Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phần mềm Geogebra trong dạy Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT Võ Thành Trinh

nhìn thấy một số đối tượng chuyển động như điểm, đường thẳng, 
hoặc mặt phẳng, việc tạo thành các khối tròn xoay trong bài toán về thể tích 
- Học sinh tự mình thấy được những hình ảnh trừu tượng, từ đó giúp các em tự 
tin hơn trong việc tiếp thu kiến thức hình không gian. 
- Rèn luyện khả năng tư duy và năng lực giải quyết vấn đề trong thực tiễn. 
- Tạo động lực để các em học sinh tự tin khi giải toán, nâng cao chất lượng dạy 
và học. 
- Đáp ứng nhu cầu học tập trong giai đoạn mới. 
- Tạo ra nền tản kiến thức bền vững cho các em trong việc phát triển tư duy về 
Toán học. 
3.1.4. Phương pháp nghiên cứu 
a. Nghiên cứu lí luận 
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo Toán, sách hướng dẫn sử dụng 
phần mềm Geogebra, cách thiết kế công cụ giảng dạy trên phần mềm Geogebra 
quá trình chỉnh lí sách giáo khoa Toán phổ thông qua các giai đoạn, nghiên cứu các 
6 
trang mạng về giáo dục, những đổi mới qua những năm gần nhất cho phù hợp tình 
hình thực tế, ngoài ra nghiên cứu những thông tin cần thiết liên quan đến chuyên đề. 
b. Nghiên cứu thực tế 
Khảo sát chất lượng học tập môn Toán của học sinh vào đầu năm học, những 
nguyện vọng của các em đối với Toán học. Làm kiểm tra nghiên cứu quá trình học 
tập và rèn luyện tư duy giải toán qua các giờ dạy chính khóa, trái buổi, tinh thần và 
thái độ hợp tác khi làm việc nhóm để giải quyết tình huống của giáo viên đặt ra, tổ 
chức thực nghiệm một số vấn đề cụ thể về các khối tròn xoay, các mô hình “hình học 
động”, tổ chức các cuộc thi đố vui nhỏ trong quá trình hình thành kiến thức mới liên 
quan Toán học. 
Khảo sát về cơ sở vật chất, điều kiện thực tế của nhà trường để có thể áp dụng 
chuyên đề đạt hiệu quả tốt nhất. 
c. Nghiên cứu phần mềm Geogebra 
GeoGebra là một phần mềm “hình học động” hỗ trợ giảng dạy trong trường 
học. Tác giả phần mềm là Markus Hohenwarter, quốc tịch Áo, giảng viên Toán - Tin 
học thuộc trường đại học University of Salzburg, Cộng Hòa Áo. Dự án phần mềm 
GeoGebrea được khởi tạo năm 2001 và đã trải qua nhiều năm liên tục phát triển. 
Phần mềm GeoGebra đã đoạt nhiều giải thưởng tại nước chủ nhà Áo và Liên minh 
châu Âu về phần mềm giáo dục tốt nhất trong nhiều năm liền. 
Geogebra là một ứng dụng khá phức tạp nhằm mục đích nghiêm chỉnh với 
những ứng dụng có tính toán khó, nhưng lợi thế mà GeoGebra cung cấp trên các 
ứng dụng tương tự là nó cung cấp nhiều biểu diễn của các đối tượng được liên kết 
động. Ý tưởng là để kết nối các đại diện hình học, đại số và số theo cách tương tác. 
Điều này có thể được thực hiện với các điểm, vectơ, đường thẳng và các phần conic. 
GeoGebra cho phép người sử dụng trực tiếp nhập và thao tác các phương trình 
và tọa độ , cho phép chúng ta vẽ các hàm; làm việc với thanh trượt để điều tra các 
thông số; tìm các dẫn xuất tượng trưng; và sử dụng các lệnh mạnh mẽ như Root hoặc 
Sequence. 
Một mặt, Geogebra là phần mềm hình học động, chúng ta có thể định nghĩa các 
điểm, vectơ, đoạn thẳng, đường thẳng, đường cô-nic cũng như hàm số và thay đổi 
chúng một cách linh động. Mặt khác, phương trình và tọa độ có thể được nhập trực 
7 
tiếp. Vì thế, GeoGebra có thể xử lý biến số, vectơ và điểm, tìm đạo hàm và tích phân 
của hàm số và đưa ra những lệnh như Nghiệm hay Cực trị. GeoGebra là phần mềm 
miễn phí. Trong tương lai, đây là phần mềm sẽ được sử dụng trong nhiều trường phổ 
thông của Việt Nam, thay thế các phần mềm thương mại như Geometry Cabri, 
Geometer's Skethpad. Hơn nữa, nó dễ dàng được sử dụng cho các ứng dụng web 
(như các GeoGebra Applets) mà không cần quan tâm đến vấn đề bản quyền. 
Một giao diện điển hình của Geogebra 
Mặc dù thoạt nhìn, đây có vẻ là một ứng dụng phức tạp nhưng lợi thế của nó so 
với các ứng dụng tương tự khác đó là: cung cấp nhiều đối tượng được liên kết chặt 
chẽ. Mục đích của việc thiết kế ra GeoGebra đó là hỗ trợ kết nối hình học, đại số và 
các yếu tố toán học khác theo một cách tương tác và chặt chẽ hơn. 
Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các điểm, vectơ, đường 
thẳng, hình tam giác, hình nón, vv. Bên cạnh đó, GeoGebra còn cho phép người dùng 
trực tiếp nhập và thao tác các phương trình toán học và tọa độ. 
Với tất cả những đặc điểm trên, GeoGebra hiện đang là một trong những phần 
mềm toán học được yêu thích nhất trên thế giới và đã nhận được nhiều giải thưởng 
quý giá. Nó đã mang lại những cải tiến và tiến bộ vượt bậc trong quá trình giảng dạy 
và học tập của học viên trên toàn thế giới. 
8 
Ưu điểm nổi bật của GeoGebra 
- Phần mềm toán học này hoàn toàn miễn phí và hỗ trợ hiệu quả công việc học 
tập, giảng dạy và đánh giá. 
- Giao diện dễ dàng sử dụng và khả năng tương tác đầy đủ với nhiều tính năng 
mạnh mẽ. 
- Có sẵn ở nhiều ngôn ngữ, bao gồm cả: tiếng Việt 
- Cung cấp một cách thú vị để xem và trải nghiệm các môn toán cũng như khoa 
học. 
- Thích ứng tốt với bất kỳ chương trình học hoặc dự án nào. 
- Được sử dụng bởi hàng triệu người trên khắp thế giới. 
Nhược điểm của GeoGebra 
- Một nhược điểm duy nhất của GeoGebra: hơi phức tạp cho người mới bắt đầu. 
3.1.5. Nội dung và tiến trình thực hiện chuyên đề 
a. N i dung của chu ên đề 
Thiết kế công cụ dạy học cho các chương sau: 
Giải tích 12 cơ bản: 
Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 
Chương III: Nguyên hàm- tích phân. 
Hình học 12 cơ bản: 
Chương I: Khối đa diện. 
Chương II: Mặt tròn xoay. 
b. iến t ình thực hi n 
Thiết kế công cụ trình chiếu các hình ảnh chuyển động có liên quan đến nội dung 
giảng dạy trong các chương đã nêu trên. 
Thực hiện theo khung kế hoạch phân phối chương trình của Tổ chuyên môn đã đề 
ra từ đầu năm học. 
c. Thời gian thực hi n 
9 
Thời gian thực hiện sáng kiến: năm học 2018 -2019 trên lớp 12C2 trường THPT 
Võ Thành Trinh. 
d. Bi n pháp tổ chức 
Đặt vấn đề ở mỗi bài giảng về sự hình thành những hình ảnh có thể xuất hiện 
trong từng bài học cụ thể. 
Khảo sát sự hình thành ý tưởng về những hình ảnh mà học sinh phải học trong 
từng bài, từng chương. 
Thực nghiệm, cho học sinh quan sát hình ảnh “hình học động” bằng phần mềm 
geogebra tạo ra hứng thú học tập và chính xác hoá ý tưởng hình ảnh trong suy nghĩ 
của các em. Cụ thể: 
Hỗ trợ dạy học định lý toán học 
Quy trình dạy học định lý toán học với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra 
gồm các bước như sau: 
Tiếp cận định lý: Trước hết, giáo viên gợi động cơ, sự tò mò, động viên và thu 
hút học sinh. Thiết lập mục đích dạy học, gợi lại kiến thức cũ liên quan đến nội dung 
dạy học. Tiếp theo, giáo viên đưa ra các ví dụ ở dạng động, trực quan và yêu cầu học 
sinh quan sát các ví dụ và thực hiện các hoạt động sau: 
 + Quan sát, đo đạc, thử nghiệm trên các ví dụ hoặc phản ví dụ. 
 + Phân tích, so sánh, phân loại, tìm tòi, tìm kiếm và đưa ra các dự đoán về hướng 
giải quyết bài toán. 
 Phát hi n a định lý, tạo đ ng cơ chứng minh: Nếu học sinh sử dụng phần 
mềm để tạo ra đối tượng và sau đó cho đối tượng thay đổi mà vẫn giữ nguyên các giả 
thiết ban đầu thì có thể sẽ phát hiện được những bất biến chứa ẩn trong đối tượng 
trên cơ sở quan sát trực quan. Đây chính là quá trình học sinh thể hiện năng lực quan 
sát để tìm và dự đoán. Mặt khác, học sinh có thể sử dụng các công cụ của phần mềm 
GeoGebra để kiểm tra ngay dự đoán đó. Đây chính là quá trình trợ giúp học sinh phát 
hiện ra định lý. Việc phát hiện ra định lý có thể hoặc học sinh tự mình khám phá và 
phát hiện ra định lý hoặc học sinh phát hiện ra định lý thông qua một số bước kiểm 
nghiệm theo sự định hướng của giáo viên. 
10 
 Thể chế hóa: Giáo viên cho biết điều vừa phát hiện là một định lý cần học. 
Yêu cầu học sinh phát biểu định lý. Giáo viên sử dụng phần mềm hỗ trợ học sinh 
tìm cách chứng minh. Mặc dù phần mềm không có các chức năng để chứng minh tính 
đúng đắn của một mệnh đề toán học, nhưng trong quá trình chứng minh định lý có thể 
sử dụng phần mềm trong một số công đoạn. 
 Nhận dạng và thể hi n định lý: Trong dạy học định lý, hoạt động “nhận dạng” 
và “thể hiện” có vai trò đặc biệt quan trọng, chức năng của phần mềm GeoGebra hỗ 
trợ học sinh phân tích một tình huống nào đó cho khớp với định lý nào đó không hoặc 
tạo ra những tình huống phù hợp với một định lý cho trước. 
 Củng cố và vận dụng định lý: Giáo viên đưa ra các bài tập củng cố và vận 
dụng định lý. 
Hỗ trợ dạy học giải bài tập toán học 
Khai thác phần mềm GeoGebra hỗ trợ dạy học trong giải bài tập được tiến 
hành theo các bước sau: 
- Bước 1. Tìm hiểu bài toán: Sử dụng phần mềm GeoGebra vẽ hình để tìm hiểu bài 
toán, xác định các yếu tố ban đầu. 
- Bước 2. Xây dựng chương trình giải bài toán: Cho thay đổi hình vẽ để quan sát các 
yếu tố cần tìm hiểu để từ đó phát hiện ra những vị trí đặc biệt, những mối quan hệ, 
tính chất bất biến của các đối tượng trong bài toán. 
- Bước 3. Thực hiện chương trình giải bài toán: Trong quá trình thực hiện lời giải, 
phần mềm có thể giúp kiểm tra các giả thuyết, trả lời các câu hỏi phục vụ cho quá 
trình lập luận và viết lời giải của bài toán. 
- Bước 4. Kiểm tra lời giải của bài toán: Sau khi giải xong, chúng ta sử dụng các chức 
năng của các phần mềm để minh họa, kiểm tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải 
toán và cho thay đổi các yếu tố đầu bài của bài toán để nghiên cứu mở rộng bài toán. 
3.2. Nội dung chuyên đề 
Giải tích 12: Chương I. Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Đúc kết kinh nghiệm qua các năm giảng dạy, trong chương này người dạy và 
người học gặp rất nhiều khó khăn trong việc tương tác với nhau qua các bài toán về sự 
11 
tương giao giữa các đồ thị, giữa đường thẳng và đường cong hoặc giữa các đồ thị của 
các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Nó hạn chế rất nhiều về mặt kỹ thuật vẽ hình 
và thời lượng giảng dạy. Để giải quyết những khó khăn đó, chúng tôi tiến hành thực 
hiện ý tưởng giảng dạy như sau: 
Trước hết, giáo viên cần hướng dẫn chi tiết cách vẽ các loại đồ thị theo 
phương pháp tự luận trước đây, sau khi học sinh đã nắm vững các ý tưởng và thực 
hành vẽ được các loại đồ thị cơ bản, giáo viên mới đưa vào giảng dạy sự tương giao 
đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra nhằm tiết kiệm thời lượng và tạo hứng thú 
học tập giải toán nhanh chóng cho học sinh. Các dạng toán thường gặp về sự tương 
giao nhất thiết phải có hình ảnh minh hoạ trực quan để học sinh thấy và tư duy hình 
ảnh chính xác. 
Bài toán 1: Sự tương giao giữa hàm số bậc ba  3 2y ax bx cx d C    và 
một đường thẳng  y mx n d .  
Để minh hoạ rõ nét mối quan hệ giữa hai đồ thị hàm số và biện luận số nghiệm 
của phương trình 
3 2ax bx cx d mx n     , ta lần lượt thao tác trên công cụ 
Geogebra đã được thiết kế sẵn như sau: 
Hộp nhập dữ liệu 
cho hàm số 
Hộp nhập dữ liệu 
cho hàm số 
Thanh trượt 
12 
Lần lượt nhập các hệ số a,b,c,d của hàm số   3 2f x ax bx cx d    và hộp 
nhập dữ liệu ta được đồ thị hàm số  f x nhanh chóng và trực quan. 
Đối với đường thẳng y mx n  ta cũng nhập các hệ số m,n tương ứng, trên 
màn hình sẽ nhanh chóng hiển thị đồ thị của hai hàm số và thể hiện rõ ràng số giao 
điểm của hai đường. Ngoài ra ta có thể thay đổi các hệ số m,n, p,q tương ứng trên 
hộp nhập dữ liệu để tạo ra đường thẳng  g x hoặc một hàm số khác hay một đường 
thẳng song song với trục Ox . 
Công cụ đắc lực chính là thanh trượt, nếu hàm số  g x có chứa tham số giáo 
viên có thể điểu chỉnh thanh trượt để cho đồ thị hàm số  g x di chuyển để hiển thị số 
giao điểm nếu có của hai đường tuỳ vào từng giá trị của tham số đã có trong hàm số 
 g x . 
Với công cụ này, giáo viên có thể minh hoạ nhanh chóng cho ý tưởng về đồ thị 
và sự tương giao giữa chúng. 
Bài toán 2: Sự tương giao giữa hàm số bậc bốn (trùng phương) 
 4 2y ax bx c C   và một đường thẳng  y mx n d . 
Lần lượt nhập các hệ số a,b,c của hàm số   4 2f x ax bx c   và hộp nhập 
dữ liệu ta được đồ thị hàm số  f x . 
Đối với đường thẳng y mx n  ta cũng nhập các hệ số m,n tương ứng, trên 
màn hình sẽ nhanh chóng hiển thị đồ thị của hai hàm số và thể hiện rõ ràng số giao 
điểm của hai đường. 
Nếu hàm số  g x có chứa tham số giáo viên có thể điểu chỉnh thanh trượt để 
cho đồ thị hàm số  g x di chuyển để hiển thị số giao điểm nếu có của hai đường tuỳ 
vào từng giá trị của tham số đã có trong hàm số  g x . Hoặc giáo viên có thể nhấp 
chuột phải vào thanh trượt và chọn lệnh “hiệu ứng trên” để cho đường thẳng  g x tự 
chuyển động lên xuống và chỉ cần quan sát xem số giao điểm mà không cần trực tiếp 
di chuyển thanh trượt. 
13 
Bài toán 3. Sự tương giao của hàm nhất biến    0
ax b
f x ad bc
cx d

  

 và 
đường thẳng  g x mx n.  
Tương tự như hai bài toán trên, ta thao tác tương tự cho hàm nhất biến 
   0
ax b
f x ad bc
cx d

  

, đối với hàm này có xuất hiện thêm hai đối tượng mới là 
hai đường tiệm cận, tuy nhiên, ta chỉ cần nhập các hệ số tương ứng a,b,c,d đồ thị sẽ 
tự động hiển thị hai đường tiệm cận, các thao tác còn lại hoàn toàn tương tự như hai 
bài toán trên. 
Công cụ này hỗ trợ rất hiệu quả và tiết kiệm thời gian đối với việc vẽ đồ thị của 
các hàm nhất biến hoặc các hàm nhất biến chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Hộp nhập dữ 
liệu cho hàm số 
Hộp nhập dữ 
liệu cho hàm 
số 
Thanh trượt 
Hộp ẩn hiện 
Hộp ẩn hiện 
14 
Bài toán 4. Sự tương giao của hàm số   3 2f x ax bx cx d    và đường 
thẳng  g x mx n.  
Với nhu cầu học tập hiện nay, khối lượng bài tập là rất nhiều, vì vậy việc minh 
hoạ cho học sinh thấy được đồ thị của các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối là một 
điều mà chúng tôi luôn băn khoăn, vì trong thời lượng 45 phút thì thời gian vẽ hình sẽ 
chiếm đáng kể, vì vậy với công cụ dưới đây, giáo viên chỉ cần nhập dữ liệu vào là 
trên màn ảnh sẽ nhanh chóng hiển thị đồ thị tương ứng, thể hiện rõ ràng sự tương giao 
nếu có giữa đồ thị các hàm số, tiết kiệm rất nhiều về thời gian và làm cho việc tương 
tác của giáo viên và học sinh đạt hiệu quả cao. 
Giáo viên có thể cho hiển thị theo như trình tự giải một bài toán đồ thị thông 
thường, trước tiên là vẽ đồ thị hàm số   3 2f x ax bx cx d    nhấp vào hộp ẩn 
hiện hàm số  h x để hiển thị đồ thị hàm số ban đầu là  f x , từ đồ thị  f x suy ra 
đồ thị hàm số  f x nhấp vào hộp ẩn hiện hàm số  f x để cho hiển thị đồ thị hàm 
 f x ,giáo viên có thể cho ẩn hoặc hiển thị đồ thị hàm số  f x tuỳ theo tình hình 
cụ thể, cuối cùng là hoàn chỉnh bài toán với một hình vẽ cuối cùng trên màn ảnh. 
Hộp nhập dữ 
liệu cho hàm số 
Hộp nhập dữ 
liệu cho hàm 
số 
Thanh trượt 
15 
Nếu cần minh hoạ sự tương giao của đồ thị hàm số  f x với một đường 
thẳng  g x n (n là hằng số) song song với trục Ox giáo viên chỉ cần điều chỉnh 
thanh trượt thì học sinh sẽ thấy được số giao điểm ứng với những giá trị của tham số 
n. Hoặc có thể cho thanh trượt tự di chuyển lên xuống để ta quan sát số giao điểm của 
đồ thị hai hàm số và biện luận theo tham số n về số giao điểm đó của hai đồ thị. 
Bài toán 5. Sự tương giao của hàm số  
3 2
f x a x b x c x d    và đường 
thẳng  g x mx n.  
Trước tiên vẽ đồ thị hàm số   3 2f x ax bx cx d    ta nhập vào các hệ số 
a,b,c,d trên hộp nhập dữ liệu và nhấp vào hộp ẩn hiện để hiển thị đồ thị  h x , lúc 
này chưa cho hiển thị đồ thị hàm số  f x . Trên màn hình chỉ hiển thị đồ thị hàm số 
 f x . 
Từ đồ thị hàm số  f x suy ra đồ thị hàm số  f x , nhấp vào hộp ẩn hàm số 
 h x và hiển thị đồ thị hàm số  f x ta được đồ thị hoàn chỉnh của hàm số  f x . 
Hộp nhập dữ 
liệu cho hàm số 
Hộp nhập dữ 
liệu cho hàm số 
Thanh trượt 
16 
Nếu cần minh hoạ sự tương giao của đồ thị hàm số  f x với một đường 
thẳng  g x n (n là hằng số) song song với trục Ox giáo viên chỉ cần điều chỉnh 
thanh trượt thì học sinh sẽ thấy được số giao điểm ứng với những giá trị của tham số 
n. 
Bài toán 6. Sự tương giao của đồ thị hàm số    0
ax b
f x ad bc
cx d

  

với đường thẳng  g x mx n.  
Việc vẽ đồ thị hàm số nhất biến  
ax b
f x
cx d



 mất khá nhiều thời gian, bên 
cạnh đó đồ thị này xuất hiện thêm hai đối tượng nữa là hai đường tiệm cận, nên việc 
suy từ đồ thị hàm số  f x sang hàm số  f x mất khá nhiều thời gian. Vì vậy, công 
cụ dưới đây sẽ giúp chúng ta vẽ hình và suy đồ thị một cách nhanh chóng và tiết kiệm 
thời gian để có thể giải quyết một khối lượng bài tập nhiều hơn,đồng thời học sinh 
thấy được những hình ảnh trực quan sinh động sẽ làm cho các em hứng khởi hơn 
trong việc giải toán. 
Thao tác tương tự như những công cụ trên, ta nhập vào hộp nhập dữ liệu các hệ 
số tương ứng a,b,c,d trên màn hình sẽ tự động hiển thị các đường tiệm cận và hình 
Hộp nhập dữ liệu 
cho hàm số 
Hộp nhập dữ liệu 
cho hàm số Hộp ẩn hiện 
Hộp ẩn hiện 
17 
dáng đồ thị tương ứng, tiếp đó là điều khiển thanh trượt để quan sát và biện luận số 
giao điểm giữa đồ thị và đường thẳng theo tham số đã cho trong bài toán, ngoài ra ta 
có thể thay đổi các hệ số để có những bài toán mới cho học sinh quan sát và khắc sâu 
kiến thức hơn. 
Bài toán 7. Sự tương giao của đồ thị hàm số    0
a x b
f x ad bc
c x d

  

với đường thẳng  g x mx n.  
Hộp nhập dữ liệu 
cho hàm số 
Hộp nhập dữ liệu 
cho hàm số 
Hộp ẩn hiện Hộp ẩn hiện 
Thanh trượt 
Hộp nhập dữ liệu 
cho hàm số 
Hộp nhập dữ liệu 
cho hàm số 
Hộp ẩn hiện 
Hộp ẩn hiện 
Thanh trượt 
18 
Hình học 12 cơ bản: Chương I. Khối đa diện 
Bài toán 8. Minh hoạ cho khối chóp và phân chia khối chóp 
Di chuyển thanh trượt để cắt và phân chia khối chóp 
Bài toán 9. Minh hoạ cho khối lăng trụ và phân chia khối lăng trụ 
Di chuyển thanh trượt để tạo và phân chia khối lăng trụ, có thể di chuyển thêm 
điểm J để tách rời khối lăng trụ thành hai khối chóp riêng biệt. 
19 
Hình học 12 cơ bản: Chương II. Khối nón, khối trụ, khối cầu 
Bài toán 10. Minh hoạ sự tạo thành mặt tròn xoay. 
Nhấp chuột phải vào điểm C và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm C di chuyển để 
quan sát sự tạo thành mặt tròn xoay. 
20 
Bài toán 11. Minh hoạ sự tạo thành mặt nón tròn xoay 
Nhấp chuột phải vào điểm C và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm C di chuyển để 
quan sát sự tạo thành mặt nón tròn xoay. 
21 
Bài toán 12. Minh hoạ sự tạo thành mặt trụ tròn xoay 
Nhấp chuột phải vào điểm D và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm D di chuyển để 
quan sát sự tạo thành mặt trụ tròn xoay. 
Bài toán 13. Sự tạo thành mặt cầu 
Nhấp chuột phải vào điểm C và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm C di chuyển để 
quan sát sự tạo thành mặt cầu. 
22 
GIẢI TÍCH 12: Chương III. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
Trong chương này, học sinh phải làm quen với những bài toán liên quan đến 
hình học không gian và sự tạo thành các khối tròn xoay có hình dạng phức tạp. Vấn đề 
là làm thế nào để minh hoạ trực quan nhất sự tạo thành của các khối tròn xoay đó. 
Công cụ dưới đây sẽ hỗ trợ rất hiệu quả cho phần này. 
Chúng tôi thiết kế sẵn mô hình gồm hệ trục Oxyz và chỉ cần nhập vào hộp 
nhập dữ liệu hàm số có một đồ thị là đường cong quay quanh trục Ox , sau đó điều 
khiển thanh trượt là ta sẽ có một mặt tròn xoay trực quan sinh động. 
Trường hợp 1. Sự tạo thành vật thể tròn xoay 
Người sử dụng có thể thay đổi hàm số và kích thước độ dài đường cong tuỳ ý, 
chỉ cần nhấp thay đổi giá trị cận trên và giá trị cận dưới ta sẽ có một đường cong theo 
ý muốn, tiếp theo chỉ cần nhấp phải vào thanh trượt và chọn “hiệu ứng trên” ta sẽ thấy 
đường cong di chuyển quay quanh trục Ox để tạo ra mặt tròn xoay vô cùng đẹp mắt. 
Trường hợp 2: Sự tạo thành khối nón tròn xoay 
Nhấp vào hộp nhập dữ liệu thay đổi hàm số y sin x thành hàm số y a ( a 
là hằng số), nhập giới hạn cận trên và cận dưới, sau đó cho di chuyển thanh trượt ta 
được khối nón cần minh hoạ cho phần bài giảng về khối nón. 
23 
Trường hợp 3. Sự tạo thành khối trụ tròn xoay 
Mở file lên và chỉ cần di chuyển thanh trượt ta quan sát được sự tạo thành khối 
trụ tròn xoay 
Trường hợp 4. Sự tạo thành khối cầu 
Giáo viên mở file phần mềm Geogebra và chỉ cần di chuyển thanh trượt sẽ 
quan sát được sự tạo th