Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

ía bù nhau thì a và b song song với nhau”
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu hai góc nhọn xOy và mAn có Ox // Am, Oy // An thì 
Vì bài toán cho các cặp đường thẳng song song nên Gv hướng dẫn học sinh làm thế nào để có thể vận dụng được tính chất của hai đường thẳng song song. Nghĩa là cần vẽ thêm yếu tố phụ là một đường thẳng cắt các cặp đường thẳng song song để tạo ra các cặp góc so le trong, đồng vị hoặc trong cùng phía. Trong trường hợp này ta có thể vẽ thêm yếu tố phụ là tia OA. Khi đó trên hình sẽ xuất hiện các cặp góc đồng vị bằng nhau, giúp cho việc chứng minh dễ dàng hơn.
*Hướng dẫn giải: 
Vẽ tia OA, ta có:
Oy // An (hai góc đồng vị) (1)
Ox // Am (hai góc đồng vị) (2)
Từ (1) và (2)
* Tương tự ta cũng có thể chứng minh bài toán: “Nếu hai góc tù xOy và mAn có Ox // Am, Oy // An thì .
Hai góc xOy và mAn được gọi là hai góc có cạnh tương ứng song song.
Qua hai bài toán trên ta đã chứng minh được một tính chất về hai góc có cạnh tương ứng song song: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì chúng bằng nhau nếu cả hai đều nhọn hoặc đều tù” (1)
* Tương tự ta cũng có thể chứng minh bài toán: “Nếu hai góc xOy và mAn có Ox // Am, Oy // An và thì ” 
Qua bài toán này ta cũng chứng minh được một tính chất nữa về hai góc có cạnh tương ứng song song: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì góc này vuông nếu góc kia vuông” (2)
* GV cũng có thể thay đổi nội dung bài toán trên như sau: “Chứng minh rằng: Nếu góc xOy nhọn và mAn tù có Ox // Am, Oy // An thì ” 
GV phân tích: vì tù nên góc kề bù với là góc nhọn, do đó ta có thể vẽ tia At là tia đối của tia An để được góc mAt là góc nhọn. 
Khi đó hai góc xOy và mAt đều nhọn có Ox // Am, Oy // At nên 
Ta lại có: (hai góc kề bù)
Từ đó suy ra 
Nếu thay góc xOy tù và góc mAn nhọn thì ta cũng có 
Qua bài toán trên ta cũng chứng minh được một tính chất nữa về hai góc có cạnh tương ứng song song: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù” (3)
Từ ba tính chất (1); (2) và (3) có được ở các bài toán trên ta có định lý sau:
“Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì:
a) Chúng bằng nhau nếu cả hai góc đều nhọn hoặc đều tù
b) Góc này vuông nếu góc kia vuông
c) Chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù”
	Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng: .
Vì 2AM = BC, do đó ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng bằng 2AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Trong trường hợp này, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
*Hướng dẫn giải:
Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA.
Xét MAC và MDB có: 
MD = MA, (2 góc đối đỉnh), MC = MB (gt)
MAC = MDB(c.g.c) AC = DB, 
Vì mà là hai góc so le trong nên AC // BD
Ta có: 
Xét ABC và BAD có: AC = BD, , cạnh AB chung
ABC = BAD (c.g.c) BC = AD (2 cạnh tương ứng)
Mà 
* Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC. Do đó qua bài toán trên ta đã chứng minh được tính chất: “Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền”.
Trong quá trình dạy học Hình học, khi dạy một định lý hay tính chất nào đó, giáo viên có thể đưa ra một bài toán có nội dung là định lý, tính chất trong bài học, yêu cầu HS vận dụng kiến thức đã học để chứng minh, từ đó rút ra định lý, tính chất qua bài toán. Bằng cách này giáo viên vừa có thể tạo tình huống có vấn đề, vừa ôn lại được kiến thức đã học, vừa đưa ra được kiến thức của bài mới. Nhưng để vận dụng được kiến thức đã học để giải bài toán thì thường phải vẽ thêm yếu tố phụ. Do đó HS phải nắm vững được kiến thức đã học, biết cách vẽ thêm yếu tố phụ phù hợp để đưa về dạng toán đã biết. Từ đó có thể giải bài toán dễ dàng. 
b.2. Vẽ thêm yếu tố phụ để mở rộng và phát triển bài toán.
Trong các tiết luyện tập ôn tập hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi, sau khi cho HS làm xong một bài toán hình nào đó, giáo viên có thể vẽ thêm yếu tố phụ trên hình để khai thác, phát triển hoặc mở rộng bài toán, tạo ra các dạng bài toán mang tính chất tổng hợp. Làm như vậy sẽ kích thích được trí tò mò, phát huy khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh, đồng thời làm cho học sinh hứng thú hơn với việc học Hình học. Ngoài ra việc vẽ thêm yếu tố phụ để mở rộng bài toán còn giúp giáo viên ra đề kiểm tra Hình học dễ dàng hơn.
Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên tia đối của các tia BA và CA, lấy hai điểm D và E, sao cho BD = CE. Chứng minh DE //BC.
*Hướng dẫn giải: 
Ta có: AB = AC (gt) và BD = CE (gt) nên AD = AE cân tại A.
cân tại A 
cân tại A 
Từ (1) và (2) . Mà và là hai góc đồng vị nên BC // DE.
Sau khi HS giải xong bài toán trên, giáo viên vẽ thêm yếu tố phụ: Từ D kẻ DM vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC” sau đó yêu cầu HS chứng minh:
+) DM = EN 
+) Tam giác AMN là tam giác cân.
Hướng dẫn giải: 
* Chứng minh DM = EN:
cân tại A 
Mà (hai góc đối đỉnh). 
Do đó 
có: 
BD = CE, 
(cạnh huyền – góc nhọn) 
DM = EN (hai cạnh tương ứng)
* Chứng minh cân:
(cmt) (hai góc tương ứng) 
Ta có: AMD = ANE (vì AD = AE, , DM = EN )
AM = AN (hai cạnh tương ứng) cân tại A.
GV tiếp tục mở rộng bài toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ như sau: Từ B kẻ BH vuông góc với AM tại H, từ C kẻ CK vuông góc với AN tại K, chúng cắt nhau tại I. Yêu cầu HS chứng minh:
+) BH = CK, AH = AK
+) AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.
+) AI là đường trung trực của BC
+) Tam giác IBC cân.
+) AI vuông góc với DE
Hướng dẫn giải: 
*Chứng minh: BH = CK, AH = AK:
Ta có: AMD = ANE (cmt) 
(vì AB =AC, )
BH = CK, AH = AK (hai cạnh tương ứng)
*Chứng minh: AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.
Ta có: AHI = AKI (vì AI chung, AH = AK) (1)
AMD = ANE (cmt) (2)
Từ (1) và (2) (3)
Từ (1) và (3) AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.
*Chứng minh: AI là đường trung trực của BC
Gọi O là giao điểm của AI và BC
Khi đó ABO =ACO (Vì AB = AC, , AO chung)
(hai góc tương ứng)
Mà (hai góc kề bù) nên tại O (4)
Ta lại có: ABO = ACO OB = OC (2 cạnh tương ứng) (5)
Từ (4) và (5) AO là đường trung trực của BC hay AI là đường trung trực của BC.
*Chứng minh tam giác IBC cân:
ABI = ACI (Vì AB = AC, , AI chung) IB = IC (2 cạnh tương ứng) IBC cân tại I.
*Chứng minh AI vuông góc với DE:
Ta có: 
Bài toán trên vẫn có thể tiếp tục mở rộng theo hướng khác, chẳng hạn có thể yêu cầu HS chứng minh AI là đường trung trực của MN và DE; chứng minh HK // MN hoặc gọi P là trung điểm của DE, chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng,...
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M, từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N. Chứng minh MD = NE.
*Hướng dẫn giải: 
 Ta có: ABC cân tại A 
 Mà (hai góc đối đỉnh) nên 
 Hai tam giác vuông BDM và CEN có: 
(cmt) và BD = CE (gt)
 BDM = CEN (cgv – gnk)
 	 MD = NE (2 cạnh tương ứng)
*Sau khi học sinh giải xong, GV vẽ MN cắt DE tại I. Yêu cầu HS chứng minh I là trung điểm của DE.
Ta có: MD // NE () (2 góc so le trong)
Hai tam giác vuông DMI và ENI có: (cmt) và MD = NE (gt)
DMI = ENI (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
 DI = IE (2 cạnh tương ứng) hay I là trung điểm của DE.
* GV có thể tiếp tục vẽ thêm yếu tố phụ để tạo thêm hình như sau: Từ C kẻ đường vuông góc với AC, từ B kẻ đường vuông góc với AB, chúng cắt nhau tại O rồi yêu cầu HS chứng minh AO là đường trung trực của BC.
*Hướng dẫn giải: 
Hai tam giác vuông ABO và ACO có: AB = AC, AO chung
ABO = ACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
(2 góc tương ứng) 
Gọi H là giao điểm của AO và BC
Xét ABH và ACH có: AB = AC, , AH chung
ABH = ACH (c.g.c) 
(2 góc tương ứng) và HB = HC
 (2 cạnh tương ứng)
Mà (hai góc kề bù)
 tại H
 tại trung điểm H của BC
Vậy AO là đường trung trực của BC.
Qua hai bài toán trên có thể thấy việc vẽ thêm yếu tố phụ có thể giúp giáo viên khai thác, mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau, tạo ra bài toán tổng hợp được rất nhiều kiến thức và nhiều cách chứng minh Hình học giúp giáo viên thuận lợi trong việc ôn tập hoặc ra đề kiểm tra.
Trong quá trình giảng dạy, khi giáo viên đưa ra các bài tập có hình vẽ phức tạp và có nhiều câu hỏi ngay một lúc thì sẽ làm cho HS có cảm giác ngợp và vốn đã sợ làm bài tập hình thì lại càng sợ hơn. Không giống như Số học hay Đại số, chỉ cần nhìn đề bài là học sinh nhận ra được yêu cầu của bài toán, nhận biết được dạng toán, biết bài toán dễ hay khó và có làm được hay không, còn bài tập hình học thì bắt buộc học sinh phải vẽ được hình, dựa vào hình vẽ để giải, do mỗi bài lại có cách giải khác nhau nên học sinh thực sự cảm thấy rất khó khăn và luôn có tư tưởng ngại khó, sợ mình không làm được. Chính vì thế giáo viên không nên đưa ra các dạng bài tập có nhiều câu, mà nên khéo léo vẽ dần thêm các yếu tố phụ để mở rộng thêm bài toán sau khi học sinh làm xong từng câu, như vậy học sinh sẽ cảm thấy đỡ áp lực và hứng thú hơn với bài học mà giáo viên lại đưa ra được nhiều kiến thức tổng hợp cho học sinh.
b.3. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán mà nếu không vẽ thêm yếu tố phụ thì không thể tìm được lời giải.
Trong qua trình dạy và học Hình học, chắc chắn cả giáo viên và học sinh sẽ gặp phải những bài toán hình học mà nếu chỉ dựa vào các yếu tố bài toán đã cho thì chưa thể tìm được lời giải. Do đó cả GV và HS phải tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ đưa bài toán về dạng quen thuộc hoặc có thể sử dụng các kiến thức đã học để giải. Việc vẽ thêm yếu tố phụ một cách hợp lý thực sự rất khó đối với nhiều học sinh, đòi hỏi phải có sự sáng tạo để thuận lợi cho việc giải toán chứ không phải vẽ một cách tùy tiện. Do đó giáo viên phải biết cách gợi ý, dẫn dắt học sinh để tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ cho phù hợp với bài toán đặt ra.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có . Chứng minh 
Nếu chỉ dựa vào hình vẽ và các yếu tố đã cho thì chưa thể giải được bài toán. Do đó phải tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải. Vì nên ta nghĩ đến việc tạo ra tam giác đều. Có thể vẽ thêm điểm D sao cho A là trung điểm của BD, khi đó ABD là tam giác đều, từ đó có thể giải được bài toán dễ dàng.
*Hướng dẫn giải:
Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. 
Ta có (vì )
Xét ABC và ADC có: AB = AD, = 900, AC chung
ABC = ADC (c.g.c) 
(2 góc tương ứng) 
BCD có nên là tam giác đều BD = BC = DC
Mà 
Qua bài toán này, giáo viên lưu ý HS: “Nếu ABC vuông tại A có hoặc thì ”. Đây là một tính chất quan trọng mà HS có thể sử dụng để làm các bài toán liên quan đến nửa tam giác đều.
Ví dụ 2: Cho ABC có . Chứng minh BC2 = AB2 + AC2 – AB . AC
Bài toán chỉ cho duy nhất một yếu tố là , mà lại yêu cầu chứng minh BC2 = AB2 + AC2 – AB . AC. Dựa vào yếu tố đã cho thì chưa giải được bài toán nên ta nghĩ đến việc vẽ thêm yếu tố phụ là đường vuông góc để tạo ra nửa tam giác đều và để có thể áp dụng được định lý Pi-ta-go. Trong trường hợp ta vẽ yếu tố phụ là đường thẳng CH vuông góc với AB (H AB). Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông HAC, HBC ta sẽ có điều phải chứng minh.
*Hướng dẫn giải: 
Vẽ đường thẳng CH vuông góc với AB (H AB). 
HAC vuông tại H có nên là nửa tam giác đều 
Ta có: HB = AB – AH = AB - 
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào ta giác vuông HAC , ta có:
AC2 = AH2 + HC2 HC2 = AC2 - AH2 = AC2 - =
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào ta giác vuông HBC, ta có:
BC2 = HB2 + HC2
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC (AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng BD = CE.
Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba rồi chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Muốn vậy ta cần vẽ thêm yếu tố phụ là đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F. BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó.
*Hướng dẫn giải: 
Vẽ đường thẳng qua B và song song với CE, gọi F là giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng DE.
Khi đó (hai góc so le trong)
Xét MBF và MCE có:
, BM = MC (gt), (hai góc đối đỉnh)
Do đó: MBF = MCE (c.g.c) 
 BF = CE (2 cạnh tương ứng) (1)
Mặt khác ADE có AH là đường cao (AHDE) và là tia phân giác của 
Nên ADE cân tại A 
Mà BF // CE (2 góc đồng vị)
Do đó: ADE cân tại A BF = BD (2)
Từ (1) và (2) CE = BD.
Ví dụ 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có . Gọi D là điểm nằm trong tam giác sao cho . Tính số đo .
ABC (AB = AC) có mà , cần tìm số đo . Từ giả thiết trên và qua kinh nghiệm giải các bài toán về tính số đo góc, vẽ thêm tam giác đều là công cụ thường sử dụng nhất. Do vậy trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tam giác đều BEC, từ đó ta xác định được số đo .
*Hướng dẫn giải: 
Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tam giác đều BEC.
ABC cân tại A 
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia BC có 
 Tia BA nằm giữa hai tia BC, BE.
Xét EBA và ECA có:
EB = EC (vìEBC đều), EA chung, AB = AC(gt)
EBA = ECA(c.c.c) (2 góc tương ứng)
Mà 
Xét EBA và BDC có:
, EB = BC (vìEBC đều), 
EBA và BDC(g.c.g)BA = BD (2 cạnh tương ứng)
BAD cân tại B
Mà 
Vậy 
Qua các bài toán trên có thể thấy chỉ dựa vào giải thiết ta chưa thể tìm ra lời giải bài toán, do đó phải tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ hợp lý để giải bài toán đã cho. Tuy nhiên việc vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải bài toán hình học lại là điều khó khăn và rất phức tạp đối với cả giáo viên và học sinh. Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ, nó đòi hỏi sự thông minh sáng tạo khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt mục đích là tạo điều kiện để giải bài toán một cách ngắn gọn và dễ dàng hơn chứ không phải tùy tiện thích vẽ thêm là vẽ. Do đó giáo viên phải thường xuyên đưa ra dạng toán này để học sinh nắm được nhiều cách vẽ thêm yếu tố phụ khác nhau, từ đó áp dụng làm bài ập tương tự. 
b.4. Vẽ thêm yếu tố phụ để đưa ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán.
Trong quá trình giảng dạy, và bồi dưỡng học sinh giỏi, việc mở rộng và nâng cao kiến thức đã học nhằm phát triển tư duy, phát huy tính độc lập, sáng tạo và bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh là vô cùng quan trọng. Chính vì thế giáo viên cần phải tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải hay cho một bài toán. Hệ thống kiến thức và bài tập đưa ra phải đa dạng, phong phú, có sức hấp dẫn, lôi cuốn, kích thích được trí tò mò và mong muốn khám phá của học sinh. Trong các tiết luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên khéo léo chọn lựa, cho học sinh làm một số bài toán có thể giải bằng nhiều cách bằng cách vẽ thêm các yếu tố phụ khác nhau. Trong đó học sinh có thể dùng kiến thức và phương pháp giải đã học để giải bài toán. Điều đó sẽ tạo yếu tố bất ngờ, thú vị, kích thích trí tò mò và phát huy khả năng sáng tạo của học sinh. Học sinh sẽ cảm thấy rất hứng thú và say mê học Toán khi phát hiện ra các cách giải mới cho một bài toán mà mình chưa biết.
Ví dụ 1: “Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh : ”
Học sinh đã được học bài trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh – góc – cạnh nên có thể sử dụng để giải bài toán trên theo một trong các cách sau:
*Cách 1: 
A
C
B
Xét ABC và ACB có:
AB = AC (gt); chung, AC = AB (gt)
 ABC = ACB (c – g – c)
 (2 góc tương ứng)
Cách giải này ít học sinh nghĩ đến vì để chứng minh hai góc bằng nhau thường phải dựa vào số đo góc hoặc dựa vào chứng minh hai tam giác bằng nhau. Trong bài này giáo viên cũng chứng minh hai tam giác bằng nhau nhưng thực chất vẫn là một tang giác nhưng thay vị trí các đỉnh tương ứng. Học sinh sẽ thấy rất bất ngờ và thú vị khi giáo viên đưa ra cách giải này.
H
2
1
B
C
A
*Cách 2:
Kẻ AH là tia phân giác của , 
Xét ABH và ACH có:
AB = AC (gt); AH chung, (theo cách vẽ)
 ABH = ACH (c – g – c)
 (2 góc tương ứng)
Để chứng minh trong trường hợp này thì học sinh phải vẽ thêm yếu tố phụ là vẽ thêm tia phân giác của góc A để tạo ra hai tam giác bằng nhau rồi chứng minh hai tam giác bằng nhau dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh. Đây là một cách vẽ yếu tố phụ đơn giản mà học sinh có thể thực hiện được.
	Học sinh cũng có thể vẽ yếu tố phụ để giải bài toán trên theo hai cách sau:
* Cách 3:
Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE.
Ta có: AB = AC (gt) ; BD = CE (cách vẽ)
1
E
D
B
C
A
1
 AB + BD = AC + CE AD = AE
Xét ADC và AEB có:
AB = AC (gt); chung, AD = AE (cmt)
 ADC và AEB (c – g – c)
Xét BDC và CEB có:
BD = CE (cmt); (cmt), DC = EB (cmt)
BDC = CEB (c – g – c) (2 góc tương ứng)
Mà: 
	*Cách 4:
1
2
1
1
1
N
M
B
C
A
1
Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho: AM = AN.
Xét ABN và ACM có:
AM = AN (cách vẽ); (đđ), AB = AC (gt)
ABN = ACM (c – g – c)
;NB = MC
Xét MBC và NCB có: (cmt); NB = MC (cmt); MB = NC ( vì AB = AC, AM = AN)
MBC = NCB (c – g – c) (2 góc tương ứng)
Cũng vẽ thêm yếu tố phụ để tạo ra hai tam giác bằng nhau, nhưng trong cách 3 và cách 4 mức độ khó và phức tạp cao hơn cách 2 rất nhiều, trong trường hợp này không thể chứng minh ngay hai tam giác chứa góc B và góc C bằng nhau mà phải chứng minh thêm cặp tam giác khác bằng nhau trước, từ đó sử dụng một số yêu tố bằng nhau trong hai tam giác này để chứng minh hai tam giác chứa góc B và góc C bằng nhau.
 	Qua bài toán này, giáo viên giúp học sinh thấy được đối với nhiều bài toán hình học, nếu chỉ sử dụng giả thiết đề bài cho nhiều khi chưa giải được bài toán, nhưng nếu biết cách vẽ thêm yếu tố phụ hợp lý, sáng tạo thì việc giải bài toán sẽ trở nên dễ dàng và thuận lợi hơn chẳng hạn như cách 2 trong bài toán này. Học sinh sẽ biết thêm một phương pháp giải toán hình học mới. 	
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng: DE // BC và .
* Cách 1:
Nếu chỉ dựa các yếu tố đã cho trong hình vẽ thì chưa thể chứng minh được DE // BC và . Để giải bài toán trên ta có thể vẽ thêm yếu tố phụ là lấy điểm M trên tia đối của tia ED sao cho EM = ED để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó chứng minh được DE // BC và .
*Hướng dẫn giải:
 Trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho EM = ED.
1
2
2
1
1
M
E
D
C
B
A
Xét EAD và ECM có: 
EA = EC (gt), (đđ), ED = EM (theo cách vẽ)
 EAD = ECM (c-g-c)
 AD = CM (2 cạnh tương ứng); (2 góc tương ứng)
Ta có : , mà và là hai góc so le trong 
 AD // CM (hai góc so le trong )
Xét BDC và MCD có: 
BD = MC (= AD) , (cmt), DC chung.
 BDC = MCD (c – g – c)
 BC = DM (2 cạnh tương ứng); (2 góc tương ứng)
Ta có : , mà và là hai góc so le trong DE // BC
Vì mà DM = BC .
Vậy DE // BC và .
*Cách 2 : Ngoài cách vẽ thêm yếu tố phụ như cách 1, ta cũng có thể vẽ thêm yếu tố phụ là trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // AB. Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó chứng minh được DE // BC và .
Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // AB. 
Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD.
 Xét EAD và ECN có: 
3
N
x
A
B
C
D
E
1
1
2
2
1
EA = EC (gt), (vì AD // CN), AD= CN (theo cách vẽ)
 EAD = ECN (c-g-c)
(2 góc tương ứng) và DE = EN (2 cạnh tương ứng); 
Mà (kb) nên 
 ED và EN là hai tia đối nhau D, E, N thẳng hàng.
Xét BDC và NCD có: 
BD = CN (= AD) , (BD // CN), DC chung.
 BDC = NCD (c – g – c)
 BC = DN (2 cạnh tương ứng); (2 góc tương ứng)
Ta có : , mà và là hai góc so le trong DE // BC
Vì mà DN = BC 
Vậy DE // BC và .
Qua bài toán trên ta cũng chứng minh được một tính chất: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại. Đoạn thẳng này được gọi là đường trung bình của tam giác mà ta sẽ được học ở Hình học lớp 8. 
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm cạnh AB. Trên tia đối của tia BA lấy E sao cho BE = AB. Chứng minh rằng . 
Trong bài toán ở ví dụ 2, ta đã chứng minh được trong một tam giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại mà trong bài toán này đã cho một yếu tố trung điểm và yêu cầu chứng minh độ dài một đoạn thẳng bằng một nửa đoạn thẳng khác nên ta có thể vận dụng tính chất được chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại để giải. Có thể giải bài toán trên theo