SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải Toán 8 tại trường THCS Lương Thế Vinh huyện Krông Ana tỉnh Đắk Lắk

 tử. Ta đã biết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò rất quan trọng trong việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử nhưng sự vận dụng của các em phần lớn chưa tốt, còn nhiều em chưa thuộc chính xác 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Hơn nữa, một số kĩ năng phục vụ cho bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như nhân – chia đơn thức, qui tắc dấu ngoặc, một số công thức về lũy thừa là chưa thành thạo. Chính vì thế mà kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là chưa cao.
Đối với giáo viên: Có thể trong tiết luyện tập, ôn tập về nội dung bài toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên chưa nắm bắt được những đặc điểm trên của học sinh. Cũng có thể hướng dẫn cho học sinh từng bài cụ thể nhưng chưa định hướng cách giải chung cho dạng toán này.
 3. Nội dung và hình thức của giải pháp 
	a. Mục tiêu của giải pháp 
 	 Đề xuất các biện pháp sư phạm để giúp học sinh biết sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở lớp 8. Tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp dạy học như: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêm động lực, niềm phấn khích đối với các em để các em có thể tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất. 
	b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
	* Biện pháp 1: Củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản.
Để phân tích đa thức thành nhân tử học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan đã học. Vì vậy giáo viên phải củng cố, khắc sâu cho học sinh cña m×nh c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc c¬ b¶n nh­ c¸c quy t¾c, thµnh th¹o phÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, nh©n ®a thøc víi ®a thøc, phÐp chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc, phÐp chia ®a thøc cho ®¬n thøc, chia hai ®a thøc ®· s¾p xÕp, c¸c quy t¾c ®æi dÊu ®a thøc, thËt thuéc vµ vËn dông thµnh th¹o c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
 Đặc biệt giáo viên phải cho học sinh n¾m v÷ng b¶n chÊt cña viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
 §Þnh nghÜa: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (thõa sè) lµ biÕn ®æi ®a thøc thµnh tÝch cña nhiÒu ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c.
Khi giải một số bài toán đơn giản người ta có thể sử dụng một trong các phương pháp giải thông thường như:
+ Đặt nhân tử chung.
Ví dụ1: x2 – 2x= x( x–2) 
	+ Dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: x2 – 2x+ 1= (x–1)2
	+ Nhóm nhiều hạng tử (thường thì ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác nhau)
Ví dụ 3: x – 3xy+ 1– 9y2 = (x – 3xy)+ (1– 9y2) =x (1– 3y)+ (1– 3y) (1+3y) 
	= (1– 3y)(x+ 1+3y) 
Tuy nhiên khi thực hành giải toán đòi hỏi chúng ta không những thành thạo các phương pháp trên mà cần phải biết phối hợp linh hoạt cả ba phương pháp kể trên để có thể phân tích được đa thức đã cho thành nhân tử. 
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = 
 	 = ( 3x2 – 3xy) – ( 5x – 5y) (Nhóm các hạng tử)
 	 = 3x( x–y) –5( x–y) (Đặt nhân tử chung)
 	 = ( x–y) ( 3x –5)	 (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 B = x - 2y + x2 - 4xy + 4y2
	= (x - 2y) + (x2 - 4xy + 4y2)	(Nhóm các hạng tử)
	= (x - 2y) + (x - 2y)2 (Dùng hằng đẳng thức)
	= (x- 2y) (1 + x - 2y) (Đặt nhân tử chung)
Vậy muốn các em phối hợp tốt các phương pháp trên giáo viên cần nhắc các em lưu ý một số bước sau:
+ Ta đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể để từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xét xem đa thức có dạng hằng đẳng thức nào hay không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải biết cách nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
M = x4 +2x3 + x2 - 9x2y2 
Nhìn vào biểu thức ta cần dùng phương pháp nào trước để phân tích? Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là x2
+ Đặt nhân tử chung: x2( x2 +2x + 1- 9y2)
Trong ngoặc có 4 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không
+ Nhóm hạng tử: 	M = x2[(x2 - 2x + 1 ) - 9y2 ]
+Dùng hằng đẳng thức: M = x2 [( x - 1)2 - (3 y)2] xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào.Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có: M = x2 (x - 1+ 3y) (x - 1 - 3y)
Vậy để phân tích tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi chúng ta cần quan sát kĩ bài toán và sử dụng linh hoạt các phương pháp trên giải bài toán một cách logic và chính xác. 
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a - a = a( a2- 1 ) = am(a+1)(a-1) 
 * Biện pháp 2: Cung cấp thêm, mở rog các phương pháp thông thường cho HS các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong thực tế làm toán nhiều trường hợp chúng ta sử dụng linh hoạt hầu hết tất cả các phương pháp trên nhưng vẫn chưa đưa đến kết quả mong muốn, do đó chúng ta cần giúp HS biết thêm một số phương pháp khác khi làm một số bài toán phức tạp hơn đó là:
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
+ Phương pháp đặt biến phụ
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể hóa các phương pháp trên ta đi tìm hiểu sâu một số ví dụ sau:
Phương pháp tách hạng tử
Ta có thể tách hạng tử tự do thành nhiều hạng tử để từ đó có thể kết hợp với các hạng tử trong bài toán trở thành hằng đẳng thức,hoặc xuất hiện nhân tử chung với các hạng tử còn lại để từ đó ta phân tích được bài toán.
Ngoài cách tách hạng tử tự do ta còn có thể tách hạng tử bậc nhất( dùng cách tách tam thức bậc hai) thành hai hạng tử để nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx +c thành nhân tử chung, ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b 
Ví dụ 7:Phân tích đa thức thành nhân tử:
 	N = 3x2 + 4x – 7.
 	Cách 1: N = 3x2 +4x - 4 - 3 (Tách -7 = -4 - 3)
= (3x2 - 3) +(4x- 4) (Nhóm hạng tử)
= 3(x2 - 1) + 7(x - 1) (Đặt nhân tử chung)
= 3(x - 1)(x+1)+7(x - 1) (Dùng hằng đẳng thức)
= (x - 1) (3x+7) (Đặt nhân tử chung)
 Cách 2: 3x2 +7x - 3x- 7 (Tách 4x = 7x - 3x
= (3x2 - 3x) + (7x - 7) (Nhóm hạng tử)
= 3x (x - 1) + 7(x - 1) (Đặt nhân tử chung)
= (x - 1) (3x+7) (Đặt nhân tử chung)
Ngoài ra tùy từng bài toán cụ thể ta có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do, hạng tử bậc nhất)
Phương pháp thêm bớt hạng tử
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của 2 bình phương
Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 P = x4 + 324 = x4 + 182 = x4 + 182 + 36x2 - 36x2 ( thêm bớt 36x2)
	 = (x2 + 18)2- (6x)2 ( nhóm hạng tử)
	 = (x2 + 6x + 18)(x2 - 6x + 18) ( dùng hằng đẳng thức)
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Q = a5 + a + 1
 P= x7 + x2 + 1
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
Q = a5 + a + 1 
= a5 + a + 1+ a2 - a2 ( Thêm bớt a2)
= (a5 - a2 )+( a2 + a + 1) ( Nhóm hạng tử)
 = a2(a- 1))( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1) (Đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức)
 = ( a2 + a + 1)(a3 - a2 + 1) (Đặt nhân tử chung )
P= x7 + x2 + 1
= x7 – x + x2 + x + 1 (Thêm bớt x ) 
= x(x3+1) (x3-1)+ (x2 + x + 1 ) (Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức) 
= x(x3+1)(x-1)(x2 + x + 1) +(x2 + x +1) (Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức)
= (x2 + x + 1 )(x5 – x4 + x2 - x + 1 )
Chú ý: Các đa thức dạng x3m+1 + x3n+2 +1 như x7 + x2 + 1, x7 + x5 + 1, x + x5 + 1,. Đều chứa nhân tử x2 + x + 1
Phương pháp này khi ta thêm bớt hạng tử giúp chúng ta rất tiện lợi tuy nhiên cần thông minh để thêm bớt hạng tử phù hợp cho bài toán của mình.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ( phương pháp đổi biến)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12
B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12
 Ta thấy hai hạng tử của nhân tử thứ nhất hơn kém nhau 1đơn vị. Vậy ta có thể đặt ẩn phụ để đưa bài toán đơn giản hơn.
Đặt t = x2 + x+1 khi đó A = t(t + 1) -12 = t2 + t - 12 
Sau đó có thể phân tích t2 + t - 12 = t2 + 4t - 3t - 12 ( tách t = 4t - 3t)
	 =( t2 + 4t) - (3t + 12) ( nhóm hạng tử)
	 = t( t + 4) - 3( t + 4) = (t + 4)( t - 3) ( đặt nhân tử chung)
Hay A = (x2 + x+5)( x2 + x - 2)
 Ta x2 + x+5= (x+ )2 + ³ 0 nên không phân tích được nữa 
còn x2 + x - 2= (x-1)(x+2)
vậy A = (x2 + x+5)(x -1 )( x+ 2) 
B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128= (x2+ 10x)(x2+10x +24)+128
Đặt x2+10x +12 = y đa thức đã cho có dạng 
 ( y +12) ( y-12) +128 = y2 – 16 =( y +4) ( y-4)
= ( x2+10x +16)( x2+10x +8)
= ( x+2)(x+8)( x2+10x +8)
Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biết, ta đã đứa đa thức bậc bốn đối với x thành đa thức bậc hai đối với biến y 
	4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Cho đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) 
Phương pháp:Nếu đa thức (1) có nghiệm thì theo định lí Bơ Zu có m là nghiệm của (1)thì đa thức chứa nhân tử (x – m) khi đó dùng phép chia đa thức ta có: 
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp được dựa vào các phương pháp nêu trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Chú ý: khi xét nghiệm nguyên của đa thức, cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức f(x). f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
+ Cũng có thể tìm nghiệm bằng máy tính casio rồi từ đó phân tích đa thức thành nhân tử. 
Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 A(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 .
B(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 .
C(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
A = x3 - 5x2 + 8x - 4 xét tổng các hệ số ta thấy
a + b + c +d = 1 +(-5)+ 8+ (-4) = 0 Þ x1 = 1
A = (x - 1) (x2 - 4x + 4) (Chia hết cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phương pháp đã có để các em làm tiếp
A= (x - 1) (x - 2)2
B = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 
Ta thấy các ước của 18 là ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18
B(1) = -18 ; B(-1) = -44 vì vậy ±1 không phải là nghiệm của B(x) . 
Ta thấy -18/(-3-1); -18/(±6-1); -18/(±9-1); -18/(±18-1) không nguyên nên ; -3; ±6; ±9; ±18 không là nghiệm của B(x)
 Ta thấy -44/ (2+1) không nguyên nên 2 không là nghiệm của B(x). Chỉ còn -2 và 3 kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của B(x) do đó ta tách hạng tử để xuất hiện nhân tử chung là x – 3 như sau:
B = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 
= 4x3 - 12x2- x2 +3x + 6x - 18 
= 4x2(x – 3) – x(x-3) +6 ( x-3) 
= ( x – 3) (4x2– x+6 )
Các em có thể lấy đa thức B chia cho x – 3 được thương là (4x2– x+6 ) số dư là 0 
Các em cũng có thể dùng máy tính casio tìm nghiệm của B rồi dùng sơ đô hoocne để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ấn như sau:
4 aphal x ^ 3 -13 aphal x ^ 2 + 9 aphal x – 18= 0 shift solve
Nghiệm là x = 3
 Ta có sơ đồ hoocne như sau:
4
-13
9
-18
3
4
-1
6
0
B = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 
= ( x – 3) (4x2– x+6 )
C(x) = 3x3 - 7x2 + 17x – 5
Các số ±1; ±5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức không có nghiệm nguyên. Tuy vậy, đa thức có thể có nghiệm hữa tỉ khác. Ta chứng minh được rằng trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữa tỉ nếu có phải có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất. 
Vì vậy ta xét các số ±1/3; ±5/3 thì 1/3 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số 3x-1 nên ta tách đa thức có nhân tử chung là 3x- 1 như sau:
C(x) = 3x3 - 7x2 + 17x – 5
	 = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
	 = x2( 3x -1) –2x(3x -1) +5(3x -1) 
 = ( 3x -1) (x2–2x+ 5) 
5. Phương pháp dùng hệ số bất định (Đồng nhất hệ số)
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ số bằng nhau . Chẳng hạn 
P(x) = bx2 + 2cx- 3
Q(x) = x2 - 4x - p 
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có b = 1 (Hệ số của lũy thừa 2) 
2c = -4 Þ C = -2 (Hệ số của lũy thừa 1) 
p = 3	 (Hạng tử không đổi) 
Ví dụ 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
H = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Đa thức 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 có nghiệm x = 2 nên có nhân tử x - 2 
Do đó 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = ( x - 2)(2x3 + ax2 + bx+ c)
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 =2x4 +( a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c
Suy ra: 
Vậy a = 1, b = -5 , c = - 4
Khi đó H = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = ( x - 2)(2x3 + x2 - 5x- 4)
 2x3 + x2 - 5x- 4 = ( x + 1)(2x2 -x- 4)
Do đó: H = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = ( x - 2)( x + 1)(2x2 - x- 4)
Các ví dụ trên là một trong những bài toán cơ bản dùng phối kết hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, qua đó giúp các em nắm bắt được một số bài toán khó khi phân tích đa thức thành nhân tử. Đồng thời từ đó giúp HS có công cụ sắc bén để giải quyết các bài toán rút gọn phân thức cũng như giải phương trình.
6. Phương pháp xét giá trị riêng
	Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán các biến có giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại.
Ví dụ 13 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
A= x2 (y – z) + y2( z-x) +z2( x – y) 
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
Thử thay x bởi y thì A = y2 (y – z) + y2( z-y) +z2( y – y)= 0 
Như vậy A chia hết cho x – y 
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì A không đổi ta nói đa thức A có thể hoán vị vòng quanh x "y"z"x . Do đó nếu A chia hết cho x – y thì cũng chia hết cho y – z , z – x.do đó A có dạng k (x – y )(y – z )( z – x) và k là hằng số.
 Vì A có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y )(y – z )( z – x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x2 (y – z) + y2( z-x) +z2( x – y) = k (x – y )(y – z )( z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y= 1, z= 0 chỉ cần chúng đôi một khác nhau ta được kết quả như sau:
4.1+1.(-2)+0=k 1.1.(-2) 
Suy ra k = -1 
Vậy A = -1 (x – y )(y – z )( z – x)
* Biện pháp 3: Giúp HS sử dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán
 Bài 1:Giải phương trình:
6x4 – x3 – 7x2 + x +1 = 0
6x4 – x3 – x2 - 6x2 + x +1 = 0
x2( 6x2 – x – 1) – ( 6x2 - x – 1) = 0
(x2- 1)(2x-1)(3x+1) = 0
Nghiệm là -1;1;;
x3 – 5x2+ 8x-4 = 0
Ta thấy x=1 là nghiệm của phương trình (vì 1-5+8-4=0)
do đó : x3 – 5x2+ 8x-4 chia hết cho x-1.
Thực hiện phép chia đa thức được thương x2- 4x +4
Khi đó x3 – 5x2+ 8x-4 = 0 (x-1)(x2- 4x +4) = 0 (x-1)(x- 2)2 = 0
Nghiệm của phương trình là 1 và 2
Bài 2:Rút gọn phân thức
A= = = 2
B== 
B=
 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 	M = 2x2 + 4x + 10
Biến đổi M = 2(x+ 1)2 + 8
Vì (x+1)2 0 nên M 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 8 tại x= -1
Bài 4: Chứng minh rằng biểu thức sau chia hết cho 24 với n là số tự nhiên:
N = 
Giải: Trước tiên ta phân tích : n5- 5n3 + 4n = n( n4 – 5n2+4) = n( n4 – n2 - 4n2+4)
	= n[n2( n2 – 1) – 4(n2 – 1)] = n2( n2 – 1)(n2 – 4)
	= n(n-1)(n + 1)(n-2)(n+2)
Khi đó: N = .
Kết quả của biểu thức trên là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp. Trong 4 số tự nhiên liên tiếp có 2 số chẵn và 2 số lẻ. Trong hai số chẵn đó, một số chia hết cho 4 nên tích hai số chẵn chia hết cho 8. Trong hai số lẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Từ đó suy ra tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 hay N chia hết cho 24.	
Bài 5: Chứng minh rằng x8n + x4n + 1 Chia hết cho x2n + xn + 1 với mọi số tự nhiên n.
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
x8n + x4n + 1= x8n + 2 x4n +1 - x4n = (x4n+1)2 – (x2n)2 
	= (x4n+1– x2n) (x4n+1+ x2n)
	= (x4n+1– x2n) (x4n+ 2x2n + 1- x2n)
	= (x4n+1– x2n) (x2n + 1- xn) (x2n + 1+ xn)
Vậy x8n + x4n + 1 Chia hết cho x2n + xn + 1
Bài 6: Chứng minh rằng x3m+1 + x3n+2 + 1 Chia hết cho x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên n, m.
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
 x3m+1 + x3n+2 + 1= x3m+1 – x + x3n+2 - x2+x2 +x + 1
 = x(x3m- 1)+ x2( x3n – 1) + ( x2 +x + 1)
Ta thấy x3m- 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1) , do đó chia hết cho x2 +x + 1
Vậy x3m+1 + x3n+2 + 1 Chia hết cho x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên n, m.
	Một số phương pháp và có dạng bài tập tương ứng trên mong sao giúp các em HS rèn luyện cho mình kỹ năng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bài toán chứng minh.
Tôi đã chú trọng đến nhân tố tác động đến chất lượng giờ dạy tiết học.
* Kỹ năng sư phạm
Khâu tổ chức lớp: Nếu làm tốt khâu này thì rõ ràng hiệu quả tiết dạy sẽ được nâng cao. Học sinh ra vào lớp theo hướng dẫn của giáo viên, học sinh thực hiện nghiêm túc theo nội quy trong giờ học; Giáo viên kiểm tra sĩ số, GV bám sát tình hình học tập của học sinh 
Tầm bao quát lớp: Giáo viên có tầm bao quát lớp tốt sẽ nắm bắt tình hình học tập chung của cả lớp, của từng học sinh. Bên cạnh đó, còn thúc đẩy các em học tập tích cực hơn. 
Biện pháp quản lí học sinh: Thể hiện trong suốt tiết học, quản lí việc làm bài tập và ý thức học tập của các em.
* Một số nhân tố khác:
Biện pháp xử lí những trường hợp học sinh vi phạm: Đòi hỏi ở giáo, viên một phong cách chuẩn mực về cả chuyên môn và nhân cách để có những cách xử sự hợp lí, để học sinh của mình tâm phục, khẩu phục. Giáo viên phải thực sự nghiêm minh nhưng phải quan tâm, gần gũi với học sinh, đặc biệt là những học sinh cá biệt. 
* Phương pháp dạy học của giáo viên
Tổ chức hài hòa, nhịp nhàng tiết học: Để hoàn thành mục tiêu của từng tiết học thì sự phân chia thời gian của từng nội dung, điều khiển tiến trình dạy học một cách lôgic là cần thiết.
Vận dụng linh hoạt các phương pháp sư phạm: Thực hiện mục tiêu của tiết dạy: Tùy theo đặc thù kiến thức của mỗi tiết dạy mà giáo viên có phương pháp riêng cho phù hợp như: vấn đáp tái hiện, vấn đáp minh họa, phát hiện và giải quyết vấn đề,  đặc biệt vận dụng bản đồ tư duy ở một số tiết dạy.
Củng cố tiết học: Giáo viên củng cố lại kiến thực trọng tâm của tiết học để học sinh nắm bắt được những kiến thức quan trọng của tiết học.
Ra nhiệm vụ về nhà cho học sinh: Mỗi tiết học giáo viên phải có những yêu cầu cụ thể cho tiết học sau như: về nhà học bài cũ, chuẩn bị kiến thức mới, ôn tập, 
* Phương tiện dạy học
Đồ dùng dạy học: Sự chuẩn bị của giáo viên cho mỗi tiết dạy – thước gỗ là đồ dùng không thể thiếu: Giáo dục học sinh đức tính cẩn thận, tạo ra âm thanh lớn gây sự chú ý của học sinh, giúp giáo viên dễ dàng ổn định trật tự, lớp học thực sự nghiêm túc thì thành công của tiết dạy đó rất lớn.
* Một số nhân tố khác
Thứ nhất, giáo viên truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên.
Thứ hai, giáo viên hướng dẫn cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết về những bài tập cơ bản, sau đó luyện giải các dạng bài tập cụ thể, đa dạng từ dễ đến khó trong tiết luyện tập. Cần rèn luyện thêm cách lập luận và trình bày bài làm cho học sinh yếu, trung bình vì đây là đối tượng học sinh rất mau quên kiến thức, hay chán nản và dễ bị mất kiến thức, thờ ơ với phương pháp học tập ở cấp THCS. Đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy.
Thứ ba, bài tập về về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tuy đa dạng nhưng với chương trình Sách giáo khoa yêu cầu các dạng bài tập cơ bản, do đó với mỗi dạng bài tập giáo viên nên chốt lại phương pháp làm bài và các kiến thức đã áp dụng, cách trình bàysau khi giải hoặc hướng dẫn, giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm là mấu chốt của bài toán để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ.
 	Thứ tư, mỗi giáo viên nên thường xuyên động viên, khích lệ các em, tạo tâm thế yên tâm, tin tưởng cho các em phấn đấu bởi trong thực tế chắc chắn có nhiều em học rất tốt, nhưng cũng có nhiều em học yếu, đôi lúc làm chúng ta buồn bực, thất vọng. Đây cũng có thể là một yếu tố tác động tích cực nhằm đem lại kết quả khả quan hơn trong quá trình dạy và học của cả giáo viên và học sinh, bởi đối với cấp THCS, lứa tuổi lớp 8 và lớp 9 chưa ổn định..
Cuối cùng, tăng cường phối hợp các phương pháp, kết hợp dạy kiến thức mới, củng cố kiến thức cũ đan xen các bài kiểm tra về các dạng bài tập, các mảng kiến thức đã học, khi có sự đánh giá, nhận xét của giáo viên thì học sinh phần nào biết được mức độ nắm bắt kiến thức của bản thân để điều chỉnh tốt hơn. Thông qua đó, kịp thời liên hệ với giáo viên