SKKN Một số ứng dụng của định lí Vi-Ét trong chương trình Toán 9

n còn mãi lo làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em mình dẫn đến các em có kết quả học tập không tốt.
	Kết quả bài kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi-ét trong năm học 2016 - 2017 của lớp 9A5,6,7 khi chưa áp dụng các nội dung của chuyên đề:
Lớp
Sĩ số
học sinh
Điểm giỏi
TL %
Điểm khá
TL %
Điểm TB
TL %
Điểm dưới TB
TL %
9A5
40
02
5
07
17.5
11
27.5
19
47.5
9A6
35
02
5.7
05
14.3
13
37.1
15
42.9
9A7
36
04
11.1
05
13.9
07
19.4
20
55.6
	Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về việc vận dụng hệ thức Vi-ét trong quá trình giảng dạy, tôi đã củng cố từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Vi-ét để học sinh được khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày bài toán khi gặp các dạng này. 
	Rèn luyện các kỹ năng nhận dạng, phân dạng toán có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp học sinh nắm được đề ra và đưa ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. 
	Các em không còn gặp bất ngờ, khó khăn khi gặp các dạng bài toán có sử dụng hệ thức Vi-ét từ đó các em cảm thấy dần hứng thú, say sưa khi học về chuyên đề Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó.
	Không chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi còn đưa nội dung chuyên đề cho bạn đồng nghiệp trong trường tham khảo. Kết quả nhận được các phản hồi tích cực của các bạn đồng nghiệp. Qua áp dụng SKKN trên tôi thấy đa số học sinh đều vận dụng được hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán cơ bản, đạt kết quả học tập tốt hơn. 
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: 
Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
Rèn kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể.
Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
Tạo hứng thú qua các dạng toán áp dụng hệ thức trong giải toán về phương trình bậc hai thông qua các bài toán có tính tư duy, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
	Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (*)
	Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
 	Trường hợp 1: Phương trình bậc hai có các hệ số có quan hệ đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
	a) Nếu a + b + c = 0 Þ phương trình (*) có nghiệm và 
	b) Nếu a b + c = 0 Þ phương trình (*) có nghiệm và 
Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Toán 9_tập 2): 
Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
 	a) 35x2 - 37x + 2 = 0 	 ; c) x2 - 49 x - 50 = 0 	 
Giải:
 	a) Phương trình: 35x2 - 37x + 2 = 0.
Ta có a + b + c = 35 + (- 37) + 2 = 0, nên phương trình có hai nghiệm:
x1 = 1, x2 = = 
 c) Phương trình: x2 - 49 x - 50 = 0
Ta có a - b + c = 1 - 49 - 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: 
x1= -1; x2 = = 50
 Lưu ý : Đối với câu a, thì HS thường hay nhầm lẫm phương trình có các hệ số a - b + c = 0. Vì vậy trước hết giáo viên phải yêu cầu HS xác định rõ các hệ số, rồi đối chiếu xem thuộc trường hợp nào? 
Ví dụ 2(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2): 
Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
	;	d) 
	Giải:
	 b) Phương trình: 
Ta có , nên phương trình có hai nghiệm: 
x1= -1; x2 = = 
d) Phương trình: 
 Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m0).
Ta có , nên phương trình có hai nghiệm: 
x1= 1; 
	Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm nguyên đơn giản, ta có thể nhẩm nghiệm như sau:
Phương pháp: 
Bước 1: Tính và 
Bước 2: Nếu và thì ta dễ dàng tìm được 2 nghiệm của pt.
Ví dụ 3(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2) 
Nhẩm nghiệm của phương trình sau:
a) x2 - 7x + 12 = 0	;	b) x2 + 7x + 12 = 0
Giải:
a) Ta có: và .
Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 3, x2 = 4. 
 b) Tương tự như câu a) ta có -3 + (-4) = -7 và (-3)(-4) = 12. 
 Ta nhẩm được hai nghiệm là 
Bài tập vận dụng: Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1. 	
2. 	
3. 
Ứng dụng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại.
Phương pháp: 
 + Cách 1: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.
 + Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi-ét để tìm nghiệm còn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét còn lại để tìm giá trị của tham số.
Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2)
Dùng hệ thức Vi – ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau: 
Phương trình x2 + mx - 35 = 0 (1), biết nghiệm x1=7
Phương trình x2 - 13x + m = 0 (2), biết nghiệm x1=12,5
Giải: a) Phương trình x2 + mx - 35 = 0 (1)
Cách 1: Thay x1 = 7 vào phương trình (1) ta được .
Theo hệ thức Vi-ét, ta có : . Mà x1= 7 nên 
Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có : 
 Mà x1 = 7 nên .
 	Mặt khác 
Đáp số : 
Nhận xét : Đối với ví dụ trên thì cách 2 giải nhanh hơn và gọn hơn. Tuy nhiên với ví dụ 2 thì cách một lại nhanh hơn. Vì vậy khi gặp dạng toán này thì tùy vào vị trí của tham số mà ta chọn cách giải cho phù hợp.
	Bài tập vận dụng: (Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2)
Phương trình , biết nghiệm 
 Phương trình , biết nghiệm 
Hướng dẫn: 
c) Theo hệ thức Vi-ét: 
 Mà hay .
 Suy ra 
Đáp số : 
Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
 Phương pháp: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có nghiệm x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Ví dụ : (Bài 33/54 SGK Toán 9_tập 2)
Phân tích đa thức thành nhân tử
2x2 – 5x + 3	;	b) 3x2 + 8x + 2
 Giải:
Phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 
Phương trình 3x2 + 8x +2 = 0 có hai nghiệm x1 = , x2 = 
Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử
x2 – 6x + 9	;	b) 2x2 + 5x + 3
Ứng dụng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó. 
4.1. Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho.
 	Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét ta sẽ tính được giá trị của biểu thức chứa các nghiệm.
Ví dụ 1 (Bài 6/53 Sách hướng dẫn học toán 9_tập 2,Nhà xuất bản GD)
 Cho phương trình x2 - 5x + 3 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức sau:
 	a) ; b) B = x12 + x22	 ;	c) C = x13 + x23 	 
Giải:
Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 	a) 
b) 
 	c) 
- Mở rộng bài toán: d) ; 	e) ; f) 
d) 
	e) 
f) 
4.2. Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của phương trình thỏa mãn đẳng thức hoặc bất bẳng thức:
Phương pháp: 
 	 - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm (hoặc nếu nhận thấy phương trình luôn có nghiệm thì chứng minh điều đó)
	+Sử dụng một số hệ thức thường gặp:
 	Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 	 ; 	
;	
	 ; 
	+ Sử dụng các hệ thức trên biến đổi hệ thức chứa nghiệm về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta được phương trình có ẩn là tham số. Giải phương trình vừa lập ta tìm được giá trị của tham số. 
+ Đối chiếu giá trị tìm được của tham số với điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho rồi kết luận.
Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn :
 a) x12 + x22 = 8	 ;	 b) 	;	c) 
Giải: Phương trình x2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có 
 Để phương trình (1) có nghiệm thì D' 0 Û Û 
 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
a) Ta có : x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = 4 - 2m
 Để x12 + x22 = 8 4 - 2m = 8 m = -2 (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 8 m = -2 
b) Ta có 
Để (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn 
Ta có: 
 (t/m)
Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn 
Nhận xét: 
Nếu thay đẳng thức ở hai ví dụ trên thành bất đăng thức, thì ta cũng biến đổi như phần trên và khi đó giải bất phương trình.
 Đối với loại hệ thức bậc nhất giữa hai nghiệm (dạng mx1 nx2 = p) hoặc dạng hiệu luỹ thừa của hai nghiệm (dạng xm - xn = p ) thì ta thường kết hợp với một trong hai hệ thức của Vi-ét để được hệ phương trình. Giải hệ phương trình đó ta tìm được hai nghiệm, thay vào hệ thức còn lại của Vi-ét ta tìm được giá trị của tham số.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn :
 a) 3x1 + 2x2 = 1	 	;	 	 b) x12 - x22 = 6	 
Giải: Phương trình x2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có 
 Để phương trình có nghiệm thì D' 0 Û Û 
 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: 
 Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7
 Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện)
b) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: Giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = . Thay vào (3) ta được m = - (thoả mãn điều kiện)
Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 ( m là tham số) (1)
Tìm giá trị m để:
Phương trình (1) có nghiệm.
Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 = 2x2
c) Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài tập 2: Cho phương trình (2) ( m là tham số)
Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm x1; x2 thoã mãn: .
4.3. Tìm điều kiện của tham số để biểu thức chứa hai nghiệm của phương trình đạt các giá trị cực trị:
 	Phương pháp: 
 +Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
 + Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó vận dụng hệ thức Vi-ét đưa biểu thức về dạng chỉ chứa tham số. Từ đó sử dụng các phương pháp tìm cực trị, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ giải được bài toán (chú ý điều kiện có nghiệm).
 	Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 (m là tham số). 
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức:
 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Giải: 
Ta có , nên phương
trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5
Ta có: A = x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5) 
 = 4m2 - 10m +14 = 
Vì , nên 
Dấu “=” xảy ra khi (t/m)
	Vậy Amin = khi m = 
Ta có: 
Vì , nên 
Dấu “=” xảy ra khi (t/m)
Vậy 
Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình: x2 - mx+ (m - 2)2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài tập 2: Cho phương trình: (1)
Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?
 2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? 
Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
 	Phương pháp: 
 + Với dạng này thì cách giải chung là theo hệ thức Vi-ét ta có hai hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai hệ thức ta biểu diễn tham số theo hai nghiệm, sau đó thế vào hệ thức còn lại ta được hệ thức cần tìm. 
 + Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức.
 (Cần chú ý đến điều kiện có hai nghiệm của phương trình).
Các ví dụ: 
Ví dụ 1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m = 0 (1).Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải: Ta có D' = 
 Vì hay D' > 0 
 Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
 Theo hệ thức Vi-ét ta có 
 Từ (1) và (2) ta được là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số ). Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải :
 	Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm nên nó là phương trình bậc hai, do đó 
 	Theo giả thiết phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
Ta có (2) Û 6x1x2 = 6 + (3).
Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:
x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Bài tập áp dụng : Cho phương trình . Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Ứng dụng 6: Lập phương trình bậc hai:
Phương pháp: Nếu có hai số u và v thoã mãn: thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (1). Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P ³ 0.
6.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2:
Phương pháp: - Tính tổng và tích các nghiệm đề bài yêu cầu.
 	- Sử dụng ứng dụng (1) để lập phương trình 
Ví dụ 1: Tìm u ,v biết: u + v = 5 và uv = 6.
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có :. Vậy u; v là nghiệm của phương trình có dạng: .
Giải phương trình ta tìm được u = 3, v = 2 hoặc u = 2 , v = 3
Ví dụ 2(Bài 5/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD) 
 Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên.
– 3 và 7 	b) 2 và 	c) và 	
Giải: 
Ta có :(– 3) và 7 là nghiệm của phương trình có dạng: .
b) Đán số: 
c) Ta có : và là nghiệm của phương trình: 
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
 a) -5 và 8	;	b) và 	;	c) và 
6.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.
Ví dụ 3(Bài 7/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD) 
Cho phương trình có nghiệm x1, x2. Không giải phương trình, hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
và 	;	b) và 
Giải: 
Phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
 và 
Ta có: ; 
Vậy là hai nghiệm của phương trình: hay 
Ta có: 
Vậy và là hai nghiệm của phương trình:
Bài tập áp dụng: và 
6.3. Giải hệ phương trình: 
	Ứng dụng (1) thường được sử dụng vào giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn có dạng: 
	Để giải loại hệ này ta tiến hành như sau:
Biểu diễn từng phương trình qua x + y và xy
Đặt S = x + y và P = xy, ta được một hệ mới chứa hai ẩn S và P.
Giải hệ mới để tìm S và P.
Các số cần tìm là nghiệm của phương trình 
	Theo yêu cầu của bài mà giải phương trình tìm t hoặc biện luận phương trình chứa t để rút ra kết luận mà đề bài đặt ra.
 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 
 a) 	b) 
Giải:
a) Đặt S = x + y; P = xy , ta có hệ phương trình:
 Û . Do đó ta có: 
Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0
Giải phương trình ta được X1 = 1; X2 = 2 . 
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là : , 
b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ phương trình:
 Do đó ta có: 
Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và (-y) là nghiệm của phương trình
 X2 - 2X - 15 = 0, giải ra ta được X1 = 3; X2 = -5
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là : , .
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
 a) 	 b) 
Giải:
 a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ phương trình : 
 S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5
Do đó ta có: hoặc 
Suy ra x, y là nghiệm phương trình X2 - 2X = 0 (1) hoặc X2 + 3X + 5 = 0 (2)
Giải (1) được: X1 = 0; X2 = 2.
Giải (2): phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là : , 
 b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa về hệ đối xứng hai ẩn sau: 
Suy ra S, P là nghiệm phương trình X2 - X - 2 = 0.
 Giải ra ta được X1= -1; X2 = 2. Vậy hoặc 
 Từ đó ta có (I) hoặc (II)
Hệ (I) vô nghiệm. Hệ (II) có hai nghiệm là: , 
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: , 
Bài tập áp dụng ( Đề thi HSG tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011)
Giải hệ phương trình : (I)
Hướng dẫn: 
Hệ phương trình (I)Đặt u = x+1; v = y-1. Ta có 
Có hai trường hợp :
+Trường hợp 1: 	
+ Trường hợp 2: 	
Ứng dụng 7: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp: Dựa vào quan hệ về dấu của tổng và tích hai số với dấu của hai số đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét thì ta sẽ xét được dấu của hai nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu. 
Dấu nghiệm
x1
x2
S
P
Điều kiện chung
Trái dấu 
P < 0
Cùng dấu 
P > 0
; P > 0
Cùng dương 
+
+
S > 0
P > 0
; P > 0 ; S > 0
Cùng âm 
-
-
S < 0
P > 0
 , P > 0 và S < 0
Chú ý: Trước khi xét dấu nghiệm, cần chú ý xét xem phương trình có nghiệm hay không. 
Ví dụ 1 : Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:
 a) x2 - 2x + 5 = 0	 	b) x2 - 2x - 5 = 0
 c) x2 - 5x +1 = 0	d) x2 + 5x +1 = 0
Giải: 
 a) Ta có D' = -4 < 0 nên phương trình vô nghiệm
 b) Ta có P = -5 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
 c) Ta có nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 
 d) Ta có nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 (m tham số) (1)
Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có:
 	a) Hai nghiệm trái dấu.
 	b) Hai nghiệm phân biệt đều âm.
 	c) Hai nghiệm phân biệt đều dương.
 	d) Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Giải: 
Ta có: 
 Vì với mọi m).
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P < 0 hay Û m < 1 
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi 
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi
 không có giá trị nào của m thoả mãn
d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau tức là phương trình có hai nghiệm đối nhau .
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi Û 1 - 2m = 0 Û m = 
Vậy 
Ứng dụng 8: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a ¹ 0) với Parabol (P):y = mx2 (m ¹ 0):
8.1. Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a ¹ 0) đi qua 2 điểm A (xA; yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m ¹ 0).
Cơ sở lý luận : Do đường thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ giao điển là nghiêm của phương trình: mx2 = ax + b Û mx2 - ax - b = 0. 
Theo hệ thức Vi-et, ta có: (*)
Từ (*) tìm a và b Þ Phương trình (d)
Ví dụ 1: Cho Parabol (P) có phương trình (P): y = x2. Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt xA = - 1 ; xB = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua A và B.
Giải: Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b (a ¹ 0) 
	Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) : 
x2 = ax + b Û x2 - ax – b =0 (*).
	Ta có: xA = - 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*).
	Theo hệ thức Vi- et, ta có: Û 
	 Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2.
8.2. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M(xM; yM)
Cơ sở lý luận : Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phương trình:
mx2 - ax - b = 0 có nghiệm kép: x1 = x2. Vận dụng hệ thức Vi-et, ta có:
 Þ a và b Þ phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ 2: Cho (P): ; A Î (P) có hoành độ xA = 2 lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A.
Giải : Giả sử phương trình tiếp tuyến tại A là (d) : y = ax + b. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : = ax + b Û x2 - 4ax - 4b = 0 (*)
Ta có: xA = 2 là nghiệm kép của (*): x1 = x2 = 2
Theo Viet ta có: Þ 
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 1
	IV. Tính mới của giải pháp: 
	Qua 3 năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến của mình tôi thấy khả năng vận dụng các kiến thức về ứng dụng hệ thức Vi-ét của học sinh đã có nhiều tiến bộ, thể hiện ở chỗ đa số học sinh biết cách giải toán linh hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm tòi kiến thức mới góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường.
	Các ứng dụng của hệ thức được sắp xếp khoa học, có tính logic, từ dạng cơ bản đến mở rộng nâng cao phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Hầu hết các dạng bài đều xuất phát từ các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách mô hình trường học mới, sau đó phát triển dần lên nhằm kích thích tính tư duy sáng tạo của học sinh. 
	Việc phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu giúp hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu. Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh phân biệt dạng và tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề, phát hiện ra cách giải và tìm ra phương pháp phù hợp nhất, khoa học nhất. 
	Sáng kiến kinh nghiệm được viết theo chuyên đề nên mang tính tổng quan, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Các ví dụ và bài tập đưa ra bám sát theo định hướng phát triển năng lực của học sinh, chú trọng hình thành và rèn luyện các kĩ năng cho các em.
	Qua việc nghiên chuyên đề thì người giáo viên giảng dạy toán có một cái nhìn tổng quát về các ứng dụng của định lý Vi-ét trong chương trình to