Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác từ kết quả một bài toán

án.
* Mặt yếu: Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao. Một số bài toán tuy không biết giải nhưng vẫn không chịu hỏi thầy cô.
d./ Nguyên nhân:
- Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân. Mặt khác các em khi học trên lớp thì còn hơi ngại rất ít khi hỏi thêm thầy cô về bài toán đã giải, thậm chí có HS không biết cách giải mà còn không hỏi thầy cô huống gì còn đi khai thác thêm bài toán.
e. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đề ra:
Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:
- Học sinh học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.
- HS còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc. Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung.
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp và ngày càng có chiều hướng tích cực hơn.
Phân tích nguyên nhân:
* HS không giải được:
- HS chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao
- Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh hoạt
- HS chưa được trang bị đầy đủ về phương pháp giải dạng toán này
* HS giải được:
- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ , mất nhiều thời gian
- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức
Trước khi thực hiện đề tài qua khảo sát điều tra tôi thu được kết quả như sau:
Số h/s
Số h/s giải được
Số h/s có cách giải chưa hợp lý
Số h/s không giải được
8ª1
(31 em)
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
3
10%
5
16%
23
74%
8ª2
(30 em)
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
2
7%
3
10%
25
83%
II.3./ Giải pháp , biện pháp :
a. Mục tiêu của giải pháp,biện pháp :
Qua những bài toán mà HS đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức như:
- Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận.
- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không? . . ..
Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả một bài toán quen thuộc. Tôi xin đưa 2 bài toán gốc là 2 bài tập ở SGK Đại số lớp 8 và một số ví dụ nhằm giúp HS thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán. Từ đó, giúp HS tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán , giúp HS thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp,biện pháp :
Việc khai thác và hình thành cho học sinh cách tự đặt đề bài tương tự là cách tôi thường xuyên áp dụng nên khi dạy đến bài tập 18 trang 11 SGK Toán 8 Tập 1 và Bài tập 32 SGK Toán 8 tập 1 trang 50 thì tôi nảy ra ý định làm một sáng kiến nho nhỏ là từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: Tìm lời giải khác, phát triển bài toán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác. Theo tôi, một phần rất quan trọng khi khai thác, phát triển bài toán đó là LỜI DẪN. Từ bài toán gốc, giáo viên phải có lời dẫn để đến với các bài toán khác. Hay nói cách khác là VÌ SAO lại có được bài toán này (thay cái gì, thêm cái gì....).
* Các biện pháp cụ thể tiến hành để giải quyết vấn đề:
- Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải tốt các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Giáo viên đưa ra bài toán gốc và các bài toán hệ quả. Học sinh dựa vào bài toán gốc để giải quyết, hoặc có thể hướng dẫn học sinh “tìm nhiều lời giải cho một bài toán”
 - Hướng dẫn học sinh liên hệ vận dụng phương pháp “Sử dụng bài toán gốc”
 - Sau đây là một hệ thống bài toán mà tôi đã áp dụng cho học sinh trường tôi. Nội dung các bài toán như sau:
* Phương pháp sử dụng bài toán gốc:
3.1. Bài toán gốc 1:
Bài tập 32 SGK Toán 8 tập 1 trang 50:
Đố em tính tổng sau:
Hướng dẫn :
......................
Vậy: 
Nếu không có thời gian thì cũng không cần yêu cầu học sinh làm bài này trên lớp. GV có thể hướng dẫn HS về nhà làm, Khai thác bài toán như sau:
a. Khai thác 1: Nếu GV muốn rèn thêm cho HS cách phân tích đa thức thành nhân tử thì có thể khai thác bài toán sau:
Bài toán 1.1: Rút gọn biểu thức sau :
* Hướng giải: 
b. Khai thác 2: Còn nếu GV muốn vận dụng bài toán 1 vào giải phương trình thì thêm vào vế phải như sau:
Bài toán 1.2: Giải phương trình:
(1)
* Hướng giải: ĐKXĐ : x 
Rút gọn vế trái : VT=, Khi đó :
(1) (TM ĐK)
Vậy pt (1) có một nghiệm là: x = 6
c. Khai thác 3: Muốn dẫn học sinh giỏi vào dạng toán tìm cực trị thì yêu cầu HS làm bài tập sau:
Bài toán 1.3: Tìm GTLN của biểu thức:
* Hướng giải: Rút gọn A = 
Vì: 
Nên A 6: (-9) = . Vậy MaxA = tại x = - 3
d. Khai thác 4: Ta có thể mở rộng bài toán với số lớn hơn và yêu cầu HS tính giá trị biểu thức
Bài toán 1.4: Tính giá trị biểu thức tại x = 
S = 
Kết quả: S = 
Tại x = thì S = 2009,999502
*Ứng dụng quy luật trên vào tính giá trị các biểu thức số:
Bài toán 1. 5: Tính tổng
S = 
Kết quả: S = 1-
· Tổng quát hóa bài toán 1-5 ta có:
Bài toán 1- 6: Tính tổng
S = với n Î N*
Kết quả: S = 1 - 
· Dùng phép tương tự ta xét đặc điểm mẫu các phân thức: Mỗi phân thức có tử thức bằng 1 và mẫu thức là tích của hai nhân tử “hơn kém nhau 2 đơn vị ”
Hoặc “hơn kém nhau 3; 4; 5;... đơn vị ”để từ đó ta có các dạng bài toán khác:
Bài toán 1- 7: Tính các tổng sau:
A = 
B = với n Î N
Hướng giải:
...
Suy ra A = 
B = 
Bài toán 1 - 8: Tính các tổng sau:
M = với n Î N
HD: Khai triển tương tự ta có kết quả: M = 
· Nếu tiếp tục biến đổi bằng cách thay tử của các bài toán 1-5 đến 1-8 thành những số khác 1 và tổng quát lên ta được những bài toán thú vị hơn .
Bài toán 1 - 9: Tính tổng sau:
S = với bk+1 - bk = b và a; b ; k Î N*
Hướng Dẫn : Phân tích tương tự : và được kết quả
S = = 
· Nếu thay đổi mẫu thức thành tích 3;4;5 ... nhân tử “cách đều nhau” thì ta có bài toán sau:
Bài toán 1 - 10:
Tớnh M = 
Giải:
2 M = 
= 
=> M = 0,249999876 = 
· Nếu tổng quát lên thì ta có bài toán sau
Bài toán 1 - 11: Tớnh N = 
Hướng giải:
Chú ý rằng 
Thì N = 
· Nếu ta nâng mẫu lên lũy thừa thì ta có bài toán sau:
Bài toán 1 - 12: Tính
E = với n = 1;2;3...
Hướng giải:
Chỳ ý rằng 
Thỡ E = 1 - 
· Nếu ta muốn cho HS vào giải phương trình ta có:
Bài toán 1 -13: Giải phương trình ẩn x sau đây:
 (1) ĐK : x ¹ 0 và x ¹ -1 (*)
Hướng giải :
Phương trình (1) 
=> 2 => 1- => 
=> x = 2010 (Thỏa mãn ĐK (*) )
· Bài toán 1 có liên quan gì đến bất đẳng thức hay không ?
- Hoặc khai thác thêm ta được một bài toán cũng thường làm cho ta đau đầu nếu chủ quan không chuẩn bị trước khi lên lớp bồi dưỡng:
Bài toán 1 – 14: Chứng minh rằng
 < víi n Î N*
Hướng giải:
Vì 
=>S =<= P
Mà 2P = 
=> S < (đpcm)
- Còn nếu chú ý rằng "n > 1 thì (2n-1)n(2n+1) > n(n+1)(n+2)
=> và kết hợp với bài toán 1 – 13 ta được:
 Bài toán 1 – 14a: Chứng minh rằng
 1
Hướng giải:
Vì 
=>S = 
< = P
Mà P = nên S < (đpcm)
Đối với dạng này thì nếu khai thác thêm thì hơi quá nên dừng lại.
3.2. Bài toán gốc 2:
Bài 18 SGK trang 11
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ:
x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2;
... - 10xy + 25y2 = ( ... - ... )2;
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Lời giải:
* Nếu những phần của hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi là những đơn thức thì ta có thể khôi phục lại những hằng đẳng thức trên như sau:
a)	x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2;
b) x2 - 10xy + 25y2 = (x - 5y )2
(hoặc x2 - 10xy + 25y2 = (5y - x)2) .
* Nếu những phần của hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi là những biểu thức thì ta có thể khôi phục lại những hằng đẳng thức trên bằng rất nhiều cách khác nhau như sau:
Ví dụ 1:
a)	x2 + 6xy + (2xy + 16y2 ) = [(x + y) + 3y]2
tức là x2 + 8xy + 16y2 = (x + 4y)2 ;
Hay nếu ta thay như sau :
(x2 + 4xy - 16y2) – 10xy + 25y2 = (x – 3y)2
tức là x2 - 6xy + 9y2 = (x – 3y)2;
Ví dụ 2:
a)	x2 + 6xy + (4xy + 25y2 ) = [(x + 2y) + 3y]2
tức là x2 + 10xy + 25y2 = (x + 5y)2 ;
(x2 + 8xy - 24y2) - 10xy + 25y2 = (x - y)2
tức là x2 - 2xy + y2 = (x - y)2;
..........................................................................
..........................................................................
* Đối với những em HS yếu thì ít nhất cũng đưa ra được đề bài tương tự như sau:
Hãy tìm cách giúp bạn Bình khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ:
x2 + 10xy + ... = ( ... + 5y)2;
... – 6xy + 9y2 = ( ... - ... )2;
Trở lại nội dung bài 18 SGK trang 11 thì ta có nhận xét là không thể đưa ra được một lời giải tối ưu bởi vì có rất nhiều cách để giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ.
Để giúp học sinh đỡ lúng túng khi trình bày lời giải bài toán thì giáo viên nên thay đổi nội dung câu hỏi một chút để có được lời giải tối ưu cho bài toán như sau:
Bài toán 1:
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ bằng cách điền các đơn thức thích hợp vào chỗ trống (...):
x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2;
... – 10xy + 25y2 = ( ... - ... )2;
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Hoặc là:
Bài toán 2:
Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức
a) x2 + 6xy + * ;
b) * – 10xy + 25y2
trở thành bình phương của một nhị thức
*Việc đưa ra nội dung bài toán 2 lại giúp hình thành trong tôi một ý tưởng là tiếp tục khai thác lời giải của bài toán 2, ta có ví dụ 1
Ví dụ 1:
Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức A = x2 – 20x + *
trở thành bình phương của một nhị thức.
Giải: Đây là bài toán quen thuộc mà học sinh lớp 8 đều làm được:
A = x2 – 20x + * = x2 – 20x + 100 = x2 – 2.x.10 + 100 = (x - 10)2
Nhận xét: Trường hợp dấu * là một số cho trước
Chẳng hạn * = -1 ta có ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 - 10x - 1
Giải: A = x2 - 10x - 1 = x2 - 10x + 25 - 26 = (x - 5)2 - 26
Vì (x - 5)2 0 với mọi x thuộc R
nên (x - 5)2 – 26 -26 với mọi x thuộc R
Giá trị nhỏ nhất của A là -26 khi và chỉ khi x – 5 = 0 hay x = 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -26 khi x = 5
Nhận xét: Nếu ta đổi dấu của biểu thức A nói trên ta có
-A = -x2 + 10x + 1 = - (x2 – 10x +25) + 26 = - (x - 5)2 + 26 26
Giá trị lớn nhất của A là 26 . Ta có ví dụ 3
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 1 + 10x - x2
Giải: B = 1 + 10x – x2
= - (x2 – 10x) + 1
= - (x2 – 10x + 25) + 26
= - (x - 5)2 + 26
Vì (x - 5)2 0 với mọi x thuộc R
nên - (x - 5)2 0 với mọi x thuộc R
Do đó - (x - 5)2 + 26 26 với mọi x thuộc R
Giá trị lớn nhất của B là 26 khi và chỉ khi x – 5 = 0 hay x = 5
Vậy giá trị lớn nhất của B là 26 khi x = 5.
Nhận xét: Tổng quát bài toán trong ví dụ 2 ta có ví dụ 4
Ví dụ 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = ax2 + bx + c với a > 0
Giải:
Giá trị nhỏ nhất của P là khi và chỉ khi 
Tương tự tổng quát bài toán trong ví dụ 3 ta có ví dụ 5
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = ax2 + bx + c với a < 0
Giải: Tương tự như ví dụ 4 ta được giá trị lớn nhất của biểu thức P là
 khi và chỉ khi 
Nhận xét: Kết hợp ví dụ 4 và ví dụ 5 ta có tam thức ax2 + bx + c có giá trị nhỏ nhất nếu a > 0 ; có giá trị lớn nhất nếu a < 0.
Trong nhiều trường hợp, ta cần đổi biến đưa biểu thức về dạng tam thức bậc hai đối với biến mới. Ví dụ 6
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = (3x - 1)2 – 4. + 5
Giải: Đặt = y , ta có:
M = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 1
Giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi và chỉ khi y – 2 = 0 hay y = 2.
Với y = 2 ta có:
 = 2 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = 
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
N = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
Giải: Biến đổi N = x(x - 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12)
Cách 1:
Đặt x2 – 7x = y ta có:
N = y(y + 12) = y2 + 12y = (y + 6)2 – 36 -36
Giá trị nhỏ nhất của N bằng -36 khi và chỉ khi y + 6 = 0 y = - 6
Với y = - 6 ta có x2 – 7x = - 6 x = 1 hoặc x = 6
Cách 2:
Đặt x2 – 7x + 12 = y ta có:
N = (y – 6 )(y + 6) = y2 – 36 -36
Giá trị nhỏ nhất của N bằng - 36 khi và chỉ khi y = 0
Khi đó x = 1 hoặc x = 6
* Phương pháp tìm nhiều lời giải cho một bài toán:
- Phương pháp này cũng là một trong những phương pháp khai thác bài toán , chắc có lẽ tất cả chúng ta đều thấy rằng khi dạy đến phần “Phân tích đa thức thành nhân tử” thì tất cả chúng ta đều gợi ý cho học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau. Sau đây là một ví dụ minh họa:
3.3 Bài toán: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
Ví dụ 1: x2 – 3x + 2
* Hướng dẫn học sinh tìm các cách giải bài toán trên.
Ở bài toán này học sinh sẽ thấy là không có nhân tử chung. Không có dạng hằng đẳng thức hoặc không nhóm các hạng tử được.
Vậy thì làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung? 
Chúng ta có thể “Tách ” hạng tử bằng cách có thể như sau:
- Để chia nhóm ta có thể tách 1 hạng tử thành 2 hạng tử để thành 4 hạng tử và như vậy ta sẽ chia thành 2 nhóm sẽ xuất hiện nhân tử chung.
- Có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách sau:
a. Tách một hạng tử:
* Cách 1: x2 – 3x + 2 = x2 – x –2x +2
= (x2 – x) – (2x – 2)
= x (x – 1) – 2 (x – 1) 
= (x – 1) (x –2)
* Cách 2: x2 – 3x + 2 = x2 – 3x + 
= (x2 – 3x +) - 
= (x - )2 – ()2
= (x - + ) (x - - )
= (x – 1) (x – 2)
* Cách 3: x2 – 3x + 2 = x2 – 3x +3 – 1
= (x2 – 1) – (3x – 3)
= (x + 1) (x – 1) –3(x – 1)
= (x – 1) (x + 1 – 3)
= (x – 1) (x – 2)
* Cách 4: x2 – 3x + 2= x2 – 3x + 6 – 4
= (x2 – 4) – (3x – 6)
= (x – 2) (x + 2) – 3(x – 2)
= (x – 2) (x + 2 – 3)
= (x – 2) (x – 1)
* Cách 5: x2 – 3x + 2= 3x2 – 2x2 – 3x + 2
= (3x2 – 3x) – (2x2 – 2)
= 3x(x – 1) – 2(x2 – 1)
= 3x(x – 1) – 2(x – 1) (x + 1)
= (x – 1) (3x – 2x – 2)
= (x – 1) (x – 2)
b. Tách hai hạng tử: Có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách tách 2 hạng tử để chia thành 2 nhóm trong đó có 1 nhóm được viết dưới dạng hằng đẳng thức và 1 nhóm thì sẽ xuất hiện nhân tử chung, theo các cách sau:
* Cách 6: x2 – 3x + 2= x2 – 2x – x + 1 + 1
= (x2 – 2x + 1) – (x – 1)
= (x – 1)2 – (x – 1)
= (x – 1) (x – 1 – 1)
= (x – 1) (x – 2)
* Cách 7: x2 – 3x + 2= x2 – 4x + x + 4 – 2
= (x2 – 4x + 4) + (x – 2)
= (x – 2)2 + (x – 2)
= (x – 2) (x – 2 + 1)
= (x – 2) (x – 1)
c. Tách ba hạng tử. Có thể tách cả 3 hạng tử để chia thành 3 nhóm mà mỗi nhóm đều có nhân tử chung như cách sau:
* Cách 8: x2 – 3x + 2= 3x2 – 2x2 – 6x + 3x + 8 – 6
= (3x2 – 6x) – (2x2 – 8) + (3x – 6)
= 3x(x – 2) – 2(x2 – 4) + 3(x – 2)
= 3x(x – 2) – 2(x – 2) (x + 2) + 3(x – 2)
= (x – 2) (3x – 2x – 4 + 3)
= (x – 2) (x – 1)
Ví dụ 2: x2 + x – 6
Tương tự như vậy ở ví dụ 1 giáo viên cũng có thể hướng dẫn giải theo các cách tách 1 hạng, tách 2 hạng tử hoặc tách 3 hạng tử, theo các cách sau:
* Cách 1: x2 + x – 6 = x2 + 3x – 2x – 6
= (x2 +3x) – (2x + 6)
= x(x + 3) – 2(x + 3)
= (x + 3) (x – 2)
* Cách 2: x2 + x – 6 = x2 + x + 
= (x2 +x + ) - 
= (x +)2 – ()2
= (x + - ) (x + + )
= (x – 2) (x + 3)
* Cách 3: x2 + x – 6 = x2 + x – 2 – 4
= (x2 – 4) + (x – 2)
= (x – 2) (x + 2) + (x – 2)
= (x – 2) (x + 2 + 1)
= (x – 2) (x + 3)
* Cách 4: x2 + x – 6 = x2 + x – 9 + 3
= (x2 – 9) + (x + 3)
= (x – 3) (x + 3) + (x + 3)
= (x + 3) (x –3 + 1)
= (x – 2) (x + 3)
* Cách 5: x2 + x – 6 = x2 - 4x + 4 + 5x – 10
= (x2 - 4x + 4) + (5x – 10)
= (x – 2)2 + 5(x – 2)
= (x – 2) (x – 2 + 5)
= (x – 2) (x + 3)
* Tổng quát: Để phân tích đa thức có dạng: x2 + px + q. 
Nếu ta tìm được 2 số a và b sao cho:
a + b = p và ab = q thì ta có thể tách px = (a + b)x = ax + bx để có dạng hằng đẳng thức: x2 + px + q = x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
 Ở dạng này có rất nhiều dạng bài tập nhưng tôi chỉ đưa ra một số ví dụ để tham khảo, mong quý thầy cô góp ý thêm.
c. Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp:
 Để thực hiện giải pháp, biện pháp như đã nêu trên phải đảm bảo những điều kiện sau:
 - Yêu cầu học sinh phải nắm thật chắc các kiến thức có liên quan đến bài toán mà mình đưa ra, nghĩa là bài toán gốc ban đầu phải giải được thì mới khai thác được Ghi nhớ được các dạng bài toán và phương pháp giải cho từng dạng.
 - Học sinh biết nhận dạng được từng bài toán cụ thể, từ đó lựa chọn phương pháp giải hợp lí.
 - Học sinh biết cách biến đổi từ một bài toán chưa biết cách giải về bài toán quen thuộc đã biết cách giải.
 - Học sinh biết trình bày bài giải một cách đầy đủ, chính xác và khoa học.
 - Giáo viên cần phân loại học sinh để có phương pháp và bài tập cũng như yêu cầu phù hợp.
 - Thường xuyên kiểm tra, hướng dẫn, sữa sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến phản hồi của học sinh để có hướng điều chỉnh.
Quá trình đi sâu khai thác, phát triển bài toán có ý nghĩa vô cùng tích cực cho việc dạy và học toán. Quá trình này rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo cho HS. Sau khi giải xong một bài toán và tìm nhiều cách giải khác, nên tiếp tục sáng tạo: Dựa vào bài toán đó mà tự nghĩ ra các bài toán mới. Việc làm này, giúp chúng ta nắm vững mối quan hệ giữa các đại lượng và những quan hệ bản chất trong mỗi bài toán. Từ đó mà HS hiểu bài hơn rất nhiều.
d. Mối quan hệ giữa các biện pháp, giải pháp:
 Do đây là dạng toán hơi khó nên ban đầu tôi chưa dám đưa ra nhiều dạng khác, chỉ thử nghiệm xem học sinh có thực sự hứng thú với việc khai thác một bài toán hay chưa . Nhưng bước đầu đã gây được sự hứng thú của học sinh đã làm cho tôi thấy dần dần sẽ phát huy cách làm này.
Để khai thác một nội dung kiến thức nào đó được triệt để đòi hỏi người GV phải có sự chuẩn bị chu đáo và kỹ càng, đồng thời phải có nguồn tư liệu dồi dào phong phú . Việc khai thác một bài toán phải xác định nhiều hướng khác nhau, nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng phải đảm bảo tính logich, tính khoa học và tính chính xác, tránh lung tung xa rời thực tế. Cung cấp kiến thức cho đúng đối tượng HS mới phát huy được trí lực và phát triển được tính tự giác tích cực học tập của các em.Vì vậy mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề để các em tư duy, tự tìm hiểu kiến thức mới qua mỗi dạng toán. Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân trọng thành quả đạt được của các em.
e. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
 Trên đây là một nội dung nhỏ trong việc rèn kĩ năng khai thác một bài toán cho học sinh. Tôi đã áp dụng những kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi của trường đã thu được một số kết quả khả quan: 
 Đa phần các em đã có thể ngòai việc sau khi giải xong một bài toán thường thấy các em trăn trở và tìm cách khai thác thêm bài toán.
 Học sinh, đặc biệt là các em trong đội tuyển Toán đã tạo cho mình kĩ năng khai thác một bài toán và có khả năng phân tích, định hướng tìm lời giải mới . Hơn nữa, các em đã tự tin vào khả năng giải toán của mình. 
 Điều quan trọng hơn là khi giáo viên hướng dẫn học sinh cách khai thác một bài toán các em đã biết quan sát nhạy bén, linh hoạt và từ đó làm cho tư duy của các em được phát triển.
 Sau khi thực hiện đề tài qua khảo sát điều tra tôi thu được kết quả cụ thể như sau:
Số h/s
Số h/s giải được
Số h/s có cách giải chưa hợp lý
Số h/s không giải được
8ª1
(31 em)
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
23
	74%
4
13%
4
13%
8ª2
(30 em)
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
20
	67%
4
13%
6
20%
Ngoài ra trong năm học 2014-2015 này với việc áp dụng cách làm này thì kết quả bồi dưỡng học sinh giỏi của tôi cũng đạt được thành công đáng kể đó là em Lê Thị Duyên lớp 8ª1 đạt giải khuyến khích và Nguyễn Thị Nga lớp 8ª2 được công nhận là học sinh giỏi môn Toán cấp huyện. 
II.4./ Kết quả đạt được:	
Trong quá trình d