Sáng kiến kinh nghiệm Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11

hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó.
 Kí hiệu: lim(un)= hay limun= hay un 
3.2. Một vài giới hạn đặc biệt
limnk=(k )	 lim=(k )
3.3. Định lý:
Tính chất 1: Nếu và thì được cho trong 
 bảng sau:



+¥
+¥
+¥
+¥
–¥
–¥
–¥
+¥
–¥
–¥
–¥
+¥
Tính chất 2: Nếu và thì được cho trong 
 bảng sau:

L

+¥
+
+¥
+¥
–
–¥
–¥
+
–¥
–¥
–
+¥
Tính chất 3: Nếu , và hoặc kể từ một số hạng nào đó trở đi thì được cho trong bảng sau:
L


+
+
+¥
+
–
–¥
–
+
–¥
–
–
+¥
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
1. Giới hạn của dãy số (un) với với P, Q là các đa thức:
1.1. Nếu bậc P = bậc Q , hệ số của n có số mũ cao nhất của P là a0, hệ số của n có số mũ cao nhất của Q là b0 thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và đi đến kết quả: .
1.2. Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q , thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và đi đến kết quả : lim(un) = 0.
1.3. Nếu k = bậc P > bậc Q, thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và đi đến kết quả : lim(un)=.
2. Giới hạn của dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa căn.
2.1. Rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp.
2.2. Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Ghi chú: Những cách biến đổi trên không là duy nhất và cũng không phải bài nào cũng giải được tuy nhiên đa số các bài trong chương trình nếu có những đặc điểm trên đều có thể giải được
III. CÁC VÍ DỤ:
Bài 1. Dự đoán giới hạn của dãy số (un)và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng qua một vài kiểm chứng cụ thể
a) un=	b) un=
giải
a) Dự đoán 
Kiểm chứng: với số dương ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có |un|<
với số dương ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy số đều có |un|<
b) Dự đoán 
Kiểm chứng: 
với số dương ta thấy kể từ số hạng thứ 1000001 mọi số hạng trong dãy số đều có |un|<
với số dương ta thấy kể từ số hạng thứ 9993+1 mọi số hạng trong dãy số đều có |un|<
Bài 2. Dãy số (un) có giới hạn là 0 hay không? Vì sao?
 a) un=+1	b) un=
giải
a) 
Vì với số dương ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |un|>
b) 
Vì với số dương ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |un|>
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn 0, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn 0
Bài 3. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
Giải
a) và b) là những dãy số có dạng un= nên có giới hạn là 0
c) và d) là những dãy số có dạng un= nên có giới hạn là 0
e) và f) là những dãy số có dạng un= với |q|<1 nên có giới hạn là 0
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài dãy số có giới hạn 0 đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số có giới hạn 0 đặc biệt
Bài 4. Tìm giới hạn các dãy số sau. Có nhận xét gì về giá trị các số hạng trong dãy số khi n tăng
a) un=	b) un=
Giải 
a) vì 
Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về 3 khi n tăng
b) vì 
Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về -4 khi n tăng
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa 
Bài 5. Tìm giới hạn các dãy số sau. 
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
Giải 
a) 
b) 
c) 	
d) 	
e) 
f) 
Bài 6. Tìm giới hạn các dãy số sau. 
a) 	b) 	
Giải 
a) và suy ra 
b) và suy ra 
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này 
Bài 7. Dự đoán giới hạn của dãy số (un)và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng qua một vài kiểm chứng cụ thể
 a) un=n3	b) un=
giải
a) Dự đoán 
Kiểm chứng: Với số dương 1000 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có un>1000
với số dương 1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy số đều có un>1000000
b) Dự đoán 
Kiểm chứng: Với số âm -100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có un<-100
với số âm -1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 1001 mọi số hạng trong dãy số đều có un < -1000000
Lưu ý: nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn vô cực
Bài 8. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
a) 	b) 	c) 	
Giải
a) Là dãy số có dạng un=nk nên có giới hạn là 
b) Là dãy số có dạng un= nên có giới hạn là 
c) Là dãy số có dạng un= với q>1 nên có giới hạn là 
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt
Bài 9. Tìm giới hạn các dãy số sau. 
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	
Giải 
a) 
b) 
c) 	
d) 	
e) 
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn vô cực giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này 
Bài 10. Tìm giới hạn các dãy số sau. 
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Giải
a) .
b) .
c) . 
d) .
e) 
 f) 
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng 
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
Bài 2. Tính các giới hạn:
PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số:
1.1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm: 
Giả sử là một khoảng chứa điểm và f là một hàm số xác định trên tập . Ta nói hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong tập mà ta đều có .
Ta viết: hoặc 
1.2. Định nghĩa giới hạn vô cực: Được định nghĩa tương tự như trên.
1.3. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực: Gỉả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số có giới hạn là số thực L khi x dần rới +¥ nếu với mọi dãy số trong mà , ta đều có:
 . Ta viết: 
Các giới hạn khác được định nghĩa tương tự.
1.4. Định nghĩa giới hạn bên phải, bên trái: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần tới (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong mà , ta đều có . Ta viết: 
Giới hạn bên trái. (tương tự) Ta viết: 
Nhận xét: 
· 
2. Một số hàm số có giới hạn đặc biệt:
 Với , ta có: a) 	(c: hằng số)	b) 
Với mọi số nguyên dương k ta có:
· 	· 	· ; 
3. Một số định lí về giới hạn
3.1. Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1: Giả sử (L, M Î R).
a) 	
b) 
c) 	Đặc biệt, 
d) (M ¹ 0 )
Định lí 2: Giả sử 
a) 
b) 
c) Nếu , trong đó J là một khoảng nào đó chứa , thì và 
3.2. Một số định lí về giới hạn vô cực
Định lí: Nếu thì 
Qui tắc 1: Nếu và thì:

L

+¥
+
+¥
+¥
–
–¥
–¥
+
–¥
–¥
–
+¥

Qui tắc 2: Nếu và hoặc với 
, trong đó J là một khoảng nào đó chứa thì:
L
g(x)

+
+
+¥
+
–
–¥
–
+
–¥
–
–
+¥

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
1. Giới hạn của hàm số dạng: 
Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì phân tích ra thừa số.
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
Sau đó rút gọn tử, mẩu
2. Giới hạn của hàm số dạng: 
Chia tử và mẫu cho xk với k là số mũ lớn nhất của x. 
Chú ý: Nếu thì coi như x>0, nếu thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
3. Giới hạn của hàm số dạng: 
Đưa x mũ lớn nhất ra làm thừa số chung hoặc nhân lượng liên hợp
4. Giới hạn của hàm số dạng: . 
Nhân trọn f(x) và g(x) để đưa về 3 dạng trên
III. CÁC VÍ DỤ:
Bài 1. Tìm giới hạn các hàm số sau:
 	a) 	 b) c) 	d) 
giải
a) Xét hàm số f(x)=x2+1. Với mọi dãy số (xn) và limxn=-1
 ta có f(xn)= (xn)2+1 suy ra lim f(xn)=(-1)2+1=2 Vậy 
b) Xét hàm số f(x)= . Với mọi dãy số (xn), xn-1 với mọi n và limxn=1, ta có f(xn)= suy ra lim f(xn)= Vậy 
c) Xét hàm số f(x)= . Với mọi dãy số (xn) , xn1 với mọi n và limxn=1, ta có f(xn)= . vì lim3=3, lim(xn-1)2=0 và (xn-1)2>0 với mọi n suy ra limf(xn)= + 
Vậy 
d) Xét hàm số f(x)= . Với mọi dãy số (xn) , xn0 với mọi n và limxn=-,
 ta có limf(xn)=0. Vậy 
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa giới hạn hàm số, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính chất hàm số và tính chất dãy số
Bài 2. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
a) 	 b) 	 c) 	d) 	
e) 	c) d) 	 e) 
Giải
a) 	b) c) d) 
e) 	f) g) 	 h) 
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài hàm số có giới hạn đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ hàm số có giới hạn đặc biệt
Bài 3. Tìm giới hạn các hàm số sau. 
a) 	b) 	c) 	
Giải 
a) 
b) 
c) 	
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này 
Bài 4. Tìm giới hạn các hàm số sau. 
a) 	b) 	c) 	d) 
e) 	f) g) 	h) 
Giải
a) dạng 	
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
b) dạng 	
c) dạng 
d) dạng 
e) dạng 
f) dạng 
g) dạng 
h) dạng 0. 
Lưu ý: Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng 
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tính các gới hạn
Bài 1: (Tính trực tiếp)
a. 	b. 	c. 
d. ; 	e.
Bài 2: (Tính giới hạn dạng của hàm phân thức đại số)
Bài 3: (Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai)
Bài 4: (Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao)
Bài 5: (Tính giới hạn dạng của hàm số )
Bài 6: (Tính giới hạn dạng của hàm số)
Bài 7: (Giới hạn một bên)
Bài 8: (Tính giới hạn dạng của hàm số)
Bài 9: Cho hàm số . 
Tìm (nếu có).
Bài 10: Cho hàm số . 
Tìm (nếu có).
PHẦN III: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Hàm số liên tục 
1.1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên và . Hàm số f 
được gọi là liên tục tại điểm nếu