Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8

 x = 
c
a
Nếu a = 0, c  0, phương trình vô nghiệm 
Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13) 
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. 
Giải: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 7/27
 5 – x + 6 = 12 – 8x 
 – x + 8x = 12 – 11 
 7x = 1 
 x = 
1
7
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 
1
7
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14) 
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. 
Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x 
 x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai) 
 x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu) 
 –2x = 7 (sai từ trên) 
 x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai) 
Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là: 
Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc 
Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế 
Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái 
Lời giải đúng: (2)  x – 1 – 2x + 1 = 9 – x 
  x – 2x + x = 9 
  0x = 7 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 
Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh: 
Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu 
gọn và chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình. 
 Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số: 
Phương pháp chung: 
- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về 
dạng 1. 
- Thực hiện cách giải như dạng 1. 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
1 1 1
2
2 3 6
x x x  
   (3) (ví dụ 4 Sgk-tr12) 
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. 
Lời giải sai: 
1 1 1
2
2 3 6
x x x  
   
 
3( 1) 2( 1) 1 12
6 6
x x x    
 (sai ở hạng tử thứ ba) 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 8/27
 3( 1) 2( 1) 1 12x x x      (sai từ trên) 
 4 18x  (sai từ trên) 
 4,5x  (sai từ trên) 
Sai lầm của học ở đây là: 
Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa 
đúng. 
Lời giải đúng: 
1 1 1
2
2 3 6
x x x  
   
 
3( 1) 2( 1) ( 1) 12
6 6
x x x    
 
 3 3 2 2 1 12x x x      
 4 16x   4x  Vậy: S =   4 
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: 
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc 
xuống mẫu khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức. 
 Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau: 
Cách 1: (3)  
1 1 1
( 1) 2
2 3 6
x
 
    
 
  
4
( 1) 2
6
x   
  1 3x    x = 4 
Vậy: S =   4 
Cách 2: Đặt t = x -1 
 (3)  2
2 3 6
t t t
   
 3 2 2.6t t t   
 3t  
 1 3x   x = 4 Vậy: S =   4 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
2 1 2
0,5 0, 25
5 4
x x
x
 
   (4) (BT-18b)-SGK-tr14) 
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. 
Cách giải 1: (4)  4(2 ) 20 0,5 5(1 2 ) 20 0,25x x x       
  8 4 10 5 10 5x x x     
  4x = 2 
  x = 0,5 
Vậy: S =   0,5 
 Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau: 
Cách 2: Chuyển phương trình về phân số 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 9/27
(4)  
2 1 2 1
5 2 4 4
x x x 
    
2 1
5 2 2
x x x 
   
2 1
5 2
x
 
Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân 
(4)  0, 2 (2 ) 0,5 0,25 (1 2 ) 0,25x x x       
 0,4 0,2 0,5 0,5 0,5x x x    
 0,2 0,1x  
 Phương trình tích 
Phương pháp chung: 
Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x)  = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu 
thức. 
Cách giải: A(x).B(x).C(x)  = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 
0 
 Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x)  = 0. Ta thường biến đổi như sau: 
Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích. 
- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0. 
- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử. 
Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận. 
Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5) = 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17) 
Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) = 0 
 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 
 3x = 2 hoặc 4x = – 5 
 x = 
2
3
 hoặc x = 
5
4
 
Vậy S = 
2 5
 ; 
3 4
 
 
 
 Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau: 
 (3x – 2)(4x + 5) = 0 
3 2 0
4 5 0
x
x
 
  
 
2
3
5
4
x
x



  

* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta 
phải biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích. 
Ví dụ 6: Giải phương trình x2 – x = –2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17) 
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 10/27
(6)  x2 – x + 2x – 2 = 0  x2 + x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển 
về phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên 
cần định hướng cho học sinh cách giải hợp lý. 
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm 
Cách 1: (6)  x2 – x + 2x – 2 = 0 
  x(x – 1) + 2(x – 1) = 
0 
  (x – 1)(x + 2) = 0 
  
1 0 1
2 0 2
x x
x x
   
     
 Vậy S = 
  1 ; 2  
Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế 
Cách 2: (6)  x(x – 1) = – 2(x – 1) 
 x(x – 1) + 2(x – 1) = 0 
 (x – 1)(x + 2) = 0 
 
1 0 1
2 0 2
x x
x x
   
     
 Vậy S = 
  1 ; 2  
Ví dụ 7: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 (7) (BT-28f)-Sgk-
tr7) 
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, 
chuyển vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình. 
 (7)  –4x2 – 5x + 6 – x2 – 4x – 4 = 0 
 –5x2 – 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương 
trình tích. Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý. 
Giải: (7)  (x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)2 
  (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)2 = 0 
  (x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0 
  
2
2 0
1
5 1 0
5
x
x
x x
 
      

Vậy S = 
1
 2 ; 
5
 
 
 
Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng 
tích: 
Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi 
phương trình và đặt ngay nhân tử chung ấy. 
Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức 
thì ta sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử. 
Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì 
nên rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử. 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 11/27
 Phương trình chứa ẩn ở mẫu 
Phương pháp chung 
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. 
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu. 
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. 
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa 
mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho. 
Ví dụ 8: Giải phương trình 
2 1 2
2 ( 2)
x
x x x x

 
 
 (8) (BT 52b)-Sgk-tr33) 
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau: 
Lời giải sai: ĐKXĐ: x  2 ; x  0 
(8)  
( 2) 1( 2) 2
( 2) ( 2)
x x x
x x x x
  

 
 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu  là không chính 
xác) 
 x2 + 2x – x + 2 = 2 
 x2 + x = 0 
 x(x + 1) = 0 
 
0 0 
1 0 1
x x
x x
  
     
Vậy S =   0 ; 1  (kết luận dư nghiệm) 
Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “ ”không chính xác 
 Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện 
Lời giải đúng: ĐKXĐ: x  2 ; x  0 
(8)  
( 2) 1( 2) 2
( 2) ( 2)
x x x
x x x x
  

 
 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (8’) 
 x2 + 2x – x + 2 = 2 
 x2 + x = 0 
 x(x + 1) = 0 
 
0 0 
1 0 1 
x x
x x
  
     
Vậy S =   1  
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 12/27
Giáo viên cần củng cố cho học sinh: 
Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã 
cho, nên ta dùng ký hiệu “” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình 
(8’) chưa chắc là tập nghiệm của phương trình (8). 
Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận. 
Ví dụ 9: Giải phương trình 
1 3
3
2 2
x
x x

 
 
 (9) (BT 30a)-Sgk-tr23) 
- Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu 
thức chung của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ. 
- Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm. 
Giải: ĐKXĐ: x  2 
(9)  
1 3( 2) 3
2 2
x x
x x
  

 
  1 + 3(x – 2) = 3 – x 
  1 + 3x – 6 = 3 – x 
  4x = 8 
  x = 2 (không thỏa mãn điều kiện) 
Vậy phương trình vô nghiệm 
Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau: 
- Tìm ĐKXĐ của phương trình: 
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0. (Cho các mẫu thức khác 0) 
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. (Cho các mẫu 
thức bằng 0) 
 - Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình 
nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là 
điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. 
- Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng 
về phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi 
dấu, quy tắc dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước. 
- Rèn ở học sinh về kỹ năng nhận dạng các phương trình có mẫu là các đa thức 
dạng x2 + 1; 3x2 + 2; x2 + x + 3; hoặc là bình phương thiếu của một tổng, một 
hiệu luôn luôn dương với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp phải các mẫu thức có 
dạng này ta không cần phải đặt điều kiện cho mẫu thức đó khác 0. 
Ví dụ 10: Giải phương trình 
2
3 2
1 2 5 4
1 1 1
x
x x x x

 
   
 (10) 
Lời giải: ĐKXĐ: x  1 ; x2 + x + 1 > 0 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 13/27
 (10)  
2 2
2 2
1 2 5 4( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x
x x x x x x
    

     
 3x2 + x – 4 = 4x – 4 
 3x2 – 3x = 0 
 3x(x – 1) = 0 
 
3 0 0 
1 0 1 
x x
x x
  
    
 Vậy S =   0 
b. Phát triển tư duy và kỹ năng giải phương trình 
Ví dụ 11: Giải phương trình 
3 4 3
5
5 2 1
15 5
x x
x x
x
 
 
   (Sách Bổ trợ-Nâng 
cao) 
- Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần. 
Lần 1: Mẫu chung là 15 
Lần 2: Mẫu chung là 10 
Hướng dẫn: (11)  
3 4 9 3
15 15 15
5 2
x x
x x x
 
     
 10 2(3 4) 5(9 3 ) 150x x x      (học sinh giải tiếp) 
Ví dụ 12: Giải phương trình 
1 2 3 4
9 8 7 6
x x x x   
   (12) 
- Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu như sau: 
Cách 1: (12)  56.( 1) 63.( 2) 72.( 3) 84.( 4)x x x x       
  56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336 
  37x = –370 
  x = –10 
Vậy S =   10  
- Với cách giải này thì ta không thể khai thác được gì ở bài toán này, đôi khi gặp 
phải bài toán có mẫu lớn thì học sinh sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn hơn. 
Do đó giáo viên cần định hướng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta có thể 
rút ra cách giải tổng quát cho các bài tập có dạng tương tự. 
Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau: 
x + 1 + 9 = x +10 
 Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đều 
 cùng bằng một phân thức 
x + 2 + 8 = x + 10 
x + 3 + 7 = x + 10 
x + 4 + 6 = x + 10 
Khi đó ta có cách giải như sau: 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 14/27
 Phương pháp thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử: 
Cách 2: (12)  
1 2 3 4
1 1 1 1
9 8 7 6
x x x x          
             
       
  
10 10 10 10
9 8 7 6
x x x x   
   
  
1 1 1 1
( 10) 0
9 8 7 6
x
 
     
 
  x + 10 = 0 
  x = –10 Vậy S =   10  
- Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. 
Do đó giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên 
cơ sở đó ta đề xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn. 
-Khai thác bài toán: 
* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay 
sau: 
1) 
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x   
   
* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau: 
2) 
1 2 3 4
2006
2011 2012 2013 2014
x x x x
x
   
     
3) 
1 2 3 2009 2010
... 2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x    
       
Hướng dẫn: 2) 
1 2 3 4
1 1 1 1 2006 4
2011 2012 2013 2014
x x x x
x
   
          
 
2010 2010 2010 2010 ( 2010)
0
2011 2012 2013 2014 1
x x x x x    
     
3) 
1 2 3 2009 2010
... 2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x    
       
 
2011 2011 2011 2011 2011
... 0
2010 2009 2008 2 1
x x x x x    
      
 Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử: 
Ví dụ 13: Giải phương trình (x + 2)(2x2 – 5x) – x3 = 8 (13) (Sách Bổ trợ-
Nâng cao) 
Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x3 và 8 
Hướng dẫn: (13)  (x + 2)(2x2 – 5x) – (x3 + 8) = 0 
 (x + 2)(2x2 – 5x) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 15/27
 (x + 2)(2x2 – 5x – x2 + 2x – 4) = 0 
 (x + 2)(x2 + x – 4x – 4) = 0 
 (x + 2)(x + 1)(x – 4) = 0 (học sinh giải tiếp) 
- Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phương pháp phân tích đa 
thức thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về “Phương pháp tách một hạng tử 
thành nhiều hạng tử khác” để đưa về dạng tích mà các em đã học. 
Bài tốn tổng quát: 
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx 
thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac 
Trong thực hành ta làm như sau: 
Bước 1: Tìm tích ac. 
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. 
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. 
 Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 
Ví dụ 14 Giải phương trình
3 2 1
( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 2)( 3)x x x x x x
 
     
 (BT.31.b/23) 
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x  1; x  2; x  3 
(14)  3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (học sinh giải tiếp) 
- Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn 
đề ở đây không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ 
khác, khía cạnh khác thì việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn. 
-Khai thác bài toán: 
* Bài toán (14) trên chính là bài toán phức tạp sau: 
1) Ta có: (14)  
2 2 2
3 2 1
3 2 4 3 6 5x x x x x x
 
     
* Ta có bài toán tương tự như sau: 
2) 
4 3 2 1
0
( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 4) ( 1)( 3)( 4) ( 2)( 3)( 4)x x x x x x x x x x x x
   
           
3) 
1 1 1 1 1 1
( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 10x x x x x x x x x x
    
         
 (*) 
Hướng dẫn: 
1 1 1
( 1)( 2) 2 1x x x x
 
   
; 
1 1 1
( 2)( 3) 3 2x x x x
 
   
;  
(*)
1 1 1
6 1 10x x
 
 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 16/27
 Phương pháp đặt ẩn phụ: 
Ví dụ 15: Giải phương trình 2
2
3 1
3 4 0x x
x x
     (15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao) 
- Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải 
phương trình là vô cùng khó khăn (phương trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần 
hướng dẫn học sinh có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn. 
Giải: ĐKXĐ: x  0 
(15)  2
2
1 1
3( ) 4 0x x
x x
     Đặt 
1
x y
x
   2 2
2
1
2x y
x
   
Phương trình trở thành y2 – 3y + 2 = 0  (y – 1)(y – 2) =0  y = 1 hoặc y = 2 
Khi đó 
1
1x
x
   x2 – x + 1 = 0 (vô nghiệm) 
1
2x
x
   x2 – 2x + 1 = 0  (x – 1)2  x = 1 (nhận) 
Vậy S =   1 
3. Các dạng bất phương trình thường gặp 
Định nghĩa : Bất phương trình dạng: 
(hoặc , , ) trong đó a và b là 
hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. 
Hoạt động 1 
Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào không là 
bất phương trình bậc nhất một ẩn: 
a) 2x - 3 0; c) 5x - 15 ≥ 0; d) x2 > 0. 
 ĐA: Bất phương trình d) 
Hai quy tắc biến đổi bất phương trình 
Quy tắc chuyển vế 
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc chuyển vế) 
để biến đổi tương đương bất phương trình: 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 17/27
 Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế 
kia ta phải đổi dấu hạng tử đó. 
VÍ DỤ 1 Giải các bất phương trình sau: 
a) x - 5 2x + 5 (có biểu diễn tập nghiệm trên 
trục số). 
Lời giải a) Ta có: 
x - 5 < 18 x < 18 + 5 (Chuyển vế -5 và đổi dấu thành 5) 
x < 23. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . 
b) Ta có: 
3x > 2x + 5 3x - 2x > 5(Chuyển vế 2x và đổi dấu thành -2x) 
x > 5. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . 
Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau: 
Hoạt động 2 Giải các bất phương trình sau: 
a) x + 12 > 21; b) -2x > -3x - 5. 
Quy tắc nhân với một số 
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc nhân) để 
biến đổi tương đương bất phương trình: 
 Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: 
 Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương; 
 Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm. 
 VÍ DỤ Giải các bất phương trình sau: a) 0,5x < 3; b) (có 
biểu diễn tập nghiệm trên trục số). 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 18/27
Lời giải a) Ta có: 
0,5x < 3 0,5x.2 < 3.2 (Nhân cả hai vế với 2) 
x < 6. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= . 
b) Ta có: 
 (Nhân cả hai vế với -4 và đổi chiều) 
x > -12. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . 
Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau: 
Hoạt động 3 
Giải các bất phương trình sau (dùng quy tắc nhân): 
a) 2x < 24; b) -3x < 27. 
Hoạt động 4 
Giải thích sự tương đương: 
a) x + 3 6. 
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn 
VÍ DỤ 3 Giải bất phương trình 2x - 3 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. 
Lời giải Ta có: 
2x - 3 < 0 
2x < 3 (Chuyển -3 sang vế phải và đổi dấu) 
2x:2 < 3:2 (Chia hai vế cho 2) 
x < 1,5. 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 19/27
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là và được 
biểu diễn trên trục số như sau: 
Hoạt động 5 Giải bất phương trình -4x - 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục 
số. 
Hướng dẫn: Làm tương tự ví dụ 3, nhưng lưu ý khi nhân hai vế với 
số âm. 
CHÚ Ý: Để cho gọn khi trình bày, ta có thể: 
 Không ghi câu giải thích; 
 Khi có kết quả x < 1,5 (ở ví dụ 3) thì coi là giải xong 
và viết đơn giản: 
"Nghiệm của bất phương trình 2x - 3 < 0 là x < 1,5". 
VÍ DỤ 4 Giải bất phương trình -4x + 12 < 0. 
Lời giải Ta có: 
-4x + 12 < 0 
12 < 4x 
12:4 < 4x : 4 
3 < x. 
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3. 
Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn 
VÍ DỤ 5 Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x - 7. 
Lời giải Ta có: 
3x + 5 < 5x - 7 
3x - 5x < -5 - 7 
-2x < 12 
-2x : (-2) > -12 : (-2) 
x > 6. 
 Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8 
 20/27
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 6. 
Hoạt động 6 Giải bất phương trình -0,2x - 0,2 > 0,4x - 2. 
Ta có -0,2x-0.4x > 0.2 – 2  -0.6x > -1,8 
 x < 
1,8
3
0,6



 => x < 3 
BÀI TẬP 
8. Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Kể ba bất 
phương trình có cùng tập nghiệm). 
a) 
b) 
9. Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không: 
a) 
b) 
Tập nghiệm của bất phương trình 
Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của 
bất phương trình. 
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. 
VÍ DỤ 1. Tập nghiệm của bất phương trình x > 3 là tập hợp các số lớn hơn 3, 
tức là tập hợp 
Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ sau: 
(Trong hình vẽ trên