SKKN Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

lại rất nhiều không chỉ trong toán học mà cả trong vật lý. Đặc biệt nhất là thi học sinh giỏi văn hóa và luyện toán qua mạng thì phần này nó chiếm một phần rất lớn. Bên cạnh đó khi thao giảng đa số giáo viên ngại thao giảng phần này cho nên việc đúc rút kinh nghiệm trong quá trình dạy còn nhiều hạn chế.
2. Nội dung và hình thức của giải pháp.
a. Mục tiêu của giải pháp
- Học sinh giải quyết được các bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
- Phát triển năng lực tư duy, phát huy nâng cao mức độ năng lực của các em.
- Phát huy tính tự giác, độc lập của học sinh trong việc giải quyết bài tập.
- Giáo viên hệ thống hóa lại kiến thức cho học sinh
- Lựa chọn các bài tập phù hợp với từng loại đối tượng học sinh.
- Hướng dẫn các em phân tích bài toán và từng bước giải quyết vấn đề.
- Giao nhiệm vụ cho từng cá nhân tổ và chỉ rõ thời gian hoàn thành nhiệm vụ.
- Thường xuyên kiểm tra và đánh giá chất lượng, kỹ năng giải toán của học sinh.
b. Nội dung, cách thực hiện các giải pháp.
Để giúp cho học sinh lĩnh hội, nắm chắc được kiến thức và giải quyết bài tập một cách độc đáo, sáng tạo chặt chẽ, trình bày sáng sủa, khoa học thì người giáo viên cần kiểm tra xem các em nắm được nội dung lý thuyết đến mức nào và giúp các em nắm chắc kiến thức lý thuyết thì khi đó việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập mới phát huy hiệu quả và nội dung lý thuyết là vô cùng quan trọng khi giải bài tập. Do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải cho các em mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán và tìm ra chỗ sai của các em, tìm hướng khắc phục giúp các em không còn lo ngại khi gặp vấn đề.
Các việc làm cụ thể.
+ Lý thuyết về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
- Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức.
* Định nghĩa
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số (b,d 0)
Các số hạng a và d được gọi là số hạng ngoại tỉ, b và c gọi là số hạng trung tỷ.
* Tính chất
Tính chất 1: (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Nếu (b, d 0) thì a.d=c.b
Tính chất 2: (Tính chất hoán vị)
Nếu a.d = b.c và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức 
Nhận xét: Từ 1 trong 4 tỉ lệ thức trên ta suy ra được 3 tỉ lệ thức còn lại.
- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
+ Từ tỷ lệ thức ta suy ra ( với bd, b-d)
+ Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau (Giả thiết các tỷ số đều có nghĩa)
- Chú ý.
Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 4 ta cũng có thể viết a : b : c = 2 : 3 : 4
Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức suy ra: 
Từ suy ra; 
Sau khi học sinh đã nắm chắc lý thuyết thì việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là vô cùng quan trọng. Do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán. Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không muốn dừng lại ở những bài tập SGK, SBT mà tôi muốn giới thiệu thêm một số bài tập điển hình, bài tập nâng cao và giải những bài tập đó.
+ Các dạng bài tập
Thông qua việc giảng dạy học sinh sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức, tôi cho học sinh cũng cố để nắm vững và hiểu sâu, khắc sâu về các tính chất cơ bản, tính chất nở rộng của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm thêm các bài tập cùng loại để tìm ra một định hướng, quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lời giải, có thể minh họa điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây.
Dạng 1
Lập tỉ lệ thức từ các tỉ số đẳng thức, tỉ lệ thức hoặc từ các số cho trước.
a) Phương pháp giải
+ Nếu có các tỉ số cho trước thì tìm xem các tỉ số nào bằng nhau trong các tỉ số đã cho.
+ Nếu có các đẳng thức thì vận dụng tính chất 2 để lập tỉ lệ thức.
+ Nếu có 1 tỉ lệ thức chúng ta có thể lập thêm ba tỉ lệ thức nữa, bằng cách:
- Giữ nguyên ngoại tỉ đổi chỗ trung tỉ
- Giữ nguyên trung tỉ đổi chỗ ngoại tỉ
- Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với nhau.
+ Nếu có các số hạng thì xem bốn số nào thỏa mãn đẳng thức dạng a.d = b.c rồi từ đó lập các tỉ lệ thức.
b) Bài tập
Bài toán 1: Các tỉ số sau đây có lập thành các tỉ lệ thức hay không?
a) 0,5 : 15 và 0,15 : 50 	 b) 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39
Giải:
a) Ta có: 0,5 : 15 = và 0,15 : 50 = 
Vì nên các tỉ số 0,5 : 15 và 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức
b) Ta có: 0,3 : 2,7 = và 1,71 : 15,39 = 
Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39
Vậy 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức.
Bài toán 2: Hãy lập tất cả tỉ lệ thức có thể lập được từ các số sau:
a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8 	 b) 1; 2; 4; 8
Giải
(Hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất 2)
a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128)
Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:
 ; ; ; 
b) Tương tự ta có: 1. 8 = 2. 4(= 8)
Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau: ; ; ; 
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Trong các tỉ số sau, hãy chọn các tỉ số thích hợp để lập thành một tỉ lệ thức:
Bài 2: Có thể lập được một tỉ lệ thức từ 4 số trong các số sau không (mỗi số chọn một lần). Nếu có lập được bao nhiêu tỉ lệ thức ?
a) 3; 4 ;5 ;6 ;7 b) 1; 2; 4; 8; 16 	c) 1; 3; 9; 27; 81; 243.
Dạng 2
Tìm số hạng chưa biết
a) Tìm một số hạng chưa biết của một tỉ lệ thức.
* Phương pháp.
Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức
Nếu 
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết.
Muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
 Bài tập
Bài tập 1 (Bài 42 SGK/Tr26)
Tìm x trong tỉ lệ thức sau: -0,52 : x = -9,36 : 16,38
(Bài toán dạng này các em có thể sử dụng kiến thức tìm 1 số hạng khi biết 3 trong số 4 số hạng của tỉ lệ thức: 
Giải
-0,52 : x = - 9,36 : 16,38
Suy ra:
Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau:
(hướng dẫn cho học sinh có thể đưa tỉ lệ thức trên về dạng đơn giản rồi tìm x như bài tập trên)
Bài tập 2 (Bài 69a SBT/Tr20)
Tìm x biết: 
(Bài toán này ta thấy có 2 số hạng chưa biết trong 4 số hạng của tỉ lệ thức nhưng có điểm đặc biệt là hai số hạng chưa biết này giống nhau và cùng ở một vị trí là cùng ngoại tỉ nên ta đưa về dạng luỹ thừa bậc hai).
Giải
Ta có: suy ra 
(Đến đây học sinh thường đưa ra được giá trị x = 30 mà quên mất còn giá trị x = -30 cho nên giáo viên cần nhắc nhở và nhấn mạnh cho học sinh để khi gặp những trường hợp như thế này các em không còn quên nữa)
Ta thấy trong tỉ lệ thức có hai số hạng chưa biết nhưng hai số hạng đó giống nhau nên ta đưa về dạng lũy thừa bậc hai. Ta có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức:
Tìm x biết:
Ở câu a, b cần chú ý cho học sinh khi lũy thừa có số mũ chẵn
VD: 
Hs thường sai lầm khi giải chỉ suy ra x – 1 = 30 suy ra x = 31 mà quên mất trường hợp x – 1 = -30. Giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh trong trường hợp này phải đưa ra hai trường hợp x–1= 30 và x–1= -30 từ đó suy ra x = 31 hoặc x = -29.
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức 
(Ở bài toán này ta có nhiều cách để giải quyết bài toán cho nên khi giải giáo viên hướng dẫn và cho học sinh làm theo nhiêu cách khác nhau)
 Cách 1: Lấy tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ rồi tính.
Giải
Từ suy ra
Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Giải
Từ suy ra 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
b) Tìm nhiều số hạng chưa biết:
+) Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thỏa mản (1) và 
(Trong đó a, b, c, a + b + c 0 và a, b, c là các số cho trước)
Cách giải:
Cách 1: Đặt ẩn phụ.
Đặt = k
 thay vào (2) ta có:
k.a + k.b + k.c = d
 k.(a + b + c) = d
 k = 
Từ đó tìm được 
 Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
* Hướng khai thác từ bài toán trên như sau:
- Giữ nguyên điều kiện (1) và thay đổi điều kiện (2) như sau:
- Giữ nguyên điều kiện (2) và thay đổi điều kiện (1) như sau:
* Bài tập:
Bài tập 1: Tìm x, y biết:
a) và 
b) và 
c) và 
Giải:
Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên đi theo tính chất nào? Nếu đi từ định nghĩa thì nên làm như thế nào? Học sinh thường mắc sai lầm như sau:
Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng cho các em các hướng giải quyết.
Cách 1:
Dùng phương pháp tính giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ thống hóa, khái quát hóa về kiến thức (Vận dụng theo cách 1. Đặt ẩn phụ đã nêu trên) và học sinh đã có lời giải phù hợp.
Đặt 
Mà 
- Với:
- Với:
Vậy 
Cách 2:
Khái quát hóa toàn bộ tính chất của tỉ lệ thức, có tính chất nào liên quan đến tích các tỉ số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai như sau:
Ta có: Ta có: (tính chất mở rộng của tỉ lệ thức)
Vậy 
Qua việc khái quát hóa, hệ thống hóa. Các em đã vận dụng tốt nó để làm các phần b, c, d.
Bài tập 2:
Tìm 3 số x, y, z biết và x + y + z = 27
(Bài này giáo viên nên cho 2 học sinh lên làm theo hai cách)
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn phụ.
Đặt = k
 x = 2k ; y = 3k ; z = 4k
Từ x + y + z = 27 suy ra 2k + 3k + 4k = 27 9k = 27 k = 3
Khi đó x = 6; y = 9; z = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Từ bài toán trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết và 2x + 3y – 5z = -21
(Ở bài toán này hệ số trước các biến ở điều kiện 2 không cùng với hệ số của các biến ở điều kiện 1 nữa cho nên khi học sinh giải theo cách 2 phải biến đổi điều kiện 1 sao cho hệ số của các biến ở điều kiện 1 cùng với hệ số của các biến ở điều kiện 2 rồi mới áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.)
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn phụ.
 = k
Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Từ suy ra 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy x = 6, y = 9, z = 12 hoặc x = -6, y = -9, z = -12
Bài tập 4
Tìm 3 số x, y, z biết và x.y.z = 648
Chú ý: Ở dạng bài tập này tương tự bài tập 1 nhưng nó khó hơn là đưa thêm một tỉ số. Giáo viên cũng phải chú ý cho học sinh ở điều kiện 2, trong trường hợp này đa số học sinh hay áp dụng tương tự hay cho nên dẫn đến việc giải bài toán bị sai.
Đa số các em hay giải bài toán này như sau:
Suy ra: x = 54, y = 81, z = 108
Cho nên khi giải bài toán dạng này giáo viên cần phải nhấn mạnh, nhắc rõ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho các em. Để các em khi gặp các bài toán dạng này khỏi bị mắc sai lầm.
Giải bài toán này có 2 cách thực hiện.
Cách 1: Đặt ẩn phụ
Đặt: = k
Cách 2: Biến đổi điều kiện (1)
Từ 
Từ đó tìm được y = 9, z = 12
Bài tập 5
	Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y + z = 27
(Bài tập dạng này ở điều kiện 1 là 2 tỉ lệ thức chứ không phải 1 tỉ lệ thức nên gặp dạng này các em thường khó xử lý và nhiều em không biết cách làm nên khi dạy giáo viên phải phân tích rõ bài toán cho các em. Ở đẳng thức thứ nhất và thứ đều có biến x nên yêu cầu các em phải phân tích và đưa hai đẳng thức về hai tỉ lệ thức sao cho nó đều có )
Giải
Từ 3x = 2y 
Từ 4x = 2z 
Suy ra sau đó giải tiếp như bài tập 1
Bài tập 6: Tìm x, y, z biết :
a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158
b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Giải:
Đối với bài toán 6 có vẽ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã nhá các em lưu ý đến sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất của đẳng thức. Từ đó các en có hướng giải và chọn lời giải cho phù hợp.
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau:
Ta có: 3x = 5y 
5y = 8z 
 x = 40 . 2 = 80
y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 2: Dựa vào tính chất phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải bài toán như sau:
Ta có: BCNN (3; 5; 8) = 120
Từ 3x = 5y = 8z 
Hay 
 x = 40 . 2 = 80
y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành một thương. Điều đó đã hướng ra cho các em tìm ra cách giải sau :
Từ 3x = 5y = 8z 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 x = 
y = 
z = 
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải bài toán và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c.
Để giải được phần b thì yêu cầu cac em phải có tư duy một chút để tạo nên tích trung gian như sau:
+ Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1)
+ Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)
Từ (1) và(2) ta có: 10x = 15y = 21z
 x = 
y = 
z = 
Vậy x = 84; y = 56; z = 40.
Kết quả thu được: Các em đã tìm được ra hướng giải và tự lấy được ví dụ về dạng toán này.
Bài tập 7: Tìm x, y, z biết
a) 
b) 
 Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc 2x + 3y – 5z = 10.
Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp các em nhận ra ngay và có hướng đi cụ thể.
Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có lời giải như sau:
a) Ta có: 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 x - 1 = 5 x = 6
y - 2 = 3 y = 5
z - 2 = 2 z =4
Cách 2 : Đặt ẩn phụ.
Đặt: 
x - 1 = 5k	 x = 5k + 1
y - 2 = 3k	 y = 3k + 2
z - 2 = 2k z = 2k + 2
Ta có: x + 2y - z = 12 2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12
9k + 3 = 12
k = 1
Vậy 	x = 5.1 + 1 = 6
y = 3.1 + 2 = 5
z = 2.1 + 2 = 4
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để giải câu b và c của bài toán.
Bài tập 8: Tìm x, y, z biết rằng :
Đối với bài toán này hơi khác lạ so với những bài toán trước. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu? Đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy chọn lọc để xuất hiện x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỉ số đầu tiên để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau và đã có lời giải như sau:
Giải
Điều kiện : x, y, z ¹ 0 và x + y + z ¹ 0
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Suy ra : x + y + z = 
x + y = 0,5 - z
y + z = 0,5 - x
x + z = 0,5 - y
Thay các giá trị vừa tìm được của x, y, z vào tỉ số trên ta có:
+)
 0,5 - x + 1 = 2x
 1,5 = 3x
 x = 0,5
+) 
 2,5 - y = 2y
 2,5 = 3y
 y = 
+) 
 -2,5 - z = 2z
 -2,5 = 3z
 z = 
Vậy (x; y; z) = ( 0,5; ; -)
Bài tập vận dụng.
Bài 1 : Tìm x, y, x biết :
a) với b) , với 
e) với f) 
Bài 2 : Tìm các số x, y, x biết :
a) với b) với 
Dạng 3:
Chứng minh đẳng thức khi biết một tỉ lệ thức
(hoặc một dãy tỉ số bằng nhau) cho trước
1. Phương pháp
Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỉ lệ thức còn có vai trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỉ lệ thức, với hệ thống các bài tập đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể cơ bản đến trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng để giải quyết tốt yêu cầu bài toán.
Để chứng minh tỉ lệ thức ta có các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng a.d = b.c
Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỉ số có cùng 1 giá trị nếu trong đề bài đã cho trước 1 tỉ lệ thức, ta đặt giá trị chung của các tỉ số tỉ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k
Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỉ số ở vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải.
Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỉ lệ thức đã cho biến đổi thành tỉ lệ thức phải chứng minh.
1. Bài tập.
Bài tập 1: Cho tỉ lệ thức Với a, b, c, d 0
Chứng minh: 
Giải
Cách 1:
Xét tích 
Thay 
Vậy 
Như vậy để chứng minh: ta phải có đẳng thức .
Cách 2: Đặt 
Xét (1)
Và (2)
Từ (1) và (2) 
Trong cách này ta chứng minh tỉ số nhờ tỉ số thứ ba. Để có tỉ số thứ ba ta đặt giá trị số đã cho bằng giá trị k. Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k.
Cách 3: Từ tỉ số 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 hay 
Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính chat của dãy tỉ số bằng nhau rồi hoán vị ngoại tỉ một lần nữa.
Bài tập 2: Cho tỉ lệ thức với và 
Chứng minh: hoặc 
Giải
	Đối với bài toán nàytôi phải phân tích cho học sinh ôn lại về lũy thừavà kiến thức về tính chất mở rộng của tỉ lệ thứcđể các em dễ nhận biết, dễ trình bày hơn. Tôi đã nhấn mạnh lại các công thức:
	Nếu 
Cách 1: Ta sử dụng cách biến đổi:
Vì nên 
Vậy hoặc 
Cách 2: Từ 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
 (1)
và (2)
Từ (1) và (2) 
- Xét trường hợp : 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
- Xét trường hợp : 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Bài toán 3: 
Cho 4 số khác 0 là thỏa mãn chứng tỏ rằng 
(Ở bài này giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh cách phân tích và biến đổi diều kiện 2)
Giải:
Từ:
Từ (1), (2) suy ra 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Từ (3), (4) suy ra 
Ta cũng có thể chuyển bài tập 4 thành dạng sau:
Cho chứng minh rằng 
Đối với dạng này ta sử dụng phương pháp hai đặt ẩn phụ k thì ta giải quyết gần hết các bài toán, giải theo cách này học sinh dễ hiểu hơn và các em làm nhanh hơn. Tuy nhiên đối với học sinh khá giỏi thì giáo viên nên cung cấp thêm nhiều cách cho các e.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức:. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (giả thiết các tỉ lệ thức sau đều có nghĩa)
a) 	b)	c) 
Bài 2: Cho . Chứng minh rằng: 
Dạng 4: 
Toán chia tỉ lệ:
1. Phương pháp giải:
Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2: Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện.
Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết.
Bước 4: Kết luận.
Bài tập.
Bài tập 1: (Bài 76 SBT/tr 21)
Tính độ dài các cạnh của một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh tỉ lệ với 2:4:5
(Trước khi cho học sinh giải giáo viên nên cho họ sinh phân tích kĩ bài toán xem bài toán này cần tìm cái gì, cho biết cái gì và nó có quan hệ với nhau như thế nào. Học sinh trả lời được các câu hỏi trên thì tự các em giải quyết được bài toán)
Giải:
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c (cm, a, b, c > 0)
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có:
a + b + c = 22
Vì cạnh của tam giác tỉ lệ với 2 : 4 : 5 nên ta có:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nên ta có:
Suy ra:
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là: 4cm, 8cm, 10cm.
Chú ý: Ở bài toán dạng như thế này giáo viên cần phải nhắc học sinh đặt điều kiện của biến.
* Ta có thể thay điều kiện hai như sau:
Biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.
HD: Khi đó với điều kiện thứ 2 ta có được c – a = 3. Tiếp tục sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta giải được bài toán.
Bài tập 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây, số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với các số 3: 4: 5và 2 lần số cây lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây. Tính số cây của mỗi lớp trồng được.
Giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, b, c (cây, a, b, c nguyên dương)
Theo bài ra ta có:
Suy ra:
Vậy số cây trồng của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 21 cây, 28 cây, 35 cây.
Bài tập 3:
Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, khi chuyển đi số thóc ở kho I, số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu thóc?
(Để giải bài toán này tôi cho học sinh đọc ki đề bài toán, tóm tắt, phân tích kĩ mối quan hệ giữa các yếu tố để tìm ra hướng giải)
Giải:
Gọi số thóc của ba kho I, II, III lần lựợt là a, b, c (tấn, a, b, c >0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là:
Số thóc của kho II sau khi chuyển là:
Số thóc của kho III sau khi chuyển là:
Theo bài rat a có:
 và 
Từ 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Suy ra:
Vậy số thóc lúc đầu của kho I, II, III lần lượt là: 250 tấn, 240 tấn, 220 tấn.
Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài toán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toánn bằng cách thay đổi số liệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự.
	Chẳng hạn:
	1. Số gạo ở kho thứ nhất nhiều hơn kho thứ hai 10 tấn.
	2. Số gạo ở kho thứ 3 ít hơn kho thứ hai 20 tấn.
	Thì ta sẽ được bài toán mới có cùng đáp số.
c. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
- Các giải pháp và biện p