Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng phương pháp hàm số để giải một số lớp bài toán đại số

và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) vợi x thuộc D và số nghiệm phương trình trên D là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m trên D
6. Xét bất phương trình f(x) m với f(x) liên tục trên [a; b] .
Khi đó: m = minf(x) f(x) maxf(x) = M.
Nếu f(x) đồng biến trên [a; b] thì minf(x) = f(a); maxf(x) = f(b) với mọi x thuộc [a; b] .
 	Nếu f(x) nghịch biến trên [a; b] thì minf(x) = f(b); maxf(x) = f(a) với mọi x thuộc [a; b] 
*) f(x) m có nghiệm x thuộc D m maxf(x) với x thuộc D.
*) f(x) m vô nghiệm trên D m > maxf(x) với mọi x thuộc D.
*) f(x) m có nghiệm D m minf(x) với D. 
*) f(x) m có nghiệm x thuộc D m minf(x) với x thuộc D.
*) f(x) m vô nghiệm trên D m minf(x) với mọi x thuộc D.
*) f(x) m có nghiệm D m maxf(x) với D. 
Trong một số trường hợp cụ thể thì có thể không lấy dấu bằng, hoặc hàm số không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên D điều đó còn phụ thuộc vào đặc điểm của từng hàm số và miền nghiệm D. 
CHƯƠNG II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 	Bài toán khảo sát hàm số và các bài toán liên quan là một vấn đề khá quen thuộc với đa số học sinh phổ thông , nhưng để vận dụng nó vào giải phương trình, hệ phương trình thì đó là vấn đề khá mới mẻ với đa số học sinh. Nên khi gặp các bài toán giải phương trình, hệ phương trình có sử dụng phương pháp hàm số làm cho học sinh rất bỡ ngỡ và rất xa lạ, từ đó gây cho học sinh cảm giác khó khăn khi giải toán.
 	Để tháo gỡ vấn đề này tôi sẽ xây dựng hệ thống bài tập có vân dụng phương pháp hàm số cho học sinh làm quen và từ đó hình thành kĩ năng giải quyết bài toán.
CHƯƠNG 3. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Một số bài toán về phương trình, hệ phương trình áp dụng giải pháp.
Vấn đề 1: Các bài toán giải phương trình và hệ phương trình :	
Bài toán 1: Giải các phương trình sau: 
a) b) 
Giải quyết bài toán 
a) Ta có Xét , ta có phương trình: . 
Với đồng biến trên nên 
Vậy phương trình có hai nghiệm và 
b) 
Xét hàm số , ta có phương trình 
Vì đồng biến nên (1)
Nếu |x| > 1 thì nên phương trình vô nghiệm
Nếu |x| thì đặt . Khi đó (1) trở thành
. Chọn các nghiệm trong đoạn ta được các nghiệm 
Vậy phương trình có 3 nghiệm .
Nhận xét: Trong bài toán trên ta cần chú ý quan sát đặc điểm của phương trình ta biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v), sau đó ta xét tính đơn điệu của hàm số đặc trựng f(t) và tấy hàm số đơn điệu trên D và suy ra u = v và ta có một lời giải thật đơn giản.
Bài toán 2: Giải các phương trình: 
a) b) 
Giải quyết bài toán:
a) 
Xét hàm số xác định trên R.
Ta có nên hàm số đồng biến trên R.
. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
b) Điều kiện : 
 	 Đặt .
Khi đó, phương trình trở thành: 
Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có : 
Với có nên f(t) là hàm số đồng biến, dó đó: 
 	 thế vào (1) ta có phương trình: 
Xét hàm số có 
Nên phương trình g’(t) = 0 có tối đa một nghiệm do đó phương trình g(t) = 0 có tối đa 2 nghiệm.
Ta có g(0) = g(1) = 0. Vậy phương trình g(t) = 0 có 2 nghiệm t=0 và t = 1.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 2.
 Nhận xét : 
+) Dạng tổng quát của bài toán trên là : 
 .
+) Khi giải các bài toán có sử dụng tính đơn điệu của hàm số ta có thể vận dụng tính chất sau : Nếu hàm số có đạo hàm cấp n vô nghiệm (hay không đổi dấu) trên D thì phương trình có không quá n nghiệm trên D
+) Trong phương trình trên có hai phép toán trái ngược nhau là phép lũy thừa và phép lấy logarit, trong phương trình có chứa các phép toán khác nhau cũng thường được giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Chúng ta có thể thấy điều đó qua bài toán sau :
Bài toán 3 : Giải các phương trình :
a) b) 
Giải quyết bài toán
a) Ta có : 
Với . 
Do đó 	Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 và x = 2
b) Ta có: 
Đặt 
Nên f(x) là hàm số đồng biến trên , mà f(0) = 1.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Nhận xét: khi gặp phương trình f(x) = g(x) trong đó f , g có một hàm đồng biến, một hàm nghịch biến thì cách giải thường dùng là nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất, tuy nhiên trong bài toán của ta lại đều đồng biến nên cách đó không giải quyết được, vì vậy ta chia 2 vế của phương trình cho để đưa một vế là hằng số và vế còn lại là một hàm số mà ta có thể xét được tính đơn điệu của nó cũng là cách mà ta làm ở bài toán sau 2.
Bài toán 4: Giải các phương trình: 
a) b) 
Giải quyết bài toán
a) (1) 
 Đặt . Phương trình (1) trở thành:
 (2)
Xét hàm số . Nên là hàm số nghịch biến, mà nên phương trình (2) có nghiệm t = 1.
Do đó . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b) Ta có: . 
Xét hàm số: 
. Đây là phương trình bậc hai đối với nên có nhiều nhất 2 nghiệm suy ra phương trình có tối đa 3 nghiệm, mà ta thấy là các nghiệm của nó.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: .
Nhận xét : Đây là bài toán mà ta áp dụng thật đơn giản tính chất : hàm số f(x)đơn điệu trên D thì phương trình f(x) = k có nghiệm duy nhất trên D, sau đó ta tiến hành nhẩm nghiệm là lời giải xong rồi. Thật đơn giản phải không ? 
Bài toán 5. Giải các phương trình: 
a) b) 
Giải quyết bài toán
a) 
Xét hàm số , 
Dễ thấy do đó f(x) là hàm số chẵn, vì vậy ta chỉ cần xét hàm số f(x) trên .
Ta có suy ra f’(x) đồng biến trên nên do đó f(x) đồng biến trên . Mà f(0) =1.
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình trên và đó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Nếu n = 2 thì phương trình trở thành nên mọi là nghiệm của phương trình
 	Nếu n > 2, đặt 
 . Vì nên 
Bảng biến thiên 
x
0 
f’(x)
 - 0 + 
f(x)
1 1	
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi x = .
Nhận xét: Đây là bài toán khá phức tạp, nên khi giải chúng ta cần chú ý chia trường hợp cẩn thận nếu không trong quá trình giải ta sẽ gặp khó khăn. Đay là bài toán mà chúng ta cần phải biết lập bảng biến thiên của hàm số vafd từ đó kết luận về nghiệm của phương trình 
Bài toán 6: Tìm nghiệm dương của phương trình: 
 (TC -THTT)
Giải quyết bài toán
Ta có : 
Với 
Ta có : 
Đặt 
(với t > 0)
Do đó nghịch biến trên mà suy ra , suy ra 
 nên f(t) đồng biến trên 
Vì vậy (vì x > 0)
Vậy phương trình có nghiệm dương duy nhất x = 1.
Nhận xét: Khi bài toán mà xét dấu đạo hàm quá phức tạp ta có thể vậ dụng các kiến thức sau để giải quyết bài toán: cùng dấu thì a.b >0 và a/b>0; a0, b> 0 thì a+b >0.Với bài toán này chúng ta thấy rất hiệu quả phải không.
Bài toán 7. Giải phương trình: 
Giải quyết bài toán.
Ta có .
Xét hàm số liên tục trên R và có: 
 . 
Nên phương trình f(t) = 0 có tối đa 2 nghiệm trên R
Ta lại có f(1) = f(0) = 0 nên Phương trình f(t) = 0 có 2 nghiệm t=0 và t=1.
Với t = 1 ta có: 
Với t = 0 ta có: 
Nhận xét : Trong bài toán này chúng ta vận dung kiến thức rất cơ bản đó là nếu đạo hàm cấp n vô nghiệm trên D thì phương trình f(x) = k có không quá n nghiệm trên D. 
Bài toán này ta thấy đạo hàm cấp hai không đổi dấu do đó đạo hàm cấp 1 có không quá một nghiệm trên D, do đó phương trình không có quá 2 nghiệm trên D, sau đó ta nhẩm hai nghiệm của phương trình là xong, thật là đơn giản. 
Bài toán 8. Giải phương trình : . (TC THTT)
Giải quyết bài toán : 
 	Điều kiện: 
 	Đặt 
Ta có hệ 
Trừ vế với vế của hai phương trình ta có 
Xét hàm số đặc trưng : 
Ta có Do đó f(t) đồng biến trên 
Suy ra . Thế vào (1) ta có phương trình:
 	Xét hàm số 
Ta có: 
Do đó phương trình g’(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm dương. Mặt khác ta có g’(1) = 0
Suy ra ;
Bảng biến thiên :
x
0 1 
g’(x)
 - 0 + 
g(x)
 0 
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình g(x) =0 có nghiệm duy nhất x =1. 
Nhận xét : Một bài toán mà lời giải khá phức tạp, với bài toán này ta tiến hành giải bài toán bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại 2. Trừ vế với vế của phương trình bao giờ ta cũng thu đượng phương trình dạng f(x) = f(y), với bài này ta suy ra x = y nhò tính đơn điệu của hàm đặc trưng khá đơn giản. Tuy nhiên khi thế y = x vào phương trình chings ta lại nhận được một phương trình khá phức tạp, rõ rang g’(x) đổi dấu trên D, g’’(x) không đổi dấu trên D nghưng phương trình g(x) = 0 ở đay chỉ có một nghiệm. Với bài này mà ta không lập bảng biến thiên để quan sát mà lại áp dụng cách làm của bài toán 7 thì không thể giải được. 
Bài toán 9: Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + 2 (*)
Giải quyết bài toán :
 	 Xét : f(x) = 3x + 5x – 6x – 2 
	f ’(x) = 3xln3 + 5xln5 – 6 
f ”(x) = 3xln23 + 5xln25 > 0,x f’(x) đồng biến, liên tục và đổi dấu (f’(0) 0 Nên phương trình: f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) cắt trục hoành tới 2 lần nên phương trình đã cho có tối đa 2 nghiệm. Ta thấy f(0) = f(1) = 0 . dó đó phương trình có 2 nghiệm x = 0 và x = 1.
Nhận xét: Bài tập này ta áp dụng kĩ thuật giải của bài toán 7 thật đơn giản phải không ?
Một số bài toán tương tự áp dụng giải pháp
1.Giải phương trình: . 
2. Giải phương trình: 
3.Giải phương trình: 
4. Giải phương trình: 
5. Giải phương trình: 
6. Giải phương trình: 
7. Giải phương trình: 
8. Giải phương trình: 
9. Giải các phương trình : 
a) (1) b) (2)
10. Giải các phương trình: 
a) b) 
Bài toán 10: Giải hệ phương trình: 
 ( Đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng khối A 2010)
Giải quyết bài toán.
 Điều kiện: .
Ta có 
Phương trình (1) có dạng : , với 
Ta có , suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R.
Do đó 
Thế vào phương trình thứ 2 ta được: 
Nhận thấy x = 0 và x = 3/4 không là nghiệm của phương trình (3).
Xét hàm số: 
Suy ra g(x) là hàm số nghịch biến. Ta lại có 
Do đó (3) có nghiệm duy nhất suy ra y = 2. Vậy Hệ có nghiệm duy nhất 
Nhận xét: Đây là bài toán rất hay trong đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng 2010. Nếu chúng ta không quan sát kĩ phương trình đầu tiên hoặc chúng ta cố gắng bình phương hai vế của phương trình thì bài toán sẽ đi tới chỗ bế tắc. Tuy nhiên khi ta quan sát kĩ và sử lí khéo léo ở phương trình (1) của hệ ta có dạng f(u) = f(v) và ta ddaxddua hệ đã cho thành một hệ đơn giản hơn rất nhiều.Thế y bởi x vào phương trình thứ hai , tiến hành khảo sát hàm số ta thấy g’(x) > 0 do đó tnhẩm nghiệm là xong. 
Bài toán 11. Giải hệ phương trình: 
Giải quyết bài toán: 
Phương trình (1) có dạng: f(x) = f(y) với 
Nên f(t) đồng biến trên R
Do đó phương trình (1) tương đương với x = y. Thế vào phương trình (2) ta có: 
Vậy hệ có 2 nghiệm (x,y) = (2;2) và (x,y) =(-2;-2)
Nhận xét : Trong bài toán nãy ta cần quan sát ta thay số 8 ở phương trình 1 bởi và ta có một hệ phương trình thật đơn giản 
Bài 12. Giải hệ phương trình: 
( Đề DBĐH – 2009) 
Giải quyết bài toán 
Đặt Hệ phương trình đã cho trỏ thành: 
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được phương trình:
Phương trình (3) có dạng f(u) = f(v). Với 
Ta có : nên f(t) là hàm số đồng biến.
Do đó thế vào (1) ta có 
Xét hàm số: có nên g(u) là hàm số nghịch biến trên R.
Ta có g(0) = 0 nên (4) có nghiệm duy nhất u = 0 suy ra v = 0. do đó nghiệm của hệ đã cho là (x,y) =(1;1).
Nhận Xét :Trong bài toán này thì chúng ta cần biết quan sát và tiến hành đổi biến trong các phương trình của hệ ta thu được một hệ phương trình đơn giản , tuy nhiên khi đánh giá dấu của đạo hàm ta khéo léo đưa từ bất phương trình mũ về bất phương trình logarit thì ta thấy có kết quả ngay, còn ngược lại chung ta sẽ gặp khá nhiều khó khăn khi xét dấu đạo hàm. 
Bài toán 13. Giải hệ phương trình: 
 Giải quyết bài toán :
 	Đặt Hệ đã cho trở thành: 
 	 Đk: 
 Do v > 0 nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho v ta được:
Đặt Phương trình 3 trở thành: 
Xét hàm số : 
Ta có . VẬy t(t) đồng biến .
Ta có f(3) = 0 . Vậy Phương trình (4) có nghiệm duy nhất t = 3.
Vậy ta có hệ: 
Xét phương trình: suy ra v = 1. 
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (1;0). 
Nhận xét : Đây là bài toán khá phức tạp chúng ta cần phải quan sát kĩ các hệ số của phương trình, chúng thật đặc biệt, cần phải chế biến cho đẹp và ta thu được dạng f(u) = f(v) tương tự như các bài toán trên. Bài toán này khá giống đề thi đại học khối A - 2012 
Bài toán 14 : Giải hệ phương trinh :
 ( Đề thi HSG Lào cai 2011)
Giải quyết bài toán: 
 	Thế Từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta có phương trình 
 	Thế vào (1) ta có : 
Vậy hệ có hai nghiệm: (x,y) = (3;1); (x;y) = (-3;-1).
Bài toán 15: Giải hệ phương trình: 
 ( Đề tuyển sinh Đại học và cao đẳng khối A 2012)
Giải quyết bài toán:
 	Ta có: 
 (3)
Từ phương trình (2) ta có 
Xét hàm số: 
Ta có: 
Do đó . Thế vào phương trình (2) của hệ ta có
Suy ra nghiệm của hệ là : 
Bài 16. Giải hệ phương trình: 
 	 ( Đề thi đại học khối A – 2013)
Giải quyết bài toán:
Từ phương trình (1) ta có ĐK: 
Từ phương trình (2) ta coi x là ẩn và y là tham số ta có điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là :
Ta có : 
Đặt 
Khi đó ta có phương trình 
Xét hàm số: 
Ta có Do đó hàm số f(t) đồng biến 
Nên 
Thế vào phương trình (2) ta có:
Với y = 0 ta có x = 1
Xét hàm số 
Ta có : 
Nên g(y) là hàm số đồng biến suy ra phương trình g(y) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm. Ta lại có g(1) = 0
Vậy phương trình g(y) = 0 có nghiệm duy nhất y = 1 suy ra x = 2.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (1;0) và (2;1).
Một số bài toán tương tự áp dụng giải pháp
1. Giải hệ phương trình: ( với 0 <x, y <1).
2. Giải hệ phương trình: 
 3.Giải hệ phương trình: 
 4. Giải hệ phương trình: 
 5. Giải hệ phương trình: 
 6. Giải hệ phương trình: 
Vấn đề 2: Các bài toán giải phương trình và bất phương trình chứa tham số:
Bài toán 1: Xác định m để phương trình sau có nghiệm :
 	m( (1)
Giải quyết bài toán :
Điều kiện: 
Đặt t = - 2 = 2 – t2 
Ta có: t = - 0 dấu bằng đạt được khi x = 0
	 t2 = 2 – 2 2 dấu bằng đạt được khi x = 1 
 suy ra điều kiện của t là: 0 t 
Phương trình (1) được chuyển về dạng m(t + 2) = 2 - t2 + t = m (2)
Khi đó phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm thoả : 0 t 
 đường thẳng y = m cắt phần đồ thị hàm số y = trên [0;]
Xét hàm số f(t) = trên [0;] 
Ta có f’(t) = , t[0;] hàm số nghịch biến trên [0;]
Vậy phương trình (1) có nghiệm f(m 1.
Nhận xét : Trong bài toán này chúng ta cầ quan sát mối liên hệ giữa các biểu thức của phương trình để tách độc lập tham số m sang một vế và cần phải biết đổi biến để ta chuển từ một bài toán có biểu thức phức tạp về một hàm số có biểu thức đơn giản hơn. Trong quá trình làm với bài toán đổi biến ta cần chú ý tìm điều kiện chặt chẽ của biến mới. Trong bài tập này chúng ta thấy lời giải trở nên khá đơn giản vì hàm số ta xét đã liên tục trên đoạn nên ta không cần lập bảng biến thiên vẫn có thể kết luận được điều kiện của m. 
Bài toán 2: Tìm m để phương trình: 3 (1) có nghiệm.
( Đề thi đại học khối A – 2007)
Giải quyết bài toán :
Điều kiện: x 1. Ta có (1) 3 u
Đặt : t = = Điều kiện: 0 t 1. 
Khi đó phương trình trở thành:
-3t2 + 2t = m với t [0; 1]
Ta có f ’(t) = - 6t +2
	 f ’(t) = 0 - 6t +2 = 0 t = 
f ’(t)
f(t)
0
0
0
-1
+
_
t
1
Vậy phương trình có nghiệm khi .
Nhận xét: Tương tự như bài tập trên chúng ta cũng tiến hành đổi biến và tìm điều kiện chặt chẽ của biến mới và khảo sát hàm số f(t). Từ bảng biến thiên ta quan sát rất đơn giản điều kiện để phương trình có nghiệm. Tuy nhiên với bài toán này ta cũng có thể không lập bảng biến thiên giống như bài toán 1.
Bài toán 3: Chứng minh rằng với mọi m > 0 phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt : 	x2 + 2x – 8 = (1) ( Đề thi đại học khối B – 2007)
Giải quyết bài toán :
Điều kiện: x 2. 
(1) (x – 2)( x3 + 6x2 – 32 – m) = 0
Ta chỉ cần chứng minh phương trình: x3 + 6x2 – 32 = m (*) có nghiệm trong (2; +)
Xét hàm số: f(x) = x3 + 6x2 – 32 Với x > 2 
f ’(x) = 3x2 + 12x > 0 , x > 2
Bảng biến thiên của hàm số f(x) 
Dựa vào bảng biến thiên ta có : m > 0 Phương trình (*) có nghiệm trong khoảng (2; +)
Vậy m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Nhận xét:Với bài toán này chúng ta cần biết phương pháp giải phương trình vô tỷ với phương pháp bình phương hai vế và biết đưa phương trình về dạng tích, nhiều học sinh mắc sai lầm khi chia cả hai vế của phương trình cho x – 2 và dẫn đến làm mất nghiệm của phương trình. Với việc đưa phương trình về dạng tích ta thấy lời giải trở nên rất đơn giản.
Bài toán 4:Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [1; 3] 
	 - 2m – 1 = 0 (1) ( Đề thi đại học khối A – 2002)
Giải quyết bài toán :
	Điều kiện : x > 0 
Đặt: 
 t = với x [1; 3] 0 1 +1 4 1t2
 Phương trình trở thành: t2 + t = 2m + 2 (2) 
 Phương trình (1) có 1 nghiệm trên [1; 3]
 Phương trình (2) có 1 nghiệm thuộc [1; 2]
	đường thẳng y = 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y = t2 + t với t [1; 2] tại ít nhất một điểm
Xét hàm số: f(t) = t2 + t với t [1; 2]
 f ’(t) = 2t + 1 > 0 , t [1; 2]
Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm thuộc [1; 3]2 2m + 2 5 
 0 m 1,5
Nhận xét: Khi giả bài này ta cần quan sát kĩ bài toán và đưa ra phương án đặt ẩn phụ hợp lí nhất và nhớ tìm điều kiện thật chặt chẽ của biến t.
Bài toán 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
	(m + 1) tg4x – 3m(1 + tg2x)tg2x + = 0 (1) (TC - THTT)
Giải quyết bài toán:
Điều Kiện: x 
(1) m( 2tg4x + 5tg2x + 4 ) = - tg4x
Xét hàm số: f(t) = với t 0
 f ’(t) = 0 , t 0
 Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện để phương trình có nghiệm là 
-0,5 < m 0 
Bài toán 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 9x – m 33 + 2m + 1 = 0 (1) 
Giải quyết bài toán :
	(1) (vì t = 2 không là nghiệm của phương trình)
Xét hàm số f(t) = ta có: f ’(t) = 
 f ’(t) = 0 = 0 
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm khi m < - 0,5 hoặc m 
Nhận xét: Khi rút m sang một vế ta cần chú ý điều kiện của x – 2.Với bài này ta cần chú ý tới các giới hạn của hàm số và quy tắc lập bảng biến thiên, nhiều học sinh thường làm sai bảng biến thiên. 
Bài toán 7: Tìm a để phương trình: + a (1) có nghiệm duy nhất
Giải quyết bài toán :
	(1) a = 
Xét hàm số : f(x) = xác định trên (0,5; +)
Ta có f’(x) = > 0 x 0,5 f đồng biến trên (0,5; +)
 	Từ bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm duy nhất với mọi a. 
Bài toán 8: Tìm m để phương trình: m( + 1) + x(2- x) 0 có nghiệm thuộc [0; 1+].
Giải quyết bài toán
	Đặt t = với x [0; 1+]
	t’x = , 
 t’x = 0 x = 1 
 	Với x [0; 1+] thì t [1; 2]
Bất phương trình trở thành: m(t + 1) t2 – 2 
	 m 
	 m Maxf(t) với f(t) = 
Ta có f ’(t) = > 0 , t[1; 2]
Vậy bất phương trình có nghiệm 
x [0; 1+] m = f(2) m 
Bài toán 9:Với giá trị nào của m thì bất phương trình sin3x + cos3x m có nghiệm m,với x . 
Giải quyết bài toán
Đặt t = sinx + cosx = , Điều kiện : 
Bất phương trình trở thành: t(1 – ) m, t [-;]
	3t – t3 2m, t [-;]
Xét: f(t) = 3t – t3 
	f ’(t) = 3 – 3t2 
	f ’(t) = 0 3 – 3t2 = 0 t = 1 v t = -1
Dựa vào bảng biến thiên ta có : bất phương trình (1) có nghiệm với x 
 2m -2 m - 1
Bài toán 10: 
Tìm m để bất phương trình: mx4 – 4x + m 0 có nghiệm với x (1)
Giải quyết bài toán
	 (1) m(x4+ 1) 4x , x m , x 
Xét hàm số : f(x) = 
Ta có : f ’(x) = 
 f ’(x) = 0 = 0 x = v x = - 
Vậy bất phương trình có nghiệm x m Maxf(x) m 
Bài toán 11:
 	Cho bất phương trình: x3 -2x2 + x – 1 + m < 0 (1)
Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc đoạn: [0; 2]
Tìm m để bất phương trình có nghiệm vớix [0; 2]
Giải quyết bài toán
Ta có: (1) -x3 + 2x2 – x + 1 > m
Xét: f(x) = -x3 + 2x2 – x + 1 , x [0; 2]
	f’(x) = -3x2 + 4x – 1 
	f’(x) = 0 x = 1 v x = 
(1) Có nghiệm thuộc [0; 2] maxf(x) > m m < 1
(1) có nghiệm x [0; 2] minf(x) > m m < -1
Bài toán 12: Cho hàm số nghịch biến trên khoảng 
Giải quyết bài toán:
Ta có 
Để hàm số nghịch biến trên thì :
Một số bài toán tương tự áp dụng giải pháp: 
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc tập cho trước
x3 – 3x = m vôùi 2 x 3
x2- 6lnx – m = 0 vôùi 1 < x < e
4sin6x + cos4x – a = 0
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3x4 – 10x3 + 6x2 = m
2 + = m
X3 + mx + m = 0
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: + - = m
 Tìm m để phương trình sau có một nghiệm a) + x – 1 = 0
b) - = m
5) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
 + 3 tg2x + m(tgx + cotgx) = 1
7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
 4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – sin24x = m 
8) Biện luận theo k số nghiệm trên của phương trình:
 4k(sin6x + cos6x – 1) = 3sin6x 
 9. Tìm điều kiện của p và q để bất phương trình sau có nghiệm với x [0; 1]	
	px + 1 qx + 1 (1) 	
10. Cho bất phương trình: (1) với a > b > c 
Chứng minh