Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số cho học sinh THCS

ải dạng 
toán này. 
Do vậy, tôi nghĩ rằng cần phải hình thành một cách có hệ thống các dạng 
bài toán cực trị đại số và phương pháp giải để dạy học sinh. Giúp học sinh nắm 
được phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số thường gặp trong trường 
THCS, nâng cao dần kỹ năng, kỹ xảo giải các dạng toán trên. Từ đó phục vụ tốt 
cho việc giảng dạy của giáo viên và gạt bỏ tư tưởng e ngại của học sinh khi giải 
toán cực trị đại số. 
Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp, tìm tòi 
thử nghiệm với các đối tượng học sinh đại trà và ôn thi. Được sự khuyến khích, 
giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè đồng nghiệp trong trường, ở trường bạn vậy nên tôi 
đã mạnh dạn nghiên cứu bước đầu đề tài: “Phương pháp giải bài toán cực trị Đại 
số cho học sinh THCS”. 
 1.2. Điểm mới của đề tài. 
 Trong những năm gần đây bản thân tôi được nhà trường phân công dạy bồi 
dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán 7, giải toán qua mạng lớp 9, luyện thi môn 
toán 9. Trong việc xây dựng kế hoạch dạy bồi dưỡng ngay từ đầu năm học bản 
 4
thân tôi luôn đưa vào chương trình dạy chuyên đề về cực trị đại số song hiệu quả 
dạy học chuyên đề này vẫn chưa cao. Chính vì vậy điểm mới trong đề tài này là 
đưa ra các phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh THCS. Trong mỗi 
phương pháp đó tôi đưa ra 3 nội dung là phần lý thuyết cơ bản, bài tập áp dụng và 
bài tập tự luyện nhằm khắc sâu kiến thức cho các em. 
 1. 3. Phạm vi áp dụng đề tài. 
 Vì đề tài đang ở bước đầu nghiên cứu nên tôi chỉ xây dựng phương pháp cho 
một số dạng toán cực trị đại số thường gặp và cũng giới hạn trong đối tượng học 
sinh tại một trường THCS ở huyện Lệ Thủy – Quảng Bình. 
 5
2. PHẦN NỘI DUNG. 
 2.1. Thực trạng. 
 Trong những năm qua, thực tế giảng dạy môn Toán học sinh từ lớp 6 đến lớp 
9, dạy học sinh ôn tập, luyện thi HSG và ôn thi tuyển sinh THPT tôi nhận thấy: 
khi gặp toán cực trị thì đa phần học sinh THCS còn e ngại và lúng túng trong cách 
giải. Học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào vì thế số 
đông học sinh thường bỏ qua, một số ít học sinh thì có làm nhưng thiên về biến 
đổi, đơn giản biểu thức nên không đi đến kết quả hoặc cho kết quả sai. 
 Nguyên nhân của vấn đề trên là do toán cực trị không phải là dạng toán 
thường gặp, muốn giải được nó thì cần phải tổng hợp được nhiều kiến thức, trong 
đó có những kiến thức nâng cao, ít được đề cập đến trong chương trình, sách giáo 
khoa bậc THCS. Do vậy học sinh không nắm được các dạng toán cực trị và 
phương pháp giải tổng quát cho từng dạng toán, dẫn đến kết quả là bài kiểm tra 
thường bị điểm thấp. Qua khảo sát năng lực học sinh đối với việc giải toán cực trị 
đại số trước khi áp dụng đề tài cho thấy kết quả như sau: 
Năm học 
Áp dụng đề tài 
Kết quả điểm kiểm tra 
Giỏi Khá Trung 
bình 
Yếu Kém 
20011 -2012 
Chưa áp dụng 
3% 
9% 
30% 
52% 
6% 
 2.2. Các giải pháp: 
Sau một thời gian dài nghiên cứu tôi đã tổng hợp và xây dựng được những 
vấn đề về lí thuyết như sau : 
* Đại cương về cực trị. 
 Bài toán cực trị là tên gọi chung cho những bài toán tìm giá trị lớn nhất 
(GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN). Trong chương trình THCS chỉ xét giới hạn 
trong trường số thực R đối với phân môn Đại số. 
 Theo lí thuyết Giải tích, xét tập hợp số thực xE  R, khi đó nếu E không 
rỗng và bị chặn thì tồn tại cận trên đúng M của E ( M = supE ) hoặc cận dưới đúng 
m của E ( m = infE ) hoặc cả hai. Tuy nhiên có thể cả M và m đều không thuộc E. 
 6
Khi ME (hoặc mE) ta viết M = maxE (hoặc m = minE) đây là cách viết tắt theo 
chữ Latin (max = maximum, min = minimum ) mà trong trường phổ thông ta 
thường gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN). 
 Theo quan điểm trên việc tìm maxE = M hoặc minE = m phải bao gồm đồng 
thời cả hai điều kiện : 
 i) M = E hoặc m = E. 
 ii) x  E để M = E hoặc m = E. 
 Sau đây là những dạng bài tập và phương pháp cụ thể xét theo quan điểm trên. 
 * Một số phương pháp tìm cực trị đại số. 
2.2.1 Phương pháp tìm cực trị theo tính chất của luỹ thừa bậc hai. 
A. Lí thuyết cơ bản. 
 Ta đã biết A2  0 ( -A2  0) với mọi giá trị của biến trên tập xác định E của 
A. 
Như vậy nếu biểu thức M (nguyên hoặc phân) đưa được về dạng M=A2 + k ( hoặc 
M=m-A2) thì rõ ràng supM= m ( infM=k). Nếu tồn tại giá trị của biến để M = k 
(hoặc M=m) thì maxM = m (min M = k). 
B. Bài tập áp dụng. 
Bài số 1. 
 Tìm max ( min) của các biểu thức sau : 
a) A = 2x2 - 8x+1. 
 b) B = -5x2 - 4x +1. 
Giải: 
 a) Ta có : A = 2x2 - 8x+1 = 2( x2 - 4x +4) -7 = 2(x-4)2 - 7  -7. Dấu = xảy ra khi 
x=4. Vậy minA=-7 khi x=4. 
 b) Ta có : B = -5x2 - 4x +1 = 
5
9
5
9
)
5
2
(5
5
9
)
25
4
5
4
(5 22  xxx . Dấu = xảy ra 
khi x=-
5
2
. Do đó maxB = 
5
9
 khi x=-
5
2
. 
Lưu ý : Khi chuyển biểu thức cần tìm max, min có thể học sinh mắc sai lầm. 
Ví dụ : A = ( x-1)2 + (x-3)2 – 9  - 9 vì (x-1)2  0 và (x-3)2 0  minA = -9 
nhưng không tồn tại x thoả mãn điều đó. Ta cần làm như Bài 1a). 
 7
Bài số 2. 
Tìm min của C = 2006 xx . 
Giải : 
 Để C tồn tại thì ta phải có : x 2006 (*). 
 Ta có : 
C = 2006 xx = x - 2006 - 2006x + 
4
1
 + 
4
8023
 = 
4
8023
4
8023
)
2
1
2006( 2 x 
Vậy min C = 
4
8023
  .
4
8027
2
1
2006  xx ( thoả (*)). 
Bài số 3. 
Tìm min của D = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4). 
Giải : 
 Tập xác định của D là IR. 
 Ta có : D = ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = ( x2 + 5x + 5)2 – 1  - 1. 
Dấu = xảy ra khi : ( x2 + 5x + 5)2 = 0  ( x2 + 5x + 5) = 0 
2
55 
x 
hoặc 
2
55
x . Vậy minD = - 1  
2
55 
x hoặc.
2
55 
x 
Bài số 4. 
Tìm min của E = x2 +2y2 -2xy - 4y + 5. 
Giải : 
 Tập xác định của E là IR2. 
 Ta có : E = x2 +2y2 -2xy - 4y + 5 = ( x-y)2 + (y-2)2 + 1. 
Vì ( x-y)2  0 x,y và (y-2)2  0 y nên E 1 x,y. 
Dấu = xảy ra khi 2
202
0












yx
y
yx
y
yx
. 
Vậy minE = 1 khi x=y=2. 
Bài số 5. 
Tìm min của F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz -2x -2y – 8z + 2012. 
 8
Giải : 
 Tập xác định của F là IR3. 
 Ta có : F = ( x-y+z-1)2 + ( x+z-2)2 + ( z-1)2 + 2006. 
Vì : ( x-y+z-1)2 0 x,y,z, ( x+z-2)2 0 x,z và ( z-1)2 0  z nên F  2006 
x,y,z. 
Dấu = xảy ra khi 

















1
1
1
01
02
01
z
y
x
z
zx
zyx
. 
Vậy min F = 2006  x=y=z=1. 
Bài số 6. 
Tìm min của G = 
2956
2
xx 
. 
Giải : 
Ta có : G = 
4)13(
2
569
2
956
2
222 





 xxxxx
. Do (3x-1)2  0 x 
 ( 3x-1)2+4  4 x  
2
1
4
2
4)13(
2
4
1
4)13(
1
22







 xx
 G  
2
1
. 
min G = 
2
1
  3x – 1 = 0  x = 
3
1
. 
Bài số 7. 
Tìm min của H = 
12
683
2
2


xx
xx
. 
Giải : 
Tập xác định của H là R\ {1}. 
Ta có : H = 2
)1(
)2(
2
12
)44()242(
2
2
2
22






x
x
xx
xxxx
  min H = 2  x= 2. 
Bài số 8. 
Tìm max, min của I = 
1
43
2 

x
x
. 
Giải : 
* Tìm min I. 
 9
Ta có : I = 11
1
)2(
1
144
2
2
2
22






x
x
x
xxx
. Min I = -1  x=2. 
* Tìm max I. 
Ta có : I = 4
1
)12(
4
1
14444
2
2
2
22






x
x
x
xxx
.Max I = 4 
2
1
x . 
Bài số 9. 
Tìm min của K = x3 + y3 + xy biết rằng x+y=1. 
Giải : 
Ta có : K = (x+y)(x2-xy+y2) + xy = x2 –xy + y2 + xy = x2 + y2. 
Có nhiều cách giải ở đây, ví dụ : 
K = x2 + (1-x)2 = 
2
1
2
1
)
2
1
(2 2 x . Min K = 
2
1
 khi 
2
1
2
1
 yx . 
Bài số 10. 
Tìm min của L = x2 + y2 + z2 biết rằng x + y + z = 3. 
Giải: 
Ta có : x + y + z = 3  ( x+ y + z)2  9  x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = 9 
 L + 2(xy + yz + zx ) = 9 (*). 
Ta luôn có : x2 + y2 + z2  xy + yz + zx x,y,z, dấu = khi x=y=z nên từ (*) suy 
ra : 
3L  9  L  3  min L = 3 khi x=y=z = 1. 
C. Bài tập tự luyện. 
Bài số 1. 
Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau : 
a) A = x2 -5x + 1. 
b) B = 1 – x2 + 3x. 
Bài số 2. 
Tìm min của mỗi biểu thức sau : 
a) C = ( x-1)(x- 3)(x2 - 4x + 5). 
b) D = x2 – 2xy + 2y2 + 2x -10y + 17. 
 10
Bài số 3. 
Tìm max của biểu thức sau : 
 E = xy + yz + xz biết x+y+z=12. 
Bài số 4. 
Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau : 
a) F = 
52
1763
2
2


xx
xx
 ; b) G = 
9
1227
2 

x
x
 ; c) H = 
14
38
2 

x
x
. 
2.2.2- Phương pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối. 
A. Lí thuyết cơ bản. 
 Ta biết rằng : với A, B là những biểu thức đại số thì : 
i) BABA  
Dấu bằng xảy ra khi 0. BA . 
ii) BABA  
Dấu bằng xảy ra khi 0 BA hoặc 0 BA . 
B. Bài tập áp dụng. 
Bài số 1. 
Tìm min của A = 82  xx . 
Giải : 
Ta có : A = 82  xx = 108282  xxxx . 
Suy ra minA = 10 khi (2-x)(x+8)  0  28  x . 
Bài số 2. 
Tìm max của B = )11(2)11(2  xxxx . 
Giải : 
Tập xác định của B là x  -1 (*). 
Ta có : B = 
211111111)11()11( 2
2
 xxxxxx 
Suy ra max B = 2 khi ( 00)11)(11(  xxx (thoả(*)). 
 11
C. Bài tập tự luyện. 
Bài số 1. 
 Tìm max của biểu thức : 
a) C = 143143  aaaa 
b) D = 2222 2007401420064012  xxxx 
Bài số 2. 
Tìm min của biểu thức : 
a) E = 22 1664 xxx  
b) F = 
4
1
44 22  xxxx . 
2.2.3 Phương pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của phương 
trình bậc hai ( phương pháp miền giá trị hàm số ). 
A. Lí thuyết cơ bản. 
 Ta đã biết : phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm nếu 042  acb . 
Nếu biểu thức A = 
)(
)(
xg
xf
 xác định trên miền D có thể qui về dạng : 
f(A)x2 + g(A)x + k = 0 (1) ( k là một số thực ) thì rõ ràng với mỗi x thuộc tập 
nguồn D thoả (1) sẽ cho một ảnh h(A) của tập đích E của A. Vì vậy bằng cách gián 
tiếp dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình (1) ta sẽ xác định được tập 
đích E và do đó 
chỉ ra giới hạn miền giá trị của A hay chỉ ra maxA, minA. 
B. Bài tập vận dụng. 
Bài số 1. 
Tìm max, min của A = 
1
1
2
2


xx
xx
. 
Giải : 
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm : 
a = 
1
1
2
2


xx
xx
 (1). 
 12
 (a-1)x2 + (a+1)x + (a-1) = 0 ( Do x2 +x +1 > 0  x ). (2) 
* Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0. 
* Nếu 1a thì để (2) có nghiệm ta cần có 
)1(3
3
1
0)3)(13(0)1(4)1(0 22  aaaaaa . 
Với 
3
1
a hoặc a=3 thì nghiệm (2) là : 
)1(2
1
)1(2
)1(
a
a
a
a
x





 . 
Với 
3
1
a thì x = 1, với a=3 thì x = -1. 
Kết hợp hai trường hợp trên ta có : min A = 1
3
1
 x ; maxA = 3  x=-1. 
Bài số 2. 
Tìm max, min của B = 
xx
xx


2
2 53
. 
Giải : 
Điều kiện để B có nghĩa là 1;0  xx (*). 
B nhận giá trị m  phương trình m =
xx
xx


2
2 53
 (1) có nghiệm. 
(1)  (m-1)x2 – (m-3)x – 5 = 0 (2). 
*Nếu m=1  x = 2,5. 
*Nếu m  1 thì để (2) có nghiệm ta cần có : 
01114)1(20)3(0 22  mmmm 
 1527 m hoặc 1527 m . 
Với m = 1527  thì x= 
2
155
 ; với m = 1527  thì x=
2
155
. 
Kết hợp hai trường hợp trên và điều kiện (*) ta có : 
maxB = 1 khi x = 2,5 ; min B = 1527  khi x= 
2
155
. 
C. Bài tập tự luyện. 
Tìm max, min của những biểu thức sau : 
a) C = 
228
41162
2
2


xx
xx
 ; b) D = 
2
2
)12(
164


x
xx
 ; c) E = 
2)10( x
x
. 
 13
2.2.4 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô- si ( Cauchy). 
A. Lí thuyết cơ bản. 
 Cho n số không âm : a1, a2, a3,..., an thì ta luôn có : 
Dạng 1 : n n
n aaaa
n
aaaa
..
...
321
321 

. 
Dạng 2 : n nn aaaanaaaa ........ 321321  
Dạng 3 : n
nn aaaa
n
aaaa
...)
..
( 321
321 

. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 =...= an. 
Từ đây ta dễ dàng suy ra : 
i) Nếu a1. a2. a3.... an = A không đổi thì nn Anaaaa  ...321 và do đó : 
min nn Anaaaa  ...321 khi a1 = a2 = a3 =...= an. 
ii) Nếu a1 + a2 + a3 +...+ an = B không đổi thì 
n
B
aaaan n ...321 và do đó : 
max
n
B
aaaan n ...321 khi a1 = a2 = a3 =...= an. 
B. Bài tập áp dụng. 
Bài số 1. 
Cho a.b.c = 1. Tìm min của A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2). 
Giải : 
Theo BĐT Cô- si ta có : 









02
02
02
22
22
22
caac
bccb
abba
 dấu bằng xảy ra khi a=b=c. 
Suy ra A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) 88 222  cba 
Vậy min A = 8  a=b=c=1. 
Bài số 2. 
Cho 













3
1
1
1
1
1
1
1
1
0,,,
dcba
dcba
 tìm max a.b.c.d ? 
Giải : 
 14
Từ giả thiết và theo BĐT Cô-si ta có : 
d
d
c
c
b
b
dcba 











 111
)
1
1
1()
1
1
1()
1
1
1(
1
1
 3
)1)(1)(1(
3
dcb
bcd

 
Tương tự : 0
)1)(1)(1(
3
1
1
3 


 adc
acd
b
 ; 0
)1)(1)(1(
3
1
1
3 


 adb
abd
c
0
)1)(1)(1(
3
1
1
3 


 cba
abc
d
. Nhân vế với vế 4 BĐT trên ta được : 
)1)(1)(1)(1(
81
)1)(1)(1)(1(
1
dcbadcba 


  
81
1
abcd . 
Vậy maxabcd = 
81
1
khi a=c=b=d. 
Bài số 3. 
Với  a>b0, tìm min của B = 
2)1)((
4


bba
a . 
Giải : 
Ta có : B = 







 1
)1)((
4
2
1
2
1
)(
)1)((
4
22 bba
bb
ba
bba
a 
3141
)1)((
4
2
1
2
1
)(44
2




bba
bb
ba . 
Vậy minB = 3 khi a = 2; b = 1. 
Bài số 4. 
Cho 








2
4
3
c
b
a
. Tìm max C = 
22
432  bcaabccab
. 
Giải : 
Ta có : 
222
2)2(
2
2)2(
2
2
abccab
c
ab
cab 

 
322
3)3(
3
3)3(
2
3
abcabc
a
bc
abc 

 
 15
422
4)4(
4
4)4(
4
4
abcbca
b
ca
bca 

 
Từ các BĐT trên suy ra : C 
42
1
32
1
22
1
 . 
Dấu bằng khi 

















8
6
4
44
33
22
b
a
c
b
a
c
. Vậy max C = 
4
1
32
1
22
1
 . 
Bài số 5. 
Cho a,b,c là 3 số dương bất kỳ. Tìm min của D = 
ba
c
ac
b
cb
a





Giải : 
Ta có : D + 3 = 
ba
cba
ac
cba
cb
cba
ba
c
ac
b
cb
a














 )1()1()1( 
2D + 6 = 
  















baaccb
baaccb
baaccb
cba
111
)()()()
111
)((2 
9 ( theo Cô-si)  2D + 6  9  D  
2
3
. Vậy min D = 
2
3
 khi a=b=c. 
C. Bài tập tự luyện. 
Bài số 1. 
Cho a,b là những số không âm và a.b = 1. 
Tìm min của A= (1+a+b)(a+b+ab). 
Bài số 2. 
Cho a là số thực bất kỳ. Tìm min của B = 
1
2
2
2


a
a
. 
Bài số 3. 
Cho a,b là những số không âm và a+b = 1. 
Tìm max của C = 16ab(a-b)2. 
2.2.5 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki . 
A. Lí thuyết cơ bản. 
 Cho a1, a2, a3,..., an và b1,b2,b3,...., bn là 2n số thực tuỳ ý. Khi đó ta có : 
 16
Dạng 1 : (a1
2+a2
2+a3
2+....+an
2)(b1
2+b2
2+b3
2+...+bn
2) ( a1b1+ a2b2+a3b3+...+anbn)
2 
(1) 
Dạng 2 : 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2( .. )( ... ) ....n n n na a a b b b a b a b a b         (2) 
Dấu bằng xảy ra ở (1) và (2) khi 
n
n
b
a
b
a
b
a
 ...
2
2
1
1 . 
Hệ quả : 
i) Nếu a1x1+a2x2+.....+anxn= C = const thì min ( x1
2+x2
2+...+xn
2) = 
22
2
2
1
2
... naaa
C

Dấu bằng khi 
n
n
a
x
a
x
a
x
 ...
2
2
1
1 . 
ii) Nếu x1
2+x2
2+...+xn
2 = C2 thì 
max (a1x1+a2x2+.....+anxn) = 
22
2
2
1 ... naaaC  . Dấu bằng khi 
0...
2
2
1
1 
n
n
a
x
a
x
a
x
. 
min (a1x1+a2x2+.....+anxn) = -
22
2
2
1 ... naaaC  . Dấu bằng khi 
0...
2
2
1
1 
n
n
a
x
a
x
a
x
. 
B. Bài tập vận dụng. 
Bài số 1. 
Cho xy + yz + xz = 4. Tìm min A = x4+y4+z4. 
Giải : 
Ta có : 
A = 
3
1
( 12+12+12)( x4+y4+z4) 
3
1
(x2+y2+z2)2 = 
3
1
( x2+y2+z2)(y2+z2+x2)  
3
1
(xy+yz+xz)2 = 
3
16
. 
Suy ra minA = 
3
16
 đạt được khi x=y=z=
3
2
 . 
Bài số 2. 
Cho a2 + b2 + c2 = 1. Tìm max B = a + 3b + 5c. 
Giải : 
 17
Ta có : 
B = a + 3b + 5c 35))(531( 222221  cba . 
Từ đó ta được minB = 35 khi 
35
5
;
35
3
;
35
1
 cba . 
Bài số 3. 
Tìm min C = (x-2y+1)2 + ( 2x+ay+5)2. 
Giải : 
Ta có : 
C = 
5
1
[(-2)2 + 12 ][(x-2y+1)2 + (2x+ay+5)2]  
5
1
[(-2)(x-2y+1) + 1.(2x+ay+5)]2 
= 
5
1
[(a+4)y +3 ]2 0 nếu a  - 4 hoặc 
5
9
 nếu a =- 4. 
Vậy : nếu a  - 4 thì min C = 0 ; nếu a = - 4 thì max C = 
5
9
. 
Bài số 4. 
Cho 






0,,
1
321
cba
cba . Tìm min D = a
2+b2+c2. 
Giải : 
Theo BĐT B-C-S ta có : 
4
2
2222 )321(
3
1
)
321
)((
3
1
)(
3
1







cba
cbacbacba . 
Vậy minD = 4)321(
3
1
 khi a=b=c=6. 
C. Bài tập tự luyện. 
Cho 






1
94
0,
ba
ba
. Tìm min A = 22 baba  . 
Bài số 2. 
Cho 








20
25
16
22
22
yvxu
vu
yx
. Tìm max (x+y). 
 18
Bài số 3. 
Cho x2+4y2 =1. Tìm max yx  . 
Bài số 4. 
Cho 3x-4y=7. Tìm min của 3x2+4y2. 
Bài số 5. 
Cho 36x2 + 16y2 = 9. Tìm max, min của y-2x. 
Bài số 6. 
Cho 





1
0
22 yx
xy
. Tìm max, min của xyyx  11 . 
 19
3. KẾT LUẬN 
Đề tài “ Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số cho học sinh 
THCS” theo cá nhân tôi là rất khó, nghiên cứu tổng hợp dạng toán đã là một vấn 
đề nhưng dạy học sinh nắm được dạng toán và giải chúng là vấn đề không đơn 
giản. Quá trình nghiên cứu đề tài này đã giúp tôi đã gặt hái được những thành quả 
như sau: 
3.1.1. Đối với học sinh. 
-Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phải xuất 
phát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên. Nguyên nhân chính ở đây 
là các em chưa nắm phương pháp giải hoặc có biết một vài phương pháp thì cũng 
chỉ mơ hồ, không biết cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu 
trên. Chính vì vậy phần lớn các em bỏ trống không làm hoặc làm nhưng không ra 
đến kết quả cuối cùng. 
- Sau khi áp dụng đề tài tại trường THCS đang công tác, tôi đã giúp các em 
học sinh hiểu được bản chất vấn đề của dạng toán cực trị và các em đã bước đầu 
biết giải các dạng toán cực trị đơn giản và quan trọng là đã gây được hứng thú học 
toán nhất là toán cực trị cho các em, rèn luyện được tư duy logic sáng tạo cho các 
em trong quá trình tự học. 
 Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được bài tăng lên rõ rệt. Sau đây là bảng 
thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán cực trị ở học sinh sau khi đó áp dụng đề tài 
vào giảng dạy : 
Năm học 
Áp dụng đề tài 
Kết quả điểm kiểm tra 
Giỏi Khá Trung 
b́nh 
Yếu Kém 
2012-2013 
Đã áp dụng 
15% 
20% 
45% 
17% 
3% 
2013 -2014 
Đã áp dụng 
20% 
30% 
40% 
10% 
0% 
3.1.2. Đối với bản thân : 
Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều trong 
khâu phải giải thích dạng toán và hướng dẫn làm bài tập cho học sinh (phần lớn 
các em giải không được) mà kết quả đem lại không được nhiều, giáo viên phải làm 
 20
việc nhiều hơn học sinh, học sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức. Sau khi sử 
dụng đề tài này tôi thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự mình phát hiện ra 
dạng toán và biết áp dụng kiến thức, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm, 
phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. 
Trước nhu cầu chính đáng muốn vươn lên học tốt của học sinh và hòa vào 
không khí thi đua dổi mới phương pháp dạy học hiện nay, tôi xin góp một số kinh 
nghiệm của ḿnh để trao đổi với các đồng nghiệp, mục đích là nhằm nâng cao chất 
lượng giảng dạy trong nhà trường. Bài viết chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. 
Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý của đồng nghiệp để đề tài được áp dụng rộng 
rãi trong học sinh. Xin chân thành cảm ơn ! 
 21
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc 
BẢN XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 
TRƯỜNG THCS SƠN THỦY 
 Họ tên người viết: Phan Thúc Bảy 
Tên đề tài: “Một số phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh 
THCS”. 
Nhận xét của HĐKH trường THCS Sơn Thủy: 
Đề tài được cập nhật nhiều điểm mới, được áp dụng vào thực tiễn đạt hiệu 
quả cao. 
Xếp loại: A 
 Sơn Thuỷ, ngày 17 tháng 5 năm 2014 
 CT HĐKH 
 Nguyễn Đăng Sơn 
 22
 23
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS QUẢNG LỘC 
Điểm: 
Nhận xét: 
.....................