SKKN Một số giải pháp hay của giáo viên "không chuyên" trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 ở trường THCS Sùng Phài

hi cấp huyện nội dung từ Chương I: Tập hợp, số phần tử của tập hợp cho đến hết Chương II: Số nguyên; về hình học từ chương I: Điểm, đường thẳng cho đến trung điểm của đoạn thẳng.
4. Giải pháp 4
Sưu tầm các tài liệu có liên quan về nội dung bồi dưỡng môn Toán lớp 6. Một số tài liệu cụ thể dưới đây:
5. Giải pháp 5
Chọn lọc và xây dựng các chuyên đề, dạng bài trọng tâm bám sát khung bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 sao cho phù hợp. Cụ thể như sau:
5.1. Chuyên đề 1. Dãy các số viết theo quy luật
5.1.1. Ví dụ: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy được viết theo quy luật
a) 3, 8, 15, 24, 35, 
Hướng dẫn giải:
Dãy số trên được viết dưới dạng: 1 . 3; 2 . 4; 3 . 5; 4 . 6; 5 . 7;..
Dãy 1 là 1, 2, 3, 4, 5,
Dãy 2 là 3, 5, 7, .
Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: 100 . 102 = 10200
b) 3, 24, 63, 120, 195, 
Hướng dẫn giải:
Dãy số trên được viết dưới dạng: 1 . 3; 4 . 6; 7 . 9; 10 . 12; 13 . 15;.
Dãy 1 là: 1, 4, 7, 10, 13, 
Dãy 2 là: 3, 6, 9, 12, 15, 
Số hạng thứ 100 của dãy 1 là: 
(x – 1) : 3 + 1 = 100
(x – 1) : 3 = 99
(x – 1) = 297
x = 298
Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: 298 . 300 = 89400
c) 1, 3, 6, 10, 15, 
Hướng dẫn giải:
Dãy trên được viết dưới dạng: (1 . 2)/2; (2 . 3)/2; (3 . 4)/2; (3 . 5)/2; 
Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: (100.101)/2 = 5050
d) 2, 5, 10, 17, 26, .
Hướng dẫn giải:
Dãy trên được viết lại dưới dạng: 1 + 12; 1 + 22; 1 + 32; 1 + 42; 1 + 52; 
Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: 1 + 1002 = 10001
5.1.2. Bài tập về nhà
*) Bài 1: Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:
a) 1. 6, 2. 7, 3. 8, 
Đáp án: Số hạng thứ 100 của dãy trên là: 100 . 105 = 10500
b) 1. 4, 4. 7, 7. 10, .
Đáp án: Số hạng thứ 100 của dãy 1 là: 298 . 301 = 89698
*) Bài 2: Tính tổng sau S = 1 + 3 + 5 +  + 2009 + 2011
Đáp án: S = 1012036
5.2. Chuyên đề 2. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, của một tổng, của một tích
5.2.1. Ví dụ: Cho A = 2 + 22 + 23 +  + 220
Tìm chữ số tận cùng của A
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2A = 22 + 23 + 24 +  + 221
Suy ra: 2A – A = 221 – 2
Hay: A = 221 – 2 
Ta thấy 221 = (24)5 . 2 = (16)5 . 2 có chữ số tận cùng là 2
Vậy 221 – 2 có chữ số tận cùng là 0
5.2.2. Bài tập về nhà
5.2.2.1. Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a) 61991	b) 91991	c) 31991	d) 21991
Đáp số:
a) 61991 có chữ số tận cùng là 6
b) 91991 có chữ số tận cùng là 9
c) 31991 có chữ số tận cùng là 7
d) 21991 có chữ số tận cùng là 8
5.2.2.2. Bài tập 2: Tính nhanh tổng sau
S = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 262 + 263
Đáp số: S = 264 - 1
5.3. Chuyên đề 3. Một số vấn đề nâng cao về chia hết
5.3.1. Dạng 1. Chứng minh chia hết (trên tập hợp N)
5.3.1.1. Ví dụ 1
Cho A = 9999931999 - 5555571997
Chứng minh rằng A chia hết cho 5
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng.
Ta có: 31999 = (34)499 . 33 = 81499 . 27. Suy ra số bị trừ tận cùng bằng 7
71997 = (74)499 . 7 = 2401499 . 7. Do đó số trừ cũng tận cùng bằng 7
Vậy A tận cùng bằng 0, do đó A chia hết cho 5
5.3.1.2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng S1 = 5 + 52 + 53 +  + 599 + 5100 chia hết cho 6
Hướng dẫn giải:
S1 = (5 + 52) + (53 + 54) +  + (599 + 5100)
S1 = 5(1 + 5) + 53(1 + 5) +  + 599(1 + 5)
S1 = 6(5 + 53 +  + 599) chia hết cho 6
* Bài tập về nhà: Chứng minh rằng A = 2 + 22 + 23 +  + 299 + 2100 chia hết cho 3, chia hết cho 7, chia hết cho 31
5.3.1.3. Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên abc chia hết cho 27 thì các số bca cũng chia hết cho 27
Hướng dẫn giải:
abc = (100a + 10b + c) chia hết cho 27 = 3 . 9 nên a = 1, b = 3, c = 5
Vậy abc = 135 chia hết cho 27
bca = 351 chia hết cho 27
* Bài tập về nhà
*) Bài 1: Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên abc chia hết cho 37 thì các số bca cũng chia hết cho 37
*) Bài 2: Chứng minh rằng + chia hết cho 11 và - chia hết cho 9 với a > b
*) Bài 3: Cho A = 3 + 32 + 33 +  + 3100
Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2A + 3 = 3n
5.3.2. Dạng 2. Tìm số bị chia biết các số chia và số dư trong hai phép chia
5.3.2.1. Ví dụ 1: Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia bằng 72. Biết rằng thương là 3 và số dư bằng 8. Tìm số bị chia và số chia
Giải
Gọi a là số bị chia, b là số chia, r là số dư (a, b, r thuộc N ; b > 8)
Theo bài cho ta có : a = 3b + 8
+ Nếu b = 9 thì a = 35 có a + b = 9 + 35 = 44 < 72 (loại)
+ Nếu b = 10 thì a = 3 . 10 + 8 = 38 có a + b = 10 + 38 = 48 < 72 (loại)
+ Nếu b = 11 thì a = 3 . 11 + 8 = 41 có a + b = 11 + 41 = 51 < 72 (loại)
+ Nếu b = 12 thì a = 3 . 12 + 8 = 44 có a + b = 12 + 44 = 56 < 72 (loại)
+ Nếu b = 13 thì a = 3 . 13 + 8 = 47 có a + b = 13 + 47 = 60 < 72 (loại)
+ Nếu b = 14 thì a = 3 . 14 + 8 = 50 có a + b = 14 + 50 = 64 < 72 (loại)
+ Nếu b = 15 thì a = 3 . 15 + 8 = 53 có a + b = 15 + 53 = 68 < 72 (loại)
+ Nếu b = 16 thì a = 3 . 16 + 8 = 56 có a + b = 16 + 56 = 72 (thỏa mãn)
Vậy số bị chia bằng 56, số chia bằng 16 
5.3.2.2. Bài tập về nhà : 
*) Bài 1 :Tìm các số tự nhiên a, biết rằng khi chia a cho 3 thì thương là 15
Đáp án : 45 hoặc 46 hoặc 47
*) Bài 2 : Một phép chia có thương bằng 82, số dư bằng 47, số bị chia nhỏ hơn 4000. Tìm số bị chia và số chia
Đáp án : Số bị chia bằng 3983, số chia bằng 48 
*) Bài 3 : Tìm số tự nhiên a <= 200, biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và số dư là 35
Đáp án : Số tự nhiên cần tìm là 179 ; 183 ; 187 ; 191 ; 195 ; 199 
*) Bài 4 : Một phép chia có thương là 6 và số dư là 3. Tổng của số bị chia, số chia và số dư là 195. Tìm số bị chia, số chia ?
Đáp án : Số bị chia bằng 165, số chia bằng 27 
*) Bài 5 : Tìm số bị chia và số chia nhỏ nhất để được thương là 8 và số dư là 45
Đáp án : Số bị chia là 333, số chia là 46
*) Bài 6 : Tổng của hai số bằng 38570. Chia số lớn cho số nhỏ ta được thương bằng 3 và còn dư 922. Tìm hai số đó.
Đáp án : Số bị chia là 29158, số chia là 9412
5.3.3. Dạng 3. Các bài toán về ƯCLN, BCNN
5.3.3.1. Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 17, cho 25 được các số dư theo thứ tự là 8 và 16
Hướng dẫn giải :
Gọi x là số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm (x thuộc N)
Theo bài cho ta có : x chia cho 17, chia cho 25 được các số dư theo thứ tự là 8 và 16 nên (x + 9) chia hết cho 17, 25
=> (x + 9) thuộc BC(17, 25) 
Ta có : BCNN(17, 25) = 17 . 25 = 425
=> (x + 9) thuộc BC(17, 25) = B(425) = {0 ; 425 ; 850; 1275 ; ...}
Vì x cần tìm là số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số nên :
x + 9 = 425
Vậy x = 416
5.3.3.2. Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên n lớn nhất có 3 chữ số, sao cho n chia cho 8 thì dư 7, chia cho 31 thì dư 28
Hướng dẫn giải :
Gọi x là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số cần tìm (x thuộc N)
Theo bài cho ta có : x chia cho 8, chia cho 31 được các số dư theo thứ tự là 7 và 28 nên (x + 65) chia hết cho 8, 31
=> (x + 65) thuộc BC(8, 31) 
Ta có : BCNN(8, 31) = 8 . 31 = 248
=> (x + 65) thuộc BC(8, 31) = B(248) = {0 ; 248 ; 496; 744 ; 1240 ; ...}
Vì x cần tìm là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số nên :
x + 65 = 744
Vậy x = 679
5.3.3.3. Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500, sao cho chia nó cho 15, cho 35 được các số dư theo thứ tự là 8 và 13
Hướng dẫn giải :
Gọi số tự nhiên cần tìm là x (x thuộc N, x < 500)
Theo bài cho ta có : (x + 22) chia hết cho 15, 35
=> (x + 22) thuộc BC(15, 35)
Mà : BCNN(15, 35) = 3 . 5 . 7 = 105
(x + 22) thuộc BC(15, 35) = B(105) = {0 ; 105 ; 210 ; 315 ; 420 ; 525 ;...}
Ta có : 
1) x + 22 = 105 nên x = 83 < 500 (thỏa mãn)
2) x + 22 = 210 nên x = 188 < 500 (thỏa mãn)
3) x + 22 = 315 nên x = 293 < 500 (thỏa mãn)
4) x + 22 = 420 nên x = 398 < 500 (thỏa mãn)
5) x + 22 = 525 nên x = 503 > 500 (không thỏa mãn)
Vậy số tự nhiên nhỏ hơn 500 là 83, 188, 293 hoặc 398
5.3.3.4. Ví dụ 4. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 ta được các số dư theo thứ tự là 1, 2, 3, 4, 5.
Hướng dẫn giải :
Gọi x là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số (x thuộc N)
Theo bài cho ta có : (x + 1) chia hết cho 2,3,4,5,6
Nên (x + 1) thuộc BC(2, 3, 4, 5, 6) 
Ta có : BCNN(2, 3, 4, 5, 6) = 60
(x + 1) thuộc BC(2, 3, 4, 5, 6) = B(60) = {0 ; 60 ; 120 ; 180 ; 240 ; 300 ; ... ; 960 ; 1020 ; ....}
Vì x là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số nên x + 1 = 960
Vậy x = 959
5.3.3.5. Ví dụ 5. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 thì dư 4, chia cho 6 thì dư 5, chia hết cho 13.
Hướng dẫn giải :
Gọi a là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm (x thuộc N, x chia hết cho 13)
Theo bài cho ta có : (x + 1) chia hết cho 4,5,6 và x chia hết cho 13
Ta có : (x + 1) thuộc BC(4, 5, 6) và x chia hết cho 13
BCNN(4, 5, 6) = 60
=> (x + 1) thuộc BC(4, 5, 6) = B(60) = {0 ; 60 ; 120 ; 180 ; 240 ; 300 ;....}
=> x + 1 = 300 hay x = 299 chia hết cho 13
Vậy số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là 299
5.3.3.6. Bài tập về nhà
*) Bài 1 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23
Đáp án : Số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là 598
*) Bài 2 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8, 10, 15, 20 theo thứ tự dư 5, 7, 12, 17 và chia hết cho 41
Đáp án : Số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là 4797
*) Bài 3 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, cho 7, cho 9 có các số dư theo thứ tự là 3, 4, 5
Hướng dẫn giải :
Gọi a là số phải tìm (x thuộc N)
Số 2a chia cho 5,cho 7, cho 9 đều dư 1
Nên (2a – 1) là BCNN(5, 7, 9) = 315
2a - 1 = 315
2a = 316
a = 158
*) Bài 4 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3, cho 4, cho 5 có các số dư theo thứ tự là 1, 3, 1
Hướng dẫn giải :
Gọi a là số tự nhiên cần tìm 
Số 2a chia cho 3, cho 4, cho 5 đều dư 2
(2a – 2) là BCNN (3, 4, 5) = 60
Nên 2a = 62
Vậy a = 31
5.3.4. Dạng 4 : Tìm cặp số x, y trong dấu hiệu chia hết
5.3.4.1. Ví dụ 1 : Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x ; y) sao cho chia hết cho 36.
Hướng dẫn giải :
Vì 36 = 4.9 nên để chia hết cho 36 thì phải chia hết cho 4 và chia hết cho 9.
Suy ra : chia hết cho 4 nên y = 2 hoặc y = 6
+ Với y = 2 thì chia hết cho 9 do đó x = 4
+ Với y = 6 thì chia hết cho 9 do đó x = 0 hoặc x = 9
* Bài tập về nhà : Điền các chữ số thích hợp vào dấu * sao cho chia hết cho 8
Đáp án : 5216
5.3.4.2. Ví dụ 2 : Tìm các chữ số a, b sao cho  a – b = 4 và chia hết cho 3
Hướng dẫn giải :
Để chia hết cho 3 thì (7+a+5+b+1) = (13+a+b) chia hết cho 3
Suy ra, a + b = 8 hoặc a + b = 14
+ Với a + b = 8 và a – b = 4 thì a = 6, b = 2
+ Với a + b = 14 và a – b = 4 thì a = 9, b = 5
* Bài tập về nhà : Tìm các chữ số a, b sao cho  a – b = 6 và + chia hết cho 9
Đáp án : a = 8, b = 2
5.4. Chuyên đề 4. Chuyên đề về số chính phương, số nguyên tố, hợp số
5.4.1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 
a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau
Hướng dẫn giải :
Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là x và x + 1
Đặt d = (x, x + 1)
Ta cần chứng minh d = 1 hay (x, x + 1) = 1
Ta có: (x + 1 – x) = 1 hay d thuộc ước của 1
Vậy hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
Hướng dẫn giải :
Gọi 2 số lẻ tự nhiên liên tiếp lần lượt là 2x + 1 và 2x + 3
Đặt d = (2x + 1, 2x + 3)
Ta cần chứng minh d = 1 hay (2x + 1, 2x + 3) = 1
Ta có: (x + 1 – x) = 1 hay d thuộc ước của 1
Vậy hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
5.4.2. Ví dụ 2. Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố
a) p + 2 và p + 10
Hướng dẫn giải :
- Với p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 và p + 10 = 2 + 10 = 12 đều là hợp số (loại)
- Với p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5, p + 10 = 3 + 10 = 13 đều là số nguyên tố (thỏa mãn)
- Với p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
+ Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k +1 + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3
Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 2 là hợp số
p + 10 = 3k + 1 + 10 = 3k + 11 là số nguyên tố
Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 2 và p + 10 (không thỏa mãn)
+ Nếu p = 3k + 2 thì p + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 không chia hết cho 3
Vậy p = 3k + 2 thì p + 2 là số nguyên tố
Thay p = 3k + 2 vào p + 10 ta được:
p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) chia hết cho 3 nên p + 8 là hợp số
=> Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 10 là số nguyên tố
b) p + 10 và p + 20 (cách làm tương tự như câu a)
c) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 (cách làm tương tự như câu a)
5.4.3. Ví dụ 3. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6
Hướng dẫn giải :
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
+ Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k +1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3
Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 2 là hợp số (loại)
+ Nếu p = 3k + 2 thì p + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 không chia hết cho 3
Vậy p = 3k + 2 thì p + 2 là số nguyên tố
Thay p = 3k + 2 vào p + 1 ta được:
p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 6 với mọi k > 1
Vậy p + 1 chia hết cho 6
5.4.4. Ví dụ 4. Cho p và p + 4 là số nguyên tố (p> 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Hướng dẫn giải :
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
+ Nếu p = 3k + 1 thì p + 4 = 3k +1 + 4 = 3k + 5 không chia hết cho 3
Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 4 là số nguyên tố
+ Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 =3(k + 2) chia hết cho 3
Vậy p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số (loại)
Thay p = 3k + 1 vào p + 8 ta được:
p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) chia hết cho 3
Vậy p + 8 là hợp số
5.4.5. Bài tập về nhà: Cho p và 8p - 1 là số nguyên tố (p> 3). Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số
5.5. Chuyên đề 5. Tính giá trị của biểu thức, so sánh
5.5.1. Dạng 1: Thực hiện phép tính (tính nhanh)
5.5.1.1. Ví dụ 1: Thực hiện phép tính sau bằng cách hợp lý nhất
a) 12 . 53 + 53 . 172 – 53 . 84
b) 35 . 13 + 35 . 17 + 65 . 75 – 65 . 45
c) (3 . 4 . 216)2 : (11 . 213 . 411 – 169)
Hướng dẫn giải:
a) = 53 . (12 + 172 – 84)
 = 53 . 100
 = 5300
b) = (35 . 13 + 35 . 17) + (65 . 75 – 65 . 45)
 = 35 . (13 + 17) + 65 . (75 – 45)
= 35 . 30 + 65 . 30 
= 30 . (35 + 65)
= 30 . 100
= 3000
c) 
(3 . 4 . 216)2 = (3 . 22 . 216)2 = (3 . 218)2 = 32 . 236
11 . 213 . 411 – 169 = 11. 213 . (22)11 – (24)9 
= 11 . 213 . 222 – 236 = 11 . 235 - 236
= 235 . 9 = 235 . 32
Suy ra: (3 . 4 . 216)2 : (11 . 213 . 411 – 169) = (32 . 236) : (235 . 32) = 2
5.5.1.2. Ví dụ 2: Tính nhanh
a) (2 + 4 + 6 +  + 100) . (36 . 333 – 108 . 111)
b) 19991999 . 1998 – 19981998 . 1999
c) 1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 +  + 97 – 98 – 99 + 100	
Hướng dẫn giải:
a) = (2 + 4 + 6 +  + 100) . (36 . 3 . 111 – 36 . 3 . 111)
 = (2 + 4 + 6 +  + 100) . 0
 = 0
b) = 1999 . 10001 . 1998 – 1998 . 10001 . 1999
 = 0
c) = (1 – 2 – 3 + 4) + (5 – 6 – 7 + 8) + (97 – 98 – 99 + 100)	
 = 0 + 0 + 0 = 0
5.5.2. Dạng 2: So sánh
5.5.2.1. Ví dụ 1: So sánh
a) 3200 và 2300
Giải
3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23)100 = 8100
Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 2300
b) 1255 và 257
Giải
1255 = (53)5 = 515
257 = (52)7 = 514
Vì 515 > 514 nên 1255 > 257
c) 920 và 2713
Giải
920 = (32)20 = 340
2713 = (33)13 = 339
Vì 340 > 339 nên 920 > 2713
d) 354 và 281
Giải
354 = 327.2 = (32)27 = 927
281 = 227.3 = (23)27 = 827
Vì 927 > 827 nên 354 > 281
5.5.2.2. Ví dụ 2: So sánh
a) 1030 và 2100
b) 540 và 62010
5.5.2.3. Bài tập về nhà: So sánh
a) 2435 và 3. 278
b) 1512 và 813 . 1255
c) 7812 – 7811 và 7811 – 7810 
5.6. Chuyên đề 6. Tìm x (trên N hoặc Z)
Ví dụ
a) 134 – 2{156 – 6.(54 – 2.(9 + 6))}. x = 86
134 – 86 = 2{156 – 6.(54 – 2 . 15)}. x 
2{156 – 6.(54 – 30)}. x = 48
{156 – 6 . 24}. x = 48 : 2 
12 . x = 24
x = 24 : 12 = 2
b) (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) +  + (x + 100) = 5750
100 . x + 5050 = 5750
100 . x = 5750 – 5050
100. x = 700
x = 7
5.7. Chuyên đề 7. Tính số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng. Bài toán về điểm, đường thẳng
5.7.1. Dạng 1: Cho số điểm, tính số đường thẳng, đoạn thẳng (Trong đó có n điểm thẳng hàng)
5.7.1.1. Ví dụ 1
a) Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?
b) Cũng hỏi như câu a nếu trong 100 điểm có đúng 3 điểm thẳng hàng
Hướng dẫn giải:
a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường thẳng. Làm như vậy với 100 điểm, ta được 99 . 100 đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 99 . 100 :2 = 4950 đường thẳng.
Chú ý: Tổng quát, nếu có n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng có n(n – 1)/2
b) Giả sử không có ba điểm nào thẳng hàng thì có 4950 đường thẳng. Vì có ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là 3 – 1 = 2 đường thẳng (nếu ba điểm không thẳng hàng thì vẽ được 3 đường thẳng, nếu ba điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng). Vậy có : 4950 – 2 = 4948 đường thẳng
5.7.1.2. Ví dụ 2: Cho n điểm (n>= 2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng
a) Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng?
b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng?
c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng.
Hướng dẫn giải:
a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong n -1 điểm còn lại, ta vẽ được n -1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n . (n – 1) đoạn thẳng. Nhưng mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có n.(n – 1) :2 đoạn thẳng.
b) Tuy trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, nhưng số đoạn thẳng phải đếm vẫn không thay đổi, do đó vẫn có n.(n – 1)/2 đoạn thẳng
c) Ta có:
n . (n – 1)/2 = 1770
n . (n – 1) = 2 . 1770 = 22 . 3 . 5 . 59 = 60 . 59
Suy ra: n = 60 điểm
5.7.2. Dạng 2: Cho số đường thẳng, tính số giao điểm
5.7.2.1. Ví dụ 1: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.
Hướng dẫn giải:
Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm. Có 101 đường thẳng nên có 101 . 100 giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có:
101 . 100 : 2 = 5050 giao điểm
Chú ý: Tổng quát với n đường thẳng, có n . (n – 1)/2 giao điểm
5.7.2.2. Ví dụ 2: Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780. Tính n?
Hướng dẫn giải:
Mỗi đường thẳng cắt n - 1 đường thẳng còn lại tạo nên n -1 giao điểm. Có n đường thẳng nên có n . (n -1) giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có:
n . (n – 1)/2 = 780
Ta tính được n = 40 giao điểm
5.7.2.3. Bài tập về nhà
*) Bài 1: Cho n điểm (n>=2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng.
a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng?
b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng?
c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng.
Đáp án: a) n . (n – 1)/2 đoạn thẳng	b) n . (n – 1)/2	c) n = 60
*) Bài 2: Cho n điểm. Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính n biết rằng có tất cả 435 đoạn thẳng.
Đáp án: n = 30 điểm
5.8. Chuyên đề 8: Trung điểm của đoạn thẳng
5.8.1. Dạng 1
5.8.1.1. Ví dụ: Cho đoạn thẳng CD, điểm O thuộc tia đối của tia DC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của OD, OC.
a) Chứng tỏ OD < OC
b) Trong 3 điểm I, O, K điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng IK không phụ thuộc vào vị trí của điểm O.
Hướng dẫn giải:
.
a) Hai điểm C và O nằm trên 2 tia đối nhau gốc D nên D nằm giữa 2 điểm C và D. Suy ra: OD + CD = OC
.
.
.
.C
Vậy OD < OC	C K D I O
b) Vì I là trung điểm của OD nên OI = CD (Tính chất trung điểm)
Vì K là trung điểm của OC nên OK = OC (Tính chất trung điểm)
Mà OD < OC nên OI < OK
Vì hai điểm I và K cùng nằm trên tia OC, OI < OK nên I nằm giữa 2 điểm O và K.
c) Vì I nằm giữa hai điểm O và K nên OI + IK = OK
Suy ra: IK = OK – OI = OC - CD = (OC – OD) = CD
Suy ra: IK có giá trị không đổi = CD
Vậy độ dài đoạn IK không phụ thuộc vào vị trí của điểm O.
5.8.1.2. Bài tập về nhà
Bài tập: Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB.
a) Chứng tỏ rằng OA < OB.
b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O