Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

 ta thấy nếu không để ý đến điều kiện 2 trong định nghĩa thì bài toán có thể dẫn tới sai lầm.
2.2Cáctính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Tính chất 1: Giả sử f(x) xác định trên D và A,B là tập của D trong đó A
Giả sử tồn tại 
khi đó ta có A
Chứng minh: ta chứng minh 1
Giả sử .Do mà A nên .
Ta có đpcm
Tính chất 2:Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên D và thỏa mãn điều kiện 
Giả sử cùng tồn tại khi đó ta có
Chứng minh: Giả sử với 
ta có f(x)
Do
	đpcm
Tính chất 3: Giả sử f(x) xác định trên miền D và
giả thiết tồ tại 
Khi đó ta có công thức sau:
 (1)
 (2)
Chứng minh : Ta chứng minh 1. vìnên theo tính chất 2 ta có
 (3)
từ (3) suy ra (4)
Giả sử 
Vì .Do vậy phải thuộc về ít nhất 1 trong 2 tập.Từ đó có thể cho là .theo định nghĩa về giá trị lớn nhất ta có 
 (5)
Hiển nhiên (6)
Từ 5,6 suy ra (7)
Bây giờ từ (4) (7) ta có 
Nhờ tính chất 3 nói tren cho phép ta có thể biến bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một miền xác định phức tạp thành một dãy bài toán trên các miền đơn giản.
Vì lý do ấy tính chất 3 còn gọi là NGUYÊN LÝ PHÂN RÃ.
Ví dụ minh họa:
Cho ,
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Đặt 
Khi đó rõ ràng 
Theo nguyên lý phân rã, ta có:
 (1)
với mọi vì , nên .
Lại có (2;2) và khi đó P=0, nên (2)
với mọi thì nên theo bất đẳng thức Cô si ta có :
hay 
Mặt khác từ 
Rõ ràng (2;1) (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra 
 Tính chất 4: giả sử hám số f(x) xác định trên D và tồn tại . Khi đó ta có ;
Chứng Minh :
Giả sử 
Khi đó theo định nghĩa giá trị lớn nhất của hám số ta có 
từ hệ suy ra 
Theo định nghĩa gía trị nhỏ nhất 
 Như vậy đpcm
Tính chất 5: Cho hàm số cùng xác định trên miền D.
Đặt .
Giả sử tồn tại 
Khi đó ta có (1)
 (2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho 
Dấu bằng trong 2 xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho
Chứng minh:
Ta chứng minh 1
 lấy tùy ý x.Theo định nghĩa giá trị lớn nhất ta có:
 (3)
Cộng từng vế bất đẳ thức n ta có :
 (4)
Vì bất đẳ thức (4) đúng nên ta có:
 (5)
Vậy (5) đúng. Bây giờ xét khả năng có dấu bằng trong (1)
Giả sử tồn tại mà =(6)
Do, nên từ (6) suy ra 
 (7)
Từ (5)(7) suy ra trường hợp này xảy ra dấu 
bằ trong (1)
Ví dụ minh họa:
Viết lại f(x) dưới dạng sau:
với 
Dễ thấy (2)
Do tồn tại mà g()=
Tức là tồn tại mà 
Vì lẽ đó theo tính chất 5, ta có:
Tính chất 6: Giả sử cùng xác định trên miền D, và ta có Giả thiết thêm tồn tại cũng như .
Đặt f(x)=.Khi đó ta có:
 (1)
 (2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho
Tương tự dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho
Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh của tính chất 5
Tính Chất 7:Giả sử f(x)và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên miền D. Đặt h(x)=f(x)-g(x).Giả sử tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x),g(x),h(x) trên D. Khi đó ta có: (1) 
 (2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tạisao cho 
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tạisao cho 
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh (1) . 
Ta có h(x)=f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))
Theo tính chất 5 ta có 	
 (3)
Theo tính chất 2 ta có 
 (4)
Thay (4) vào (3) ta có
. Vậy (1) đúng.
Vẫn theo tính chất 5 thì dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho ta có:
Nhưng đó là đpcm.
Tương tự ta có tính chất sau 
Giả sử f(x),g(x) là các hàm số xác định và dương khi .Đặt và giả thiết tồn tại các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số h(x),f(x),g(x) trên D. Ta có
 (1)
 (2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho
Tính chất 8:
1. Giả sử f(x) là hàm số xác định trên miền D.Khi đó với mọi n nguyên dương ta có 
2.Nếu thêm vào giả thiết f(x).Khi đó với mọi n nguyên dương, ta có :
.
Chứng minh tính chất này suy trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng thức.
Trong thực tế, người ta rất hay sử dụng một trường hợp riêng của tính chất 9 như sau:
Nếu thì 
Điều này rất có ích để giải các bài toán thuộc dạng căn bậc hai hoặc có chứa biểu thức với dấu giá trị tuyệt đối
Xét ví dụ minh họa sau đây:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:f(x)=
do f(x)>0 , nên theo tính chất 9 ta có 
 (1)
Ta có 
Đặt 
Xét hàm số f(t) , với 
ta có bảng biến thiên:
t
 1 
F(t)
F'(t)
F'(t)
 +
F(t)
Vậy 
Từ đó suy ra max f (t) =3 và min f(t)=-6
Bình luận : Tính đa dạng của các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất cũng thể hiện rõ qua ví dụ này.
Chương II
Vài bài toán mở đầu về chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất:
Bài toán 1:(Đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối B)
Cho hàm số y = .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số này trên miền xác định của nó.
Hướng dẫn giải
Cách 1:(phương pháp bất đẳng thức)
 Hàm số đã cho xác định khi .
 Ta có ; 
 Do đó , (1)
 Lại có = -	 (2)
 Từ (1),(2) suy ra min 
 Ta sẽ chứng minh (3)
 Thật vậy (3) 
 (do ) 
	 (4)
 Từ (4) suy ra (3) đúng.Như vậy ta có 
 Lại có ,nên .
Nhận xét:
1.cách giải trên hoàn toàn dựa vào bất đẳng thức,nên người ta thường được gọi là phương pháp bất đăng thức.
2.Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để giải như sau:
Theo bất đẳng thức bunhiacopski ta có:
 (5)
Dấu bằng trong(5) xảy ra 
Vậy maxy
Cách2:(phương pháp chiều biến thiên trên hàm số)
 Xét hàm số với 
 Ta có 
 Rõ ràng khi thì
 Xét khi ta có 
	 Do khi và khi ,nên ta có bảng biến thiên sau:
 x
 -2 0 2
+ + 0 
Từ đó suy ra 
Nhận xét:Tên gọi của phương pháp hoàn toàn phản ánh đúng qua cách giải vừa trình bày ở trên.
Cách 3:(phương pháp lượng giaics hóa)
 Xét hàm số với
 Do ,nên đặt với
Từ đó ta quy về xét hàm số
 (do khi thì )
 =
Do
Từ 
đó suy ra
 ,
Vậy: 
Bài toán 2:(Đề thi tuyển sinh đại học,cao đẳng khối D)
 Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỉ nhất của biểu thức 
 P=
 Hướng dẫn giải
Cách 1:(phương pháp bất đẳng thức)
 Dễ thấy P có thể viết lại dưới dạng sau đây:
 P=
Do nên từ (1) suy ra P, 
Tóm lại .
Cách 2:(phương pháp lương giác hóa)
 Ta có:.
Do nên đặt 
Khi đó P
Từ (1) suy ra 
Lại thấy P
Vậy 
Bài toán 3:(đề thi tuyến sinh đại học,cao đẳng khối B)
 Giả sử x,y là hai số thực sao cho .Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức 
 P=.
 Hướng dẫn giải
Cách 1:(phương pháp tìm miền giá trị của hàm số)
Do ,nên ta có:P (1)
Xét hai khả năng sau:
1.Nếu y0(khi đó x1).Lúc này P2.
2.Nếu y0.Khi đó P,ở đây t và 
Gọi m là giá trị tùy ý của hàm số ,khi đó phương trình sau đây (ẩn t): (2) có nghiệm.Dễ thấy vì , nên (2)
 (3)
*Nếu m=2,khi đó 2,nên (3) có nghiệm.Vậy m=2 là một giá trị cuẩ hàm số .
*Nếu m,khi đó (3) có nghiệm 
 (4)
Do m là giá trị tùy ý của ,nên từ (4) suy ra
 và 
Kết hợp với P=2 khi y=0,ta kết luận:
Với điều kiện thì 
Cach 2:(phương pháp miền giá trị hàm số)
Do , nên ta đặt , với .
Khi đó =(1) Gọi m là giá trị tùy ý của P.
Khi đó phương trình sau đây (ẩn ) (2)
có nghiệm .
Có nghiệm khi 
Suy ra maxP=3, minP=-6 khi .
Cách 3(Phương pháp chiều biến thiên hàm số)
Ta có (1)
* Nếu y=0, thì P=2
*Nếu , thì với 
Đặt Thì 
Lập bảng biến thiên sau :
t
 3 
f’(t)
 0 + 0 
f(t)
 2 3
 2 
Bài 4:Cho số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện: .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
Từ giả thiết suy ra: 
Đặt ta có: (1).Mặt khác
Từ (1) suy ra 
Do đó, 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 16
Bài 5:Cho các số thực dương x,y,z thay đổi và thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si bộ hai số ta có: 
Từ đó suy ra (vì giả thiết cho xyz=1)
Tương tự ta có: .Do vậy:
Tới đây chúng ta có 2 cách như sau:
Cách 1: Đặt 
Suy ra: .
Do đó, 
 = .
Tương tự, ta cũng chỉ ra được .
Từ đó suy ra: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Cách 2: Đặt 
Do đó, 
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski cho ba cặp số, ta có:
Suy ra: hay 
Lại có: Do vậy,
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u=v=t=1 hay khi đó x=y=z=1
Vậy P có giá trị nhỏ nhất là 2. 
Bài 6:Cho .Chứng minh rằng: 
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Xét hàm số với .Ta có:
 .
Suy ra nghịch biến trên khoảng 
Do đó, (vì theo giả thiết có ).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chương 3:
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số
Phương pháp chung:
Việc sử dụng bất đẳng thức để tìm gtln,gtnn của hàm số(hoặc một biểu thức) là một phương pháp quen thuộc,chúng ta sẽ minh họa ý tưởng thông qua bất đẳng thức Côsi như sau:
1.Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm gtln M của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu chung là f(x,y,..) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:
a.Chứng minh rằng f(x,y,..) với mọi x,y,... cho trước.
b.Tìm các giá trị của x,y,... để f(x,y,...)=M
Từ đó,đưa ra lời kết luận rằng ”Gtln của hàm số hoặc biểu thức bằng M và đạt được với x,y,... tìm được trong b.”.
2.Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm gtnn m của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu chung là f(x,y,...) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:
a.Chứng minh rằng f(x,y,...) m với mọi x,y,... cho trước.
b.Tìm các giá trị của x,y,... để f(x,y,...)=m
Từ đó,đưa ra lời kết luận rằng ”Gtnn của hàm số hoặc biểu thức bằng m và đạt được với x,y,... tìm được trong b.”.
1,Phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi:
+Sử dụng bất đẳng thức côsi cơ bản
-Ta gọi hai bất đẳng thức thông dụng sau đây là hai bất đẳng thức Côsi cơ bản:
 với mọi a>0,b>0.Dấu bằng xảy ra 
 với mọi 
Dấu bằng xảy ra 
Rất nhiều bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số quy về việc hai bất đẳng thức nói trên.
Bài 1: Cho x >0, y>0, z>0 và x + y + z =1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
.
Hướng dẫn giải
Viết lại P dưới dạng sau:
 (1)
Áp dụng bât đẳng thức Côsi cơ bản ta có:
 (2)
Do x+ y + z =1, nên từ (2) suy ra (3)
Từ (1) và (3) suy ra (4)
dấu bằng trong (3) xảy ra khi
Vậy dấu bằng trong (4) xảy ra 
Từ đó ta có max 
Bài 2:Cho và .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P 
 Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản hai lần liên tiếp,ta có:
 (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra .
Lí luận tương tự ta có (2)
 (3)
Dấu bằng trong (2),(3) đều xảy ra 
Cộng từng vế(1)(2)(3) và có P 
 Do (4)
Dấu bằng trong (4)xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (1)(2)(3)
 (kết hợp với điều kiện )
Từ đó suy ra maxP=1 
Nhận xét: Thực chất bài toán tuyển sinh đại học khối A-2005 có dạng sau: Cho và 
Chứng minh bất đẳng thức 
Rõ ràng dưới dạng bất đẳng thức.bài toán dễ hơn ở chỗ là có định hướng ( tức bài toán tìm giá trj lớn nhất,nhỏ nhất cho biết trước đáp số)
Bài 3: Cho và 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
 Hướng dẫn giải
Viết lại P dưới dạng:
 (1)
Do x>0,y>0 và 
Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản,ta có:
Dấu bằng trong (2) xảy ra 
2, Phương pháp sử dụng kĩ thuật ngược dấu trong bất đẳng thức Côsi.
Đây là một trong các phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi đặc biệt hữu hiệu với những bài toán nếu vội vàng áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi từ đầu sẽ đi đến dạng sau: A B C.
Vì thế không thể kết luận gì về mối quan hệ bất đẳng thức giữa A và C.Sử dụng kĩ thuật Côsi ngược sẽ tránh được điều này.
Bài 1:cho x,y,z là ba số dương và 
Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
Hướng dẫn giải
Ta có (1)
Theo bất đẳng thức Côsi,ta có (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra 
Từ (1)(2) suy ra (3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra 
Lập luận tương tự,ta có (4)
 (5)
Dấu bằng trong(4) (5) xảy ra 
Cộng tưng vế (3) (4) (5) và có (6)
Dấu bằng (6) xảy ra khi đòng thời có dấu bằng xảy ra trong (3) (4) (5)
 Do
 (7)
 Dấu bằng trong (7) xảy ra 
Từ đó kết hợp (6) (7), ta có (8)
Dấu bằng trong (8) xảy ra khi dấu bằng trong (6) (7) xảy ra
Vậy min 
Bình luận:Nếu trong bài trên ngay từ đầu ta trực tiếp sử dụng bất đẳng thức Côsi ,sẽ thu được
P (9)
Lại theo bất đẳng thức Côsi ta có: 
Như vậy ta có: P (10)
Từ (10) không thu được so sánh giữa P và 
Cách áp dụng bất dẳng thức Côsi sau khi biến đổi P như trên gọi tắt là kĩ thuật Cối ngược dấu.Đây là kĩ thuật hay và khéo léo.Nhờ nó mà tránh được các hệ thức kiểu dạng (10) 
Bài 2: Giả sử x,y,z,t là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện:
 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
 Hướng dẫn giải
Ta có: (1)
Theo bất đẳng thức Côsi,thì ,do đó từ (1) có hay (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra 
Lập luận hoàn toàn tương tự,có (3)
	 (4)
	 (5)
Dấu bằng trong (3)(4)(5) tương ứng xảy ra 
Cộng từng vế (2)(3)(4)(5),ta có (6)
Dấu bằng trong (6) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (2)(3)(4)(5)
 (do ).
Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản ta có 
 (7)
Dấu bằng trong (8) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong(6)(7)
Như vậy ta có minP=4 .
3,Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi:
-Phương pháp này thích hợp với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số mà có thể trực tiếp áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi,hoặc sau những biến đổi sơ cấp đơn giản là có thể dùng được bất đẳng thức Côsi.Kĩ thuật chủ yếu là dựa vào biểu thức đầu bài cũng như điều kiện đã cho chọn ra số thích hợp sau khi áp dụng bất đẳng thức Côsi với các số ấy sẽ cho ta đáp số bài toán.
Bài 1: Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện 
 Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức P=xyz.
 Hướng dẫn giải
Từ 
Theo bất đẳng thức côsi ta có (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra 
Như vậy . (2)
Lập luận tương tự ta có: (3)
 (4)
Dấu bằng trong (3),(4) tương ứng xảy ra .
Do các vế của (1)(2)(3) đều là số dương,nên nhân từng vế (1)(2)(3) và có
 (5)
Từ (1+x)(1+y)(1+z)>0,và từ (5) suy ra P (6)
Dấu bằng trong (2)(3)(4)
Vì lẽ đó suy ra max 
Giá trị lớn nhất cực đạt được khi và chỉ khi 
Bài 2: cho x,y,z là các số thuộc khoảng (0;1) và thỏa mãn điều kiện .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 Hương dẫn giải
Đặt .
Từ giả thiết suy ra và 
Lúc này biểu thức P có dạng
 P (1)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi,ta có 
từ đó suy ra nên từ (1) ta có: (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra 
Như vậy minP=8.Giá trị nhỏ nhất đạt được khi và chỉ khi 
Bài 3: Cho x,y,z, là các số thực dương thỏa mãn xyz=1.
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 
	Hướng dẫn giải
Theo bất đẳng thức Côsi ta có
Từ đó suy ra (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra 
Tương tự ta có (2)
 (3)
Dấu bằng trong (2)(3) tương ứng xảy ra 
 Cộng từng vế (1)(2)(3) và có (4)
Dấu bằng trong (4) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (1)(2)(3)
Do ,nên ta có (5)
 (6)
Thay (5)(6) vào (4) và có .Từ đó suy ra maxP 
Giá trị lớn nhất đạt được khi và chỉ khi 
Các Phương Pháp Thông Dụng Khác Sử Dụng Bất Đẳng Thức Để Tìm Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số
1.Phương pháp xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết từ trước.
Phương pháp xuất phát từ một bất đẳng thức nào đấy đã đúng, sau đó biến đổi thành bất đẳng thức dạng P a (1) (hoặc P a), ở đây P là biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất).
Sau khi chỉ ra phần tử đã cho ứng với phần tử đó thì P đạt giá trị a,
ta sẽ suy ra kết luận min P=a (hoặc max P=a).
Như vậy điều cốt yếu khi sử dụng phương pháp này là cần sự lựa chọn các bất đẳng thức thích hợp với đề ra để có thể biến đổi về bất đẳng thức dạng (1).
Việc lựa chọn này được tiến hành bằng cách dựa vào cấu trúc của biểu thức P ban đầu cũng như các giả thiết của bài toán.
Bài 1: Cho x,y,z là ba số dương và thỏa mãn điều kiện xyz=1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 
 Hướng dẫn giải: 
Hiển nhiên ta có bất đẳng thức sau: (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra 
Vì nên từ (1) có 
 (2)
Do xyz=1,nên từ (2) có 
 (3)
Dấ bằng trong (3) dấu bằng trong (1) xảy ra 
Tương tự ta có: (4) 
 (5)
Dấu bằng trong (4)(5) tương ứng xảy ra khi 
Cộng từng vế (3)(4)(5) và có P (6)
Dấu bằng trong (6) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (3)(4)(5)
 (do xyz=1)
Vậy maxP=1 
Nhận xét: Trong bài này ta sử dụng bất đẳng thức (1),đó là từ bất đẳng thức hiển nhiên 
Bài 2:Cho x,y,z là ba số thực và thỏa mãn 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 
Hướng dẫn giải
Do (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi 
Tương tự ta có: (2) 
 (3)
Dấu bằng trong (2)(3) tương ứng xảy ra
 hoặc hoặc 
Cộn từng vế (1)(2)(3) và do ,nên ta có P (4)
Dấu bằng trong (4) xảy ra 
 đồng thời có dấu bằng trong (1)(2)(3) và do 
 trong ba số x,y,z có hai số bằng -1,một số bằng 2. (5)
Vậy maxP=6 x,y,z thỏa mãn (5)
Nhận xét: Ở đây từ ,ta suy ra (1) (dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai)
Bài 3: Cho x,y,z là các số thực .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=2 
Hướng dẫn giải
 Do x,y,z nên ta có:
 (1)
dễ thấy (1) (2)
Do x,y,z 
Nên từ (2) ta có:
 (3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (1) và (3)
 (4)
Vậy maxP=3 x,y,z thỏa mãn (4)
Nhận xét:Bất đẳng thức xuất phát (1),dựa vào điều kiện và dạng biểu thức P đầu bài.
 Bài 4: Cho x, y, z là các số thực . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Hướng dẫn giải
Do , nên ta có (1)
Thật vậy (1)
 (2)
Do . Lại do nên (2) đúng, vậy (1) đúng.
Mặt khác dễ thấy: ( vì nó tương đương với ).
Từ đó từ (1) suy ra: . (3) 
Lập luận hoàn toàn tương tự có: (4)
 (5)
Cộng từng vế (3),(4),(5) và có: (6)
Dấu bằng trong (6) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (3),(4),(5).
	 trong ba số x,y,z có hai số bằng 1, một số bằng 0.
Vậy thỏa mãn (7).
Bài 5: Cho x,y,z là các số thực . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Hướng dẫn giải
Do 
Do 
Lại do , nên có 
Dấu bằng xảy ra trong (5) xảy ra 
 trong ba số x,y,z có ít nhất một số bằng 0, ít nhất một số bằng 1.
Vậy thỏa mãn (6).
Bài 6: Cho x,y,z,t là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Hướng dẫn giải
Sử dụng bất đẳng thức (1)
 (2)
Lập luận tương tự ta có: (3)
 (4)
 (5)
	 (6)
	 (7)
Cộng từng vế (2) (3) ta có: 
 (8)
Dấu bằng trong (8) xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (2) (7)
 (do )
Từ (8) suy ra :
Dấu bằng trong (9) xảy ra dấu bằng trong (8) xảy ra 
Vậy 
2.Các bài toán khác sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trong các bài toán ở mục này,ta kết hợp nhiêu cách khác nhau để sử dụng bất đẳng thức trong việc tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số.Cái đích cần đi đến là đưa các bất đẳng thức dạng trong các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất(giá trị lớn nhất của biểu thức P),rồi sử dụng định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đã biết.Qua các bài dưới đây các bạn sẽ thấy rõ thêm tính đa dạng của phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của chúng ta.
Bài 1: Cho x,y,z là số thực .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 P 
Hướng dẫn giải
Do tính bình đẳng của các biến x,y,z nên không giảm tổng quát,ta có thể giả sử 
Từ nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
 (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra 
Do ,nên từ (1) ta có: (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra 
Sử dụng: ,ta có: (3)
 (4)
Viết lạ (2) dưới dạng: (5)
Cộng từng vế (3)(4)(5) suy ra: hay (6)
Dấu bằng trong (6) xảy ra đồng thời có dấu trong (2)(3)(4) (*)
Vậy maxP=1 x,y,z thỏa mãn (*)
Nhận xét:
1.các trường hợp của (*)
Thí dụ: ,hoặc 
2.Trong bài toán trên ta đã kêt hợp các phương pháp: sử dụng tính bình đẳng của các biến,sử dụng bất đẳng thức Côsi...để giải bài toán
Bài 2: Cho x,y là các số thực dương,thỏa ,mãn điều kiện xy=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hướng dẫn giải
Viêt lại P dươí dạng: 
(do xy=1).Rõ ràng ta có: và (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra (do xy=1)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Như vậy và dấu bất đẳng thức xảy ra 
Vậy ta có minP=1 
Nhận xét: xét cách giải khác sau đây:
Do 
 (1)
Đặt ,khi đó do nên ta có 
Từ (1) xét hàm số ,với 2
Ta có: ,và có bảng biên thiên sau:
 t
 2 
f’(t)
 0 0 +
 +
f(t)
Từ đó suy ra minP=mìn(t)=f(2)=1 
Khi t=2 thì 
Như thế minP=1 .ta thu được kết quả trên.
Bài 3:cho và thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhât của biểu thức P 
Hướng dẫn làm bài
Viết lại biểu thức P dưới dạng:
P=1+ 
Do x+y+z=1 nên ta có:
P 
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacópski ta có:
 (2)
 Ta lại có: (3)
(Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên )
Từ (2)(3) suy ra: (4)
Từ ,nên từ (4) có: 2 (5)
Thay (5) vào (1) và có: (6)
Dễ thấy dấu bằng trong (6) xảy ra
 .Vậy maxP=0 
Nhận xét: Đây cũng là bài toán tổng hợp.Trước khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski,ta phải thực hiện phép nhóm các số hạng để đưa P về dạng (1).Trên cơ sở (1),mới t