Một số kinh nghiệm vận dụng phương pháp tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán ở Tiểu học

 cách máy móc vào sách giáo khoa, hầu như ít sáng tạo, chưa gây được hứng thú học tập cho học sinh. Đặc biệt là giáo viên dạy bồi dưỡng học Năng khiếu khối 4,5 khi hướng dẫn giải những bài toán khó, phức tạp, giáo viên còn lúng túng, chưa biết vận dụng phương pháp tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng để hướng dẫn cho học sinh. Nên việc dạy bồi dưỡng học sinh Năng khiếu còn có nhiều hạn chế và hiệu quả chưa cao. 
KÕt qu¶ ®iÒu tra khảo sát vÒ “Gi¶i to¸n cã lêi v¨n ” cña häc sinh líp 4, 5 n¨m häc 2014 – 2015 nh­ sau :
Khối lớp
TSHS
KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Giải toán bằng pp tóm tắt sơ đồ đoạn thẳng
Giải toán bằng các pp khác
HS đạt HT trở lên
Trong đó HS đạt HTT.
HS đạt HT trở lên
Trong đó HS đạt HTT.
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
4
24
18
75%
8
33%
15
63%
8
33%
5
25
18
72%
9
36%
16
64%
7
28%
Nhìn vào bảng kháo sát ta thấy tỉ lệ học sinh giải toán bằng cách vận dụng phương pháp tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng ở cả hai khối chiếm tỉ lệ cao hơn số HS vận dụng các phương pháp khác nhưng tỉ lệ HS đạt HT trở lên và HTT thấp.
II. CÁC biÖn ph¸p thùc hiÖn :
 1. N¾m b¾t néi dung ch­¬ng tr×nh :
 Trong quá trình dạy học toán ở nhà trường Tiểu học,trong nhiều năm dạy lớp 4 và lớp 5và đặc biệt trong quá trình tham gia dạy bồi dưỡng học sinh Năng khiếu lớp 4 lớp 5 cho các em .Tôi nhận thấy giải toán bằng cách tóm tắt theo sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng phổ biến nhất hiện nay.Với phương pháp này, người giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách sử dụng những đoạn thẳng biểu thị các dữ kiện đã cho, chưa biết, mối quan hệ toán học trong bài toán. Có những bài toán rất phức tạp nhưng nếu ta biết vận dụng khéo léo sơ đồ đoạn thẳng thì bài toán trở nên dễ hơn và những lời giải độc đáo.
Xuất phát từ cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tôi thấy: Muốn giải được các bài toán,cần phải biết cách khai thác các điều kiện của chúng.
Sau đây là một vài ví dụ điển hình:
 2. Nội dung và biện pháp thực hiện:
2.1.Vận dụng sơ đồ đoạn thẳng vào giải toán “ có lời văn “
 Bài toán 1:
Hãy tìm 3 số tự nhiên,biết rằng tổng của chúng bằng 1990. Nếu đem số thứ 
nhất chia cho số thứ hai thì được thương là 2và dư 9, số thứ hai hơn thứ 3 là 3 đơn vị.
* Hướng dẫn HS tóm tắt bài toán bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng
- Ta xem số thứ nhất biểu thị 1 phần, thì số thứ hai là bao nhiêu? ( 1 phần và thêm 3 đơn vị)
- Nếu đem số thứ nhất chia cho số thứ hai thì được thương là 2 và dư 9, có nghĩa thế nào? ( số thứ nhất gấp 2 lần số thứ hai và thêm 9 đơn vị)
?
- Từ đó hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ theo các dữ kiện đã phân tích rồi giải bài toán.
Giải :
Sè thø 3:
Ta có sơ đồ:
3
Sè thø 2:
1990
?
Sè thø 1:
9
3
3
?
Dựa vào sơ đồ ta có :
Bốn lần số thứ 3là:	1990 - (3+3+3+9) = 1972
Số thứ 3 là: 	1972 : 4 = 493
Số thứ 2 là: 	493 + 3 = 496
Số thứ 1 là:	1990 - (496 + 493) = 1001
Đáp số: 1001, 496, 493
Bài toán 3:
Có hai bao lạc,bao thứ nhất có 52kg, bao thứ 2 có 37kg. Hỏi cùng phải bớt ở mỗi bao bao nhiêu kg lạc để số lạc ở bao thứ hai bằng số lạc ở bao thứ nhất?
* Hướng dẫn HS tóm tắt bài toán bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng
- Số lạc ở bao thứ nhất hơn số lạc ở bao thứ hai là bao nhiêu? ( 52 – 37 = 15(kg) )
- Sau khi bớt thì số lạc ở bao thứ hai bằng số lạc ở bao thứ nhất. Vậy bao thứ nhất biểu thị mấy ? ( 2 phần) và bao thứ hai biểu thị mấy phần?( 5 phần như thế )
- 15 kg gồm có mấy phần? ( 3 phần)
- Với cách tóm tắt bằng sơ đồ doạn thẳng như vậy thì HS rất dễ hiểu, nhìn vào sơ đồ HS có thể giải được bài toán một cách dễ dàng hơn.
 Giải
Số lạc ở bao thứ nhất nhiều hơn số lạc ở bao thứ hai là:
 52 – 37 = 15(kg)
Ta có sơ đồ sau khi bớt 
Bao thứ 2: 15kg 
Bao thứ nhất:
Số lạc ở bao thứ 2 sau khi bớt là: 15 : 3 x 2 = 10 (kg)
Vậy cần phải bớt ở mỗi bao là: 37 – 10 = 27 (kg)
 Đáp số: 27kg
 2.2.Vận dụng sơ đồ đoạn thẳng vào giải toán “ Tìm hai số khi biết tổng (hiệu ) và tỉ số.”
 Đây là bài toán quen thuộc đối với học sinh lớp 4, 5 và phương pháp được sử dụng nhiều nhất là dùng sơ đồ đoạn thẳng. Bởi lẽ mang nhiều tính trực quan và khi vẽ sơ đồ lên thì các mối quan hệ được biểu thị bằng một phần bằng nhau nhất định để thể hiện tỉ số .
 Bài toán1:
An và Bình có tất cả 60 bi. Nếu An cho Bình sè bi cña An th× lóc nµy sè bi cña hai b¹n b»ng nhau.Hái lóc ®Çu mçi b¹n cã bao nhiªu bi ?
 * Hướng dẫn HS tóm tắt bài toán bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng
- Sau khi cho Bình thì tổng số bi của 2 bạn có thay đổi không? ( Không, vẫn là 60 bi)
- Trước khi cho Bình thì số bi của An là mấy phần? ( 4 phần) . Vậy số bi của Bình sẽ mấy phần? ( 2 phần)
- Sau khi cho Bình thì số bi của 2 bạn như thế nào? ( Bằng nhau) . Mỗi bạn có mấy phần? ( 3 phần).
- Với cách hướng dẫn như vậy thì HS sẽ tóm tắt được bài toán bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng rồi giải bài toán đó.
Bµi gi¶i
BiÓu thÞ sè bi cña An lµ bèn ®o¹n,ta cã s¬ ®å :
?bi
?bi
Số bi của An:
Số bi của Bình: 
Tổng số bi của hai bạn vẫn là 60 bi 
Số bi của mỗi người đó biểu thị bằng 3 phần bằng nhau 
Tổng đó gồm : 3 x 2 = 6 (phần )
Vậy số bi của An là: 60 : 6 x 4 = 40 (bi)
Số bi của Bình là: 60 – 40 = 20 (bi) 
 	Đáp số: An 40bi ,Bình 20bi 
 Bài toán 2:
Lừa và ngựa cùng đi mỗi con mang trên mình một số bọc hàng các bọc hàng đều nặng bằng nhau lừa kêu là mang nặng,ngựa nói: Bạn kêu nỗi gì? Nếu tôi cho bạn một bọc hàng thì lúc đó chúng ta mới mang nặng ngang nhau .Nếu bạn cho tôi một bọc hàng thì số bọc hàng của tôi sẽ gấp đôi số bọc hàng của bạn .
Tính xem mỗi con mang bao nhiêu bọc hàng?
- GV vừa hướng dẫn HS tóm tắt bài toán vừa hướng dẫn giải:
Bài Giải
Nếu ngựa cho lừa một bọc hàng thi lừa và ngựa mang bằng nhau tức là ngựa hơn lừa: 1+1 =2(bọc)
Nếu lừa cho ngựa một bọc thì số bọc hàng của ngựa sẽ gấp đôi số bọc hàng của lừa nên ta có sơ đồ :
1bäc
Số bọc hàng lừa mang :
2 bäc
Số bọc hàng ngựa mang:
số bọc hàng của ngựa khi đã được lừa cho là 4 bọc 
Số bọc hàng ngựa mang là: 4 x 2 -1 = 7 (bọc )
Số bọc hàng lừa mang là 7 -2 = 5 (bọc )
 Đáp số : Lừa:5 bọc, Ngựa : 7 bọc
 Bài toán 3
Hai số có tổng bằng 360, biết số thứ nhất bằng số thứ hai. Tìm hai số đó. 
- Với bài toán này thì GV chỉ cần 1 gợi ý nhỏ là HS có thể vẽ được sơ đồ và đưa bài toán về dạng điển hình để giải.
- Gợi ý: số thứ nhất bằng số thứ hai có nghĩa là số thứ nhất bằng mấy phần số thứ hai? (). Vậy nếu số thứ nhất biểu thị 4 phần thì số thứ hai mấy phần? ( 6 phần)
Giải?
360
Ta có sơ đồ : 
Số thứ nhất:
Số thứ hai:
?
Số thứ nhất là 360 : ( 4+6 ) x 4= 144 
Số thứ hai là 360 - 144 = 216 
 Đáp số 144, 216
2.3,Vận dụng sơ đồ vào giải các bài toán liên quan đến “ Số trung bình cộng “
 Bài toán 1:
Lớp 5A, lớp 5B và lớp 5C trồng cây . Biết trung bình cộng số cây ba lớp trồng là 220 cây.Nếu 5A trồng bớt đi 30 cây, 5B trồng thêm 80 cây, 5C trồng thêm 40 cây thì số cây ba lớp trồng được sẽ bằng nhau,Tính số cây mỗi lớp đã trồng ?
Bài giải
Tổng số cây ba lớp đã trồng là
220 x 3 =660 (cây )
Nếu 5A trồng bớt đi 30 cây, 5B trồng thêm 80 cây, 5C trồng thêm 40 cây thì số cây 3 lớp bằng nhau nên ta có sơ đồ :
30 c©y
80 c©y
40 c©y
Lớp 5A 
660 c©y
Lớp5B 
Lớp 5C
Nếu lớp 5A bớt 30 cây, 5B thêm 80 cây, 5C thêm 40 cây thì số cây của 3 lớp là 
 660 - 30 + 80 +40 = 750 ( cây )
 Khi đó mỗi lớp trồng được số cây là 
 750 : 3 =250 (cây )
 Số cây lớp 5A trồng được là 
 250 + 30 = 280 (cây )
 Số cây lớp 5B trồng là 
 250 - 80 = 170 (cây )
 Số cây lớp 5C trồng là 
 250 - 40 = 210 ( cây )
 Đáp số :5A; 280 cây , 5B:170 cây,5C ;210 cây.
 Bài toán 2
Lớp 5A trồng được 21 cây, lớp 5B trồng được 22 cây, lớp 5C trồng được 29 cây, lớp 5D trồng được số cây lớn hơn trung bình cộng số cây của cả bốn lớp là 3 cây. Hỏi lớp 5D trồng được bao nhiêu cây?
 Giải 
Ta thấy tổng số cây của 3 lớp 5A, 5B, 5C và cộng thêm 3 cây nữa thì sẽ bằng TBC số cây của cả 4 lớp.Ta có sơ đồ :
TBC
TBC
TBC
TBC
 Trung bình cộng số cây cả 4 lớp 
 (21+22+29+3) : 3 = 25( cây)
 Số cây của lớp 5D là 
 (22+3)= 28( cây )
 Đáp số :28 cây 
2.4. Vận dụng sơ đồ đoạn thẳng vào giải toán “ hình học “
 Bài toán1
Một hình chữ nhật có chu vi gấp 5 lần chiều rộng . Nếu tăng chiều rộng 9m, tăng chiều dài 3m thì được một hình vuông .Tính các cạnh của hình vuông đó .
 *Hướng dẫn HS tóm tắt bài toán bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng
- Một hình chữ nhật có chu vi gấp 5 lần chiều rộng có nghĩa là chu vi của hình đó bằng 5 lần chiều rộng.
- Nếu tăng chiều rộng 9m, tăng chiều dài 3m thì ta thấy 2 lần chiều dài sẽ bằng 3 lần chiều rộng, nếu xem chiều dài là 3 phần bằng nhau thì chiều rộng là 2 phần , nên chiều dài hơn chiều rộng là 1 phần.
- Nếu so sánh chiều dài với chiều rộng thì chiều bớt 3m bằng chiều rộng thêm 9m, khi đó chiều dài bằng chiều rộng đó chính là cạnh hình vuông.
- Nhìn vào sơ đồ thì HS sẽ thấy được chiều dài hơn chiều rộng mấy mét, phần hơn đó chính là độ dài của 1 phần. Từ đó HS sẽ tính được các dữ kiện còn lại.
Giải
Ta có sơ đồ CD CR
Chu vi:
 CR
Chu vi:
Ta thấy 2 lần chiều dài bằng 3 lần chiều rộng, nếu xem chiều dài là 3 phần bằng nhau thì chiều rộng là 2 phần .
Số phần chiều dài hơn chiều rộng là : 3 - 2 = 1( phần ) 
So sánh chiều dài với chiều rộng theo sơ đồ :
 CD 
Cạnh hình vuông : 3m 
 CR 9m
C¹nh h×nh vu«ng :
ChiÒu dµi h¬n chiÒu réng sè mÐt lµ :9 - 3 = 6 ( m)
VËy mét phÇn b»ng 6m . ChiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt cã sè m lµ :
 6 x 3 = 18 (m)
ChiÒu réng h×nh ch÷ nhËt cã sè m lµ:
 6 x 2 = 12 (m)
 §¸p sè: ChiÒu réng: 12m,
 ChiÒu dµi : 18m
Bµi to¸n 2
Mét khu ®Êt h×nh ch÷ nhËt cã hai lÇn chiÒu réng kÐm chiÒu dµi lµ 8m, nh­ng chiÒu dµi l¹i kÐm ba lÇn chiÒu réng 64m.TÝnh diÖn tÝch cña khu ®Êt ®ã 
- Với bài toán này khi đọc lên HS sẽ rất mơ hồ và lúng túng không biết tìm cách nào để giải được bài toán dễ hiểu nhất. Nếu GV biết gợi ý các em tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng thì các em sẽ rất dễ hiểu và tìm được lời giải phù hợp.
- GV gợi ý: Hai lÇn chiÒu réng kÐm chiÒu dµi lµ 8m,ta cần vẽ sơ đồ như thế nào?( ta vẽ sơ đồ 2 phần chiều rộng, chiều dài bằng 2 phần chiều rộng và thêm 8m.)
+ Chiều dài kém ba lần chiều rộng 64m ta vẽ như thế nào? ( Vẽ thêm 1 phần chiều rộng và tăng chiều dài thêm 64m nữa)
R
R
R
8m
64m
Gi¶i
D
Ta cã s¬ ®å:
Nhìn vào sơ đồ ta thấy số đo chiều rộng là:
 8 + 64 = 72 (m)
Số đo chiều dài là: 72 x 2 + 8 = 152 (m)
Diện tích khu đất là: 72 x 152 = 10944 (m2)
 Đáp số: 10944 m2
Bài toán 3:Người ta mở rộng một mảnh vườn hình chữ nhật để có diện tích tăng 3 lần.Nhưng chiều rộng chỉ có thể tăng lên gấp đôi nên phải tăng thêm cả chiều dài.Khi đó vườn trở thành hình vuông.Tính diện tích mảnh vườn đó sau khi mở rộng biết chu vi mảnh vườn ban đầu là 42 m.
 Giải
Ta thấy tăng chiều rộng lên 2 lần thì diện vườn mới tăng được 2 lần.Để diện tích tăng 3 lần thì chiều dài phải tăng thêm 3 : 2 = 1,5(lần)
Lúc đó vườn trở thành hình vuông.
Ta có sơ đồ:
CD
CD
1,5 lÇn chiÒudµi 
2lần chiều rộng
CR
CR
Nếu chiều dài 4 phần thì chiều rộng là 3 phần và chu vi là:
 ( 4+3) x 2 = 14(phần)
 Chiều rộng vườn cũ là:42 : 14 x 3 = 9(m)
 Chiều dài vườn cũ là:42 : 14 x 4 = 12(m)
 Diện tích vườn cũ là: 9 x 12 = 108(m2)
 Diện tích vườn mới là:108 x 3 = 324(m2)
 Đáp số :324(m2)
Bài 4:
 Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. Nếu thêm vào chiều dài 10m,chiều rộng 15m thì chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Tính chu vi hình chữ nhật đó?
*GV gợi ý HS tìm hiểu bài toán và tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng như sau:
 Khi chiều dài tăng 10m,chiều rộng tăng 15m thì hiệu giữa chiều dài và chiều rộng giảm là mấy mét? (15-10=5(m))
Lúc đầu chiều dài gấp đôi chiều rộng tức là chiều dài hơn chiều rộng bao nhiêu? ( chiều dài.)
Lúc sau chiều dài gấp rưỡi chiều rộng tức là chiều dài hơn chiều rộng bao nhiêu? (chiều dài.)
Như vậy chiều dài lúc đầu hơnchiều dài lúc sau là mấy mét? ( 5m).Nên nếu biểu thị chiều dài lúc sau là 3 phần bằng nhau thìchiÒu dµi lóc ®Çu là mấy phần? (1phÇn vµ thªm 5m, chiÒu dµi lóc ®Çu ®­îc biÓu thÞ b»ng 2 phÇn nh­ thÕ vµ thªm ;5x2=10(m))
Giải
Ta có sơ đồ: 
 10m
ChiÒu dµi lóc ®Çu:
 10m
 Chiều dài lúc sau:
Chiều dài lúc đầu là: (10 + 10) x 2 + 10=50(m)
Chiều rộng lúc đầu là: 50 : 2 = 25(m)
Chu vi Hình chữ nhật là: (25 + 50) x 2 = 150(m)
 Đáp số: 150m
2.5. Vận dụng sơ đồ vào giải “các bài toán tính tuổi “
Việc vận dụng tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng vào các bài toán tính tuổi luôn tạo cho học sinh cách nhìn trực quan nhất .
 Bài toán 1
Khi anh tôi 9 tuổi thì mẹ mới sinh ra tôi. Trước đây, lúc mà tuổi anh bằng tuổi tôi hiện nay thì tôi chỉ bằng tuæi anh t«i ,
TÝnh tuæi anh t«i hiÖn nay.
- Đối với bài toán này nếu HS không tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng thì sẽ rất khó hình dung để giải, vì vậy GV cần gợi ý HS một cách giải dễ hiểu nhất.
* Gợi ý: Tuổi tôi trước đây bằng mấy phần tuổi tôi hiện nay? (). Vậy nếu biểu thị tuổi tôi trước đây là 2 phần thì tuổi tôi hiện nay là mấy phần như thế? ( 5 phần)
+ Tuổi tôi hiện nay hơn tuổi tôi trước đây là mấy tuổi? ( 9 tuổi). Từ đó HS sẽ vẽ được sơ đồ tuổi tôi trước đây và tuổi tôi hiện nay.
+ Tuổi anh hiện nay hơn tuổi em hiện nay là mấy tuổi? ( anh luôn hơn em 9 tuổi)
+ 9 tuổi gồm có mấy phần ( 3 phần). Vậy tuổi anh gồm mấy phần như thế? ( 5 + 3 = 8 (phần)) và lúc này HS vẽ được sơ đồ tuổi anh hiện nay.
 Gi¶i:
Ta cã s¬ ®å : 9 tuæi
Tuổi tôi trước đây :
Tuæi t«i hiÖn nay :
Tuổi anh hiện nay:
?tuæi
Dựa vào sơ đồ ta thấy tuổi anh hiện nay là: (9 : 3) x 8 = 24 (tuổi)
 Đáp số : Anh : 24 tuổi.
Bài toán2: Hiện nay tuổi bố gấp 7 lần tuổi con.Sau 10 năm nữa,tuổi bố gáp 3 lần tuổi con.Tính tuổi mỗi người hiện nay?
 Giải:
Ta thấy nếu tuổi con hiện nay là 1 phần thì tuổi bố là 7 phần như thế.
 Tuổi con:
 Tuổi bố:
 Hiệu số phần tuổi bố và tuổi con hiện nay là :
 7 – 1 = 6(phần)
Hiện nay tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của 2 bố con là:
 1 : 6 = 
Sau 10 năm nữa, nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 3 phần như thế(giá tri mỗi phần lớn hơn phần trên)
Tuổi con :
Tuổi bố:
Sau 10 năm, hiệu số tuổi bố và tuổi con là: 3 –1= 2(phần)
Sau 10 năm,tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của 2 bố conlà:
 1 : 2 = 
Vì hiệu số tuổi bố và tuổi con không đổi nên tacó thể so sánh về tỉ số tuổi con hiện nay và tuổi con sau này.Tuổi con hiện nay bằng hiệu số tuổi 2 bố con.Tuổi con sau 10năm nữa bằng (hay )hiệu số tuổi 2 bố con.
Vậy tuổi con sau 10 năm gấp 3 lần tuổi con hiện nay.
Ta có sơ đồ tuôỉ con ở 2 thời điểm:
?tuæi
10 n¨m
Tuổi con hiện nay: 
Tuổi con 10 năm sau:
Tuổi con hiện nay là: 10 :(3-1) =5(tuổi)
Tuổi bố hiện nay là:5 x 7 = 35(tuổi)
 Đáp số: Bố 35 tuổi; con 5 tuổi
2.6.Vận dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán “Chuyển động đều”
Toán chuyển động đều là 1 dạng toán điển hình ở tiểu học, khi gặp dạng toán này người đọc có cảm giác mơ hồ cứ như quen mà lạ thậm chí là bế tắc. Thế nhưng khi ta “gán”cho các bài toán này một công cụ trực quan thì việc giải toán trở nên đơn giản hơn. Bây giờ chúng ta đến với một vài ví dụ sau.
Bài toán 1: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30km/giờ.Sau đó đi từ B về A với vận tốc 45km/giờ, tính quãng đường AB, biết thời gian đi từ B về A ít hơn đi từ A về B là 40 phút.
 Giải
Tỉ số giữa vận tốc đi và vận tốc về trên quảng đường AB là: 30 : 45 = 
Ta có sơ đồ:
Thời gian đi từ A đến B: 
40phót
Thời gian về từ B đếnA
Thời gian đi từ A đến B là: 40 ´ 3 = 120(phút)
 Đổi 120phút = 2 giờ
Quảng đường AB dài là: 30 ´ 2 = 60(km)
 Đáp số:60km
Bài toán 2:
Cùng một lúc một ôtô đi từ A và một xe may đi từ B ngược chiều nhau để đến điểm C ở giữa AB,điểm C cách A là 300 km cách B là 260km.Vận tốc của ôtô là 60km/giờ vận tốc xe máy là 35km/giờ.Hỏi sau bao lâu thì ôtô và xe máy cùng cách C một khoảng như nhau?
 Giải
Dựa vào bài toán ta có sơ đồ:
 A D C D’ B
Ta thấy D và D’là điểm mà ô tô và xe máy cùng cách một khoảng như nhau,tức là đoạn DC=CD’.Giả sử ta” gấp đôi” đoạn AB lại tại điểm C khi đó đường đi của xe máy được vẽ bằng sơ đồ.
300 km
260 km
 A B D C
Dựa vào sơ đồ ta thấy :ô tô đuổi theo xe máy đi từ B và cùng đến C. Điểm D chính là điểm 2 xe gặp nhau.
Quãng dường AC dài hơn quãng đường BC là: 300-260=40(km)
Thời gian 2 xe đi để gặp nhau ở C là : 40:(60 - 35) =(giờ)
Vậy saugiờ (bằng 1 giờ 36 phút) thì 2 xe cùng cách đều C.
2.7. Vận dụng sơ đồ vào giải toán “phân số”
A.So sánh phân số
Bài toán 1:
So sánh hai phân số sau:và
Ta có sơ đồ: 
Từ sơ đồ ta thấy ngay :> 
Bài toán 2:So sánh hai phân số với 
Ta có sơ đồ biểu thị hai phân số như sau:
Từ sơ đồ ta thấy > 
Các bài toán phân số 
Bài toán 1
Tìm một phân số biết rằng : nếu ta chia mẫu số của phân số đó cho 3, giữ nguyên tử số thì giá trị phân số tăng lên .
* Gv hướng dẫn HS phân tích, vẽ sơ đồ rồi giải: 
+Khi chia mẫu số cho 3, giữ nguyên tử số tức là ta đã giảm số chia đi mấy lần? ( 3 lần) nên thương sẽ gấp lên mấy lần ( 3 lần) (giá trị phân số gấp lên 3 lần).Do đó phân số mới gấp mấy lần phân số ban đầu. ( 3 lần)
+ Từ đó HS vẽ được sơ đò như sau:
Giải:
 Phân số ban đầu: 
 Phân số mới: 
Phân số ban đầu là ::(3-1) = 
Bài toán 3 :Cho phân số .Hỏi phải cùng bớt ở cả tử số và mẫu số của phân số đã cho cùng một số nào để được một phân số mà sau khi rút gọn thì được phân số ?
* Gv gợi ý giải:
Hiệu giữa mẫu số và tử số của phân số đã cho là bao nhiêu? (37 – 25 = 12)
Khi trừ đi tử số và mẫu số của phân số cho cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử số và mấu của phân số đó thay đổi không? (không thay đổi.)
Ta có sơ đồ biểu diễn tử số và mẫu số của phân số mới :
12
Tử số:
Mẫu số : 
Tử số của phân số mới là: 12
 Số tự nhiên cần tìm là: 25 – 12 = 13
Bài toán 4:
Khi cộng thêm vào tử số đồng thời bớt đi ở mẫu số của với cùng một số tự nhiên ta được một phân số bằng .Tìm số tự nhiên đó ?
- Gv gợi ý như sau:
Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là: bao nhiêu? ( 59 + 91 = 150)
Nếu ta cộng thêm vào tử số đồng thời bớt đi ở mẫu số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó như thế nào? ( không thay đổi.)
- Tử số của p/s mới là mấy phần? ( 3 phần). Mẫu số của p/s mới là mấy phần? ( 2 phần) và HS có thể trình bày nbaif giải như sau:
Ta có sơ đồ biễu diễn tử số và mẫu số của phân số mới:
150
Tử số :
Mẫu số :
 Mẫu số của phân số mới là:
 150 : (3 + 2) x 2 =60
 Số tự nhiên cần tìm là:
 91 – 60 = 31
2.8.Vận dụng sơ đồ giải các bài toán về thực hành bốn phép tính với số thập phân
Bài toán 1
Khi cộng một số tự nhiên với một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân,một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy của số thập phân và đặt phép tính như cộng hai số tự nhiên nên nhận được kết quả bằng 1228.Tìm hai số đó, biết rằng kết quả của phép tính đúng bằng 847,3 .
- GV gợi ý HS vẽ sơ đồ rồi giải bài toán:
+ Kết quả của phép tính tăng thêm là bao nhiêu? ( 1228 - 847,3 = 380,7)
+ Khi bỏ quên dấu phẩy, số thập phân đó đã gấp lên mấy lần? ( 10 lần).
+ Số thập phân cần tìm kém số thập phân viết nhầm là mấy phần? ( 9 phần)
+ 9 phần đó bằng mấy? ( bằng 380,7)
- HS vẽ sơ đồ và giải bài toán.
 Ta có sơ đồ sau:
 STN STP
PhÐp tÝnh ®óng:
 380,7
Phép tính viết nhầm:
Số thập phân cần tìm là: 380,7 : (10-1) = 42,3 10 lần STP
Số tự nhiên cần tìm là : 847,3 - 42,3 = 805
 Hai số cần tìm là 805 và 42,3
Bài toán 2
Khi cộng một số tự nhiên với một số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân,do sơ suất, một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy của số thập phân đồng thời viết nhầm dấu cộng thành dấu trừ nên nhận được kết quả bằng 256. Tìm hai số đó,biết rằng kết quả của phép tính đúng bằng 514,56.
- GV gợi ý giải bài toán:
Khi bỏ quên dấu phẩy thì số đó gấp lên mấy lần? (100 lần.)
Ta có sơ đố sau:
 514,56
Phép tính đúng:
STP
 STN 
Phép tính viết nhầm:
 256 100lần STP
Kết quả của phép tính giảm đi là: 514,56 – 256 = 258,56
Số thập phân cần tìm là: 258,56 : (100+1) = 2,56
Số tự nhiên cần tìm là: 514,56 - 2,56 = 512
 Vậy hai số cần tìm là: 512 và 2,56
III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
 Qua sử dụng kinh nghiệm dạy học trên, tôi thấy học sinh lớp 4, 5 luyện tập tốt và vận dụng vào làm các dạng bài toán liên quan đều được các em đưa về bài toán điển hình để giải một cách nhanh chóng, thuận tiện và đạt kết quả cao. Qua kết quả khảo sát cuối năm học 2014-2016 tỷ lệ học sinh Năng khiếu khá cao, chất lượng đại trà môn toán rất tiến bộ vượt bậc, cụ thể đạt được như sau :
Khối lớp
TSHS
KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Giải toán bằng pp t