SKKN Phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung véc tơ và tọa độ Hình học 10

 vectơ là vectơ nào?” 
 Sau đó, khi định nghĩa hiệu hai vectơ, phân biệt cho học sinh hai dấu “-” đứng trước vectơ ở hai vế của định nghĩa - = + (- ) có bản chất hoàn toàn khác nhau. Trong khi dấu “-” ở vế trái chỉ phép trừ hai vectơ, một khái niệm cần định nghĩa, thì dấu “-” ở vế phải biểu thị phép lấy vectơ đối của một vectơ, một khái niệm đã biết.
 Ví dụ 2. 
 Sau khi hình thành định nghĩa tích của một vectơ với một số, cho học sinh 
rút ra nhận xét sau: 1. = , (- 1).= - 
 Mới nhìn học sinh sẽ ngộ nhận các tính chất trên giống tính chất của phép nhân hai số thực nên là hiển nhiên, nhưng khi phải chứng minh học sinh thường rất lúng túng. Đòi hỏi phải hiểu khái niệm mới có câu trả lời.
Cũng như dạy học các khái niệm khác, cần thông qua các hoạt động ngôn ngữ để phát triển năng lực nhận thức của học sinh và hơn nữa giáo viên đánh giá đúng học sinh của mình .
 Ví dụ 3. 
 Khi dạy học tiết 1, 2 bài “Các định nghĩa” sau khi cho học sinh tiếp cận kiến thức, hình thành định nghĩa; để củng cố định nghĩa chúng ta cho học sinh: 
B
A
Hình 5
Phát biểu lại định nghĩa vectơ bằng lời lẽ của mình? 
 Yêu cầu tối thiểu cần diễn đạt được là: Vectơ 
là đoạn thẳng có hướng; 
có điểm đầu, điểm cuối.
 Kí hiệu (khi biết điểm đầu, điểm cuối)
 (khi không quan tâm đến điểm đầu, điểm cuối).
 - Lựa chọn và cung cấp các bài tập có tác dụng rèn luyện, phát triển ngôn ngữ vectơ cho học sinh. 
 Ví dụ 4. 
 Nhằm củng cố các thuật ngữ, kí hiệu về vectơ như “cùng hướng”, “ngược hướng”, “độ dài vectơ”, có thể cho học sinh làm bài sau .
 Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB, các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) và cùng hướng; b) và cùng hướng;
c) và ngược hướng; d) ;
e) ; f) .
Ví dụ 5. Nhằm củng cố, kiểm tra khái niệm tích của một vectơ với một số và kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ của học sinh, giáo viên đưa ra bài toán:
 Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là: a) . 
b) .
c) .
d) . 
Dạy học khái niệm toạ độ
- Nhiệm vụ của dạy học khái niệm toạ độ là cung cấp cho học sinh các biểu thức toạ độ để biểu thị các sự kiện hình học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường, Khi dạy học khái niệm toạ độ ở hình học 10, ngoài những nguyên tắc và biện pháp nêu trên, còn cần lưu ý một số điểm sau:
Chỉ dạy cho học sinh những khái niệm cơ bản nhất; 
Một số kiến thức không đòi hỏi trình bày quá chặt chẽ, chính xác và chứng minh một cách đầy đủ;
Về phương pháp giảng dạy: nên dùng nhiều hình vẽ, bảng, biểu để mô tả rõ ràng và trực quan các đối tượng và sự kiện hình học.
Ví dụ 1. Khi dạy học các khái niệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh hiểu đúng (mặt ngữ nghĩa) các khái niệm đó, đồng thời phát triển ngôn ngữ toán học, có thể cho học sinh lập bảng liệt kê một số khái niệm được diễn đạt dưới những hình thức ngôn ngữ khác nhau. Chẳng hạn:
Ngôn ngữ Hình học tổng hợp
Ngôn ngữ vectơ
Ngôn ngữ toạ độ
Điểm M
Điểm M
(x; y)
Đoạn thẳng AB, A là điểm đầu, B là điểm cuối.
(x; y)
ở đó ;(xA; yA), (yA; yB) lần lượt là toạ độ của A, B.
Đường thẳng AB
Giá của vectơ 
,(xA; yA), (yA; yB) lần lượt là toạ độ của A, B. Hoặc ax + by + c = 0
Trung điểm I của đoạn thẳng AB
hoặc điểm I sao cho:
 Điểm I sao cho:
hoặc , với O bất kì.
,
(xA; yA), (yA; yB) lần lượt là toạ độ của A, B.
Trọng tâm G của hoặc Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến của . 
hoặc với O bất kì: 
(xA; yA), (yA; yB), (xC; yC) lần lượt là toạ độ của A, B, C.
Nói đến toạ độ là nói đến biến, nói đến phương trình, hệ phương trình và các biến đổi đại số, do đó dạy học toạ độ có liên quan đến dạy học phương trình, hệ phương trình. 
Ví dụ 2. Khái niệm đường thẳng có liên quan đến phương trình bậc nhất hai ẩn
 ax + by + c = 0, toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .
 2.3.2 Hoạt động ngôn ngữ trong dạy học tính chất vectơ, toạ độ
 Những tính chất quan trọng thường được thể hiện dưới dạng định lí. Dạy học các tính chất toán học là để cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức cơ bản của bộ môn, là cơ hội thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
 Trong dạy học định lý, tính chất, các hoạt động ngôn ngữ thường dùng là giáo viên cho học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lý trong khi củng cố định lý; qua đó các em được khắc sâu định lý đó. Cao hơn nữa là giáo viên cho học sinh phát biểu định lý bằng hình thức khác nhằm phát triển năng lực diễn đạt độc lập ý nghĩ của các em .
 Như vậy, các hoạt động ngôn ngữ diễn ra trong dạy học định lí là :
Học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lí;
Thay đổi hình thức phát biểu định lí.
Dạy học tính chất về vectơ 
- Các tính chất của vectơ chủ yếu được hình thành từ định nghĩa vectơ và phép toán về vectơ. Muốn dạy tốt tính chất vectơ trước hết phải dạy tốt các khái niệm, trên cơ sở khái niệm hình thành tính chất.
Ví dụ 1. 
 Khi dạy học tính chất của phép cộng vectơ:
Tính chất giao hoán: ;
Tính chất kết hợp: ;
Tính chất của vectơ - không: .
Chỉ đòi hỏi chúng ta giúp học sinh nắm vững khái niệm tổng của hai vectơ, biết vẽ vectơ tổng khi có hai vectơ cho trước. Các tính chất được công nhận sau khi minh hoạ bằng hình vẽ cụ thể. Sau đó, cho học sinh phân tích cấu trúc của tính chất để củng cố, hơn nữa còn rút ra: trong phép toán cộng các vectơ, có thể đổi chỗ hai hay nhiều vectơ bất kì. 
 Ví dụ 2. 
 Trong bài “Tích của một vectơ với một số” khi học định lý biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai vectơ không cùng phương và . Khi đó mọi vectơ đều có thể biểu thị một cách duy nhất qua hai vectơ và , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho .
 Sau khi phân tích cấu trúc định lí, học sinh có thể phát biểu định lý trên bằng ngôn ngữ của mình như sau: 
Cho hai vectơ không cùng phương và vectơ bất kỳ, khi đó tồn tại duy nhất cặp m, n sao cho .
Hoặc Trong mặt phẳng, có duy nhất cách biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trước.
Hơn nữa, qua hình vẽ minh hoạ (hình 7) giải thích được định lý:
Hình 7
- Các tính chất về vectơ chỉ nhằm mục đích xây dựng phương pháp vectơ sau này, không nhằm xây dựng tường minh một không gian vectơ. Do đó trong các chứng minh không cần quá hàn lâm, chỉ cần tăng cường các hình vẽ để học sinh dùng “trực giác” kiểm tra các tính chất. Quan trọng là phải cho học sinh củng cố, luyện tập tính chất trong các bài tập.
 Ví dụ 3. 
 Trong dạy học các tính chất của phép nhân vectơ với một số, cho học sinh tìm (hoặc kiểm chứng) tính chất k bằng cách vẽ hình kiểm tra với k = 2. Sau đó, để khắc sâu tính chất, giáo viên cho học sinh tìm sự giống nhau và khác nhau của phép nhân vectơ với một số và phép nhân những số đã biết:
k(a + b) = ka + kb k
(k+ m)a = ka + ma (k + m)= k+ m
k(ma) = (km)a k(m) = (km) 
k.a =0 k = 0 hoặc a = 0 k. = k = 0 hoặc =
Giống nhau: hình thức (cú pháp). Khác nhau: nội dung (ngữ nghĩa). 
Phép nhân các số là phép toán trong, còn phép nhân vectơ với một số là phép toán ngoài. Do đó không thể áp dụng luật giản ước của các số đối với vectơ (sau này học về tích vô hướng của hai vectơ sẽ lí giải được.
 Ví dụ 4. 
 Để luyện tập tính chất trọng tâm G của tam giác ABC:
 , cho học sinh bài tập: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của các và thì .
Dạy học tính chất về toạ độ
Nói đến toạ độ là nói đến hai biến, nói đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, do đó dạy học tính chất về toạ độ chính là dạy học những kiến thức liên quan đến đại số như điều kiện để hệ phương trình có nghiệm, số nghiệm của một phương trình, hệ phương trình,
Do toạ độ được xây dựng từ vectơ, các tính chất của toạ độ thường suy ra từ ngôn ngữ vectơ. 
 Ví dụ 1. 
x 
y 
O 
M0
M
Hình 9
 Khi xây dựng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng chúng ta cho học sinh nhìn khoảng cách giữa 
hai điểm M, M0 dưới hình thức độ dài 
vectơ ; sử dụng ngôn ngữ toạ độ 
tính . Việc làm đó chính là rèn 
ngôn ngữ toán học cho học sinh. 
 Ví dụ 2. 
 Khi dạy học tiết 27, phương trình tổng quát của đường thẳng, chúng ta cho học sinh lập bảng so sánh cách sử dụng hai ngôn ngữ sau:
Ngôn ngữ hình học tổng hợp
Ngôn ngữ toạ độ
Điểm M
(x; y)
Điểm M thuộc (nằm trên) đường thẳng 
Toạ độ (x;y) của M nghiệm đúng phương trình đường thẳng 
M là giao điểm của hai đường thẳng
1 và 2
Toạ độ (x;y) của M là nghiệm của hệ hai phương trình hai đường thẳng 1 và 2
 Nhờ vậy, ở các bài học sau học sinh hoàn toàn có thể xác lập được những kết quả tương tự khi nghiên cứu đường tròn, đường elip,
2.3.3 Hình thành phương pháp véc tơ, phương pháp tọa độ, trong giải toán hình học 10 theo hướng tiếp cận ngôn ngữ toán học
 ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Một biểu hiện của việc thành thạo ngôn ngữ toán học ở học sinh là khả năng trình bày lời giải một bài toán. Ba yêu cầu chủ yếu của lời giải một bài toán là lời giải không có sai lầm, lập luận có căn cứ chính xác, lời giải đầy đủ, hơn nữa lời giải đó phải được trình bày ngắn gọn, sáng sủa, mạch lạc và sử dụng hợp lý các ký hiệu toán học.
 2.3.3.1. Hình thành phương pháp véc tơ trong giải toán hình học 10.
 Khi có công cụ vectơ, khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh đã được phát triển thêm một bước. Học sinh không chỉ làm các phép toán trên vectơ, mà còn diễn tả nhiều sự kiện hình học đã biết dưới hình thức ngôn ngữ vectơ thông qua phương pháp giải toán mới: phương pháp vectơ. Để góp phần nâng cao hiệu quả dạy học, hình thành phương pháp vectơ cho học sinh, chúng ta cần xác định hai khâu mấu chốt để giải một bài toán bằng phương pháp vectơ, đó là:
Chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ.
Phân tích một vectơ thành một tổ hợp vectơ.
 Muốn thực hiện tốt hai khâu trên, cần rèn cho học sinh kỹ năng chuyển tương đương (hay phiên dịch) những quan hệ hình học từ cách nói thông thường (hình học tổng hợp) sang dạng vectơ để có thể vận dụng công cụ vectơ trong giải toán có thể thực hiện theo 3 bước: 
 Bước 1. Chuyển bài toán hình học ban đầu sang ngôn ngữ vectơ; bằng cách lựa chọn một số vectơ gọi là “hệ vectơ gốc”, “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ vectơ.
 Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các 
phép biến đổi các hệ thức vectơ theo “hệ vectơ gốc”. 
 Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tính chất hình học tương ứng. 
 Ví dụ 1. 
 Để chuẩn bị các yếu tố cần thiết cho quy trình (các bước 1, 2) giải toán bằng phương pháp véc tơ, giáo viên cho học sinh làm một số dạng toán chuẩn bị. Chẳng hạn, sau khi học bài “Tổng của hai vectơ” với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và bài “Hiệu của hai vectơ” với quy tắc về hiệu vectơ, chúng ta cho học sinh làm một số bài tập đòi hỏi thay tổng đại số của nhiều vectơ bởi một số vectơ, thay một vectơ bởi tổng đại số của nhiều vectơ hoặc chứng minh đẳng thức vectơ: 
a) Tính tổng 
 1) biết A, B, C, D, E bất kì 
	 2) 
b) Đơn giản biểu thức 
1) 
2) 
c) Biểu diễn vectơ dưới dạng tổng đại số của các vectơ sau:
1) 
2) 
 d) Chứng minh 
 1) với M, N, P, Q bất kỳ.
 2) với A, B, C, D, E, F bất kỳ.
 Ví dụ 2. 
 Để chuẩn bị cho bước 1: phiên dịch các giả thiết, kết luận sang ngôn ngữ vectơ, ngay trong mỗi bài học chúng ta cho học sinh làm các bài tập nhằm thành lập “từ điển vectơ”. ở đó, mỗi “từ” của “từ điển” biểu diễn mối liên hệ giữa các sự kiện hình học và các hệ thức vectơ. Các “từ ” đó phải được hình thành một cách chặt chẽ, có cả điều kiện cần và đủ. Chẳng hạn, khi hình thành “từ” trung điểm của đoạn thẳng trong “từ điển” đó, ta cho học sinh làm hai bài toán sau (chỉ sử dụng những kiến thức hình học tổng hợp, kiến thức vectơ đã biết để chứng minh):
 a) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, chứng minh rằng : 
 b) Cho đoạn thẳng AB, và điểm O thoả mãn đẳng thức . 
 Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
 Qua đó rút ra mệnh đề: “Điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB là ”, nghĩa là “O là trung điểm của đoạn thẳng AB” 
đã “dịch” thành “O: ” trong ngôn ngữ vectơ.
 Cuối cùng, từ hệ thống bài tập đó, hình thành một cuốn “từ điển” để phiên dịch giữa ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ hình học tổng hợp. Có thể kể ra một số 
kết quả thường dùng sau:
 Ngôn ngữ hình học tổng hợp
 Ngôn ngữ vectơ
 Ba điểm A, B, C thẳng hàng
 hay
 hoặc
, 
ở đó O tuỳ ý và k + m =1
 Hai điểm B, C trùng nhau
 với A bất kỳ.
 Hai đường thẳng song song, 
 AB // CD
 M chia AB theo tỉ số k, k 0, -1.
 M là trung điểm đoạn AB
 AM là trung tuyến của tam giác ABC
 G là trọng tâm tam giác ABC
, O bất kỳ
 Hai đường thẳng vuông góc,
 AB CD
 Ví dụ 3. 
 Để học sinh dễ dàng thực hiện bước 2, chúng ta cho các em làm các bài tập đòi hỏi phân tích một vectơ theo một hệ vectơ. Qua các bài tập cụ thể đó các em vừa được luyện tập kiến thức cũ, vừa chuẩn bị cho quy trình giải toán sau này và hơn nữa là rèn luyện, phát triển ngôn ngữ vectơ. Chẳng hạn cho học sinh bài toán: 
 Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích theo hai vectơ .
Bài toán có 2 cách giải, mỗi cách có ưu điểm riêng:
Cách 1. (Không cần hình vẽ)
Theo giả thiết ta có , áp dụng quy tắc ba điểm:
 = == 
F
E
M
C
B
A
Hình 10
Vậy .
Cách 2. (Có sử dụng hình vẽ)
Kẻ ME // AC, MF // AB (hình 10), 
ta có . 
Theo định lí Ta-let AE = AB,
 AF = AC. 
Do đó .
Vậy .
 Ví dụ 4. 
 Sau hệ thống bài tập chuẩn bị của giai đoạn 1, giáo viên tiếp tục cung cấp một số dạng toán giải bằng phương pháp véc tơ, được trình bày theo quy trình ba bước. Nhấn mạnh tính ưu việt của phương pháp này so với các phương pháp đã biết trước đó. Chẳng hạn, với bài toán:
 Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Chứng minh hai điểm A1; A2 trùng nhau, tương đương chứng minh 
 hoặc với O là điểm tuỳ ý.
Chúng ta cần hướng dẫn để học sinh sử dụng được “từ” hai điểm trùng nhau của ngôn ngữ vectơ: 
 Sau đó yêu cầu học sinh trình bày bài toán theo tinh thần 3 bước để khắc 
sâu phương pháp này:
Q
C
P
B
N
A
M
D
Hình 11
Gọi G1; G2 lần lượt là trọng tâm của tam 
giác ANP và CMQ và O là một điểm tuỳ ý.
Khi đó ta có (1)
Mặt khác 
 (2)
 (3)
Từ (1), (2), (3) .
Vậy . ộ 
 Với hệ thống bài tập hợp lý, học sinh sẽ dễ dàng hơn khi học về vectơ và giải toán bằng phương pháp vectơ, nghiên cứu hình học không gian sau này. 
 2.3.3.2. Hình thành phương pháp toạ độ trong giải toán hình học 10 
 Với học sinh lớp 10, yêu cầu cần đạt được sau khi học hình học là :
Biết các phương pháp để lập phương trình đường thẳng, đường tròn và ba đường conic khi biết các yếu tố xác định mỗi đường.
Từ phương trình các đường, thấy được các tính chất và quan hệ giữa các đường.
Lập được phương trình tiếp tuyến cho đường tròn và ba đường conic cùng với việc chứng minh được các tính chất của nó.
Nhớ và vận dụng được biểu thức toạ độ để biểu thị một cách chính xác các sự kiện hình học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc đường, vị trí tương đối của các đường.
 Nghĩa là, khi có mặt phẳng toạ độ, mỗi vectơ, mỗi điểm, đường thẳng, đường tròn, đường conic và tính chất, quan hệ đơn giản giữa các hình đó đều đã diễn đạt bằng toạ độ. Học sinh chỉ phải làm việc, tính toán trên các kí hiệu của đại số: biến, nghiệm, phương trình, 
 Hơn nữa, phương pháp toạ độ ở hình học 10 chỉ nghiên cứu các đối tượng hình học trên mặt phẳng như đường thẳng, đường tròn, ba đường conic, nhưng lại được áp dụng nhiều trong giải toán hình học không gian ở lớp 12. Do đó, dạy để học sinh thành thạo phương pháp toạ độ là rất cần thiết.
 Phương pháp toạ độ được thực hiện theo một quy trình 3 bước: 
Bước 1. Chọn hệ toạ độ thích hợp, phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ toạ độ;
Bước 2. Dùng các kiến thức về toạ độ để giải bài toán;
Bước 3. Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học tổng hợp.
 Với học sinh lớp 10, các bài toán khi đưa ra đều đã ngầm chọn hệ toạ độ là hệ toạ độ Đềcác vuông góc, nên trong bước 1 học sinh thường không phải chọn hệ toạ độ nữa. Do yêu cầu của đề bài nên bước 3 cũng ít khi phải làm. 
 Để cụ thể hoá nội dung trên, tôi đưa ra một số ví dụ, có phân tích theo các biện pháp sử dụng, nhằm dạy học phương pháp toạ độ cho học sinh. Các ví dụ thường chỉ sử dụng bước 1, 2.
Bước 1. Dịch những sự kiện hình học sang ngôn ngữ toạ độ. Chẳng hạn, “điểm nằm trên đường thẳng” nghĩa là “toạ độ của điểm thoả mãn phương trình đường thẳng”, hoặc “điểm M(x; y) cách I(a; b) một khoảng R” nghĩa là “MI = ”, hay “elip” là “tập hợp các điểm thoả mãn phương trình với a > b > 0”,
Bước 2. Khi bài toán đã chuyển sang ngôn ngữ toạ độ, sử dụng những kết quả của bước 1, tính toán bằng công cụ đại số để tìm đáp số của bài toán. 
Trong bước 1, có thể cho học sinh vẽ phác hoạ các đường, có sử dụng những yếu tố của đề bài để hỗ trợ.
 Ví dụ 1. 
 Lập phương trình tham số của đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) đi qua hai điểm A(1; - 4) và B(-3; 5).
b) đi qua điểm M(1; -2) và có vectơ pháp tuyến .
c) đi qua điểm M(3; -5) và có hệ số góc k = -3.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo 2 bước:
Bước 1. Phương trình tham số của đường thẳng: , 
 ở đó (x0; y0) là toạ độ một điểm thuộc đường thẳng, 
 (u1; u2) là toạ độ vectơ chỉ phương của đường thẳng.
 Riêng ý c) còn phải chuyển giả thiết “hệ số góc k = -3” thành “phương trình đường thẳng có dạng y = - 3x + a”.
Bước 2. Tìm (x0; y0), (u1; u2) từ giả thiết?
Giải
a) Đường thẳng đi qua A(1; - 4) và B(-3; 5) nên 
 nhận làm vectơ chỉ phương 
 đi qua hai điểm A(1; - 4).
 Phương trình tham số của đường thẳng là: 
b) Từ giả thiết có đường thẳng nhận làm vectơ chỉ phương 
 đi qua điểm M(1; -2).
 Phương trình tham số của đường thẳng là: 
c) Đường thẳng có hệ số góc k = -3 nên phương trình đường thẳng có dạng 
 y = - 3x + a, do đó có vectơ chỉ phương .
 hơn nữa đi qua điểm M(3; -5) (giả thiết). 
 Do đó phương trình tham số của là: 
 Sau đó, cho học sinh so sánh với những hiểu biết trước đây về đường thẳng để tìm thấy sự tương đồng: giống như trong hình học tổng hợp, bằng công cụ toạ độ ta cũng có kết luận đường thẳng hoàn toàn xác định (viết được phương trình) khi biết hai yếu tố:
Một điểm thuộc đường thẳng và phương (cụ thể là vectơ chỉ phương); 
Một điểm thuộc đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng;
Hai điểm thuộc đường thẳng.
 Ví dụ 2. 
 Cho hai đường thẳng m và n lần lượt có phương trình tổng quát là 
 (m): 2x - y - 5 = 0
 (n): x - 3y - 10 = 0
Tìm giao điểm của m và n.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ
Bước 1. Giao điểm của hai đường thẳng có toạ độ nghiệm đúng (m), (n). 
 Tìm giao điểm của (m), (n) là tìm (x; y) nghiệm đúng .
Bước 2. Giải hệ, tìm (x; y).
 Giải.
 Toạ độ giao điểm M (x; y) của hai đường thẳng (m) và (n) là nghiệm của hệ phương trình: 
 Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(1; -3)
 Ví dụ 3. 
 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm M(2; 5) và N(5; 1). Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M sao cho khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng đó bằng 3.
Giáo viên dẫn dắt để học sinh suy nghĩ theo 2 bước:
Bước 1. Đường thẳng cần lập có phương trình ax + by + c = 0 (*).
 (đã cân nhắc đến yếu tố khoảng cách trong đề bài)
 đi qua M nghĩa là toạ độ của M thoả mãn phương trình (*).
 Khoảng cách từ N đến đường thẳng bằng 3 nghĩa là:
 d(N, ) = .
Bước 2. Tìm a, b, c từ hệ phương trình thu được.
 Với bài trên, để giảm số biến phải tìm, nên xuất phát từ phương trình với hệ số góc k. 
 Giải
 Trước hết ta thấy ngay, trong hệ toạ độ đó đường thẳng x = 2 thoả mãn điều kiện đề bài.
y
x
x = 2
M(2; 5)
N(5; 1)
O
5
5
Hình 12
Ta đi tìm phương trình đường thẳng 
đi qua M(2; 5) có hệ số góc k:
y = k(x - 2) + 5 kx - y - 2k + 5 = 0.
Ta có :
 d(N,) = = 3 
 .
Do đó đường thẳng có phương trình là 7x + 24y - 134 = 0.
 Vậy có hai đường thẳng thoả mãn đề bài là x = 2 và 7x + 24y - 134 = 0.
 Ví dụ 4. 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho , biết A(- 6 ; -3), B(- 4 ; 3), C(9; 2). Viết phương trình đường thẳng d chứa phân giác của góc BAC.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo 2 bước:
Bước 1.