SKKN Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

bộ môn. 
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã trải nghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề “Một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” và tôi cũng đạt được thành tích trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các bài toán, chưa phát huy được hiệu quả học tập của học sinh. Chính vì vậy, để học sinh nắm vững và giải thành thạo các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì giáo viên nên phân theo từng kiểu loại bài tập, mỗi loại bài tập phân theo từng dạng khác nhau, qua mỗi dạng có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng. Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa học, lập luận logic và chặt chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập. 
3. Nội dung và hình thức của giải pháp
a) Mục tiêu của giải pháp 
	Đề tài “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” nhằm mục đích tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bị cho học sinh giỏi lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. Tạo hứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng toán có tính tư duy.
b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
b.1. Loại bài tập vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối
* Phương pháp giải 
Để vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối ta xét các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi vẽ đồ thị của hàm số trong từng trường hợp.
Lưu ý: Đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối là một đường gấp khúc.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
 + Với x < 0 thì y = -x
 + Với x 0 thì y = x
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mOn như trên hình vẽ
Nhận xét: 
 Khi thay x bởi –x, giá trị của hàm số không đổi nên đồ thị của hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Do đó sau khi vẽ đồ thị của hàm số ứng với x < 0 ta có thể lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị nói trên.
Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
 + Với x < 0 thì y = -2x - 1
 + Với x 0 thì y = 2x - 1
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mAn như trên hình vẽ
Ví dụ 3. Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
 + Với x < 1 thì y = -x - 1
 + Với x 1 thì y = x - 1
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mAn như trên hình vẽ
Ví dụ 4. Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
 + Với x < 1 thì y = x + 1
 + Với x 1 thì y = -x + 3
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mAn như trên hình vẽ
Ví dụ 5. Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
 + Với x < thì y = 1
 + Với x thì y = 4x - 1
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mAn như trên hình vẽ
Ví dụ 6. Vẽ đồ thị của hàm số 
Lưu ý: Khi gặp dạng toán có nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì trước hết ta cần lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất và cần nắm vững định lý sau đây:
Nhị thức bậc nhất  ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
Giải
Bước 1: Lập bảng xét dấu 
x
 0 1
x
 - 0 + 
+
1 - x
 + 
 + 0 -
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến cụ thể như sau: 
 + Với x < 0 thì y = -x + (1 - x) hay y = -2x + 1
 + Với thì y = x + (1 - x) hay y = 1
 + Với x > 1 thì y = x + (x - 1) hay y = 2x - 1
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mABn như trên hình vẽ
Ví dụ 7. (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 09/02/2015)
Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
Bước 1. Lập bảng xét dấu 
x
 2 3
 x - 2
 - 0 + 
+
x - 3
 - 
 - 0 +
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến cụ thể như sau: 
 + Với x < 2 thì y = (2 – x) + (3 - x) hay y = -2x + 5
 +Với thì y = (x – 2)+(3 - x) hay y = 1
 + Với x > 3 thì y = (x – 2)+(x - 3) hay y = 2x - 5
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mABn như trên hình vẽ
b.2. Loại bài tập giải phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải tốt phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, yêu cầu học sinh cần phải nắm vững một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cụ thể như sau:
- Qui tắc bỏ dấu ngoặc, qui tắc chuyển vế.
- Cách tìm nghiệm x trong phương trình: Thực hiện phép tính , chuyển vế, đưa phương trình về dạng ax = b x =
- Nắm vững định nghĩa và tính chất về giá trị tuyệt đối.
|A| = |-A|
|A| ³ 0| 
- Định lí về dấu nhị thức bậc nhất: 
Nhị thức bậc nhất  ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
Bên cạnh những yêu cầu trên, học sinh cần nhận biết được những dạng cơ bản của phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, đồng thời nắm vững phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập, cụ thể như sau:
Dạng 1. Phương trình dạng 
 Trong đó A(x) là biểu thức chứa x và k R.
 Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức không âm. Nếu k 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi giải phương trình vừa tìm được.
* Phương pháp giải 
Trường hợp k > 0:
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = k và A(x) = -k rồi kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Giáo viên đặt câu hỏi cho bài toán: Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? (có xảy ra vì ³ 0, 5>0). 
Cần áp dụng kiến thức nào để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối? (áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau).
Giải
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
Giải
Đẳng thức không xảy ra vì ³ 0 và -1<0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 3. Giải phương trình 3|9 - 2x| - 17 = 16
Với bài này nên đặt câu hỏi: Làm thế nào để đưa được về dạng cơ bản đã học? Từ đó học sinh phải biến đổi để đưa về dạng |9 - 2x |= 11
Giải 
3|9 - 2x| - 17 = 16 3|9 - 2x| = 33 |9 - 2x| = 11 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 4. Giải phương trình - 2 = 0
Giải
Điều kiện xác định của phương trình là x 0.
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Dạng 2. Phương trình dạng |A(x)| = B(x) 
 Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x. 
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như ở dạng 1, học sinh thấy được rằng đẳng thức không xảy ra Nếu B(x) < 0. Do đó để đẳng thức luôn xảy ra cần phải đặt điều kiện: B(x) ³ 0 
* Phương pháp giải 
Cách 1: Đặt điều kiện: B(x) ³ 0. Từ đó suy ra điều kiện của x
Ta có |A(x)| = B(x) 
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = B(x) và A(x) = - B(x), sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm.
Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
	|A(x) | = B(x)
+ Xét A(x) ³0. Từ đó suy ra điều kiện của x
Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) ³0)
+ Xét A(x) < 0. Từ đó suy ra điều kiện của x
Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình |9 - 7x| = 5x -3
Giải
Cách 1: Điều kiện: 5x – 3 ≥0 5x ³ 3 x³ 
Ta có  9 - 7x = 5x - 3 hoặc 9 – 7x = - (5x - 3)
+ Nếu 9 - 7x = 5x - 3 12x = 12 x = 1 (thoả mãn điều kiện)
+ Nếu 9 - 7x = -(5x - 3) 2x = 6 x = 3 (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Cách 2: 
Với 9 - 7x ³ 0 hay x ≤ thì ta có phương trình: 9 – 7x = 5x – 3 
 x = 1 (thoả mãn điều kiện)
Với 9 - 7x thì ta có phương trình: -9 + 7x = 5x – 3 
x = 3 (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 2. Giải phương trình |x- 5| - x = 3
Giải
Cách 1: | x – 5| - x = 3 |x – 5| = 3 + x
Điều kiện: 3 + x ³ 0 x ³ - 3 
Ta có x- 5 = 3 + x hoặc x – 5 = -(3 + x)
+ Nếu x – 5 = 3 + x 0x = 8( loại)
+ Nếu x – 5 = -3 – x 2x = 2 x = 1 (thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Cách 2: | x – 5| - x = 3
Với x - 5³0 hay x³ 5 thì ta có phương trình: x – 5 – x = 3 0x = 8 (loại)
 	Với x – 5 < 0 hay x < 5 thì ta có phương trình: –x + 5 – x = 3 -2x = -2 
 x = 1 (thoả mãn điều kiện) 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Lưu ý: Qua hai dạng trên, cần nhấn mạnh cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau là dạng 1 là trường hợp đặc biệt của dạng 2. Thông qua đó nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối , đó là đưa về dạng = B. Nếu B0 đó là dạng đặc biệt (dạng 1), còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra . Nếu B là biểu thức có chứa x thì đó là dạng 2 và giải bằng cách 1 hoặc ta đi xét các trường hợp xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối. 
Ví dụ 3. (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 10/02/2012)
1. Giải các phương trình sau: a) 
 b) 
2. Dùng đồ thị để kiểm tra lại các kết luận trong câu 1.
Giải
a) 
Với x 0 thì ta có phương trình: x = 2x - 1x = 1 (thoả mãn điều kiện).
Với x < 0 thì ta có phương trình: -x = 2x - 1 (loại).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1
b) 
Nếu x 0 thì x = -x - 5(loại).
Nếu x < 0 thì -x = -x - 50x = -5 (vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2. Vẽ đồ thị của hai hàm số và y = 2x – 1 trên cùng một hệ trục tọa độ. Giao điểm của hai đồ thị trên là điểm (1; 1). Do đó nghiệm của phương trình là x = 1
Vẽ tiếp đồ thị của hàm số y = -x – 5 ta thấy đồ thị của hai hàm số và y = -x – 5 không cắt nhau. Do đó phương trình vô nghiệm.
Dạng 3. Phương trình dạng = 0 
 Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x.
Với dạng này yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào? (cả hai số bằng 0). Vậy ở bài này tổng trên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) =0). Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) = 0 và B(x) = 0.
* Phương pháp giải 
 = 0 
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình f(x) = 0 và g(x) = 0 
Sau đó ta tìm x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0 rồi kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1, Giải phương trình = 0
Giải
	 = 0 
	 (Điều này không đồng thời xãy ra)
	Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình 
Giải.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
	Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
Giải
a) 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
b) 
 (Điều này không đồng thời xảy ra)
	Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Lưu ý: Ở dạng này cần lưu ý học sinh khi kết luận nghiệm của phương trình thì nghiệm đó phải thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình và 
Dạng 4. Phương trình dạng = k 
 	 Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x; kR; k0.
Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức không âm. Nếu k 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi giải phương trình vừa tìm được.
* Phương pháp giải 
-Lập bảng xét dấu.
-Dựa vào bảng xét dấu, xét các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến. 
-Kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: = 1 
Giải 
Bước 1. Lập bảng xét dấu 
x
 2 9
 x - 2
 - 0 + 
 +
x - 9
 -
 - 0 +
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến. Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A (x) = 0 mà kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ 2 x <9). Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau: 
Với x < 2 thì ta có phương trình: 
 (loại)
Với thì ta có phương trình: x – 2 + 9 – x = 1 
. Phương trình vô nghiệm.
Với thì ta có phương trình: (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình |x - 3| + |x + 2| =7	
Giải. 
Giải tương tự như ví dụ 1
x
 -2 3
 x + 2
 - 0 + 
 +
x - 3
 -
 - 0 +
Với x < -2 thì ta có phương trình: 3 - x – x –2 = 7 -2x + 1 = 7 
-2x = 6 x = -3 (thỏa mãn)
Với - thì ta có phương trình: 3 - x + x + 2 = 7 
 0x + 5 = 7 (vô nghiệm)
Với thì ta có phương trình: x - 3 + x + 2 = 7 2x – 1 = 7 
 2x = 8 x = 4 (thoả mãn )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 3. (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 25/02/2010)
Giải phương trình: 
Giải. 
Thực hiện tương tự như ví dụ 1 và ví dụ 2
x
 -1 2 3
x + 1
 - 0 +
 +
+
x - 2
 -
 - 0 +
+
3 - x
 +
 +
 + 0 -
Với x < -1 thì ta có phương trình: -x - 1 + 2 – x + x - 3 = 2010 
 x = -2012 (thỏa mãn)
Với thì ta có phương trình: x + 1 + 2 – x + x - 3 = 2010 
 x = 2010 (loại)
Với thì ta có phương trình: x + 1 + x - 2 + x - 3 = 2010 
 x = (loại)
Với thì ta có phương trình: x + 1 + x - 2 - x + 3 = 2010 
 x = 2008 (thoả mãn )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Dạng 5. Phương trình dạng 
 Trong đó A(x); B(x); C(x) là các biểu thức chứa x. 
* Phương pháp giải 
Sử dụng phương pháp giải như ở dạng 4
* Ví dụ minh họa
Giải phương trình 
Giải 
x
 -3 5
 x + 3
 - 0 + 
 +
x – 5
 -
 - 0 +
Với x < -3 thì ta có phương trình: 5 - x - x - 3 = 3x - 1 -5x = - 3 
 (loại)
Với thì ta có phương trình: 5 - x + x + 3 = 3x - 1 
 -3x = - 9 (thoả mãn )
Với thì ta có phương trình: x - 5 + x + 3 = 3x - 1 x = - 1 (loại)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Dạng 6. Phương trình dạng hay 
 Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x. 
Ở dạng này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy đẳng thức luôn xảy ra vì cả hai vế đều không âm, từ đó áp dụng tính chất: “Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau” để suy ra ngay A(x) =B(x) ; A(x) = -B(x) 
* Phương pháp giải 
Ta có |A(x)| = |B(x)| 
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = B(x) và A(x) = - B(x) rồi kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
	Ví dụ 1. Giải phương trình 
Giải 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 2. Giải phương trình 
Giải 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 3. Giải phương trình 2
	Ở bài này học sinh sẽ lúng túng ở thừa số 2 của vế trái nên giáo viên hướng dẫn các em giải bình thường.
Giải 
Cách 1: 	
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Cách 2: 
	Vì 2 > 0 nên: 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
b.3. Loại bài tập giải phương trình vô tỉ đưa được về phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
* Phương pháp giải 
Khi gặp phương trình vô tỉ mà biểu thức lấy căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức để làm mất dấu căn đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
Giải 
Với x < 2 thì ta có phương trình: 2 - x = 8 - x 0x = 6 (vô nghiệm)
Với thì ta có phương trình: x - 2 = 8 - x 2x = 10 
 (thoả mãn )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 2. (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 20/02/2014)
	Giải phương trình: 
Giải 
Điều kiện: x -2
Đặt phương trình trở thành 
y
 2 3
 y - 2
 - 0 + 
 +
y – 3
 -
 - 0 +
Với thì ta có phương trình: 2 - y + 3 - y = 11 -2y = 6 
 (loại)
Với thì ta có phương trình: y - 2 + 3 - y = 11 
 0y = 10 (vô nghiệm)
Với thì ta có phương trình: y - 2 + y - 3 = 11 
2y = 16 y = 8 (thỏa mãn)
Thay y = 8 vào phương trình ta được 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
Giải 
Điều kiện: x 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 4. Giải phương trình: 
Giải 
Điều kiện: x 
Nếu tức là thì ta có phương trình: 
 (thỏa mãn)
Nếu tức là thì ta có phương trình: 
 (phương trình nghiệm đúng với mọi)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
* Bài tập tương tự.
Giải các phương trình sau:
a) (Đáp số: x = 2)
b) (Đáp số: )
c) 
c) 
b.4. Loại bài tập giải hệ phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
* Phương pháp giải 
Khi giải hệ phương trình có chưa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng phương pháp thế, đưa hệ phương trình về hệ phương trình mà trong đó có phương trình một ẩn chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi xét các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana năm 2009)
	Giải hệ phương trình: 
Giải 
Từ phương trình (2) ta có (2’) 
 Thế phương trình (2’) vào phương trình (1) ta được:
Với thì ta có phương trình: 1 – 3x - 2x = 3 -5x = 2
 (thỏa mãn)
Thay vào phương trình (2’) ta được 
Với thì ta có phương trình: 1 – 3x + 2x = 3 -x = 2
 (loại)
Với thì ta có phương trình: 3x – 1 + 2x = 3 5x = 4
 (thỏa mãn)
Thay vào phương trình (2’) ta được 
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: và 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
Giải 
Từ phương trình (2) ta có (2’) 
 Thế phương trình (2’) vào phương trình (1) ta được:
Với thì ta có phương trình: 3 – y = 7 – 5y y = 1 (thỏa mãn)
Thay y = 1 vào phương trình (2’) ta được 
Với thì ta có phương trình: y – 3 = 7 – 5y y = (loại)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: , 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 
Giải 
Với thì ta có hệ phương trình: (thỏa mãn)
Với thì ta có hệ phương trình: (thỏa mãn)
Với thì ta có hệ phương trình: (thỏa mãn)
Với thì ta có hệ phương trình: (loại)
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là: 
Ví dụ 4. (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 09/02/2015)
	Giải hệ phương trình: 
Giải 
Từ phương trình (1) ta có (3) 
Vì với mọi x R nên từ (2) suy ra xy > 0 
Do đó (2) (4) 
Từ (3) và (4) suy ra 
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: 
b.5. Loại bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
* Phương pháp giải
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức có dấu giá trị tuyệt đối ta sử dụng một trong các bất đẳng thức sau đây:
 Dấu “=” xảy ra 
 . Dấu “=” xảy ra (a, b cùng dấu)
 . Dấu “=” xảy ra (a, b cùng dấu)
. Dấu “=” xảy ra (a, b, c cùng dấu).
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải 
Với mọi xR, ta có: 
Do đó A 3. Dấu “=” xảy ra (x - 2) (5 – x) 0 
Lập bảng xét dấu:
 2 5
 - 0 + 
+
 +
 + 0 -
 - 0 + 0 -
Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 2) (5 – x) 02 x 5 
Vậy AMin = 3 khi 2 x 5 
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải
Với mọi xR, ta có: 
Do đó B 2
Dấu “=” xảy ra (x + 1) (1 – x) 0 
Lập bảng xét dấu:
 -1 1
 - 0 + 
+
 +
 + 0 -
 - 0 + 0 -
Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 1) (1 – x) 0 -1 x 1 
Vậy BMin = 2 khi -1 x 1 
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải 
Với mọi xR, ta có: 
Do đó C 12. 
Dấu “=” xảy ra (3x + 5) (3x –7) 0 
Lập bảng xét dấu:
 - 0 + 
+
 -
 - 0 +
 + 0 - 0 +
Từ bảng xét dấu ta thấy: (3x + 5) (3x –7) 0 
Vậy CMax = 12 khi hoặc 
Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải
Với mọi xR, ta có: 
Do đó D 24. 
Dấu “=” xảy ra x +1; 2x + 5; 18 - 3x cùng dấu 
Lập bảng xét dấu:
 -1 6
-
 - 0 +
+
 - 0 +
+
+
+
+
+ 0 -
Từ bảng xét dấu ta có x +1; 2x + 5; 18 - 3x cùng dấu -1 x 6 
Vậy DMin = 24 khi -1 x 6 
c) Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
Các giải pháp, biện pháp đã nêu trong đề tài này có mối quan hệ mật thiết với nhau, được sắp xếp theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp nhằm trang bị cho học sinh phương pháp giải các loại bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp, trong đó loại bài tập giải phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là tiền đề cho các loại bài tập khác, chẳng hạn như giải phương trình vô tỉ đưa được về phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, giải hệ phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối,  Để thực hiện có hiệu quả các giải pháp, biện pháp như đã nêu trong đề tài này, trước hết học sinh phải nắm thật chắc một số vấn đề lý thuyết có liên quan đến từng loại bài tập, đồng thời phải biết phân biệt từng kiểu