Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng trong dạy học Toán tiểu học

ội tuyển học sinh giỏi toán có 12 bạn, trong đó số bạn gái bằng 1/3 số bạn trai. Hỏi có mấy bạn gái, mấy bạn trai trong đội tuyển đó? 
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, cắn cứ vào sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải. Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tỷ số và các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dưới đây: 
Số bạn trai: 
	12 bạn
Số bạn gái: 
 Vẽ sơ đồ đoạn thẳng như trên, học sinh dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài toán: cả trai và gái có 12 bạn (biểu thị mối quan hệ về tổng) và có số bạn trai gấp 3 lần số bạn gái (biểu thị mối quan hệ về tỷ số). 
	Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số bạn gái bằng cách:
 Lấy 12 chia cho 3 + 1 = 4 (vì số bạn gái ứng với 1/4 tổng số bạn). 
	Cũng dựa vào sơ đồ ta dễ dàng tìm được số bạn trai. 
Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là:
1 + 3 = 4 (phần)
Số bạn gái trong đội tuyển là:
12 : 4 = 3 (bạn)
Số bạn trai trong đội tuyển là:
3 x 3 = 9 (bạn)
Hoặc 12 – 3 = 9 (bạn)
	Đáp số: Trai: 9 bạn
	 Gái: 3 bạn 
 Từ bài toán cơ bản trên, ta xây dụng quy tắc giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó:
Bước 1: Vẽ sơ đồ 
Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau 
Bước 3: Tìm giá trị một phần
	 Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau 
Bước 4: Tìm số bé 
	 Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé 
Bước 5: Tìm số lớn 
	 Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn 
	 Hoặc = tổng – số bé 
Nắm được quy tắc giải học sinh sẽ biết áp dụng để giải nhiều bài toán cùng dạng, học sinh có năng khiếu sẽ biết áp dụng quy tắc để giải các bài toán khó dạng này (đó là các bài toán cùng dạng như  tổng, tỷ được thể hiện dưới dạng ẩn). 
	Ví dụ 1: 	
	Hai đội xanh và đỏ có tất cả 45 quả bóng. Tính xem mỗi đội có bao nhiêu quả bóng. Biết 3 lần số bóng đội xanh bằng 2 lần số bóng đội đỏ. 
	Bước 1: Ta vẽ sơ đồ biểu thị 3 lần số bóng đội xanh = 2 lần số bóng đội đỏ. 
 2 lần đội đỏ: 
	3 lần đội xanh: 
 Nhìn vào sơ đồ, ta thấy nếu chia số bóng của đội xanh thành 2 phần và chia số bóng của đội đỏ thành 3 phần thì các phần sẽ bằng nhau. Với tỷ số số bóng 2 đội là 2/3, ta có sơ đồ biểu thị số bóng của 2 đội như sau:
Đội xanh: 
	 	 45 quả 
 Đội đỏ: 
 	 Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là:
2 + 3 = 5 (phần)
Số bóng ứng với một phần là:
45 : 5 = 9 (quả)
Số bóng đội xanh là:
9 x 2 = 18 (quả)
Số bóng đội đỏ là:
9 x 3 = 27 (quả)
 Đáp số: Đội xanh: 18 quả 
 Đội đỏ: 27 quả. 
Dạng 4: Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
 Bài toán: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 27 và số này bằng 2/5 số kia. 
 Học sinh phân tích để vẽ sơ đồ vừa biểu thị mối quan hệ về hiệu, vừa biểu thị mối quan hệ về tỷ số: 
Số lớn: 
Số bé: 	27
 Dựa vào sơ đồ tiến hành tương tự như khi dạy dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó”. Học sinh tìm ra cách giải bài toán. 
Bài giải:
Hiệu số phần bằng nhau là:
5 – 2 = 3 (phần)
Giá trị 1 phần là:
27 : 3 = 9
Số bé là:
9 x 2 = 18
Số lớn là :
18 + 27 = 45
 Đáp số : Số bé: 18 
 Số lớn: 45
 Tổng kết thành quy tắc giải dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó:
Bước 1: Vẽ sơ đồ 
Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau 
Bước 3: Tìm giá trị một phần
	 Giá trị một phần = Hiệu : Hiệu số phần bằng nhau 
Bước 4: Tìm số bé 
	 Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé 
Bước 5: Tìm số lớn 
	 Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn 
	 Hoặc = Số bé + hiệu 
 Nắm vững quy tắc giải học sinh cũng sẽ biết áp dụng để giải các bài toán nâng cao. Việc dùng sơ đồ đoạn thẳng một lần nữa lại thể hiện vai trò vô cùng quan trọng vì sơ đồ chính là chỗ dựa giúp học sinh dễ dàng trong việc suy luận tìm ra cách giải. Ta có thể lấy một số bài toán sau đây làm ví dụ. 
Ví dụ: Hiện nay cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi con. Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay. 
Sơ đồ bài toán: 
Trước đây 6 năm: 
Tuổi con: 
 	Tuổi cha: 
 Hiện nay: 12 lần tuổi con trước đây 6 năm
	Tuổi con: 
	Tuổi cha: 
 12 lần tuổi con trước đây 6 năm
Theo sơ đồ, hiệu số tuổi của cha và con trước đây bằng 12 lần tuổi con lúc đó. 
Còn hiệu số tuổi của cha và con hiện nay bằng 3 lần tuổi con hiện nay.
Vì hiệu số tuổi cha và tuổi con không thay đổi nên 3 lần tuổi con hiện nay bằng 12 lần tuổi con trước đây. Hay tuổi con hiện nay gấp 4 lần tuổi con trước đây.
Ta vẽ sơ đồ biểu thị tuổi con trước đây và tuổi con hiện nay: 
Tuổi con trước đây: 
	6 năm 
Tuổi con hiện nay: 
 Bài toán được về dạng cơ bản học sinh dễ dàng giải được: 
Bài giải
Từ sơ đồ suy ra tuổi con trước đây là:
6 : (4 – 1) = 2 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là:
2 + 6 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là:
4 x 8 = 32 (tuổi)
 Đáp số: Cha: 32 tuổi
 Con: 8 tuổi
Dạng 5: Dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán trung bình cộng.
 Dạng này thường được áp dụng ở toán nâng cao kiến thức cho HS. Khi sử dụng sơ đồ dạng này GV cần:
 Bước 1: Liên hệ để HS thấy được sơ đồ dạng toán này cũng chia thành các phần bằng nhau, mỗi phần bằng nhau chính là trung bình cộng của 2 số hay nhiều số.
 Bước 2: Bắt đầu vẽ chi tiết trên sơ đồ để thể hiện sự tương quan giữa các đại lượng của bài toán.
 Ví dụ: Lan có 20 nhãn vở, Mai có 20 nhãn vở, Anh có số nhãn vở kém trung bình cộng của 3 bạn là 6 nhãn vở. Hỏi Anh có bao nhiêu nhãn vở ?
 Với loại toán này, nếu như không dùng sơ đồ đoạn thẳng để hướng dẫn HS giải toán thì HS sẽ rất khó hiểu tại sao trung bình cộng của 3 bạn lại chia cho 2 vì loại toán này là lấy tổng số chia cho số số hạng. Ở đây tìm trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn lại chia cho 2.
 Bước 1: Trực quan trên sơ đồ đoạn thẳng thì HS sẽ hiểu trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là số nhãn vở của Lan và Mai bớt đi 6 với chia cho 2 là đúng.
 Bước 2: Căn cứ vào từ ít hơn hay nhiều hơn của bài toán và vẽ chi tiết trên sơ đồ để thể hiện các đại lượng của bài toán bằng cách ta lấy về phía phải hay trái của đoạn thẳng biểu hiện số trung bình cộng ấy.
 Bước 3: Từ đó tìm được trung bình cộng của 2, 3 số theo bài toán yêu cầu.
 Bước 4: Tìm kết quả bài toán dựa trên 3 bước đã thực hiện.
Bài giải:
 Vẽ sơ đồ theo các bước sau:
 Tổng số nhãn vở của 3 bạn
Bước 1: 
Bước 2: Chia đoạn thẳng đó thành 3 phần bằng nhau. Và mỗi phần là trung bình cộng số nhãn vở của mỗi bạn:
TBC
Bước 3: Tìm đoạn thẳng biểu diễn số nhãn vở của từng bạn:
Anh
Số nhãn vở của Lan + Mai
 6 
Bước 4: Căn cứ vào sơ đồ đoạn thẳng để giải.
 Ta có: Trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là:
 (20 + 20 - 6) : 2 = 17 (nhãn vở)
 (Tìm giá trị của 1 phần bằng nhau - đó là trung bình cộng số nhãn của 3 bạn )
 Suy ra: Số nhãn vở của Anh là: 17 – 6 = 11 (nhãn vở)
Dạng 6: Dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải một số bài toán phức tạp có tính suy luận.
 Nhưng nếu không dùng sơ đồ đoạn thẳng để hướng học sinh giải toán dạng này mà dạy bằng phương pháp khác thì người thầy sẽ lôi cuốn vào giải thích dài dòng và dẫn tới HS khó hiểu bài. Dạng này thường được ra dưới dạng tính số người cùng biết hai hoặc ba sở thích.
 Ví dụ 1: Ở trường năng khiếu người nào cũng thích chơi bóng. Lớp 2 ở trường có 20 bạn HS nhưng có tới 13 bạn thích chơi bóng đá và 12 bạn thích chơi bóng bàn. Hỏi trong lớp có mấy bạn thích chơi cả hai môn. 
 Dùng sơ đồ đoạn thẳng thì sẽ có lời giải đơn giản hơn, HS dễ hiểu hơn dùng sơ đồ tập hợp:
8 bạn 5 
7 bạn 
20 bạn
a) Sơ đồ tập hợp: bóng bàn
 Bóng đá 
 Tổng số bạn thích bóng đá và số bạn thích bóng bàn là: 13 + 12 = 25 (bạn)
 Tổng số này lớn hơn số học sinh của cả lớp vì số bạn vừa thích bóng đá và vừa thích bóng bàn được tính 2 lần. Vậy số bạn ấy là: 25 – 20 = 5 (bạn)
b) Sơ đồ đoạn thẳng:
8 bạn
7 bạn
20 bạn
13 bạn
12 bạn
Từ sơ đồ này ta sẽ phát huy được điều kiện để phát huy khả năng và óc sáng tạo của HS trong giải toán (từ sơ đồ HS tìm được cách giải)
 * Cách 1: Số bạn thích chơi bóng bàn: 20 -13 = 7 (bạn)
 (Biểu diễn 7 trên đoạn 12 bạn)
 Từ đây HS sẽ tính được số HS chơi được cả 2 loại bóng: 12 - 7 = 5 (bạn)
 * Cách 2: Số bạn thích chơi bóng bàn: 20 -12 = 8 (bạn)
 ( Biểu diễn 8 trên đoạn 13 bạn)	
 Từ đây HS sẽ tính được số HS chơi được cả 2 loại bóng: 13 - 8 = 5 (bạn)
 Ví dụ 2: Một người đem bán một số cam. Lần đầu bán 1/3 số cam, lần thứ hai bán 1/3 số cam còn lại, lần thứ ba bán 20 quả thì còn 56 quả. Hỏi lúc đầu người đó có tất cả bao nhiêu quả cam ?
 Để phù hợp với HS tiểu học (đặc biệt đối với những học sinh chưa học các phép tính về phân số), nên hướng dẫn HS sử dụng phương pháp dùng SĐĐT.
	Ta có sơ đồ đoạn thẳng như sau:
Số cam cần tìm: 
Số cam còn lại sau khi bán lần I: 
20 quả
 56quả
 Số cam còn lại sau khi bán lần II : 
 Cuối cùng 
 Hướng dẫn giải: 
 Tìm số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai (hay trước khi bán lần thứ ba). Số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng: đoạn cuối cùng 56 quả và đoạn biểu diễn 20 quả. Như vậy, muốn tìm số cam còn lại sau lần bán thứ hai ta làm như thế nào? ( 56 + 20 = 76 )
 Tìm tiếp số cam còn lại sau khi bán lần thứ nhất. Số cam này được biểu diễn bằng đoạn thẳng có 3 phần bằng nhau, mà 2 phần trong đó chính là 76 quả. Vậy, muốn tìm số cam còn lại sau lần bán thứ nhất ta có thể làm như thế nào? 
(lấy 76 chia 2 để tìm 1 phần, rồi nhân với 3 để có 3 phần cụ thể 76 : 2 x 3 = 114).
 Tìm số cam người đó đem bán. Toàn bộ số cam này được biểu diễn bằng đoạn thẳng chứa 3 phần bằng nhau, mà trong đó có 2 phần bằng 114 quả. Vậy, muốn tìm số cam người đó đem bán ta có thể làm như thế nào ? ( lấy 114 chia 2 để tìm 1 phần, rồi nhân với 3 để tìm 3 phần - Cụ thể : 114 : 2 x 3 = 171)
Bài giải cụ thể:
Số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai là :
65 + 20 = 76 ( quả)
Số cam còn lại sau khi bán lần đầu là:
76 : 2 x 3 = 114 (quả)
Số cam lúc đầu là :
114 : 2 x 3 = 171 ( quả)
 Đáp số: 171 quả cam
Ví dụ 3: Một người đem bán một số trứng như sau: Lần đầu bán cho khách 1/2 số trứng và biếu khách 1 quả. Lần thứ hai bán 1/2 số trứng còn lại và lại biếu khách 1 quả. Lần thứ ba bán 1/2 số trứng còn lại sau hai lần trước và lại biếu khách 1 quả. Cuối cùng người đó còn 10 quả trứng. Hỏi lúc đầu người đó có bao nhiêu quả trứng đem bán ?
Hướng dẫn giải:
Dùng sơ đồ đoạn