Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp

 sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. 
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu 
trúc đề thi tuyển vào Đại học và Cao đẳng của mỗi năm, phân tích kỹ đối tượng học 
sinh mà mình đang giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả năng tự đọc, tự tìm 
kiếm tài liệu học tập,). Từ đó lựa chọn các bài tập cụ thể giúp học sinh vận dụng 
hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của mình để đưa ra lời giải 
đúng cho bài toán. 
 Do khuôn khổ của sáng kiến, ở mỗi phần tôi xin không nhắc lại các kiến thức 
cơ bản về đại số tổ hợp và tích phân vì những kiến thức này được trình bày chi tiết 
trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ nhắc lại công thức khai triển nhị 
thức Newtơn và đi chú trọng các bài tập tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết. 
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 3
NỘI DUNG 
1. Nhị thức Newton 
 Cho n là số nguyên dương, a và b là hai số thực. 
 
n
n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n k n k k
n n n n n
k 0
a b C a C a b C a b ... C b C a b  

        
Nhận xét: 
- Trong khai triển  na b có n + 1 số hạng. 
- Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triển  na b bằng n. 
- Các hệ số của các số hạng có tính chất đối xứng: k n kn nC C k , k n
    
 n n n n 1 n 1 2 n 2 2 0 nn n n na b C a C a b C a b ... C b
        
- Nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của a thì số hạng tổng quát thứ k + 1 trong 
khai triển  na b là k n k knC a b
 
Chú ý: 
1)  n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n n nn n n n na b C a C a b C a b C a b ... ( 1) C b
          
2) n 0 1 2 3 nn n n n n2 C C C C ... C      
3) 0 1 2 3 n nn n n n n0 C C C C ... ( 1) C       
2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 
 Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 
1 1 1 1
1; ; ; ;...; ;...
2 3 4 n
 và 
mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ 
ngay đến việc sử dụng tích phân. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: 
Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp. 
Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã 
khai triển. 
Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận. 
Chú ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng k kb a , ta chọn cận từ a đến b, tức là 
 
b
a
f x dx 
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 4
Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau: 
   
 
b b
n 0 1 2 2 n n
n n n n
a a
b bn 1 2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
aa
1) 1 x dx C C x C x ... C x dx
1 x x x x
C x C C ... C
n 1 2 3 n 1
 
     
   
       
      
 
   
 
 
b b
n n0 1 2 2 n n
n n n n
a a
b bn 1 2 3 n 1
n0 1 2 n
n n n n
aa
2) 1 x dx C C x C x ... 1 C x dx
1 x x x x
C x C C ... 1 C
n 1 2 3 n 1
 
       
 
   
         
      
 
   
 
b b
n 0 n 1 n 1 2 n 2 n
n n n n
a a
b bn 1 n 1 n n 1
0 1 2 n
n n n n
aa
3) x 1 dx C x C x C x ... C dx
x 1 x x x
C C C ... C
n 1 n 1 n n 1
 
  
     
   
       
       
 
   
b b
n n0 n 1 n 1 2 n 2 n
n n n n
a a
4) x 1 dx C x C x C x ... 1 C dx        
   
 
 
b bn 1 n 1 n n 1
n0 1 2 n
n n n n
aa
x 1 x x x
C C C ... 1 C
n 1 n 1 n n 1
     
        
       
Ta sẽ gọi hàm số  ny x 1  và  ny x 1  là các hàm đa thức cơ bản. 
3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 
3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản 
Bài 1. Cho *n . Tính tổng: 
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
S C C C ... C
2 3 n 1
  
    

(ĐH Khối B-2003) 
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một 
đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích 
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 5
phân, các cận và số được thay vào cho biến. Vì số hạng cuối cùng có hệ số 
n 12 1
n 1
 

nên ta biết cận từ 1 đến 2 và tổng không đan dấu nên ta sử dụng  
2
n
1
1 x dx 
Giải 
Ta có  n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1 x C C x C x C x ... C x       
Suy ra    
2 2
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1 1
1 x dx C C x C x C x ... C x dx        
 
2 2n 1
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
11
n 1 n 1 2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
1 x 1 1 1
C x C x C x ... C x
n 1 2 3 n 1
3 2 2 1 2 1 2 1
C C C ... C
n 1 2 3 n 1


  
  
        
   
     
 
Vậy 
2 3 n 1 n 1 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1 3 2
S C C C ... C
2 3 n 1 n 1
     
     
 
Bài 2. Cho *n . Chứng minh rằng: 
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 2 1
C C C ... C
2 3 n 1 n 1
 
    
 
(ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000) 
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. 
Tổng không đan dấu, ta sử dụng  
1
n
0
1 x dx 
Giải 
Xét  n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1 x C C x C x C x ... C x       
 
 
1n 11 n 1
n
0 0
1 x 2 1
1 x dx
n 1 n 1
  
  
 
 (1) 
 
1
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0
C C x C x C x ... C x dx     
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 6
1
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
0
1 1 1
C x C x C x ... C x
2 3 n 1
      
 
 0 1 2 nn n n n
1 1 1
C C C ... C
2 3 n 1
    

 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 2 1
C C C ... C
2 3 n 1 n 1
 
    
 
Bài 3. Cho *n . Chứng minh rằng: 
   n n0 1 2 2 3 n n 1n n n n
1 1 1 1
2C C 2 C 2 ... 1 C 2 1 1
2 3 n 1 n 1
         
  
(ĐH Giao thông Vận tải - 1996) 
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Vì 
số hạng cuối cùng có hệ số 
n 12
n 1


 nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử 
dụng  
2
n
0
1 x dx 
Giải 
Xét    n n0 1 2 2 3 3 n nn n n n n1 x C C x C x C x ... 1 C x        
 
 
 
2n 12
n n
0 0
1 x 1
1 x dx 1 1
n 1 n 1
         
    
 (3) 
  
2
n0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0
C C x C x C x ... 1 C x dx      
  
2
n0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
0
1 1 1
C x C x C x ... 1 C x
2 3 n 1
        
  n0 1 2 2 3 n n 1n n n n
1 1 1
C 2 C 2 C 2 ... 1 C 2
2 3 n 1
     

 (4) 
Từ (3) và (4) suy ra 
   n n0 1 2 2 3 n n 1n n n n
1 1 1 1
2C C 2 C 2 ... 1 C 2 1 1
2 3 n 1 n 1
         
  
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 7
Bài 4. Cho *n . Chứng minh rằng: 
  n1 2 3 n
n n n n
n-1 2 +11 2 3 n
C + C + C + ...+ C =
2 3 4 n+1 n+1
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số 
hạng cuối cùng có hệ số 
n
n 1
 nên ta không thể nghĩ ra ngay một hàm số nào đó để 
tính tích phân. Bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k
n n
k 1
C = 1- C
k+1 k+1
 
 
 
, cho ta 
tổng  1 2 3 n 1 2 3 nn n n n n n n n
1 1 1 1
C +C +C +...+C - C + C + C +...+ C
2 3 4 n+1
 
 
 
. 
Từ đó, ta sử dụng  
2
nn
1
2 1 x dx  
Giải 
Cách 1: Xét số hạng tổng quát trong vế trái k k
n n
k 1
C = 1- C
k+1 k+1
 
 
 
 với k = 0, 1, 2,,n. 
Do đó, 
 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 nn n n n n n n n n n n n1 2 3 n 1 1 1 1C + C + C +...+ C = C +C +C +...+C - C + C + C +...+ C2 3 4 n+1 2 3 4 n+1
 
 
 
 =  
  nn+11 nn n
0
n-1 2 +12 -1
2 - 1+x dx=2 - =
n+1 n+1
Cách 2: Xét  
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n1+x =C +C x+C x +C x +...+C x 
Lấy đạo hàm hai vế ta được:  n-1 1 2 3 2 n n-1n n n nn 1+x =C +2C x+3C x +...+nC x 
Ta có         
1 1 1
n-1 n-1 n n-1
0 0 0
nx 1+x dx= n 1+x-1 1+x dx=n 1+x - 1+x dx            
   
   
 
1
n+1 n n
n+1 n
0
1+x 1+x n-1 2 +1n
= n - = 2 -1 - 2 -1 = (5)
n+1 n n+1 n+1
 
 
  
  
1
1 2 3 2 n n-1 1 2 3 n
n n n n n n n n
0
1 2 3 n
C +2C x+3C x +...+nC x dx= C + C + C +...+ C
2 3 4 n+1
 (6) 
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 8
Từ (5) và (6) suy ra 
  n1 2 3 n
n n n n
n-1 2 +11 2 3 n
C + C + C + ...+ C =
2 3 4 n+1 n+1
Bài 5. Cho *n . Chứng minh rằng: 
2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1 2 1
C C C ... C
2 4 6 2n 2n 1
     

(ĐH khối A - 2007) 
Giải 
 Xét các khai triển 
 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x       (7) 
 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2nn 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x       (8) 
Trừ vế theo vế (7) và (8) ta được: 
     2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 12n 2n 2n1 x 1 x 2 C x C x ... C x        
   2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1
2n 2n 2n
1 x 1 x
C x C x ... C x
2
        
Suy ra
     
2n 2n1 1
1 3 3 2n 1 2n 1
2n 2n 2n
0 0
1 x 1 x
dx C x C x ... C x dx
2
         
   
1
12n 1 2n 1
1 2 3 4 2n 1 2n
2n 2n 2n
0
0
1 x 1 x 1 1 1
C x C x ... C x
2(2n 1) 2 4 2n
 

               
2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1 2 1
C C C ... C
2 4 6 2n 2n 1
      

Nhận xét: Nếu phải tính tổng 0 2 4 2n2n 2n 2n 2n
1 1 1
C + C + C +...+ C
3 5 2n+1
 thì ta xét 
 
   
2n 2n
0 2 2 2n 2n
2n 2n 2n
1+x + 1-x
P x = =C +C x +...+C x
2
Sau đó tính tích phân  
1
0
P x dx . 
Còn nếu phải tính tổng 0 2 4 2n2n 2n 2n 2n
1 1 1 1
C + C + C +...+ C
2 4 6 2n+2
 thì ta lại xét 
    0 2 3 2n 2n+12n 2n 2nQ x =x.P x =C x+C x +...+C x 
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 9
Sau đó tính tích phân  
1
0
Q x dx . Ta sẽ gặp dạng này ở phần tiếp theo. 
Bài 6. Cho *n . Chứng minh rằng: 
2n 1
0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
2 2 2 2
2C C C ... C
3 5 2n 1 2n 1

    
 
Giải 
Xét  2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x       
 
 
1
2n 11 2n 1
2n
1 1
1 x 2
1 x dx
2n 1 n 1
 
 
 
   
   
 (9) 
1
0 1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n
1
C C x C x C x ... C x dx

     
  
1
0 1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 2n 2n 2n 2n
1
1 1 1 1
C x C x C x C x ... C x
2 3 4 2n 1


 
      
 
 0 2 4 2n2n 2n 2n 2n
2 2 2
2C C C ... C
3 5 2n 1
    

 (10) 
Từ (9) và (10) suy ra 
2n 1
0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
2 2 2 2
2C C C ... C
3 5 2n 1 2n 1

    
 
3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước 
 Đối với dạng này, thông thường trong một câu có hai ý: ý thứ nhất yêu cầu tính 
tích phân và ý thứ hai là chứng minh đẳng thức tổ hợp hoặc tính tổng. Khi đó, ta linh 
hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau. 
Bài 1. Cho 2 n  . 
a) Tính  
1 n2 3
0
I x 1 x dx  
b) Chứng minh rằng: 
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1
C C C ... C
3 6 9 3(n 1) 3(n 1)
 
    
 
(ĐH Mở Hà Nội - 1999) 
Giải 
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 10
a) Đặt 3 2
dt
t 1 x x dx 
3
    
Đổi cận x 0 t 1   ; x 1 t 2   
Khi đó, 
22 n 1 n 1
n
1 1
1 1 t 2 1
I t dx
3 3 n 1 3(n 1)
   
   
   
 (11) 
b) Xét  
1
2 0 1 3 2 6 3 9 n 3n
n n n n n
0
I x C C x C x C x ... C x dx      
  
1
0 2 1 5 3 8 5 11 n 3n 2
n n n n n
0
C x C x C x C x ... C x dx      
1
0 3 1 6 2 9 n 3n 3
n n n n
0
1 1 1 1
C x C x C x ... C x
3 6 9 3n 3
       
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C ... C
3 6 9 3(n 1)
    

 (12) 
Từ (11) và (12) suy ra
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1
C C C ... C
3 6 9 3(n 1) 3(n 1)
 
    
 
Bài 2. Cho *n . 
a) Tính tích phân  
1
n
2
0
x 1-x dx 
b) Chứng minh rằng: 
 
n
0 1 2 3 n
n n n n n
-11 1 1 1 1
C - C + C - C +...+ C =
2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1)
(ĐH Luật, ĐH Bách Khoa Hà Nội - 1997) 
Giải 
a) Đặt 2
dt
t 1 x xdx 
2
     
Đổi cận x 0 t 1   ; x 1 t 0   
Khi đó, 
10 n 1
n
1 0
1 1 t 1
I t dx
2 2 n 1 2(n 1)
 
    
   
 (13) 
b) Xét   
1
n0 1 2 2 4 3 6 n 2n
n n n n n
0
I x C C x C x C x ... 1 C x dx       
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 11
   
1
n0 1 3 2 5 3 7 n 2n 1
n n n n n
0
C x C x C x C x ... 1 C x dx       
1
0 2 1 4 1 6 1 2n 2
n n n n
0
1 1 1 1
C x C x C x ... C x
2 4 6 2n 2
       
 n0 1 2 nn n n n
1 1 1 1
C C C ... 1 C
2 4 6 2(n 1)
     

 (14) 
Từ (13) và (14) suy ra 
 
n
0 1 2 3 n
n n n n n
-11 1 1 1 1
C - C + C - C +...+ C =
2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1)
Bài 3. Cho *n . 
a) Tính tích phân  
1
n2
n
0
I = 1-x dx 
b) Chứng minh rằng: 
   
 
n
1 2 3 n
n n n n
-1 2n !!1 1 1
1- C + C - C +...+ C =
3 5 7 2n+1 2n+1 !!
Giải 
a) Đặt    
n n 1
2 2u 1 x du 2nx 1 x dx
dv dx v=x
 
     
 
  
Khi đó, 
   
    
 
1 1n n 1
2 2 2
n
0 0
1 1n 1 n 12 2 2
0 0
n 1 n
n
n 1
I x 1 x 2nx 1 x dx
2n 1 x dx- 1-x 1 x dx
2n I I
I 2n
I 2n 1

 


 
     
 
   
  
 
 


  
Do đó, 
   
 
n n 1 1
n 1 n 2 0
2 n 1 2n !!I I I 2n 2
. ..... . .....
I I I 2n 1 2n 1 3 2n 1 !!

 

 
  
Suy ra 
 
 
 
 n 0
2n !! 2n !!
I I
2n 1 !! 2n 1 !!
 
 
 (15) 
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 12
b) Xét     
1 1n n2 0 1 2 2 4 3 6 n 2n
n n n n n
0 0
I= 1-x dx C C x C x C x ... 1 C x dx        
 
 
1
n0 1 3 2 5 3 7 n 2n 1
n n n n n
0
n
1 2 3 n
n n n n
1 1 1 1
C x C x C x C x ... 1 C x
3 5 7 2n 1
-11 1 1
1- C + C - C +...+ C (16)
3 5 7 2n+1
         

Từ (15) và (16) suy ra 
   
 
n
1 2 3 n
n n n n
-1 2n !!1 1 1
1- C + C - C +...+ C =
3 5 7 2n+1 2n+1 !!
3.3. Tính tích phân của hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng 
 Khi bài toán cho mà số hạng tổng quát không phải là kn
1
C
k+1
 mà là kn
1
C
k+2
 thì ta 
phải nhân thêm x vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân, còn nếu là 
k
n
1
C
k+3
 thì ta phải nhân thêm x2 vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân, 
Bài 1. Cho *n . Chứng minh rằng: 
  
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 n2 1
C C C ... C
2 3 4 n 2 n 1 n 2
 
    
  
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số 
hạng cuối cùng có hệ số kn
1
C
k+2
 thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước 
khi tính tích phân. Khi đó, ta sử dụng  
1
n
0
x 1 x dx . 
Giải 
Xét    n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n nx 1 x x C C x C x C x ... C x       
     
   
1 1 1
n n 1 n
0 0 0
1
n 2 n 1
0
x 1 x dx 1 x dx 1 x dx
1 x 1 x
n 2 n 1

 
    
  
  
  
 
  
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 13
  
 
n 2 n 1 n 12 1 2 1 n2 1
17
n 2 n 1 n 1 n 2
    
  
   
   
 
1 1
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
1
0 1 2 2 3 3 4 n n 1
n n n n n
0
x 1 x dx x C C x C x C x ... C x dx
C x C x C x C x ... C x dx
      
     
 

1
0 2 1 3 2 4 n n 2
n n n n
0
1 1 1 1
C x C x C x ... C x
2 3 4 n 2
      
 
 0 1 2 nn n n n
1 1 1 1
C C C ... C
2 3 4 n 2
    

 (18) 
Từ (17) và (18) suy ra 
  
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 n2 1
C C C ... C
2 3 4 n 2 n 1 n 2
 
    
  
Bài 2. Cho *n . Chứng minh rằng: 
 
  
n0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 1
C C C ... 1 C
2 3 4 n 2 n 1 n 2
     
  
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số 
hạng cuối cùng có hệ số kn
1
C
k+2
 thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước 
khi tính tích phân. Vì tổng đan dấu nên ta sử dụng  
1
n
0
x 1 x dx . 
Giải 
Xét     n n0 1 2 2 3 3 n nn n n n nx 1 x x C C x C x C x ... 1 C x        
Đặt u 1 x du dx     
Đổi cận x 0 u 1   ; x 1 u 0   
Khi đó,    
11 1 n 1 n 2
n n
0 0 0
u u
x 1 x dx 1 u u dx
n 1 n 2
  
        
  
  
 
1 1 1
19
n 1 n 2 n 1 n 2
  
   
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 14
    
  
1 1
n n0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
1
n0 1 2 2 3 3 4 n n 1
n n n n n
0
x 1 x dx x C C x C x C x ... 1 C x dx
C x C x C x C x ... 1 C x dx
       
      
 

  
1
n0 2 1 3 2 4 n n 2
n n n n
0
1 1 1 1
C x C x C x ... 1 C x
2 3 4 n 2
       
 
  n0 1 2 nn n n n
1 1 1 1
C C C ... 1 C
2 3 4 n 2
     

 (20) 
Từ (19) và (20) suy ra  
  
n0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C ... 1 C
2 3 n 1 n 1 n 2
     
  
4. Bài tập đề nghị 
Bài 1. Cho *n . Chứng minh rằng: 
 n0 1 2 nn n n n
1 1 1 1
C C C ... 1 C
2 3 n 1 n 1
     
 
HD: Vì tổng đan dấu và hệ số 
1
n 1
gắn với nnC nên sử dụng  
1
n
0
1 x dx 
Bài 2. Cho *n . Chứng minh rằng: 
 
 nn0 1 2 n
n n n n
11 1 1
C C C ... 1 C
n 1 n n 1 n 1

     
  
HD: Vì tổng đan dấu và hệ số 
1
n 1
gắn với 0nC nên sử dụng  
1
n
0
x 1 dx 
Bài 3. Cho *n . Chứng minh rằng: 
n 1
0 1 2 2 3 n n n 1
n n n n
1 1 1 3 1
2C C 2 C 2 ... C 2
2 3 n 1 n 1

     
 
(ĐH Đà Nẵng - 2001) 
HD: Sử dụng  
2
n
0
1 x dx 
Bài 4. Tính tổng: 0 1 2 nn n n n
1 1 1 1
S C C C ... C
3 4 5 n 3
    

Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 15
HD: Sử dụng  
0
n2
0
x 1 x dx 
Bài 5. Chứng minh rằng: 
a) 
 n+1 n+1n nk k k 1
n n
k=0 k=0
1+e 1 2 1
+ C + C e
n+1 k+1 n+1 k+1
  
b) 
   
2n+2 n+1n n
k k
n nk 1 n 1
k=0 k=0
1 1 2 3
C C
k+1 k+1 2 n+1 2 

   
Bài 6. Đặt n
1 1 1 1
S 1 ...
2 3 4 n
      . Chứng minh rằng: 
a)  n 11 2 3 4 nn n n n n n
1 1 1 1
S C C C C ... 1 C
2 3 4 n

       
b)  
 n 1n1 2 n 1
n n n 1 n n 2 n 1
1
S C S C S ... 1 C S
n


 

      
Bài 7. Tính tổng 
  n0 1 2 nn n n
1 1 1 1
1 2 3 n 1
n 1 .C1.C 2.C 3.C
S ...
A A A A 

     , biết 0 1 2n n nC C C 211   
HD: Phân tích  0 1 2 3 n 1 2 nn n n n n n n n1 1 1S C C C C ... C C C ... C
2 3 n 1
 
          
 
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 16
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
1. Kết quả từ thực tiễn 
Trước khi dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát cả ba lớp mà mình đang 
đảm nhiệm. Qua kết quả khảo sát, tôi thấy rằng phần lớn học sinh không làm được 
các bài toán nêu ra. Học sinh không làm được là tất nhiên vì các l ý do sau: 
+ Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để 
giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày. 
+ Các kiến thức của Đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11, học sinh đã quên. 
+ Học sinh chưa định hình được cách giải. 
Tuy nhiên, trước khi bắt đầu dạy thực nghiệm, tôi đã yêu cầu học sinh ôn tập 
lại các kiến thức của Đại số tổ hợp. Trong khi giảng dạy, tôi hướng dẫn học sinh tỉ 
mỉ cách nhận biết bài toán tổ hợp vận dụng được tích phân, phân tích các yếu tố có 
trong bài toán để từ đó đưa ra hàm lấy tích phân, các cận của tích phân và thay số 
tương ứng để đi đến lời giải đúng. 
 Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài toán 
có sử dụng tích phân để giải thì các em đã thận trọng trong khi đi tìm hàm lấy tích 
phân và trình bày lời cho bài toán đặt ra. 
2. Kết quả thực nghiệm 
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012-2013. 
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả 
thi và hiệu quả của đề tài. 
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại lớp 12A