây là động lực để bản thân tôi đang làm công việc “Trồng người” luôn cố gằng tìm ra phương pháp và phân dạng bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh. Giúp các em ham học hơn từ đó nâng cao chất lượng giáo dục của bản thân mỗi học sinh. 
 Đây cũng chính là mục đích của đề tài này.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Đề tài này sẽ nghiên cứu học sinh lớp 7A2 trường THCS Mai Lâm – Tĩnh Gia – Thanh Hóa trong việc áp dụng: “Một số phương pháp giải toán tỉ lệ thức”. 
Đánh giá tổng kết sự tiến bộ của học sinh lớp 7A2 sau khi áp dụng đề tài này.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 
 Bản thân tôi thường xuyên đọc tại liệu về toán tỉ lệ thức từ đó hệ thống kiến thức cơ bản để xây dựng phương pháp giải và phân dạng bài toán đồng thời tìm hiểu tâm lý, hoàn cảnh gia đình, khả năng tiếp thu của học sinh để đưa ra các phương pháp phù hợp với năng lực của từng em.
 Trong thời gian áp dụng đề tài tôi cho các em làm bài tập và đánh giá kết quả làm bài tập của từng em để từ đó phân loại học sinh và học hỏi những kinh nghiệm quý báu của đồng nghiệp.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN: 
 Toán học là một môn học quan trọng và rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ năng. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng. Việc phân dạng giúp học sinh dễ nhớ, dễ tiếp thu hơn, dễ vận dụng hơn và thấy được trong từng dạng toán ta nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọn một số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm, sau khi giải tôi chỉ ra đặc điểm, hướng giải quyết. Để khi gặp các bài tương tự học sinh có thể liên hệ tìm ra cách giải.
 Trong quá trình phân dạng toán tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó các dạng toán phong phú, đa dạng nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợp với khả năng nhận thức và có sự phát triển khả năng tư duy lôgíc. Bên cạnh đó tôi phải không ngừng nỗ lực nắm bắt kịp thời theo yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, tham khảo các tài liệu liên quan đến bài giảng, củng cố nâng cao chuyên môn nghiệp vụ giúp tôi xây dựng hệ thống phương pháp giảng dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh.
 II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG:
 Sau khi học xong các bài: (Bài 7. Tỉ lệ thức; Bài 8: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau – SGK toán 7 – tập 1). Tôi tiến hành khảo sát thực trạng lớp 7A2 có 30 HS. Trong đó một số học sinh có hoàn cảnh khó khăn do đó việc đầu tư về thời gian, sách vở bị hạn chế ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức và sự phát triển tư duy của các em. Đa số các em hay thoả mãn trong học tập, các em cho rằng chỉ cần học thuộc lòng các kiến thức trong SGK là đủ. 
 Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một cách thụ động, không tự học, khám phá kiến thức mới. Trong khi toán tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đóng vai trò rất quan trọng trong việc giải toán, nhưng sự vận dụng của các em phần lớn là chưa tốt, còn nhiều em chưa biết vận dụng kiến thức vào giải toán. Hơn nữa một số kỹ năng phục vụ cho giải toán tỉ lệ thức, quy tắc dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế, một số công thức vế lũy thừa, phối hợp các phép toán về cộng trừ nhân chia phân số chưa thành thạo dẫn đến các em hấp tấp khi giải các bài tập dạng này.
 Đây là kết qủa khảo sát trước khi thí nghiệm đề tài:
Lớp
Sĩ số 
HS
Số HS khảo sát
Xếp loại
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
7A1
33
22
3
13,6
6
27,3
10
45,5
2
9,1
1
4,5
7A2
30
22
2
9,1
5
22,7
10
45,5
3
13,6
2
9,1
 Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tự giác học tập, chưa có kế hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, học còn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu sâu kiến thức toán học, không tự ôn luyện thường xuyên một cách hệ thống, không chịu tìm tòi kiến thức mới qua sách tham khảo, còn hiện tượng dấu dốt, không chịu học hỏi bạn bè, thầy cô.
III. GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
 Sự thân thiện của giáo viên là điều kiện cần để những biện pháp đạt hiệu quả cao. Thông qua cử chỉ, ánh mắt, nụ cười giáo viên tạo ra sự gần gũi, cảm giác an toàn cho học sinh để các em bày tỏ những khó khăn trong học tập, trong cuộc sống của bản thân các em. 
 Để các em cảm giác thích thú với môn toán học nói chung và các bài toán về tỉ lệ thức nói riêng. Khi các em đã được trang bị đầy đủ kiến thức tôi cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về định nghĩa, các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau, đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó làm cơ sở cho việc chọn lời giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp .
 1. Giải pháp 1: Củng cố và hệ thống lý thuyết về tỉ lệ thức, tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, các bài toán về tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch có liên quan về tỉ lệ thức, ôn luyện lại một số kỹ năng biến đổi.
a. Định nghĩa tỉ lệ thức: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số .
b. Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: Với a, b, c, d 0 thì:
c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
 Từ dãy tỉ số bằng nhau: 
 Ta suy ra: (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
d. Một số kiến thức cần vận dụng trong quá trình giải toán tỉ lệ thức:
- Hai tính chất cơ bản của phân số.
- Định lý tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800.
- Quãng đường đi được của chuyển động bằng tích của vận tốc với thời gian đi hết quãng đường đó.
.
e. Ôn luyện lại một số kỹ năng biến đổi:
 Kỹ năng thực hiện phép tính, kỹ năng xử lý về dấu, kỹ năng bỏ ngoặc, kỹ năng chuyển vế, ...
 Sau khi học sinh nắm vững được lý thuyết thì việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là cực kỳ quan trọng, do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, biết vận dụng linh hoạt kiến thức cơ bản để tìm ra con đường hợp lý, cách giải hay, gây hứng thú học tập cho học sinh tìm được cách giải một bài toán là một công trình phát minh của các em.
 Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không muốn dừng lại ở những bài tập SGK, SBT mà tôi muốn giới thiệu thêm một số bài tập điển hình và một số phương pháp giải các bài tập đó. 
 2. Giải pháp 2: Hệ thống dạng bài tập và các cách giải:
Dạng 1: Lập tỉ lệ thức:
a. Cách giải: Sử dụng 2 tính chất tỉ lệ thức.
VD1: Các tỉ số sau đây có lập thành các tỉ lệ thức hay không?
a) 0,5 : 15 và 0,15 : 50 b) 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39
Giải:
a) Ta có: 0,5 : 15 = và 0,15 : 50 = 
Vì: nên 0,5 : 15 và 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức.
b) Ta có : 0,3 : 2,7 = và 1,71 : 15,39 = 
Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39
Vậy: 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức.
 b. Bài tập vận dụng tại lớp:
 Tìm x biết:
a) 	b) 
Với bài tập này học sinh muốn tìm giá trị của x phải sử dụng tính chất 1 của tỉ lệ thức.
	 x.x = (-15).(-60) x2 = 900 x=.
Tương tự b, Học sinh tìm được : x2 = x = .
c. Hệ thống bài tập tự ôn tập tại nhà:
 Từ các tỉ số sau đây có lập được tỉ lệ thức không?
a) và b) và 
Dạng 2: Cho tỉ lệ thức, hãy suy ra tỉ lệ thức khác:
a. Ví dụ: Cho tỉ lệ thức: ; hãy chứng minh ta có tỉ lệ thức sau:
 ( giả sử a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ 0 ).
b. Các cách giải:
Cách 1: Để chứng minh: ta xét từng tích a.(c-d) và c.(a-b).
 Ta có: a.(c-d) = ac - ad (1)
 c.(a-b) = ac - cb (2)
 Ta lại có: a.d = b.c (3)
 Từ (1), (2), (3) a(c-d) = c(a-b)
 Do đó: 
Cách 2: Dùng phương pháp đặt
 = k thì a = bk ; c = dk
Ta tính giá trị của các tỉ số: theo k ta có:
 Từ (1) và (2) .
Cách 3: Hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức:
 ta được: 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
Hoán vị các trung tỉ của ta được: .
Cách 4: Từ: .
Nhận xét: Từ bốn cách trên để chứng minh tỉ lệ thức thường ta dùng 2 phương pháp chính:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng ad=bc.
Phương pháp 2: Chứng tỏ 2 tỉ số và có cùng một giá trị.
 Nếu trong đề bài đã cho trước một tỉ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị của mội tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo K (cách 2). Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỉ lệ thức nhưng hoán vị các số hạng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỉ lệ thức đã cho đến tỉ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4).
c. Bài tập vận dụng tại lớp:
 Cho tỉ lệ thức sau . Chứng minh rằng các tỉ lệ thức sau đây: 
 a) b) 
(giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa).
Giải:
a) Đặt: = k thì a = bk và c = dk
Từ (1) và (2) 
Câu: (b, c) học sinh tự giải.
Dạng 3: Tìm các số chưa biết khi biết các tỉ lệ thức:
a. Cách giải:
- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
- Vận dụng tính chất cơ bản của phân số.
- Đặt tỉ lệ thức đã cho bằng k. tìm mối quan hệ của ẩn số qua k.
b. Ví dụ:
VD1: Tìm 2 số x, y biết: 
 a) và x + y = 21 b) 7x = 3y và x – y = 16.
Giải:
Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Do đó: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6.
 Từ 7x = 3y 
 x = ; y = .
VD2: Tìm các số x, y, z biết: và 2x + 3y – z = 186.
Với bài này cho học sinh nhận thấy và phải đưa về các phân số (hoặc tỉ số) có cùng chung mẫu số là 20.
Vậy: hay (1)
Tương tự: (2)
Giải:
 Từ giải thiết: ; 
 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
c. Bài tập vận dụng tại lớp:
 Tìm các số x, y, z biết:
Giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 =
 = vì ( x + y + y ≠ 0 ).
Do đó: x + y + z = 0,5 x + y = 0,5 – z. 
Tương tự tìm x + z và y + z; thay kết quả này vào đề bài ta được:
 .
Hay: 
Vậy: .
 Dạng 4: Bài tập vận dụng tỉ lệ thức vào thực tiễn đời sống con người, vào hình học .
a. Hệ thống ví dụ: 
VD1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỉ lệ với 2, 3, 4.
Giải:
Số đo các góc của ABC là ;;. Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với 2, 3 và 4 nghĩa là : : = 2 : 3 : 4 
Hay: 
Do đó: ; ; = 800. 
VD2: Một người đi A B dự định nếu đi với vận tốc là 6km/h thì đến B lúc 11h45’. Thực tế người đó chỉ đi được quãng đường với vận tốc dự định và quãng đường còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5km/h nên đến B lúc 12h. Hỏi người đi bộ khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB dài bao nhiêu km?
A
C
B
v1 =6km/h
v1 =6km/h
v2 =4,5km/h
Giải: 
Gọi AC là quãng đường đi với vận tốc 6km/h. 
CB là quãng đường đi với vận tốc 4,5km/h. 
Theo đề bài ta có:
 CB = AB 
Thời gian dự định đi quãng đường CB với vận tốc dự định 6km/h là giờ. 
Thời gian thực tế đi quãng đường CB với vận tốc 4,5km/h là giờ.
 Ta có: - = 12h – 11h45’ = (h) và 6 = 4,5 (Quãng đường CB)
 Từ đó = 1h; = 
Quãng đường CB là : = 4,5km
Quãng đường AB là: 5.CB =5.4,5 = 22,5 km
Quãng đường AC = 4BC => 6.tAC = 4.6.t1=> tAC = 4t1
Thời gian để đi bộ từ A B là:tAC + tCB = 4 + = 3h + 1h = 4h
Thời gian khởi hành để đi bộ là 12h - 4h = 8h.
b. Bài tập tự ôn tập :
 Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng; 5000 đồng và 10000 đồng. Trị giá mỗi loại tiền trên đều như nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Dạng 5 :Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức:
a. Hệ thống ví dụ:
VD1: Tìm hai số x, y biết : và .
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt , suy ra: , 
Theo giả thiết: 
Do đó: x = 2.4 = 8; y = 3.4 =12. 
Vậy: x = 8; y =12.
Cách 2: (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Do đó: ; . Vậy: x =8; y =12.
VD2: Tìm x, y, z biết: ; và .
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết: (1) 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (*)
Ta có: 
(áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)	
Do đó: ; ;	
 Vậy: x = 27 ; y =36 ; z = 60. 
Cách 2: Sau khi tìm được (*) ta đặt (Cách giả như VD1).
VD3: Tìm x, y biết : và xy = 40.
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt: . Suy ra : x =2k ; y = 5k 
Theo giả thiết: 
 + Với ta có: x = 2.2 = 4; 
 + Với ta có: ;
Vậy: x = 4 ; y = 10 hoặc x = -4 ; y = -10.
Cách 2: (Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x. Nhân cả hai vế của với x ta được: 
 + Với ta có: 
 + Với ta có: 
Vậy: x = 4 ; y = 10 hoặc x = -4 ; y = -10.
VD4: Tìm x, y, z biết :
a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158 ; b)2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
c)2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Giải:
 Đối với bài toán 4 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải cho phù hợp. 
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau: 
Ta có: 3x = 5y hay 
	5y = 8z hay 
 x = 40.2 = 80 ; y = 24.2 = 48 ; z = 15.2 = 30 
Vậy : x = 80; y = 48; z = 30.
Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải của bài toán như sau: 
 Ta có: BCNN(3; 5; 8) = 120
 Từ: 3x = 5y = 8z 
 Hay: 
 Vậy: x = 80; y = 48; z = 30.
Cách 3: Đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1 thương. Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau: 
	Từ: 3x = 5y = 8z 
 ; ; 
 Vậy: x = 80; y = 48; z = 30.
 Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c.
 Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút, yêu cầu các em phải có tư duy một chút để tạo lên tích trung gian như sau: 
 + Từ: 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1)
 + Từ: 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)
 Từ (1) và (2) ta có:	10x = 15y = 21z
 ; ; 
 Vậy: x = 84; y = 56; z = 40. 
 Kết quả thu được: Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về dạng toán này. 
VD5 : Tìm x, y, z biết: và x + y – z = 12.
 Để tìm được lời giải cho bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50 hoặc 2x + 3y- 5z =10. Với phương pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có hướng đi cụ thể.
 Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau có lời
giải của bài toán như sau: 
a) Ta có : 
 x - 1 = 5 x = 6 ; x - 2 = 3 y = 5; z - 2 = 2 z =4.
Cách 2: Dùng phương pháp đặt giá trị của tỉ số ta có lời giải sau: 
Đặt :	
	 	x - 1 = 5k	x = 5k + 1 
	 	y - 2 = 3k	 	y = 3k + 2
	 	z - 2 = 2k	z = 2k + 2
Ta có: 	x + 2y - z = 12 	2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12
	9k + 3 = 12
 k = 1
Vậy : x = 5.1 + 1 = 6; y = 3.1 + 2 = 5; z = 2.1 + 2 = 4.
 Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự 
giải phần (b) và của bài toán 5. 
b. Bài tập vận dụng:
Tìm các số x, y, z biết rằng: a) và 
 b) , và c) và 
Dạng 6. Chứng minh tỉ lệ thức:
 Việc hệ thống hoá, khái quát hoá các kiến thức của tỉ lệ thức còn có vai trò rất 
quan trọng trong việc chứng minh tỉ lệ thức, với hệ thống các bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng để giải quyết tốt yêu cầu của bài toán. 
Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C 
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số và có cùng giá trị.	
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
 +) ; +) 
a. Hệ thống ví dụ: 
VD1: Cho tỉ lệ thức: với a, b, c, d 0
Chứng minh: .
Giải:
Cách 1: Từ: 
 Xét tích: 
 Thay: 
 Vậy: .
 Như vậy để chứng minh: 
 ta phải có đẳng thức .
Cách 2: Đặt: a = b.k; c = d.k 
 Xét: (1)
 Và (2)
 Từ (1) và (2) . 	
 Trong cách này ta chứng minh tỉ số: nhờ tỉ số thứ ba. Để có tỉ số thứ ba ta đặt giá trị tỉ số đã cho bằng giá trị k. Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k.
Cách 3: Từ tỉ số: 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
 hay
 Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau rồi lại hoán vị ngoại tỉ một lần nữa.
Cách 4: Từ: 
 Xét: 
 Vậy: .
Cách 5:	Từ 
 Lấy 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức:
 Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ. Rồi lấy số 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức rồi biến đổi đẳng thức cần chứng minh.
Cách 6: Từ tỉ lệ thức: . Ta có:
 Mà: vì a,c 0
Trong cách này, từ tỉ lệ thức cần chứng minh ta chứng minh hiệu của hai tỉ số đó bằng 0. 
 Tóm lại từ một tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức khác bằng cách chứng minh theo nhiều cách khác nhau có thể sử dụng trong bài tập.
VD2: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng: . 
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết: (1)
 Ta có: ab(c2 – d2) = abc2 – abd2 = acbc – adbd (2)
 Cd(a2 – b2) = a2cd – b2cd = acad – bcbd (3)
 Từ (1), (2), (3) suy ra: ab(c2 – d2) = cd(a2 – b2) 
 (đpcm).
Cách 2: Đặt : ; suy ra : a = bk; c = dk
 Ta có: (1) 
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm).
Cách 3: Từ giả thiết: 
 (đpcm). 
b. Bài tập vận dụng:
 Cho . Chứng minh rằng: .
 Với các phương pháp trên, trong phương pháp giảng dạy học sinh giỏi môn toán 7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độc lập suy nghĩ để nhớ kỹ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao. Đó chính là công cụ giải toán của mỗi học sinh. Ngoài ra phương pháp này còn là công cụ đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch, dạng toán chia tỉ lệ. 
Dạng 7 : Tính giá trị của biểu thức:
VD1: Biết: Tính .
Giải:
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Ta có: . Vậy: A = 4. 
VD2: Ba số a, b, c khác nhau và khác 0 thoả mãn điều kiện: . 
Chứng minh giá trị của biểu thức M 
Giải:
Ta có: 
Suy ra : 
Mặt khác: a, b, c là 3 số khác nhau và khác 0 nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
 a + b + c = 0
Suy ra: a + b = - c ; b + c = - a ; a + c = - b
Thay vào biểu thức M ta có: (đpcm).
 IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
 Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào tiết luyện tập, ôn tập chương: “Một số phương pháp giải toán tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7A2 trường THCS Mai Lâm”. Tôi đã trực tiếp kiểm nghiệm đề tài kết quả như sau:
Lớp
Sí số HS
Số HS khảo sát
Xếp loại
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
7A1
(Lớp đối chứng)
33
22
3
13,6
7
31,8
11
50
1
4,6
0
0
7A2 
(Lớp thí nghiệm)
30
22
5
22,7
10
45,5
7
31,8
0
0
0
0
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
 Khác với môn học khác, toán học vừa là “Lý thuyết”, vừa là “Thực hành”, là khoa học vừa là “thực tế” của đời sống. Chính vì vậy dạy toán không chỉ cho các em hiểu nôi dung bài học mà hiểu sâu sắc để yêu mến bộ môn mình học mà có ý thức trách nhiệm hơn trong tự học, tự nghiên cứu, thoải mái sáng tạo. Nếu người ca sĩ thanh nhạc rất khổ công trong việc luyện giọng; nhà hiền triết cổ đại phải ngậm sỏi đứng trước biển để luyện giọng hùng biện thì người giáo viên dạy toán như tôi cũng vất vả trong việc tìm tòi, sáng tạo cách dạy, bỏi kết quả đọng lại trong học sinh mỗi tiết dạy – toán học chính là thước đo năng lực của giáo viên.
 Dĩ nhiên trong giai đoạn mới hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là nhiệm vụ hết sức quan trọng, bản thân tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng của học sinh nên tôi cố gắng tìm tòi