Sáng kiến kinh nghiệm Số nguyên tố và các dạng toán liên quan

 không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p .
3. Cách nhận biết một số nguyên tố:
a) Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn.
- Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố.
- Nếu chia cho đến lúc số thương nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số dư thì số đó là số nguyên tố.
b) Một số có 2 ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố.
4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
* Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
- Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó.
- Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố.
5. Số các ước số và tổng các ước số của một số:
6. Số nguyên tố cùng nhau: 
* Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.
	Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1.
	Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1.
	Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1.
 Số nguyên tố được được nghiên cứu từ nhiều thế kỉ trước công nguyên nhưng cho đến nay nhiều bài tóan về số nguyên tố vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn!
7/ Sàng Ơ- RA- TÔ – XTEN ( Euratosthène)
 Làm thế nào để tìm được tất cả các số nguyên tố trong một giới hạn nào đó, chẳng hạn từ 1 đến 100?
 	Ta làm như sau: Trước hết xóa đi số 1.
 	Giữ lại số 2 và xóa đi tất cả bội của 2 mà lớn hơn 2.
 	Giữ lại số 3 và xóa đi tất cả bội của 3 mà lớn hơn 3.
 	Giữ lại số 5 (số 4 đã bị xóa) và xóa đi tất cả bội của 5 mà lớn hơn 5.
 	Giữ lại số 7 (số 6 đã bị xóa) và xóa đi tất cả bội của 7 mà lớn hơn 7.
 	Các số 8; 9; 10 đã bị xóa . Không cần xóa tiếp các bội của các số lớn hơn 10 cũng kết luận được rằng không còn hợp số nào nữa.
 	Thật vậy, giả sử n là một hợp số chia hết cho một số a lớn hơn 10 thì do n 10 nên n phải chia hết cho một số b nhỏ hơn 10, do đó n đã bị xóa.
 	Nhà tóan học cổ Hi Lạp Ơ- ra- tô- xten.( Thế kỉ III trước Công nguyên) là người đầu tiên đưa ra cách làm này. Ông viết các số trên giấy cỏ sậy căng trên một cái khung rồi dùi thủng các hợp số được một vật tương tự như các sàng: các hợp số được sàng qua, các số nguyên tố được giữ lại. Bảng số nguyên tố này được gọi là sàng Ơ- ra- tô- xten.
 Bài tập 1:
 Dùng bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 100 hãy nêu cách kiểm tra một số nhỏ hơn 10000 có là số nguyên tố hay không? Xét bài tóan trên đối với các số 259; 353l.
 Giải: Cho số n 1) . Nếu n chia hết cho một số k nào đó (1< k< n) thì n là hợp số. Nếu n không chia hết cho số nguyên tố p(p2 < n ) thì n là số nguyên tố.
 Số 259 chia hết cho 7 nên là hợp số.
 Số 353 không chia hết cho tất cả các số nguyên tố
8/ Sự phân bố số nguyên tố:
 Từ 1 đến 100 có 25 số nguyên tố, trong trăm thứ hai có 21 nguyên tố , trong trăm thứ ba có 16 số nguyên tố , ... . Trong nghìn đầu tiên có 168 số nguyên tố , trong nghìn thứ hai có 145 số nguyên tố, trong nghìn thứ bacó 127 số nguyên tố ,... .Như vậy càng đi xa theo dãy số tự nhiên, các số nguyên tố càng thưa dần .
Bài tập 2:
 Có tồn tại 1000 sồ tự nhiên liên tiếp đều là hợp số hay không?
 Giải : Có .Gọi a = 2.3.4... . 1001 .Các số A+2, A+3,... ,A+1001 là 1000 số tự nhiên liên tiếp và rõ ràng đều là hợp số (đpcm) .
 Một vấn đề được đặt ra : Có nhưng khoản rất lớn các số tự nhiên liên tiềp đều là hợp số . Vậy có thể đến một lúc nào đó không còn số nguyên tố nữa không ? Có số nguyên tố cuối cùng không ? Từ thế kỉ III trước Công nguyên, nhà toán học cổ HiLạp Ơ – clit (Euclide) đã chứng minh rằng : Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn .
Bài tập 3: 
 Chứng minh rằng không thể có hữu hạn số nguyên tố
 Giải: Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p1, p2, ..., pn trong đó pn là số lớn nhất trong các số nguyên tố .
 Xét số A = p1p2 ... pn + 1 thì A chia cho mỗi sồ nguyên tố pi (1 < i <n) đều dư 1 (1).
 Mặt khác A là hợp số ( vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là pn ) do đó A phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, tức là A chia hết cho một trong các số pi (1 < i <n) (2), mâu thuẫn với (1).
 Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố (đpcm).
 Qua sự phân bố các số nguyên tố, nhà tóan học Pháp Bec – tơ – răng đưa ra dự đóan: Nếu n > 1 thì giữa n và 2n có ít nhất một số nguyên tố. Năm 1852, nhà toán học Nga Trê – bư – sép đã chứng minh được mệnh đề này. Ông còn chứng minh được:
 Nếu n > 3 thì giữa n và 2n – 2 có ít nhất một số nguyên tố. Ta cũng có mệnh đề sau: Nếu n > 5 thì giữa n và 2n có ít nhất hai số nguyên tố.
Bài tập 4:
 Cho số tự nhiên n > 2. Chứng minh rằng các số n! – 1 có ít nhất một ước nguyên tố lớn hơn n.
 Giải : Gọi a = n! – 1 . Do n > 2 nêm a>1.Mội số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước nguyên tố .Gọi p là ước nguyên tố của a.Tia sẽ chứng minh rằng p >n.
Thật vậy giả sử p < n thì tích 1.2.3...n chia hết cho p, ta có n ! chia hết cho p , mà a chia hết cho p nên 1 chia hết chi p, vô lí .
B/ Các dạng bài tập về số nguyên tố:
1/ Chứng minh một biểu thức luôn là số nguyên tố:
Bài tập 5:
 Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho n2= x2+p trong đó p là số nguyên tố và x là số tự nhiên.
	Giải: Lấy n=3k+2 (k tự nhiên). Từ dẳng thức n2 =x2+p 
 suy ra p =n2 –x2 =(n-x)(n+x)
 Vì p nguyên tố và n>x nên n-x=1 và n+x=p .
 Từ đó p=2n-1 =3(2k+1), điều không thể xảy ra.
 Vậy số có dạng 3k+2 (có vô số như thế ) không thể biểu diễn dưới dạng x2 +p
Bài tập 6:
 Tìm tất cả số nguyên tố có dạng -1
 Giải: Với n>4 từ đẳng thức -1=ta thấy rằng số -1 là hợp số.Thật thế,với n=2k ta có -1=(2k-1)(k+1) và với n=2k+1 ta có -1=k(2k+3)
 Nếu n=2 ta có số nguyên tố đầu tiên là 2,nếu n=3 thi ta có số nguyên tố 5
Bài tập 7:
 Chứng minh rằng nếu số 2n+1 là số nguyên tố thì n=2m.
 Giải: Giả sử n¹2m.thế thì nó có thể viết dưới dạng n=tk,trong đó k là số lẻ nào đó>1.suy ra:
2n+1=2tk+1=(2t+1)(2t(k-1)- 2t(k-2)+-2t+1)là hợp số.vậy đều giả sử là sai vì 2n+1 theo đề bài là số nguyên tố.
Bài tập 8:
 Chứng minh rằng khi chia một số nguyên tố cho 30 thi số dư cũng là số nguyên tố.
Chỉ dẫn :- Chứng minh rằng số dư này không chia hết cho 2, 3, 5 .
Bài tập 9:
 Chứng minh rằng số nhỏ nhất N nguyên tố cùng nhau với một trong các số 1,2,,n là số nguyên tố.
Chỉ dẫn :- Aùp dụng tính chất sau: mọi ước của số đang xét lớn hơn n và nguyên tố cùng nhau với các số 1, 2, 3,.,n.
Bài tập 10:
 Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng pP+1(p tự nhiên) chứa không quá 19 chữ số.
Đáp án: Rõ ràng p<19. Ngoài ra nếu p lẻ
2/ Với một số nguyên tố, chứng minh đẳng thức, biểu thức thỏa mãn điều kiện nào đó: 
Bài tập 11:
 Cho a, b, p là 3 số tự nhiên bất ky øchứng minh rằng ta tìm được hai số k, l nguyên tố cùng nhau sau cho ak+pl chia hết cho p.
 Giải: UCLN của các số b và p-a là d . Suy ra b=kd va p-a =ld, trong đó k và l nguyên tố cùng nhau.
Nhưng thế thì ak +bl =a.+b.=.p=kp
Bài tập 12:
 Cho ba số tự nhiên a, b, c sau cho các số q= bC +a, q = ab +c, r = ca+b đều là số nguyên tố.Chứng minh rằng hai trong ba số p,q,r dều bằng nhau.
Giải: Hai trong ba số a, b, c, có cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là hai số a và b. Vì bc cùng tính chẵn lẽ như b nên p= bc +a là chẵn. Nhưng p là số nguyên tố nên p= 2 , suy ra a=b=1. Khi đó q=1b +c =cn +1=r
Bài tập 13:
 Giả sử p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tổng 2p+3p khôngthể biểu thị dưới dạng xm( x và m là hai số tự nhiên và m>1)
	Giải: Nếu p=2 thì 22+32=13¹xm,trong đó x và m là số tự nhiên,m>1.
 Giả sử bây giờ p là số nguyên tố nào đó.Thế thì:
 2p+3p=(2+3)(2p-1-2p-2.3+2p-3.32-+3p-1)=5a
 trong đó a=2p-1-2p-2.3++3p-1
 Lưu ý rằng 3k=(5-2)k=5Bk+(-2)k,trong đó Bk là số nguyên(suy ra từ công thức niutơn chẳng hạn).Vậy:
 A=2p-1-2p-2(5B1-2)+2p-3(5B2+22)--(5Bp-1+2p-1)=5B+p.2p-1,trong đó
 B=-2o-2B1+2p-3B2-+Bp-1
 Suy ra: 2p+3p=5(5B+p.2p-1)=25.B+5p.2p-1
 Đặt 2p+3p=xm,trong đó x và m là số tự nhiên,m>1.
 Ta có:
 25B +5p.2p-1=x,do đó x chia hết cho 5
 Nhưng m>1 nên xm chia hết cho 25.Lai do p¹5 nên 5p.2p-1 không chia hết cho 25.
 Nếu p=5 thì 25+35=32+243=275¹xm với m>1
Bài tập 14:
 Chứng minh rằng nếu số 2n+1 là số nguyên tố thì n=2m.
	Giải: Giảsử n¹2m.thế thì nó có thể viết dưới dạng n=tk,trong đó k là số lẻ nào đó>1.suy ra:
 2n+1=2tk+1=(2t+1)(2t(k-1)- 2t(k-2)+-2t+1)là hợp số.vậy đều giả sử là sai vì 2n+1 theo đề bài là số nguyên tố.
Bài tập 15:
 Chứng minh rằng với số nguyên tố p>5 không tồn tại đẳng thức (p -1)!+1=pm với mọi m tự nhiên.
 Giải: Vì p>5 nên.2.do đó(p-1)2=2. (p-1) chia hết cho (p-1)!
Giả sử với m tự nhiên nào đo ùta có đẳng thức (p-1)!+1=pm,thế thì (p-1)2 chia hết cho pm-1,suy ra p-1 chia hết pm-1+pm-2++p+1=(pm-1-1)+ (pm-1-2)++
(p-1)+m
Vì p-1 chia hết pt-1 với mọi t=1,2,,m-1 nên suy ra p-1 chia hết m.Vì thế m>p-1 vaø pm >pp-1>(p-1)p-1+1> (p-1)!+1,điều này trái với giả thiết
Bài tập 16:
 Giả sử p>2 làsố nguyên tố . Chứng minh 2/p chỉ có thể biểu diễn bằng một cách dưới dang = + với x, y là hai số nguyên dương khác nhau.
 Giải: Nhân cả hai vế của phương trình = + với2xyp rồi chuyển 2xp và 2yp từ vế phải sang vế trái,sau đó cộng thêm p2 vào 2 vế ta biến đổi phương trình thành dạng:(2x-p)(2y-p)=p2
 Do x và y là 2 số phân biệt nên 2 thừa số ở vế trái của phương trình cũng phân biệt.Vậy tích của chúng có thể bằng p2 chỉ trong trường hợp một trong hai thừa số bằng 1,còn thừa số kia bằng p2
 Giả sử 2x-p=1,2y-1= p2 thì x=,y=p.
Trường hợp thứ hai chỉ khác do x và y đổi chỗ cho nhau.
3/ Tìm giá trị tham số để biểu thức là số nguyên tố:
Bài tập 17:
Tìm tất cả các số tự nhiên N(theo hệ thập phân)thỏa mãn các điêu khiện sau:
 N= aabb, trong đó aab và abb là số nguyên tố
 Giải: Do aab là số nguyên tố , tức là110a +b là số nguyên tố ta có b=1,3,7 hoặc 9.Từ điều kiện thứ nhất ta có :N=11(100a +b).
theo bảng số nguyên tố ta tím được các cặp số nguyên tố
aab và abb thỏa mãn điều kiện thứ nhất sau đây:
(223,233),(227,277),(331,311),(443,433),(449,499),(557,577),(773,733),(881,811),(887,877),(991,911),(997,977).
Tương ứng với 100a+b là các số sau
203=7.29,207=9.23,301=7.43,403=13.31,409= số nguyên tố ,507=3.132,703=19.37,801=32.89,807=2.269;901=17.53;907=số nguyên tố
Vậy N=8877=3.11.269
Bài tập 18:
Tìm số tự nhiên p sao cho p và p+3 đều là số nguyên tố.
 	Giải: Một số tự nhiên bấy kì có 1 trong hai dạng:
 2n; 2n+1 nÎN
 Nếu p= 2n+1 thì p+3 =2n + 4 :2
 Ta có p+3 >3 và p+3 :2
 Nên p+3 là hợp số trái đề bài.
 Do đó p=2n
 Nhưng p nguyên tố nên p= 2
 P+3 =5 nguyên tố.
 Vậy:p=2
Bài tập 19:
 Tìm số nguyên tố p sao cho p+4 va p+8 đều là số nguyên tố
 Giải: Bất kì số tự nhiên nao cũng có một trong ba dạng:
 3n; 3n +1;3n+2 ;nÎN
 Nếu p=3n thì p+8 =3n+9 :3 , vô lí.
 Nếu p=3n+2 thì p+4= 3n +6, vô lí.
 Do đó p=3n
 Nhưng p nguyên tố nên p = 3
 P+4=7;p+8=11, nguyên tố
 Vậy p=3
Bài tập 20:
 Chứng tỏ rằng nếu p=a+ b
 là một số nguyên tố thì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
 Giải: Giả sử a và b là hai số không nguyên tố cùng nhau.
 Ta suy ra a và b phải có ít nhất một USC d >1.
 a:d ; b:d
 Do đó : a+b :d
 Suy ra p:d
 Số tự nhiên p, ngoài 1và p còn có một ƯSC d >1 nên p là một hợp số, trái với dề bài đã cho.
 Vậy a và b là nguyên tố cùng nhau nếu p = a + b là một số nguyên tố.
Bài tập 21:
 Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng ab và a+b nguyên tố cùng nhau.
 Giải: Giả sử ab và a+b không nguyên tố cùng nhau.
 Ta suy ra ab và a+b có một ƯSC nguyên tố d
 ab:d ; a+b:d
 Vì ab:d, d nguyên tố nên hoặc a :d hoặc b: d
 Nếu a:d
 Mà a+b :d nên ra b:d
 Suy ra a và b có một USC nguyên tố d, vô lí vì(a,b )=1
 Tương tự b:d
 Vậy ab và a+b nguyên tố cùng nhau nếu a và b nguyên tố cùng nhau.
4/ Cách xác định số lượng ước của một số: 
 1- Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được m=ax.bycz thì số lượng các ước của M là: (x+1)(y+1)(z+1).
 2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố,số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.Từ đó suy ra:
Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 22
Số chính phương chia hết cho 23 thì chia hết cho 24
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 32
Số chính phương chia hết cho 33 thì chia hết cho 34
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 52
 3-Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:
 Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a:p hoăc b:p
Bài tập 22:
 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng là 601
 Giải: Tổng của hai số nguyên tố là 601,là một số lẻ nên một trong hai sốphải là số nguyên tố chẵn,đó là số 2.Số thứ 2 là:601-2=599(tra bảng thấy 599 là số nguyên tố)
Bài tập 23:
Cho A=5+52+53++5100
a/SốA là số nguyên tố hay hợp số?
b/Số A có phải là số chính phương không?
 Giải
a/A>5;A:5(vì mỗi hạng tử đều chia hết cho 5) nên A là hợp số.
b/52:25 nên53:25,,5100:25
nhưng 5/25 nên A/25
Số A:5 nhưngA/25 nên A không phải là số chính phương
Bài tập 24:
Số 54 có bao nhiêu ước?Viết tất cả các ước của nó
Giải: 54=2.33
Số ước của 54 là(1+1)(3+1)=8 ước
5/ Một số bài toán tổng hợp:
Bài tập 25:
 Gọi d(N) là số ươcù của N tìm tất cả số N sau cho N/d( N) =p với p là số nguyên tố(lưu ý: cá số 1 vàN được coi là ước của N).
 Giải: Giả sử q là ước của N. Hiển nhiên nếu q không chia hết cho p thì q thi 2 cũng là ước của d(N), trong trường hợp trái lại q/p là ước của d(N) . Suy ra d(N) <=2d(d(n)).
 Đặt d(N) =b. vì b không thể chia hết cho số c >b/2 (trừ c= b) nên từ bất đẳng thức d(b) >b/2 suy ra b chia hết cho tất cả các số nhỏ hơn b/2.
Suy ra b Î(12, 8 ,6, 4 ,3, 2,) và N=pb. Vậy chỉ còn chọn ra số có dang pb.
Bài tập 26:
 Chứng minh rằng phân số , n Î N là một phân số tối giản.
 Giải: Ta có thể viết:
 	2n+5= (n+2) +(n+3)
 	n2 +5n +6 = (n+2) +(n+3)
 (n+2) và (n+3) là hai số tự nhiên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau.
 Theo bài 55, ta suy ra tổng của chúng:
 2n+5= (n+2) +(n+3) và tích của chúng n2 +5n +6 = (n+2) +(n+3)
 là hai số nguyên tố cùng nhau.
 Do đó phân số tối giản.
Bài tập 27:
 Cho a=;n ÎN, n >3. Định m để a là một số nguyên tố.
 Giải: Ta có : 2n -5 và 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Suy ra: a Î NÛ2a ÎN
Ta có 2a===1+
Vì 2a là số tự nhiên nên ta có : 2n-5|21
=>2n -5 =1, 3, 7, 21
+Với 2n-5= 1, ta có :n=3 => a=11, nguyên tố
+Với 2n-5=3, ta có :n=4 => a=4, hợp số
+Với 2n-5= 7, ta có :n=6 => a=2, nguyên tố
+Với 2n-5= 21, ta có :n=13 => a=1, không nguyên tố
Vậy :Giá trị tự nhiên phải tìm để cho a là một số nguyên tố là:
n=3 hoặc n=6
Bài tập 28:
 Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên n để phân số sau tối giản: , n ÎN, n >3
 Giải: Để cho phân số tối giản thì (2n-5) và( n+8) phải nguyên tố cùng nhau.
Giả sử d là một ước số chung nguyên tố của 2n-5 và n+8 ø .
D|2n -5 (1)
D|2+8 (2)
Ta có
(2) =>d|2(n+8)=2n + 16 =(2n-5)+ 21 (3)
(1) và (3) => d|21
=>d=1; 3; 7; 21
D nguyên tố => d=3 hoặc d=7
Muốn phân số đã cho là phân số tối giản thì ( n+8) không được chia hết cho 3 và 7.
Do đó ta có : n ¹3k+1, n¹7m -1
với k,m là các số tự nhiên và k >1, m>1
vậy: các giá trị của n phải tìm là: n¹3k+1, n¹7m-1 với n Î N , n > 3
Bài tập 29:
 Cho phân số tối giản. Hỏi các phân số và có tối giản hay không
 Giải: Xem phân số 
Giả sử phân số không phải là phân số tối giản.Ta suy ra a và a+b là một ước chung nguyên tố d, a:d, a+b:d
Þb:d
Þa vàb có một ước chung nguyên tố d
Do đó phân số không tối giản
Điều này vô lí trái với giả thiết
Vậy:Nếu là phân số tối giản thì cũng là một phân số tối giản
*Xem phân số 
giả sử phân số khong phải là phân số tối giản
ta suy ra a và ab+b=(a+1)b co mot ước chung nguyên tố d
a:d	(1)
(a+1)b:d	(2)
Vì a và a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp nen nguyên tố cùng nhau
Ta có:a:dÞa+1/d
(2)Þb:d
Từ(1) và(3) suy ra phân số không phải là phân số tối giản,vô lí
Vậy:nếu tối giản thì tối giản
Bài 30: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn hay số lẻ.
HD:
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn.
Bài 31: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.
HD:
Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2.
Bài 32: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao?
HD:
Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố.
Bài 33: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
HD:
Giả sử p là số nguyên tố.
Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố.
Nếu p 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
+) Nếu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.
+) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó 
p + 2 là hợp số.
+) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 và p + 4 > 3. Do đó 
p + 4 là hợp số.
Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
Bài 34: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số.
HD:
Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 và p + 4 > 3. Do đó 
p + 4 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) p + 8 3 và p + 8 > 3. Do đó 
p + 8 là hợp số.
Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + 1 thì p + 8 là hợp số.
Bài 35: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1.
HD:
Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số dư: 0; 1; 2; 3. Do đó mọi số tự nhiên n đều có thể viết được dưới 1 trong 4 dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3
 với k N*.
Nếu n = 4k n4 n là hợp số.
Nếu n = 4k + 2 n2 n là hợp số.
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k – 1. Hay mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1 với n N*.
Bài 36: Tìm ssó nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố.
HD:
Bài 37: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1.
HD:
Bài 38: Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 16.
HD:
Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó 
p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1). 
Do p là số nguyên tố và p > 3 p lẻ k lẻ k + 1 chẵn k + 12 (2)
Từ (1) và (2) p + 16.
6/ Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
p + 2 và p + 10.
p + 10 và p + 20.
p + 10 và p + 14.
p + 14 và p + 20.
p + 2và p + 8.
p + 2 và p + 14.
p + 4 và p + 10.
p + 8 và p + 10.
Bài 2: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.
p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 6, p + 12, p + 18, p + 24.
p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.
p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.
Bài 3:
Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số.
Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số.
Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số.
Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số.
Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số.
Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 10p + 1 là hợp số.
Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp số.
Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp số.