Sáng kiến kinh nghiệm Một số biện pháp giúp học sinh học tốt bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó cho học sinh Lớp 4

Tìm 
hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó”: 
 Ví dụ minh họa: Một cửa hàng có 145m vải, trong đó số vải hoa bằng 
3/2 số vải đỏ. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu mét vải? 
 Bài giải: 
 Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 2 = 5 (phần) 
 Số vải hoa là: 145 : 5 = 29 (m) 
 Số vải đỏ là: 145 – 29 = 116 (m) 
Đáp số: 29m, 116m. 
 Nguyên nhân dẫn đến cái sai ở đây là: 
- Học sinh đã quy số mét vải hoa là 1 phần nên đã lấy luôn (145 : 5), trong 
khi đó số mét vải hoa tương ứng với 3 phần bằng nhau. 
- Ở đây học sinh đã không nắm được các bước giải của dạng toán này. 
Lời giải đúng 
Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 2 = 5 (phần) 
Số vải hoa là: 145 : 5 x 3 = 87 (m) 
Số vải đỏ là: 145 – 87 = 58 (m) 
Đáp số: 87m, 58m. 
Ví dụ minh họa: Một cửa hàng có số gạo tẻ nhiều hơn số gạo nếp là 240kg. 
Biết 1/7 số gạo tẻ bằng 1/5 số gạo nếp. Hỏi cửa hàng có bao nhiêu kg gạo tẻ? Bao 
nhiêu kg gạo nếp? 
 Một số học sinh không vẽ được sơ đồ vì không xác định được tỉ số là bao 
nhiêu. Học sinh không hiểu 1/7 số gạo tẻ bằng 1/5 số gạo nếp nghĩa là tỉ số giữa 
số gạo tẻ và số gạo nếp là 7/5 hay số gạo tẻ tương ứng với 7 phần bằng nhau, số 
gạo nếp tương ứng với 5 phần như thế. 
2.3. Học sinh chưa hiểu các điều kiện đề bài cho: Tổng, hiệu, tỉ số dưới 
dạng không tường minh: 
Ví dụ minh họa: Tổng số thóc của kho A và kho B là 203 tấn. Sau đó kho 
A tiếp nhận thêm 15 tấn, kho B chuyển đi nơi khác 22 tấn thì lúc đó số thóc ở kho 
A bằng 3/4 số thóc ở kho B. Tính số thóc ban đầu ở mỗi kho. 
8 
Lời giải sai 
 Tóm tắt 
 Kho A: 
 Kho B: 
Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 4 = 7 (phần) 
Số thóc kho A lúc đầu là: 203 : 7 x 3 = 87 (tấn) 
Số thóc kho B lúc đầu là: 203 - 87 = 116 (tấn) 
Đáp số: 87 tấn và 116 tấn. 
Nguyên nhân dẫn đến cái sai ở đây là: 
- Học sinh đã nắm được các bước giải cơ bản của dạng toán nhưng lại bỏ 
qua chi tiết kho A tiếp nhận thêm 15 tấn, kho B chuyển đi nơi khác 22 tấn. 
- Do vậy học sinh không hiểu tổng số thóc ban đầu là 203 tấn sẽ thay đổi 
khi kho A tiếp nhận thêm 15 tấn, kho B chuyển đi nơi khác 22 tấn. 
- Tổng số thóc lúc sau của hai kho mới tương ứng với tỉ số là 3/4. 
Lời giải đúng 
 Tổng số thóc của hai kho khi kho A tiếp nhận thêm 15 tấn, kho B chuyển 
đi nơi khác 22 tấn là: 203 + 15 – 22 = 196 (tấn) 
 Tóm tắt 
 Kho A: 
 Kho B: 
Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 4 = 7 (phần) 
Số thóc kho A lúc đầu là: 196 : 7 x 3 – 15 = 69 (tấn) 
Số thóc kho B lúc đầu là: 203 - 69 = 134 (tấn) 
 Đáp số: 69 tấn và 134 tấn. 
Ví dụ minh họa: Số cây trồng ở khối 4 nhiều hơn khối 3 là 240 cây. Nếu 
khối 4 trồng thêm 30 cây, khối 3 bớt đi 30 cây nữa thì số cây của khối 4 sẽ nhiều 
gấp 4 lần số cây của khối 3. Tính số cây ban đầu của mỗi khối? 
 Nguyên nhân dẫn đến cái sai ở đây là: Học sinh bỏ qua chi tiết “Nếu khối 
4 trồng thêm 30 cây, khối 3 bớt đi 30 cây nữa”. Suy ra: Học sinh không hiểu 
được rằng hiệu số cây sau khi thêm, bớt sẽ thay đổi thì lúc đó mới có tỉ số số cây 
của khối 4 nhiều gấp 4 lần số cây của khối 3. 
? tấn 
203tấn 
? tấn 
? tấn 
196 tấn 
? tấn 
9 
Lời giải đúng 
 Nếu khối 4 trồng thêm 30 cây, khối 3 bớt đi 30 cây nữa thì số cây khối 4 
nhiều hơn khối 3 sẽ là: 240 + 30 + 30 = 300 (cây) 
 Tóm tắt 
 Số cây của khối 3: 
 Số cây của khối 4: 
Hiệu số phần bằng nhau là: 4 – 1 = 3 (phần) 
Số cây ban đầu của khối 3 là: 300 : 3 + 30 = 130 (cây) 
 Số cây ban đầu của khối 4 là: 240 + 130 = 370 (cây) 
 Đáp số: 130 cây, 370 cây. 
 2.4. Học sinh nhầm tổng của hai số với một đại lượng khác: 
 Trong nhiều bài toán, người ta chưa cho biết tổng của hai số mà chỉ cho 
biết một đại lượng trung gian để tìm ra tổng. Trong những bài toán này học sinh 
dễ nhầm lẫn đại lượng này với tổng của hai số. 
 Ví dụ minh họa: Một hình chữ nhật có chu vi là 490m. Chiều rộng bằng 
3/4 chiều dài. Tính chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó. 
 Nguyên nhân dẫn đến các em giải sai bài toán này là do các em nhầm lẫn 
chu vi của hình chữ nhật chính là tổng của chiều dài và chiều rộng. Nhưng trên 
thực tế tổng chiều dài và chiều rộng chính là nửa chu vi của hình chữ nhật. 
Lời giải đúng: 
 Nửa chu vi của hình chữ nhật là: 
 490 : 2 = 245 (m) 
 Tóm tắt 
 Chiều rộng: 
 Chiều dài: 
 Tổng số phần bằng nhau là: 
 3 + 4 = 7 (phần) 
 Chiều rộng của hình chữ nhật là: 
 245 : 7 x 3 = 105 (m) 
? cây 
300 cây 
? cây 
? m 
245m 
? m 
10 
 Chiều dài của hình chữ nhật là: 
 245 - 105 = 140 (m) 
Đáp số: 105m, 140m. 
 Ví dụ minh họa: Trung bình cộng của hai số bằng 21. Tìm hai số đó biết 
số lớn gấp đôi số bé. 
 Trong bài toán này lí do các em làm sai là do các em tưởng trung bình cộng 
của hai số chính là tổng của hai số. Nhưng trên thực tế ta đã biết: Trung bình cộng 
của hai số = Tổng của hai số chia cho 2. Nên tổng của hai số = Trung bình cộng 
nhân với 2. 
Lời giải đúng: 
 Tổng của hai số là: 21 x 2 = 42 
 Tóm tắt 
 Số bé: 
 Số lớn: 
Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 2 = 3 (phần) 
Số bé là: 42 : 3 = 14 
Số lớn là: 42 - 14 = 28 
Đáp số: 14 và 28. 
 2.5. Học sinh biểu diễn sai mối quan hệ giữa hai đại lượng: 
 Trong dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó” thì tỉ số 
của hai số biểu thị mối quan hệ của hai số (2 đại lượng). Vì tỉ số của hai số có thể 
tồn tại ở các dạng khác nhau nên khi biểu diễn tỉ số trên sơ đồ đoạn thẳng học sinh 
dễ biểu diễn sai và điều đó dẫn đến kết quả sai. 
 Ví dụ minh họa: Một sợi dây dài 32m được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ 
nhất dài gấp 3 lần đoạn thứ hai. Hỏi mỗi đoạn dài bao nhiêu mét? 
 Ở bài toán này, tỉ số tồn tại dưới dạng đại lượng này gấp m lần đại lượng kia. 
 Các em làm sai bài toán này là do các em biểu diễn sai mối quan hệ giữa 
đại lượng 1 (độ dài đoạn thứ nhất) và đại lượng 2 (độ dài đoạn thứ hai). Các em 
chưa thật sự hiểu bản chất về tỉ số của hai số. Ở đây các em biểu diễn tỉ số giữa 
độ dài đoạn thứ nhất với độ dài đoạn thứ hai là 1/3. Nhưng trên thực tế thì đoạn 
thứ nhất dài gấp 3 lần đoạn thứ hai nên tỉ số giữa đoạn thứ nhất và đoạn thứ hai 
là 3/1. Từ việc biểu diễn sai mối quan hệ giữa hai đại lượng dẫn đến kết quả bài 
làm của học sinh chưa đúng. 
Lời giải đúng: 
 Tóm tắt 
? 
42 
? 
? m 
32 m 
? m 
11 
 Độ dài đoạn thứ nhất: 
 Độ dài đoạn thứ hai: 
Tổng số phần bằng nhau là: 
1 + 3 = 4 (phần) 
Độ dài đoạn thứ nhất là: 
32 : 4 x 3 = 24 (m) 
Độ dài đoạn thứ hai là: 
32 - 24 = 8 (m) 
Đáp số: 24m, 8m. 
 Ví dụ minh họa: Một hình chữ nhật có nửa chu vi là 30cm. Chiều dài gấp 
rưỡi chiều rộng. Tính chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó. 
 Khi giải bài toán này tôi thấy có rất nhiều học sinh làm sai. Cái khó dẫn đến 
cái sai trong bài toán này là tỉ số được tồn tại ở dạng “gấp rưỡi”. Học sinh không 
biết mối quan hệ giữa hai đại lượng này là bao nhiêu. Do đó các em không biểu 
diễn đúng mối quan hệ giữa hai đại lượng trên sơ đồ đoạn thẳng. Có em biểu diễn 
chiều dài là 2 phần bằng nhau, chiều rộng là 1 phần như thế. Có em lại biểu diễn 
chiều dài là 3 phần bằng nhau, chiều rộng là 1 phần như thế. Một số em lại biểu 
diễn như sau: 
 Tóm tắt 
 Chiều dài: 
 Chiều rộng: 
 Những học sinh này đã mường tượng được chiều dài hơn chiều rộng một 
nửa chiều dài nhưng các em chưa nắm được tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng là 
3/2 hay tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài là 2/3. Từ những lí do đó mà các em 
làm sai bài toán này. 
 2.6. Học sinh ghi sai đơn vị, sai câu trả lời: 
 Ví dụ minh họa: Một hình chữ nhật có nửa chu vi là 60m. Chiều rộng bằng 
2/3 chiều dài. Tính chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật đó. 
 Khi giải bài toán này một số học sinh đã làm như sau: 
Lời giải sai: 
 Tóm tắt 
 Chiều rộng: 
 Chiều dài: 
? m 
60m 
? m 
12 
Tổng số phần bằng nhau là: 
2 + 3 = 5 (phần) 
Chiều rộng của hình chữ nhật là: 
60 : 5 x 2 = 24 (phần) 
Chiều dài của hình chữ nhật là: 
60 - 24 = 36 (phần) 
Đáp số: 24 phần, 36 phần. 
 Như vậy theo cảm giác trực quan bên ngoài, các em đã lấy đơn vị của phép 
tính trên làm đơn vị ở phép tính dưới. Ngoài việc ghi đơn vị sai, một số em khi 
mới tiếp xúc với dạng toán này đã có những câu trả lời chưa đúng. 
3. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động: 
* Giáo viên: 
 - Khi giảng dạy dạng toán điển hình "Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ 
số của hai số đó" là dạng toán hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh lớp 4, đối với 
giáo viên chưa có kinh nghiệm thì khi giảng bài dễ chỉ giảng dạy theo đúng tiến 
trình chứ chưa có những biện pháp để khắc sâu kiến thức trọng tâm cho học sinh. 
 - Qua tìm hiểu các giờ dạy, tôi thấy giáo viên giảng dạy còn hời hợt, chưa 
khắc sâu được trọng tâm kiến thức như yêu cầu đã nêu ở trên. Điều này thể hiện 
rất rõ ở việc: Giáo viên chưa giúp học sinh tìm hiểu kỹ đề bài toán; công đoạn lập 
kế hoạch giải; thực hiện kế hoạch giải; kiểm tra, đánh giá bài giải của học sinh. 
Phần sử dụng và khai thác thế mạnh của sơ đồ tóm tắt bài toán trong quá trình 
phân tích đề toán cho học sinh, phần này giáo viên thực hiện còn nhiều hạn chế. 
Giáo viên chưa giúp học sinh có thói quen sử dụng, vận dụng sơ đồ vào giải toán 
dẫn đến các em làm còn chậm, còn sai, giải chưa đúng theo yêu cầu của toán học. 
 * Học sinh: 
 - Khi học bài mới, các em chưa thật tập trung để nắm chắc lý thuyết bài 
mới. Các em nắm bài còn hời hợt, chung chung, chưa sâu sắc. Mặc dù bài toán rất 
đơn giản nhưng còn khá nhiều em không nhận ra dạng của bài toán (không biết 
đâu là tổng hoặc hiệu, đâu là tỉ số của hai số). Công đoạn phân tích đề bài, xác 
định các yếu tố, dữ liệu của bài toán là rất quan trọng nhưng học sinh còn coi nhẹ 
bước này. 
 - Khi học bài mới, một số học sinh chưa nắm chắc trình tự, các bước cơ bản 
để tiến hành giải bài toán dạng nêu trên. Cụ thể là giải bài toán phải theo bốn bước 
như trong bài học đã hướng dẫn. 
 - Khi gặp những bài toán dạng nêu trên nhưng tỉ số cho dưới dạng một phân 
số (ví dụ:  số thứ hai bằng 2/3 số thứ nhất ), học sinh mới tìm được giá trị của 
13 
một phần đã lầm tưởng đó là số bé (nhầm lẫn khái niệm một phần với khái niệm 
số bé). 
CHƯƠNG III 
PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT BÀI TOÁN TÌM HAI SỐ 
KHI BIẾT TỔNG (HIỆU) VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ ĐÓ 
 1. Một số điều lưu ý khi dạy - học bài toán “Tìm hai số khi biết tổng 
(hiệu) và tỉ số của hai số đó”: 
 Để dạy tốt môn Toán lớp 4 nói chung, Toán có lời văn đặc biệt là dạng toán 
điển hình “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ của hai số đó” nói riêng, ngoài 
việc giáo viên cần nắm chắc nội dung chương trình, sách giáo khoa; người giáo 
viên cần nắm được những dạng bài tập sử dụng trong dạy học dạng Toán “Tìm 
hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ của hai số đó” ở môn Toán lớp 4. 
 Giúp học sinh nắm chắc khái niệm, kiến thức về tỉ số. Đây là khái niệm 
mới, trừu tượng mà lại phát biểu theo nhiều cách nói khác nhau: 
Ví dụ: Tỉ số của số bé và số lớn là
3
1
 Số bé bằng 
3
1
số lớn 
 Số lớn bằng
1
3
số bé 
 Số lớn gấp 3 số bé 
 Số bé bằng 
3
1
 số lớn 
 Chính vì vậy mà nhiều em khó nhận ra những cách nói trên là thể hiện tỉ số 
của hai số cần tìm dẫn đến giải sai. 
 Trên cơ sở đó, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm cách tóm tắt và biểu 
diễn các yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm trên sơ đồ đoạn thẳng. Đây là một bước rất 
quan trọng khi giải dạng toán điển hình này. 
 Không những thế, khi dạy bất cứ một dạng toán nào, giáo viên cần dành 
thời gian kĩ lưỡng để nghiên cứu tất cả các bài tập của dạng toán đó, từ bài giảng 
đến bài luyện, từ bài trong sách giáo khoa đến bài trong vở bài tập để thấy được 
phương pháp giảng dạy phù hợp, ngắn gọn, học sinh dễ tiếp thu, giáo viên nói ít 
và chọn được những bài thêm để nâng cao kiến thức đối với đối tượng học sinh 
có năng lực học tập các môn học. Đồng thời cũng lường trước được chỗ học sinh 
hay vướng mắc trong khi thực hành giải loại toán này để kịp thời lưu ý trong giảng 
dạy. 
14 
 Bên cạnh đó, sau mỗi buổi học, tiết học, người giáo viên cần đưa ra một số 
bài tập cho học sinh tự luyện (có thể ở tiết tự học, ở nhà). Vì thế, hệ thống bài tập 
tự luyện đưa ra cần phải phù hợp với đối tượng học sinh, nghĩa là vừa có kiểu 
tương tự đồng thời phải có sự sáng tạo. 
2. Biện pháp giúp học sinh học tốt bài toán “Tìm hai số khi biết tổng 
(hiệu) và tỉ số của hai số đó”. 
2.1. Giúp học sinh nhận dạng bài toán “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) 
và tỉ số của hai số đó” và phân biệt được các dạng bài, cách giải từng dạng 
bài tập: 
 Trong chương trình toán lớp 4, cùng với những mảng kiến thức về số học, 
đại lượng và số đo đại lượng, phân số, hình học thì dạng toán có lời văn “Tìm 
hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó” là các dạng toán điển hình trong 
bốn dạng toán có lời văn được xây dựng trong chương trình học. Chính vì vậy, 
khi dạy dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh phân biệt và nhận biết với các 
dạng toán khác để từ đó đưa ra cách giải chính xác. 
 Giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán bằng cách phân 
tích kỹ đề toán và nhấn mạnh hai yếu tố “tổng (hiệu)” của hai số và “tỉ số” của 
hai số. Đối với “tổng (hiệu)” thì dễ nhận ra hơn, nhưng với “tỉ số” học sinh rất 
khó nhận thấy, nên giáo viên cần khắc sâu và cho học sinh hiểu được đâu là “tỉ 
số” của hai số. “Tỉ số” là sự gấp kém nhau về số lần, hay số này bằng bao nhiêu 
phần của số kia. Nhiều khi “tỉ số” còn tiềm tàng, ẩn nấp dưới dạng khác hoặc 
những yếu tố khác của bài toán - ta thường gặp ở những bài toán nâng cao của 
dạng toán này. 
 Giáo viên cũng cần giúp học sinh phân biệt để tránh nhầm lẫn với dạng 
toán trước đó đã học “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu số của hai số đó”. 
 Giáo viên nên cho học sinh nhắc lại nhiều lần cách giải dạng toán trên, so 
sánh các bước giải của hai dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số 
đó” và “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu số của hai số đó” rồi sửa sai và nhấn 
mạnh lại cách giải chung. 
 Đặt các câu hỏi để học sinh xác định: Trong bài toán thì “tổng (hiệu)” là 
số nào? “tỉ số” là bao nhiêu? Hai số cần tìm là những số nào? 
 Giúp học sinh vẽ sơ đồ bài toán từ việc xác định được hai yếu tố cơ bản là 
“tổng (hiệu)” và “tỉ số” của bài toán. 
 Muốn vậy giáo viên phải chuẩn bị được hệ thống câu hỏi hợp lý khi hướng 
dẫn học sinh phân tích đề bài toán để tìm ra đâu là “tổng (hiệu)”, đâu là “tỉ số”, từ 
đó giúp học sinh tóm tắt bài toán; vẽ một đoạn thẳng chia số phần bằng số phần ở 
15 
tử số (của phân số biểu thị tỉ số) và một đoạn thẳng chia số phần bằng số phần ở 
mẫu số. 
 2.2. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm chắc quy trình thực hiện 
khi dạy giải toán có lời văn nói chung, giải dạng toán “Tìm hai số khi biết 
tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó” nói riêng: 
 Giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh có được thao tác chung trong 
quá trình giải toán có lời văn như sau: 
- Bước 1: Học sinh đọc kỹ đề bài 
- Bước 2: Học sinh phân tích tóm tắt đề toán. 
- Bước 3: Học sinh tìm cách giải bài toán: Thiết lập trình tự giải, lựa chọn 
phép tính thích hợp. 
- Bước 4: Học sinh trình bày bài giải 
 Giáo viên lưu ý học sinh, trong quá trình tính toán, chú ý tránh nhầm lẫn giữa 
đơn vị phần với đơn vị của số cần tìm. 
 Cuối cùng, khi dạy lý thuyết, giáo viên nhất thiết phải nhấn mạnh công thức 
(các bước) giải bài toán dạng nêu trên. 
 Đối với dạng toán có lời văn điển hình: “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và 
tỉ số của hai số đó” thì khi trình bày lời giải của bài toán, giáo viên cần hướng 
dẫn học sinh thực hiện theo thứ tự các bước giải sau: 
- Bước 1: Vẽ sơ đồ minh họa bài toán 
 - Bước 2: Tìm tổng (hiệu) số phần bằng nhau 
- Bước 3: Tìm giá trị của một phần 
 - Bước 4: Tìm số bé 
- Bước 5: Tìm số lớn 
- Bước 6: Đáp số: Ghi cụ thể số bé, số lớn 
 Lưu ý đối với học sinh: Có thể gộp bước 3 và bước 4 với nhau hoặc có thể 
tìm số lớn, số bé trước đều được. 
 2.3. Củng cố, rèn luyện kĩ năng nắm vững một số kiến thức cần ghi nhớ 
có liên quan khi dạy dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của 
hai số đó”: 
 Để giải được những bài toán ở dạng này, học sinh phải xác định được tổng 
của hai số và Tỉ số của hai số. Tỉ số của hai số có thể là phân số, cũng có khi ở 
dạng lời văn. Đó là một số kiến thức liên quan đến tổng (hiệu) và tỉ số hai số. 
Trước và trong khi dạy dạng toán “ Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai 
số đó”, bằng hệ thống bài tập giáo viên cần giúp học sinh nắm chắc kiến thức này 
để sử dụng trong khi giải bài tập này. 
16 
 Một số kiến thức liên quan đến dạng toán mà tôi thường hướng dẫn để giúp 
học sinh ghi nhớ như sau: 
- Tổng của hai số bằng trung bình cộng của hai số nhân với 2. 
 Tổng của ba số bằng trung bình cộng của ba số nhân với 3. 
 Tổng của n số bằng trung bình cộng của n số nhân với n. 
(n là số các số hạng). 
- Tổng hai cạnh chiều dài và chiều rộng thì bằng một nửa chu vi hình chữ 
nhật và bằng chu vi hình chữ nhật chia cho 2. 
- Nếu tăng (hay giảm) số này a đơn vị và giảm (hay tăng) số kia a đơn vị thì 
tổng của hai số sẽ không đổi. 
- Nếu tăng (hay giảm) một trong hai số a đơn vị thì tổng của hai số sẽ tăng 
(hay giảm) a đơn vị. 
- Nếu cả hai số cùng tăng (hay cùng giảm) a đơn vị thì tổng của hai số sẽ 
tăng (hay giảm) a2 đơn vị 
- Nếu tăng (hay giảm) số này a đơn vị và giảm (hay tăng) số kia cũng a đơn 
vị thì tổng của hai số sẽ không thay đổi. 
- Tỉ số có thể được cho dưới dạng một phân số (ví dụ 3/4, 2/5), dưới dạng 
gấp số lần (ví dụ số lớn gấp 5 lần số bé, gấp rưỡi, gấp đôi, gấp ba) hoặc dưới 
dạng phép chia (ví dụ 3 : 5 hoặc cho biết thương của hai số là 4, nghĩa là số lớn 
gấp 4 lần số bé hay số bé bằng 1 phần, số lớn bằng 4 phần). 
 2.4. Đưa ra hệ thống bài tập tự luyện phù hợp và khắc sâu lại kiến thức 
đã học cho học sinh: 
 Các bài tập dạng “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó” thì 
có rất nhiều và cũng rất đa dạng, phong phú. Vì thế phải dạy trong nhiều tiết mới 
có thể hướng dẫn học sinh giải được kiểu bài này. Trong quá trình dạy tôi đã cố 
gắng đưa ra nhiều kiểu bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó. Có như 
vậy mới đem lại hiệu quả dạy học tốt nhất. 
 2.5. Áp dụng đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học trong 
giảng dạy: 
 Tôi thấy đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp 
dạy giải toán nói riêng là nhằm tìm ra được phương pháp logic cho từng nội dung 
của từng môn, từng bài để nhằm đạt được chất lượng cao nhất trong giảng dạy. 
Đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay chính là để phát hiện, lựa 
chọn phương pháp cụ thể phù hợp với quan điểm dạy học lấy học sinh làm trung 
tâm và phù hợp với nội dung giáo dục. Đây cũng chính là biện pháp nhằm nâng 
cao chất lượng giáo dục trong giảng dạy. 
17 
 Thông thường, trong khi dạy học sinh người giáo viên thường mắc phải lỗi 
là “làm thay” học sinh. Tôi nói “làm thay” ở đây có nghĩa là giáo viên quá vội 
vàng mong các em hiểu được, làm được bài, vì thế mà giảng quá kĩ, gần như “làm 
hộ” học sinh. Học sinh chỉ việc “ghi” lời thầy giảng. Vì thế, khi đưa ra một bài 
toán lạ hay một bài toán mới, giáo viên không nên bày ngay hay hướng dẫn quá 
tỉ mỉ mà cần giúp học sinh đọc kĩ đề bài, xác định dạng toán, lập luận để tìm ra 
dữ kiện bị “ẩn” (nếu có), vẽ sơ đồ...để các em tự chiếm lĩnh tri thức, có như thế 
thì các em mới nhớ được lâu và khi gặp các bài toán dạng tương tự, các em có thể 
tự giải mà không lúng túng. 
 Ngoài những biện pháp nêu trên, bản thân tôi luôn tích cực đổi mới phương 
pháp dạy học nhằm tránh nhàm chán cho học sinh. Việc dạy học theo hướng cá 
thể hóa, dạy theo đối tượng học sinh nhằm phát huy hết năng lực của từng em và 
đảm bảo tính vừa sức cũng được tôi chú trọng đến. Những yếu tố này góp phần 
không nhỏ mang lại hiệu quả cho quá trình dạy - học Toán của cô và trò. 
 Hơn thế, việc áp dụng dạy học bằng đồ dùng trực quan, sơ đồ đoạn thẳng 
để giúp các em học sinh hình thành công thức khi học toán dạng “Tìm hai số khi 
biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó”. Điều này giúp học sinh tự phát hiện, tự 
giải quyết, tự chiếm lĩnh nội dung bài học. 
2.6. Tạo động lực, hứng thú trong học t