Giải pháp Giúp học sinh yếu Lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác bằng các mẹo nhớ đơn giản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 2 MƯỜNG KHƯƠNG
GIÚP HỌC SINH YẾU LỚP 10 GHI NHỚ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BẰNG CÁC MẸO NHỚ ĐƠN GIẢN
	Họ tên tác giả : Nguyễn Mạnh Đức
	Chức vụ : Giáo viên
	Tổ chuyên môn: Toán - lí
MỤC LỤC
Stt
Nội dung
Trang
1
Tên đề tài, tác giả, Tóm tắt
2
2
Giới thiệu
2
3
Hiện trạng, Giải pháp thay thế, Vấn đề nghiên cứu
3
4
Giả thuyết nghiên cứu
4
5
Phương pháp, Khách thể nghiên cứu, Thiết kế nghiên cứu
4
6
Quy trình nghiên cứu, Đo lường và thu thập dữ liệu
5
7
Phân tích dữ liệu và kết quả, Trình bày kết quả, Phân tích dữ liệu
6
8
Bàn luận
7
9
Kết luận và khuyến nghị
7
10
Tài liệu tham khảo, minh chứng
8-10
1. Tên đề tài : GIÚP HỌC SINH YẾU LỚP 10 GHI NHỚ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
2. Họ tên tác giả, tổ chuyên môn, chức vụ
	- Họ tên : Nguyễn Mạnh Đức
	- Chức vụ : Giáo viên
	- Tổ chuyên môn: Toán - lí
3. Tóm tắt 
Thực tế việc học, ghi nhớ phần giá trị lượng giác, công thức lượng giác môn toán ở lớp 10, tại trường THPT số 2 Mường Khương là khó đối với học sinh yếu trong nhiều năm nay .Điều này đã ảnh hưởng lớn đến kết quả học tập của học sinh trong học kỳ 2, và kết quả học tập phần lượng giác của học sinh các lớp học tiếp theo
Để khắc phục tình trạng trên, tôi nghiên cứu chọn giải pháp: Giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác. Cung cấp cho học sinh một số cách ghi nhớ công thức lượng giác bằng các mẹo nhớ thông qua các câu từ đơn giản. Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương của lớp 10A1, 10A2 THPT số 2 Mường Khương (Tổ 1, tổ 2 của lớp 10A2, là nhóm thực nghiệm, các tổ 2, tổ 3 của lớp 10A1 là nhóm đối chứng). Thực nghiệm được thực hiện giải pháp thay thế từ tuần thứ 30 đến hết tuần 35, năm học 2013 - 2014.
Qua nghiên cứu và thu thập số liệu, kết quả độ chênh lệch điểm trung bình T-test cho kết quả p=0,0133 < 0,05 cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến việc làm tăng số lượng học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác 
4. GIỚI THIỆU
4.1. Hiện trạng:
- Việc học và ghi nhớ phần giá trị lượng giác, công thức lượng giác lớp 10 tại trường THPT số 2 Mường Khương Qua kết quả của học sinh qua các năm học cho thấy đa số học sinh của trường còn gặp khó khăn , đặc biệt là đối tượng học lực yếu. 
- Nhiều học sinh tiếp thu kiến thức mới về giá trị lượng giác, công thức lượng giác còn chậm, chưa vận dụng được kiến thức mới vào việc giải bài tập có liên quan.
- Các Thầy cô giáo chưa thật tâm huyết, chưa tự tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi trên sách, báo, trên mạng Internet, các đồng nghiệp trên khắp cả nước về việc hướng dẫn giúp học sinh ghi nhớ các giá trị lượng giác, công thức lượng giác
- Phần lớn học sinh còn sợ, chưa ham thích học tập phần giá trị lượng giác, công thức lượng giác
- Đa số các học sinh có học lực yếu thì lười học bài ở nhà, đặc biệt là học công thức toán học
4.2. Giải pháp thay thế: 
- Qua hiện trạng trên, tôi quyết định chọn đề tài “Giúp học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác bằng các mẹo nhớ đơn giản ” nhằm tìm ra giải pháp giảm số lượng và tỉ lệ học sinh yếu, kém và chán học phần giá trị lượng giác, công thức lượng giác
- Giáo viên biên soạn tài liệu, tìm tòi tham khảo trên sách, báo, các đồng nghiệp cùng chuyên môn, và trên mạng Internet .Qua đó tổng hợp lại hướng dẫn học sinh và đề ra những bài tập vừa sức với trình độ giúp các em rèn luyện và củng cố lại kiến thức, và giúp các em theo kịp chương trình kiến thức mới đang được học. 
4.3. Vấn đề nghiên cứu: 
Học sinh lớp 10 đặc biệt là đối tượng học sinh yếu thấy khó học và ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác
Việc giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác bằng việc giáo viên tự tìm tòi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ giá trị lượng giác , công thức lượng giác có hiệu quả hay không ?
4.4. Giả thuyết nghiên cứu: 
Việc Giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác bằng việc giáo viên tự tìm tòi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ công thức lượng giác có làm tăng kết quả học tập công thức lượng giác của học sinh .
5. PHƯƠNG PHÁP: 
5.1. Khách thể nghiên cứu:
*Giáo viên: Nguyễn Mạnh Đức – giáo viên toán dạy lớp 10A1,10A2 trường THPT số 2 Mường Khương trực tiếp thực hiện việc nghiên cứu.
*Học sinh: 8 học sinh yếu, kém thuộc các tổ 1, 2 của lớp 10A2 (Nhóm thực nghiệm) và 8 học sinh yếu, kém thuộc các tổ 2, 3 của lớp 10A1 (Nhóm đối chứng).
5.2. Thiết kế:
Tôi dùng Thiết kế kiểm tra trước và sau tác động với các nhóm được phân chia ngẫu nhiên của lớp 10A1, 10A2, trường THPT số 2 Mường Khương
Tôi căn cứ vào kết quả học tập học kỳ 1 môn Toán của lớp 10A1, 10A2 và chọn ra các nhóm ngẫu nhiên là các học sinh yếu kém thuộc các tổ 1, tổ 2 của lớp 10A2 (nhóm thực nghiệm) và các học sinh yếu kém thuộc các tổ 2, tổ 3 của lớp 10A1 (nhóm đối chứng) là ngang nhau. Tôi thực hiện tác động bằng cách trang bị cho học sinh một số kỹ thuật, mẹo nhớ công thức lượng giác giúp học sinh nhớ kiến thức ngay tại lớp học. Qua tác động giải pháp thay thế 5 tuần, tôi tiến hành kiểm tra sau tác động đối với các học sinh yếu của nhóm thực nghiệm. Sau đó, tôi dùng phép kiểm chứng T-test để phân tích dữ liệu.
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
 Đối chứng
Thực nghiệm 
TBC
1.625
1.688 
p =
0.92
p = 0,92 > 0,05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương. 
Bảng thiết kế nghiên cứu:
Nhóm
Kiểm tra trước tác động
Tác động
Kiểm tra sau tác động
N1
O1
X
O3
N2
O2
---
O4
N1: Nhóm thực nghiệm (học sinh yếu tổ 1, 2 của lớp 10A2)
N2: Nhóm đối chứng (học sinh yếu, kém tổ 2, 3 của lớp 10A1)
5.3. Quy trình nghiên cứu:
Tôi biên soạn lại kiến thức đã học và hướng dẫn cách nhớ các công thức lượng giác qua các buổi học phụ đạo của nhóm nghiên cứu để nắm tình hình học tập của các em, sau đó rút kinh nghiệm và hướng dẫn, giải thích tỉ mỉ hơn nữa về một số cách ghi nhớ công thức lượng giác
Tôi đã tham khảo trên sách, báo, mạng Internet, và học hỏi các đồng nghiệp cùng chuyên môn . Sau đó tổng hợp lại hướng dẫn học sinh qua các buổi học phụ đạo
Tiến hành dạy thực nghiệm: Thời gian tiến hành dạy thực nghiệm theo thời khoá biểu, lịch báo giảng, kế hoạch năm học và kế hoạch khắc phục học sinh yếu kém của bộ môn.
5.4. Đo lường:
Sau khi tiến hành kiểm tra sau tác động kết quả học tập của nhóm thực nghiệm. Đề kiểm tra, đánh giá kết quả học tập công thức lượng giác của học sinh được tổ chức kiểm tra khách quan với tác động thực nghiệm của tôi. 
Sau khi kiểm tra tôi tiến hành chấm bài và thống kê kết quả sau tác động của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng.
6. Phân tích dữ liệu và kết quả:
6.1. Trình bài kết quả:
Bảng so sánh điểm trung bình sau khi tác động:
Đối chứng
Thực nghiệm
Điểm trung bình
4,5
6,0
Độ lệch chuẩn
0,8
1,22
Giá trị p của T-test
0,0133
Chênh lệch giá trị 
trung bình chuẩn SMD
1.1
6.2. Phân tích dữ liệu:
- Kết quả kiểm tra sau tác động cho thấy điểm trung bình của nhóm thực nghiệm là 6,0 cao hơn nhiều so với điểm trung bình kiểm tra trước tác động là 1,625. Điều này chứng tỏ rằng khả năng nhớ công thức lượng giác của học sinh yếu tăng lên đáng kể
- Độ chênh lệch chuẩn của kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là 0,8 < 1 điều này cho thấy mức độ chênh lệch có ý nghĩa.
- Độ chênh lệch điểm trung bình T-test cho kết quả p=0,0133< 0,05 cho thấy sự chênh lệch điểm khảo sát trung bình giữa trước và sau tác động là có ý nghĩa, tức là sự chênh lệch điểm trung bình khảo sát trước và sau tác động là không xảy ra ngẫu nhiên mà là do tác động của giải pháp thay thế đã mang lại hiệu quả.
	- Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD = so sánh với bảng tiêu chí Cohen cho thấy mức độ ảnh hưởng của giải pháp giúp học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác của nhóm thực nghiệm là có 
6.3. Bàn luận:
+ Ưu điểm:
- Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC= 6.0, kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC = 4.5. Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 1,1; Điều đó cho thấy điểm TBC của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt, nhóm được tác động có điểm TBC cao hơn nhóm đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 1,1. Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là có. 
Phép kiểm chứng T-test điểm trung bình sau tác động của hai nhóm là p=0,0133< 0.05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động. 
Việc Giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác bằng việc giáo viên tự tìm tòi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ công thức lượng giác cần được tiếp tục thực hiện đồng đều hơn, mở rộng hơn 
+ Hạn chế:
Do thời gian nghiên cứu ngắn nên chưa đánh giá được một cách hoàn toàn chính xác sự tiến bộ của học sinh, có thể dẫn đến sự tiến bộ rồi sau đó lại thụt lùi như tình trạng ban đầu nếu như không kiểm soát được thời gian ôn tập và rèn luyện của học sinh. Hơn nữa giáo viên cần phải có thêm nhiều thời gian tìm tòi, học tập, tổng hợp hơn nữa các cách làm hay, hiệu quả
7. Kết luận và khuyến nghị:
7.1. Kết luận : 
Việc Giúp đỡ học sinh yếu lớp 10 ghi nhớ giá trị lượng giác, công thức lượng giác bằng việc giáo viên tự tìm tòi, tham khảo các cách học, mẹo ghi nhớ công thức lượng giác đã làm cho kết quả học tập công thức lượng giác được nâng lên, số lượng học sinh yếu kém được giảm đáng kể. Học sinh tự tin hơn trong học tập, thêm yêu thích học phần công thức lượng giác hơn. 
7.2. Khuyến nghị:
7.2.1. Đối với các cấp lãnh đạo: Cần khuyến khích giáo viên nghiên cứu chọn ra giải pháp hữu hiệu nhằm khắc phục học sinh yếu kém của từng môn học. Động viên, giúp đỡ và khen thưởng những giáo viên có thành tích trong việc nâng cao chất lượng dạy và học ở nhà trường.
7.2.2. Đối với giáo viên: Phải không ngừng đầu tư nghiên cứu tìm ra giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục. Phải không ngừng học tập nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, tích lũy kinh nghiệm từ đồng nghiệp và bản thân, biết cách áp dụng hợp lí với lớp mình giảng dạy.
Với kết quả của đề tài nghiên cứu, tôi rất mong muốn được sự quan tâm, giúp đỡ của các cấp lãnh đạo giáo dục. Những ý kiến đóng góp quý báu, chân thành của quý đồng nghiệp giúp cho tôi hoàn chỉnh đề tài nghiên cứu này.
8. Tài liệu tham khảo
- Mạng Internet, giaoandientu.com.vn
- Tài liệu tập huấn nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng tại Bắc Hà – Lào Cai năm 2012
- Sách giáo khoa lớp 10– Nhà xuất bản giáo dục – Bộ GD&ĐT. 
- Tài liệu tự chọn bám sát toán 10 theo chương trình chuẩn– Nhà xuất bản giáo dục – Bộ GD&ĐT. 
- Các phương pháp giải toán lượng giác – Trần Phương – Nhà xuất bản ĐHSP Hà nội
9. Phụ lục
9.1. Minh chứng – phụ lục cho đề tài nghiên cứu
BẢNG TỔNG HỢP KẾT QUẢ KHẢO SÁT TRƯỚC VÀ SAU TÁC ĐỘNG
Nhóm thực nghiệm (tổ 1, tổ 2 của lớp 10A2)
Stt
Họ và tên học sinh
KT trước tác động
KT sau tác động
1
Lý Thị Chứ
1.5
5
2
Lù Văn Chung
0
7
3
Vương Minh Hiếu
3
5.5
4
Vàng Văn Khánh
1
6
5
Hoàng Minh
4
7
6
Lý Thị Sen
2.5
6.5
7
Lục Văn Thông
1
6
8
Cư Toản
0
5
Nhóm đối chứng (tổ 2, tổ 3 của lớp 10A1)
Stt
Họ và tên học sinh
KT trước tác động
KT sau tác động
1
Lừu Hồng Chiến
2.5
4
2
Vàng Văn Đức
1
3
3
Vương Thị Hòa
1.5
5
4
Vàng Ngọc Quý
2
5.5
5
Trần Quốc Khánh
3
4
6
Hoàng Lìn
0
3
7
Nông Thị Hạnh
2
5
8
Mùng Đức Điệp
1.5
6.5
TÀI LIỆU GIÁO VIÊN SƯU TẦM, TỔNG HỢP VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TẬP
1. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
1.1 Bảng giá trị lượng giác của các góc: 0o; 30o; 45o; 60o; 90o
Tỉ số LG
0o
30o
45o
60o
90o
sin
0
1
cos
1
0
tan
0
1
॥
cot
॥ 
1
0
 Trong quá trình giải toán lượng giác thì các giá trị trên thường được sử dụng để tính toán, thu gọn, biến đổiThế nhưng khi áp dụng thì đại đa số các em đều lúng túng vì không nhớ hoặc nhầm lẫn giữa giá trị này và giá trị kia nên thường dẫn đến một đáp số sai. Mặt khác nếu để các em học thuộc lòng một cách máy móc thì rất cực nhọc. 
Để khắc phục tình trạng đó chúng ta có thể hướng dẫn các em cách xây dựng lại bảng giá trị lượng giác trên (trong trường hợp bị quên) như sau:
1.2 Cách xây dựng
Nếu để ý kỹ thì thì ta thấy dãy các giá trị của sin (với = 0o; 30o; 45o; 60o; 90o) tuân theo qui luật sau: = ; ; ; 
Tức là nếu ta biểu diễn dãy số trên dưới dạng phân số thì tử số tăng dần từ đến , còn mẫu số không đổi là 2.
Để xác định dãy các giá trị của cos (với = 0o; 30o; 45o; 60o; 90o) ta đảo lại dãy các giá trị của sin.
Sau khi xác định xong các giá trị sin, cos thì dễ dàng xác định tan và cot dựa vào công thức: tan; cot.
Chú ý: Nếu cos thì tan không xác định
 Nếu sin thì cot không xác định.
Như vậy chỉ cần từ 1 đến 2 phút là các em đã có thể xây dựng được bảng giá trị lượng giác như sau: 
Tỉ số LG
0o
30o
45o
60o
90o
sin
0(= 
(= 
1(= 
cos
1
0
tan
0
1
॥
cot
॥ 
1
0
Trong các góc đặc biệt trên ta thấy góc 45o là góc đặc biệt nhất sin45o=sin45o = nên tan45o = cot45o = 1. Đây là các giá trị tương đối dễ nhớ. 
Còn với oo thì có phần khó nhớ hơn một chút và dễ nhầm lẫn giữa các giá trị sin và cos. Nhưng không sao nếu các em chịu khó nhẩm vài ba lần câu “thần chú” sau thì mọi chuyện sẽ được giải quyết. 
“ sin ba cos sáu nửa phần ”
“ cos ba sin sáu nửa phần căn ba ”
Tức là sin30o và cos600 bằng , còn cos300 sin60o bằng .
2. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
 2.1 Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt
Cung đối nhau và 
 cos() = cos
 sins() = - sin
 tan() = - tan
 cot() = - cot
Cung bù nhau và ()
sins() = sin
 cos() = - cos
 tan() = - tan
 cot() = - cot
Cung phụ nhau và ()
 sin() = cos
 cos = sin
 tan() = cot
 cot() = tan
cung hơn kém nhau 
 sins( + ) = - sin
 cos( + ) = - cos
 tan( + ) = tan
 cot( + ) = cot
Nhận xét: trong nhóm các công thức đối chỉ có cos() = cos, trong nhóm công thức bù chỉ có sins() = sin, nhóm công thức hơn kém thì tan( + ) = tan, còn trong nhóm công thức phụ thì các giá trị sin, cos của các cung và () chéo nhau, các giá trị tan, cot của các cung và () chéo nhau.
 Do đó để ghi nhớ nhóm các công thức trên ta cần nhớ câu:
 ” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
b. Công thức cộng 
cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb
 cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
 sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb
 sin(a - b) = sina cosb – cosa sinb
 Cách thức để ghi nhớ bốn công thức này vẫn là cách tìm một vài điểm đặc biệt nào đó và chuyển thể thành dạng văn nói sao cho có vần, có điệu để học sinh dễ học, dễ nhớ chẳng hạn như:
“ cos cùng loài khác dấu
 sin cùng dấu khác loài ”
Hoặc “ sin thì sin cos cos sin 
 cos thì cos cos sin sin dấu trừ”
 Ở đây ta cần giải thích cho học sinh hiểu được như thế nào là cùng loài, khác loài? Các tích: cosa cosb; sina sinb được gọi là cùng loài, còn các tích: sina cosb; cosa sinb được gọi là khác loài. Còn khác dấu, cùng dấu thì chỉ cần hiểu một cách nôm na là nếu bên trái dấu bằng là giá trị lượng giác của một tổng thì bên phải dấu bằng sẽ là hiệu của các tích trên và ngược lại.
Chú ý: Cần lưu ý cho học sinh nắm được mức độ ưu tiên về “thứ tự “ của các giá trị trong công thức sẽ phụ thuộc vào vế trái. 
Ví dụ: Khi triển khai công thức: cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb vì vế trái là cos(a+b) nên tích cosa cosb được viết trước rồi mới đến tích sina sinb
 Còn trong công thức: sin(a+b) = sina cosb – cosa sinb (vì khác loài) mà vế trái là sin(a+b) nên tích sina cosb được ưu tiên.
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH, TÍCH THÀNH TỔNG
a. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos + cos = 2coscos
cos - cos = -2sin
sin + sin = 2sincos
sin - sin = 2cossin
chúng ta hướng dẫn học sinh mã hóa như sau: 
“ cos cộng cos bằng hai cos, cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin,sin
sin cộng sin bằng hai sin, cos
sin trừ sin bằng hai cos, sin ”
Chú ý: Bên vế phải luôn tích hai hệ thức lượng giác của góc và mà hệ thức của góc được viết trước.
Đối với công thức: tan + tan = được ghi nhớ qua câu sau:
“ tang ta cộng với tang mình bằng sin hai đứa chia cos mình cos ta”
Ở đây ta liên tưởng và như là đôi bạn thân chơi với nhau và có cách xưng hô là ta và mình.
b. Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb = [cos(a - b) + cos(a + b)]
sina sinb = [cos(a - b) - cos(a + b)]
sina cosb = [sin(a - b) + sin(a + b)]
Tương tự như công thức biến đổi tổng thành tích ta có đoạn mã cho nhóm các công thức trên như sau:
“ cos nhân cos bằng một phần hai cos cộng cos
sin nhân sin bằng một phần hai cos trừ cos
sin nhân cos bằng một phần hai sin cộng sin”
Chú ý: Vế phải trong nhóm công thức này thì hệ thức lượng giác của góc
 (a-b) được viết trước.
ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Hãy nối một dòng ở cột trái với một dòng ở cột phải để được biểu thức đúng
sin300cos600 =
sin450 = 
– cos(-1350) =
tan(x +) = 
1
– cos(1350)
tanx
cos(1350)
 7) 
Hướng dẫn: dựa vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt ta có
A - 5; B - 1; C - 2; D - 3; E - 7
 Ví dụ 2: Ghi Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô vuông
 cos () = cos
 cos () = sin
 sin () = cos
 - tan() = tan
 tan() = tan()
 cos () = cos()
 cos () = cos ()
 - cos () = cos
 sin () = sin
 - sin () = sin
 tan() = tan()
 cot() = -cot()
 sin () = sin()
 sin () = sin()
Hướng dẫn: Áp dụng ” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
câu
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Chọn
S
Đ
S
Đ
Đ
Đ
Đ
S
Đ
Đ
Đ
S
Đ
S
Ví dụ 3: tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung và 
Hướng dẫn: 
 cos() = cos(-()) = cos() ( CT đối)
 = - cos() (CT hơn kém )
 = - sin (CT phụ)
 sin() = sin(-()) = -sin() ( CT đối)
 = sin() (CT hơn kém )
 = cos (CT phụ)
tan() = = = - tan
cot() = = = - cot
Ví dụ 4: Hãy tính các giá trị lượng giác của góc 750
Hướng dẫn:
 cos750 = cos( 450 + 300) 
 = cos450cos300 - sin450sin300 (CT cộng _cos cùng loài khác dấu)
 = 
 sin750 = sin( 450 + 300)
 = sin450cos300 + cos450sin300 (CT cộng _sin cùng dấu khác loài)
 = 
 tan750 = ; 	cot750 = 
Ví dụ 5: Chứng minh rằng: 
cossin() + cossin() + cossin() = 0, với mọi 
Hướng dẫn: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:
 cossin() = 
 cossin() = 
 cossin() = 
Cộng vế với vế ba đẳng thức trên, ta suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 6: Đơn giản biểu thức sau: cos2() - cos2()
Hướng dẫn:
cos2() - cos2() = [cos() + cos()][cos() cos()]
 = 2coscos.(-2 sinsin) = -2 sincos= -sin