Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong ôn thi vào lớp 10

 
 
2
12 1 1
2 2 22 1
xx x x
C
x x xx x
  
  
 
Bài 3 : Rút gọn 
2 1 1
2 2
x
M
x x x x

  
 
 với x > 0 
Phân tích : Ta nhẩm nhanh thấy  2 2x x x x   Vậy với việc đi tìm MTC 
của các phân thức ta sẽ đi phân tích mẫu cồng kềnh hơn thành nhân tử . 
 Giải : 
2 1 1
2 2
x
M
x x x x

  
 
 với x > 0 
  
2 1( 2) 1
( 2) ( 2) ( 2)
2 2 4
( 2) ( 2)
2 2 2
( 2)
x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
 
  
  
    
 
 
  
 

Bài 4 : (TK đề thi vào 10 năm 2013 - 2014) 
Với x > 0, cho 
2 x
A
x

 và 
2 1x x x
B
x x x
 
 

 . Rút gọn biểu thức 
A
M
B
 
Giải : Với x > 0, rút gọn 
2
2 1 ( 1) 2 1
( ) ( 1)
x x x x x x
B
x x x x x x
   
   
 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
10 | 2 3 
1 2 1 ( 1)( 1) 2 1
( 1) ( 1)
1 2 1 ( 2) 2
( 1) ( 1) 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
     
  
 
    
  
  
Thay vào :
A
M A B
B
  được : 
2 2 2 1 1
: .
1 2
x x x x x
M
x x x x x
    
  
 
* Lưu ý : Trước khi tính 
A
M
B
 ta đi rút gọn từng biểu thức A và B trước sau 
đó mới thay vào tính , không nên thay ngay biểu thức A và B vào để tính vì nó 
rất cồng kềnh , phức tạp dễ bị sai . 
Bài 5 : Rút gọn biểu thức 
1 2 ( 1).
:
2 2
x x x
P
x x x x x
  
  
   
với 0; 1x x  
 (TK đề thi vào 10 - HN năm 2014 – 2015) 
* Giải : 
1 2 ( 1).
:
2 2
x x x
P
x x x x x
  
  
   
 với 0; 1x x  
 
 
 
 
   
  
 
1 . 1 .1 2 1 2
: :
2 2 2 2 1
2 12 1 2 2 1 1
: : :
1 1 12 2 2
1 1 1 1 1
: .
1 1
x x x xx x
x x x x x x x x x x
x xx x x x x x x x
x x xx x x x x x
x x x x x
x x x x x
                  
 
                    
         
     
    
  
 
2.3 Dạng 3: Mẫu phân tích thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử 
*Ví dụ minh họa 
Bài 1 : Rút gọn 
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
B
x x x x
  
  
   
 với 0; 4; 9x x x   
Phân tích :Gv hướng dẫn HS : Với dạng toán này để hướng dẫn học sinh nhận 
dạng cách làm nhanh nhất thì ta kiểm tra bằng cách : Lấy tích của hai đa thức 
đơn giản hơn sẽ bằng đa thức còn lại, khi đó ta sẽ tách đa thức đó thành tích 
của 2 đa thức đơn giản .Hoặc nếu tích của 2 đa thức đơn giản mà bằng đa thức 
còn lại nhưng ngược dấu thì ta chỉ cần đổi dấu 1 trong các đa thức đó sau đó 
làm tương tự trên . 
Ta nhân thử ra nháp   2 3 5 6x x x x     ,từ đó dự đoán được MTC. 
 Quy đồng mẫu thức và giải tương tự trên. 
* Lưu ý : - Khi trình bày bài ta sẽ làm ngược lại ,tức là ta vừa nhân thử nhanh 
thấy tích của 2 đa thức    2 3 5 6x x x x     nên trước hết ta sẽ đi phân 
tích đa thức 5 6x x  thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử thành 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
11 | 2 3 
tích của 2 đa thức    2 3x x  . Sau đó thực hiện các bước làm giống các bài 
toán trên . 
- Đối với HS đại trà thì phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách 
hạng tử là 1 bài toán khó .Vì vậy GV cùng HS sẽ nhắc lại cách làm , và sau đây 
là 1 gợi ý :Phân tích đa thức có dạng 2. . 0a x b x c    , , ; 0a b c R a  thành nhân 
tử ta làm như sau : 
+) Bước 1 : Tính tích a.c 
+) Bước 2 : Viết tích a.c thành tích của 2 số nguyên bất kì 
+) Bước 3 : Chọn 2 số nguyên nào( giả sử 1 2;b b ) có tổng đúng bằng hệ số b 
Khi đó tách hạng tử b.x =  1 2b b x 
- Khi làm dạng toán này HS hay bị nhầm ở chỗ là tách 1 hạng tử thành 2 hạng 
tử xong lại không kiểm tra lại xem 2 hạng tử sau khi tách có tổng đúng bằng 
hạng tử ban đầu không . 
Bài 2 : Rút gọn 
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
B
x x x x
  
  
   
 với 0; 4; 9x x x   
Phân tích : Ta nhân thử ra nháp hai mẫu riêng (đơn giản hơn) 
    2 3 5 6 5 6x x x x x x            2 3 5 6x x x x      
Từ đây ta nên đổi dấu mẫu  3 x thành  3x  và chuyển dấu trừ lên tử, ta 
sẽ được bài tương tự bài trên. 
* Lưu ý : Khi trình bày các bài mà có dấu (-) ở trước phân thức thì khi đưa dấu 
(-) lên tử ta nên đưa toàn bộ đa thức trên tử vào trong ngoặc để tránh nhầm 
dấu và luôn cẩn trọng kiểm tra kỹ lại dấu trước khi làm tiếp để tránh sai sót 
đáng tiếc . 
2.4 Dạng 4: Mẫu phân tích thành nhân tử sử dụng hằng đẳng thức 
 a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 ) 
 a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 ) 
* Ví dụ minh họa 
Bài 1 : Rút gọn 
1 1 3 3
.
1 1
x
M
x x x x x
 
  
   
 với 0; 1x x  
 Giải : Với 0; 1x x  ta có : 
1 1 3 3 1 1 3( 1)
. .
1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)
1 1 3( 1) ( 1).3 3
.
( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
x x
M
x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x x x
   
     
          
    
  
        
* Lưu ý : Đối với dạng toán này sử dụng hằng đẳng thức 
 a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 ) 
 a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 ) 
Là dạng toán khó đối với HS và HS hay bị sai dấu ở nhân tử bình phương thiếu 
của 1 tổng và bình phương thiếu của 1 hiệu vì không nhớ đúng hằng đẳng thức . 
Vì vậy khi làm bài cần kiểm tra kỹ lại dấu rồi mới làm tiếp . 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
12 | 2 3 
PHẦN 3 : CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN RÚT GỌN 
* Sau khi đã rút gọn được biểu thức ( giả sử biểu thức P) hoặc có bài cho sẵn 
biểu thức P đã rút gọn .Do thời gian có hạn nên tôi chỉ đi sâu nghiên cứu các 
dạng toán cơ bản sau (Hy vọng đề tài lần sau tôi sẽ mở rộng và đi sâu hơn nữa ) 
3.1 Dạng 1 : Cho giá trị của x , yêu cầu tính giá trị của biểu thức P 
* Phương pháp: 
+) Loại 1: Nếu cho x ở dạng đơn giản . 
 Bước 1 : Đối chiếu x với ĐKXĐ 
 Bước 2: Thay x ( đã thỏa mãn ) vào biểu thức P và tính . 
 Bước 3: Kết luận 
+) Loại 2 : Nếu cho x ở dạng phức tạp . 
 Bước 1: Biến đổi và thu gọn x 
 Bước 2: Đối chiếu x với ĐKXĐ 
 Bước 3: Thay x ( đã thỏa mãn ) vào biểu thức P và tính . 
 Bước 4: Kết luận 
* Ví dụ minh họa: 
Bài 1: (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm 2014 - 2015) 
Tính giá trị của biểu thức 
1
1
x
A
x



 ( 0; 1)x x  khi x = 9 
Giải: Thay x = 9 ( T/M ) vào biểu thức A ta được 
9 1 3 1 4
2
3 1 29 1
A
 
   

Vậy x = 9 thì A = 2. 
Bài 2: (Đề thi vào 10 năm 2013 - 2014) 
Tính giá trị của biểu thức 
2 x
A
x

 ( 0)x  khi x = 64 
Giải: Thay x = 64 ( T/M ) vào biểu thức A ta được 
2 64 2 8 10 5
8 8 464
A
 
    
Vậy x = 64 thì A = 
5
4
. 
Bài 3 : Tính giá trị của biểu thức P = 
2
( 0; 1)
1
x x
x
 

khi x = 3 2 2 
Giải : Ta có x = 3 2 2 =    
2 2
2 2 2 1 2 1      
2
2 1 2 1x     
Thay 2 1x   (T/M) vào biểu thức P được P = 
2 2
2
2 1 1 2
 
 
Vậy P = 2 khi x = 3 2 2 
* Lưu ý: Khi làm loại toán này GV cần lưu ý cho HS công thức 
 2A A  A nếu 0A  hoặc = - A nếu 0A  
Vì nhiều HS bị sai như sau ,ví dụ HS làm như sau : 
Ta có x = 3 2 2 =    
2 2
1 2 2 2 1 2    (đến đây là đúng ) 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
13 | 2 3 
  
2
1 2 1 2x     ( Sai ) , sửa lại    
2 2
1 2 2 1 2 1x       
Hoặc  
2
1 2 1 2 2 1x       
* Nhận xét: Đây là dạng bài tập tương đối đơn giản để các em học sinh dành số 
điểm đầu tiên và cũng tạo đà tâm lí thoải mái tự tin hơn khi làm các phần tiếp 
theo. Chính vì vậy GV cần nhắc nhở HS luôn cẩn thận khi làm bài để không bị 
sai đáng tiếc và đạt điểm tối đa của phần này. 
3.2 Dạng 2 : Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số) 
* Phương pháp : 
+) Bước 1 : Thường sử dụng tính chất 
A C
AD BC
B D
   để làm mất mẫu của 
phương trình . 
+) Bước 2 : Giải phương trình vừa thu được để tìm x. 
+) Bước 3 : Đối chiếu x vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận . 
Thường gặp pt dạng : 
1. 0
n
mx n x
m

    
2. 2 0ax bx c   
Cách 1 : Đưa về phương trình tích bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử để 
tìm x Cách 2 : Dùng công thức nghiệm (chương IV toán 9) 
* Ví dụ minh họa: 
Bài 1 : Cho 
1
x
A
x


 với 0; 1x x  . Tìm các giá trị của x để: 
a. 2A  b. 
2
3
A  c. 
1
2
A   
 Giải: a) Với 0; 1x x  . Để 2A  thì :  2 2 1 2 21
2 4( )
x
x x x x
x
x x tm
      

   
Vậy x = 4 thì A = 2. 
Các ý b, c làm tương tự. 
Bài 2 : Cho A = 
3
( 0; 4)
2
x x
x
 

. Tìm các giá trị của x để: 
a. 1A  b. 2
1
4
A  c. 2 3A A 
Phân tích:Trong trường hợp nếu bài toán chưa cho giá trị cụ thể của A như bài 
tập 1 thì trước hết ta phải đi tìm A dựa vào giả thiết bài cho ,sau đó làm tương 
tự bài tập 1 .* Lưu ý : 
+) | | ( 0)
A m
A m m
A m

     
+) 2 2 ?
A k
A k x
A k

     
+)  2 2 0 0A nA A nA A A n       (với n là hằng số) 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
14 | 2 3 
 0A  hoặc 0A n  
HS thường quên khi tìm được giá trị của x không xét xem giá trị x đó có thỏa 
mãn ĐKXĐ của biểu thức hay không . 
*Chú ý: GV giúp HS nhớ lại cách giải các PTcơ bản sau vì đối tượng HS đại 
trà thường lúng túng khi giải PT . 
Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 ; 0a x b  hoặc 
0ax b x c   với a, b, c là các số cho trước, 0a  . 
+) PT : 0
b
ax b x
a

    
+) PT : 0
b
a x b x m
a

     
. Nếu m = 0  x = 0 
. Nếu m < 0, không tìm được x thỏa mãn đề bài. 
. Nếu m > 0 => x = m2 
+) PT : 0ax b x c   (1) 
 Cách 1 : Đưa về pt tích bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử . 
 Cách 2 : 
 . Đặt x y (ĐK : 0y  ) => pt (1)  ay2 + by + c = 0 (2) 
 . Có thể giải pt (2) bằng công thức nghiệm của pt bậc hai 
 hoặc dùng phân tích đa thức thành nhân tử để tìm y (chọn 0y  ) 
 . Thay y thỏa mãn vào x y để tìm x 
(Ở phần này nhiều HS chưa đưa pt (1) về pt (2) mà đã dùng ngay công 
thức nghiệm của pt bậc hai cho pt (1) , vì vậy GV cần lưu ý nhắc nhở ) 
3.3 Dạng 3: Bài toán tìm x để biểu thức P m, P m , P m 
(với m thường là hằng số) 
* Phương pháp 
- B1: Chuyển m sang vế trái để vế phải bằng 0 
- B2: Quy đồng mẫu các phân thức rồi làm gọn vế trái 
- B3: Xác định dấu của tử hoặc mẫu của vế trái, từ đó có được một bất 
phương trình đơn giản (không chứa mẫu) 
- B4: Giải bất phương trình trên để tìm được x. 
- B5 : Đối chiếu x vừ tìm được với ĐKXĐ và kết luận. 
*GV lưu ý HS thường mắc sai lầm khi giải bất pt thường dùng tích chéo hoặc sử 
dụng 1 số phép biến đổi sai . Tuy nhiên trong trường hợp nếu ta chứng minh 
được các mẫu đều dương , ta có thể sử dụng tính chất 
a c
ad bc
b d
   ( b>0 
;d>0) .Vì bản chất là ta đã nhân cả 2 vế của bất pt với cùng 1 số dương thì bất 
pt không đổi chiều . 
Với b>0 ; d>0  . 0b d  .Ta có : . .
a c a c
bd bd ad bc
b d b d
     
Xong nếu các mẫu không dương ta không làm theo cách 2 vì dễ bị thiếu nghiệm 
. 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
15 | 2 3 
* Ví dụ minh họa: 
Bài 1 : Cho P= 
1
( 0)
1
x
x
x



 . Tìm x để 
a) P > 
1
3
 b) P < 
2
5
 c) P 
1
2
 
Giải: a) Với 0x  ta có: 
+) Cách 1 : 
1 1 1
3 31
x
P
x

  

   
 
   
3 1 1 11 1
0 0
31 3 1
3 1 1 1 0
x xx
x x
x x
  
    
 
    
 ( vì  3 1 0x   ) 
3 3 1 0 2 4 2 4( / )x x x x x T M           
 Vậy với x > 4 thì P > 
1
3
*GV lưu ý cho HS với cách giải này khi quy đồng thu gọn đến phân thức có 
dạng 
0
A
B
 hoặc ( 0; 0; 0
A A A
B B B
   ) thì thường sẽ xuất hiện tử hoặc mẫu là biểu thức 
> 0 hoặc 0 .Vì vậy ta sẽ đi lập luận để được 1 bất pt đơn giản không chứa mẫu 
.Còn nếu khi giải ta không có kỹ năng quan sát mà đi giải bất pt có dạng phân 
thức và đi xét các trường hợp thì rất cồng kềnh dễ sai . 
+) Cách 2 : 
1 1 1
3 31
x
P
x

  

. Vì 1 0x   và 3>0 nên 
1 1
31
x
x



   3 1 1 1 3 3 1 2 4 2 4( / )x x x x x x x T M              
 Vậy với x > 4 thì P > 
1
3
Câu b , c giải tương tự . 
Bài 2 : Cho 
1
1
P
x


 với 0; 1x x  . Tìm tất cả các giá trị của x để : 
a) P P b) P P  c) P P d) P P 
*GV giúp HS xây dựng được các kiến thức sau : 
 +) 0P P P   
+) 0P P P    
+) 0P P P   
+) 0 1P P P    
+) 1P P P   
 Giải : 
a) 0P P P   
1
0 1 0
1
1 1
x
x
x x
    

   
 ( vì 1 > 0 ) 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
16 | 2 3 
Kết hợp ĐKXĐ 0 1x   . Vậy 0 1x  thì P P 
d) 0 1P P P    
1
0 1
1 x
  

1
0
1 x
 

 và 
1
1
1 x


+)
1
0
1 x


1 0x   ( vì 1>0 ) 1 1x x    . Kết hợp ĐKX 0 1x   (1) 
+) 
1
1
1 x


 1 1 11
1 0 0 0
1 1 1
x x
x x x
 
      
  
 1 0x   ( vì 0x  ) 1 1x x    . Kết hợp ĐKXĐ 1x  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra không có x thỏa mãn để P P 
Câu b , c làm tương tự . 
* Câu d là 1 dạng toán khó vì khi giải HS không biết đưa từ điều kiện 
0 1P P P    thành hệ gồm 2 bất pt 0P  và 1P  và HS còn gặp khó khăn 
khi kết hợp nghiệm ở chỗ này . 
3.4 Dạng 4: Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số) 
* Phương pháp 
 B1: Tính P – m = ? 
 B2: Nhận xét dấu của hiệu P – m để có kết quả so sánh. 
 + Nếu P – m > 0 thì P > m 
 + Nếu P – m < 0 thì P < m 
 + Nếu P – m = 0 thì P = m 
 B3: Đối chiếu với ĐKXĐ và chọn nghiệm hợp lý. 
* Ví dụ minh họa: 
Bài 1 : Cho 
1x
P
x

 với x > 0. So sánh P với 1 
Giải : Ta có: P – 1 = 
1 1
1
x x x
x x
  
   
1
x
 >0 (vì x>0) . Vậy P > 1 . 
Bài 2 : Cho P = 
1
( 0; 4)
2
x
x x
x

 

 . So sánh P với 2P 
Giải : Ta có  2
1 1
1 1
2 2
x x
P P P P
x x
  
        
1 1 2 1 1
0
2 2 2 2
x x x x
x x x x
       
           
Vì 
1
0
2
x
x



 và 
1
0
2x



 2 20P P P P     
*Lưu ý : Ở bài 2 có HS sẽ đi tính 2P sau đó trải qua 1 quá trình biến đổi phức 
tạp cồng kềnh để so sánh P với 2P .Và cũng có nhiều HS không có cách giải cho 
bài toán này .Vì vậy GV cần hướng dẫn để HS định hình được 1 vài cách giải và 
lựa chọn được cách giải hợp lý nhất . 
3.5 Dạng 5 : Bài toán chứng minh biểu thức P m, P m , P m 
(với m thường là hằng số) 
* Phương pháp : Với dạng bài này cách làm giống dạng 4 . 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
17 | 2 3 
*Ví dụ minh họa 
Bài 1: Cho P = 
1
( 0)
x
x
x

 . Chứng minh P > 1 . 
Giải : Ta có 
1 1 1
1 1 0
x x x
P
x x x
  
      vì 0x  
1 0 1P P     ( đfcm ) 
GV có thể giới thiệu thêm cách khác đối với bài toán này . 
P = 
1 1 1
1 1
x x
x x x x

     vì 
1
0
x
 
3.6 Dạng 6 : Tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên 
3.6.1 Loại 1 : Tìm giá trị của biến x là số nguyên , số tự nhiên để biểu thức P 
có giá trị nguyên . 
* Phương pháp 
+) B1: Biến đổi biểu thức về dạng 
( )
n
P m
f x
  (với ,m n và f(x) là một biểu 
thức chứa x) 
+) B2: (Lập luận) Vì m nên để P nguyên thì 
( )
n
f x
 hay ( )f x Ư(n) 
+) B3: Giải các pt  f x  Ư(n) để tìm được x 
+) B4 :Đối chiếu các giá trị x vừa tìm được với ĐKXĐ ,điều kiện đề bài và kết 
luận . 
*Lưu ý: HS thường rất hay quên bước 4 . 
* Ví dụ minh họa: 
Bài 1: Cho 
2
1
x
P
x



 với 0; 1x x  . Tìm x để P . 
Giải: Với x , 0; 1x x  ,có 
2 3
1
1 1
x
P
x x

  
 
. Để P thì 
  1 3;3; 1;1 2;4;0;2 16;0;4x x x         ( t/m ĐKXĐ) 
Vậy  16;0;4x thì P 
Lưu ý : Khi giải các pt  f x  Ư(n) thì HS có thể trình bày như trên hoặc kẻ 
bảng . 
3.6.2 Loại 2 : Tìm giá trị của biến x là số trực bất kì để biểu thức P có giá trị 
nguyên . 
* Phương pháp 
+)Cách 1 : Sử dụng ĐKXĐ để xét xem biểu thức P nằm trong khoảng giá trị 
nào ,rồi tính giá trị của biểu thức P và từ đó tìm giá trị của biến x . 
Giả sử ta chứng minh được : ( ; )m P n m n R   mà P 
 1 2 3 1 2 3; ; ... (a ; ; ... )P a a a a a Z   . 
Giải các pt P bằng các giá trị nguyên vừa tìm được để tìm x . 
Đối chiếu điều kiện và kết luận . 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
18 | 2 3 
+)Cách 2 : 
 - Bước 1: Nhân chéo rồi đặt ( 0)x y y  để đưa biểu thức P về dạng 1 pt bậc 
hai có ẩn là y và tham số là P . 
 - Bước 2 : Tìm P để pt bậc 2 ẩn y trên có nghiệm không âm . 
 - Bước 3 : Chọn các giá trị P nguyên trong tập hợp các giá trị của P vừa tìm 
được ở bước 2 . 
 - Bước 4: Thay P vừa tìm được vào biểu thức đã cho để tìm x . 
 - Bước 5: Đối chiếu ĐKXĐ và lết luận . 
*Lưu ý : - Cách 2 sử dụng đối với những bài toán khó , bài toán khó chứng 
minh được ( ; )m P n m n R   . 
- HS thương nhầm lẫn cách làm của loại 1 cho loại 2 . 
* Ví dụ minh họa: 
Bài 1 : Cho P = 
3
(x 0;x 1)
1x x
 
 
.Tìm x để P có giá trị nguyên . 
Giải : Vì x > 0 0 1 1x x x x       
3
0 3
1
P
x x
   
 
 mà P  1;2P  
+) P = 1 
3
1
1x x
 
 
 giải pt tìm được x 
+) P = 2 
3
2
1x x
 
 
 giải pt tìm được x 
Bài 2: (Tham khảo đề thi 10 . ý3 – TP Hà Nội năm 2016-2017) 
Cho 
7
3
P
x


 với 0; 9x x  . Tìm x để P . 
Giải: Với 0; 9x x  ta có 
7 7
0
33
P
x
  

 mà P => 1; 2P 
TH1 : P=1 3 7 16( / )x x t m     
TH1 : P=2
7 1
3 ( / )
2 4
x x t m     
Vậy 
1
;16
4
x
 
 

 thì P 
*Lưu ý : Khi dạy đến dạng này Gv cần nhấn mạnh đến việc Hs đọc kỹ đề , hiểu 
đúng yêu cầu của đề để từ đó đưa ra cách giải phù hợp nhất. 
(Năm thi 2016-2017 nhiều HS không đọc kỹ đề và giải bài toán 2 này theo 
phương pháp giải của loại 1 chỉ ra nghiệm x= 16 , thiếu nghiệm 
1
( / )
4
x t m vì 
vậy câu này không được điểm ) 
3.7 Dạng 7: Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức P 
* Hiểu: - Nếu ( )P x m (m là hằng số) thì m gọi là GTNN (Min) của P(x) 
 - Nếu ( )P x k (k là hằng số) thì k gọi là GTLN (Max) của P(x) 
3.7.1 Loại 1: Biểu thức P có dạng P ax b x c   
* Phương pháp: 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
19 | 2 3 
- B1: Biến đổi P về dạng  2( )P f x m   
- B2: Lập luận (theo P) để tìm GTLN, hoặc GTNN của P 
- B3: Tìm điều kiện xảy ra dấu “=” 
- B4: Kết luận 
* Ví dụ minh họa: 
Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức : 2 3P x x   với 0x  
Giải: Với  
2
0, 2 3 1 2 2x P x x x        => Min P = 2 khi x=1(tmđk) 
3.7.2 Loại 2 : Biểu thức có dạng 
k
P
ax b x c

 
 (a, b, c, k là hằng số, 0x  ) 
* Phương pháp : 
- B1 : Tìm GTLN hoặc GTNN của mẫu ( )f x ax b x c   (giải tương tự 
loại 1) 
- B2 : Căn cứ vào dấu của hằng số k để suy ra GTLN hoặc GTNN của P 
- B3 : Kết luận. 
Lưu ý : +) Nếu k > 0 thì P đạt GTLN  f(x) đạt GTNN và ngược lại 
 +) Nếu k < 0 thì P đạt GTLN  f(x) đạt GTLN và ngược lại 
* Ví dụ minh họa: 
Bài 1 : Tìm GTLN của 
1
2 2
P
x x

 
 với 0x  
 Giải : Với 
2 1 10; 2 2 ( 1) 1 1 1
12 2
x A x x x P
x x
           
 
=> MaxP=1 khi x=1(tmđk) 
3.7.3 Loại 3 : Biểu thức P có dạng 
a x b
P
c x d



 (a, b, c, d là hằng số, 0x  ) 
*Phương pháp : 
- Bước 1 : Biến đổi biểu thức P về dạng P = m + 
 
( ; )
n
m n Z
f x
 
- Bước 2 : Tìm GTLN hoặc GTNN của 
 
n
f x
 ( giống loại 2 ) để được GTLN 
hoặc GTNN của P . 
- Bước 3 : Tìm điều kiện dấu = xảy ra và kết luận 
*Ví dụ minh họa 
Bài 1 : Cho P = 
3
( 0)
1
x
x
x



 .Tìm GTLN của P 
Giải : 
P = 
3 1 2 2
1
1 1 1
x x
x x x
  
  