Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng giải toán về hàm số cho học sinh Lớp 12 THPT

ị hàm số.
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Vấn đề 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị. 
Phương pháp giải
Ta có: 
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: 
 (*)
a, Hàm số không có cực trị y’ không đổi dấu 
 b, Hàm số có cực trị 
 c, Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Bài 3: Cho hàm số . Tìm m để hàm số có 
 cực trị.
Lời giải
Tập xác định: D = R.
 	y’ = mx2 -2(m-1)x + 3(m-2) y’=0 mx2 -2(m-1)x + 3(m-2) = 0 (1)
 *) Nếu m = 0 thì (1) 2x - 6 = 0 x =3. Vì qua x = 3, y’đổi dấu nên 
 hàm số đạt cực trị tại x = 3.
 *) Nếu m thì hàm số có cực trị phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
Bài 4: Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu, đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số luôn chạy trên hai đường thẳng cố định.
Lời giải
Tập xác định: D = R.
y’ = 3x2 + 6mx + 3(m2-1)y’=0 3x2 + 6mx + 3(m2-1) = 0 
Bảng biến thiên	
 x
 -m-1 -m+1 
 y’
 + 0 - 0 + 
 y 
 2 
 -2 
Vậy với mọi m thì hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và:
	Điểm là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
	Điểm là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Khi m thay đổi: luôn chạy trên đường thẳng cố định y=2
	 luôn chạy trên đường thẳng cố định y=-2
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.
Phương pháp giải
Ta có: 
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: 
a, Hàm số chỉ có một cực trị phương trình y’ = 0 có một nghiệm
b, Hàm số có ba cực trị phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt 
Bài 5: Cho hàm số: . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị. 
Lời giải
 	Tập xác định: D = R.
 	 y’= 4mx3+2(m2-9)x=2x(2mx2+m2-9)
 	y’=0 
 	Hàm số có ba cực trị phương trình y’ = 0 có ba điểm phân biệt (Khi đó y’ đổi dấu khi qua các nghiệm) phương trình 2mx2+m2-9=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0
Vậy hàm số có ba điểm cực trị 
Bài 6: Cho hàm số: ( m là tham số). Xác định m để hàm số có đúng một điểm cực trị.
Lời giải
 	Tập xác định: D = R.
Để hàm số có đúng một cực trị thì phương trình y’=0 có đúng một nghiệm 
*) Nếu m=1 thì y’= - 2x y’ =0 có đúng một nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua x= 0. Vậy hàm số có đúng một điểm cực trị.
*) Nếu m1 thì y’=0 
Để phương trình y’=0 có đúng 1 cực trị thì 
Vậy với m0 hoặc m1 thì hàm số có đúng một cực trị.
Vấn đề 3: Cho hàm số (a’0). Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.
Phương pháp chung
Ta có: 
Tập xác định: 
a, Hàm số không có cực trị 
Nếu c’= 0 thì hàm số trở thành hàm số vì vậy hàm số không có cực trị.
Nếu c’0 thì hàm số không có cực trị 
b, Hàm số có hai cực trị PT (*) có hai nghiệm phân biệt khác 
Bài 7: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
 Lời giải
 Tập xác định: D=R\{-1}
 Ta có: 
Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu Phương trình f’(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác -1 phương trình có hai nghiệm phân biệt khác -1 
Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số
Vấn đề 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’, thiết lập phương trình y’=f’(x)=0 (1)
Bước 3: Hàm số có cực đại, cực tiểuPhương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Bước 4: Để xác định phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số ta thực hiện như sau:
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được: y = y’.g(x) + h(x).
Gọi (x1; y1), (x2; y2) là toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y= f(x) thì y’(x1)= 0 và y’(x2)=0. Do đó :
	y1=f(x1)=y’(x1).g(x1) + h(x1) = h(x1)
	y2=f(x2)=y’(x2).g(x2) + h(x2) = h(x2)
 Toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cùng thoả mãn phương trình y = h(x) ( h(x) là hàm bậc nhất của biến số x).
Vậy phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số có dạng y = h(x).
*Chú ý: Có thể viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị bằng cách xác định toạ độ hai điểm cực trị rồi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.
Bài 8: Cho hàm số . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
 Lời giải
 Tập xác định: D = R.
 y’ = 0
 Ta thấy x1 x2 và y’ đổi dấu khi x qua hàm số đạt cực trị tại x1 và x2 
	Chia y cho y’ ta được:
 và 
 hai điểm cực trị M1(x1; y1), M2(x2; y2) có toạ độ cùng thoả mãn phương trình .
	Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: . 
Vấn đề 5: Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu 
 của đồ thị hàm số. 
 Phương pháp giải
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’, thiết lập phương trình y’=f’(x)=0 (1)
Bước 3: Hàm số có cực đại, cực tiểuPhương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác .
Bước 4: Để xác định phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số ta thực hiện như sau:
Đặt , thì và 
Ta có 
Gọi (x1; y1), (x2; y2) là toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y= f(x) thì f’(x1)= 0 và f’(x2)=0. 
Ta có f’(x1)= 0
 ( do )
Tương tự 
Ta thấy toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cùng thoả mãn phương trình .
Vậy đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số có dạng: .
 *Chú ý: Có thể viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị bằng cách xác định toạ độ hai điểm cực trị rồi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.
Bài 9 : Cho họ đường cong (Cm): 
 a, Tìm m để đường cong (Cm) có cực đại, cực tiểu.
 b, Với m vừa tìm được ở câu a, hãy viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đường cong (Cm).
 Lời giải:
Tập xác định: D = R\{m}
Ta có: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác m m.
Với m 0, giả sử hoành độ các điểm cực trị là , thế thì các cực trị tương ứng của hàm số là: ; 
Vậy đường thẳng nối hai điểm cực trị của (Cm) có phương trình là y=-2x + m.
Dạng 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thoả mãn tính chất K.
Vấn đề 6: Cho hàm số . Xác định m để điểm cực trị của đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện K.
 Phương pháp giải
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’, thiết lập phương trình y’=f’(x)=0 (1)
Bước 3: Hàm số có cực đại, cực tiểuPT (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 theo định lí Viét ta tính được: và 
Bước 4: Tính toạ độ các điểm cực trị. Ta có thể tính toạ độ các điểm cực trị 
 bằng cách sau: 
 + Thực hiện phép chia y cho y’ ta được: y = y’.g(x) + h(x).
 + Gọi (x1; y1), (x2; y2) là toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ 
	thị hàm số y=f(x) thì y’(x1)= 0 và y’(x2)=0. Do đó :
	y1=f(x1)=y’(x1).g(x1) + h(x1) = h(x1)
	y2=f(x2)=y’(x2).g(x2) + h(x2) = h(x2)
Bước 5: Kiểm tra điều kiện K.
Bài 10: Cho hàm số y=x-3x+mx+m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại , cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y=x-. 
Lời giải
 Tập xác định: D = R
 Ta có: y’= 3x- 6x + m
Hàm số có cực đại, cực tiểu PT y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt x, x 
 = 9-3m>0 (*)
Với hàm số có cực đại cực tiểu. Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thì x, x là hai nghiệm phương trình y’ = 0 và theo định lý Viét thì 
Chia y cho y’ ta được:
Do x, x là hai nghiệm phương trình y’ = 0 nên y’(x1) = 0 và y’(x2) =0 
 và 
đường thẳng qua hai điểm cực trị A(x1; y1), B(x2; y2) có phương trình là: 
Hai điểm cực trị A(x1; y1), B(x2; y2) đối xứng nhau qua đường thẳng : y=x- (*) ( Với I là trung điểm của AB).
 Vì I là trung điểm của AB nên I 
 Ta có 
 I
(*) 
Vậy với m = 0 hàm số có cực đại , cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y=x- 
Vấn đề 7: Cho hàm số: . Xác định m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện K.
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’, thiết lập phương trình y’=f’(x)=0 (1)
Bước 3: Hàm số có cực đại, cực tiểuPhương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác -. Theo định lí Viét ta tính được : và 
 Bước 4: Đặt , thì và 
Ta có 
Gọi (x1; y1), (x2; y2) là toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y= f(x) thì f’(x1)= 0 và f’(x2)=0. 
Ta có f’(x1)= 0
 ( do )
 Tương tự 
Bước 5: Kiểm tra điều kiện K.
Bài 11: Cho hàm số: (1) (m là tham số). Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10?
Lời giải
Tập xác định: D=R\{1}
Ta có: 
Để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu Phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x biến thiên qua mỗi nghiệm 
 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1
Với m >-1 gọi M1(x1; y1), M2(x2; y2) là điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Ta có: là hai nghiệm phương trình (2), theo định lý Viét:
 và , 
 =
.
Bài 12: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số ( m là tham số). Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
Lời giải:
 Tập xác định: D=R\{m}
Ta có: .
Đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt và y’đổi dấu khi x biến thiên qua mỗi nghiệm 
phương trình có hai nghiệm phân biệt khác m
Với đồ thị (Cm) luôn có hai điểm cực trị. Gọi là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị (Cm), theo định lý Viét 
Để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung thì 
Vậy với -1< m <1 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
Bài 13: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: (1) (m là tham số). Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng .
Lời giải
 Tập xác định: D=R\{0}
 Ta có: 
Hàm số (1) có cực trị phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt m > 0. Khi đó y’=0 có hai nghiệm là 
Bảng biến thiên
 x
 0 
 y’
 + 0 - || - 0 +
 y
Với m > 0 hàm số có cực trị và điểm cực tiểu của đồ thị (Cm) là 
Hàm số (1) có tiệm cận xiên y = mx hay mx - y = 0. Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là:
Vấn đề 8: Cho hàm số . Xác định m để điểm cực trị của đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện K.
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm , thiết lập phương trình y’=f’(x)=0 (1)
Bước 3: Hàm số có cực đại, cực tiểuPhương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0. Theo định lí Viét ta tính được: và 
Bước 4: Tính toạ độ các điểm cực trị. Ta có thể tính toạ độ các điểm cực trị 
 bằng cách sau: 
 + Thực hiện phép chia y cho y’ ta được: y = y’.g(x) + h(x).
 + Gọi (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3) là toạ độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số y=f(x,m) thì:
	y1=f(x1)=y’(x1).g(x1) + h(x1) = h(x1)
	y2=f(x2)=y’(x2).g(x2) + h(x2) = h(x2)
	y3=f(x3)=y’(x3).g(x3) + h(x3) = h(x3)
Bước 5: Kiểm tra điều kiện K.
Bài 14: Cho hàm số . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành một tam giác đều.
Lời giải
Tập xác định: D = R
Ta có: y’=0 (1)
Hàm số có cực đại, cực tiểu PT y’=0 có 3 nghiệm phân biệt m>0
Khi m >0, (1) có ba nghiệm phân biệt . Do đó đồ thị có ba điểm cực trị là: , 
 Ta có đều (I)
Do (2) luôn đúng nên (I) 
 (do m>0)
Vậy với thì để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành một tam giác đều.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hàm số: 
Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng (0; 2)
Bài 2: Cho hàm số: 
 Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về hai phía đối với trục Ox.
Bài 3: Cho hàm số: (m là tham số)
 Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị A và B. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng 2x -y -10 =0.
Bài 6: Cho hàm số 
	Viết phương trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số và tiếp xúc đường thẳng .
Bài 7: Cho hàm số: 
	 Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Giả sử hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu . Chúng minh rằng 
Bài 8: Cho hàm số 
	 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
2.3. Rèn luyện kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số
 Bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số là một trong những dạng toán quan trọng ở lớp 12 THPT. Việc giải thành thạo dạng toán này giúp HS hiểu biết sâu sắc và đầy đủ định nghĩa, tính chất, các ứng dụng của đạo hàm. 
 Ngoài ra từ bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số ta có thể dễ dàng chuyển về các bài toán hàm số chứa tham số, ví dụ:
 Từ bài toán: Tìm GTNN, GTLN của hàm số 
Ta có thể phát triển thành các bài toán sau:
 Bài toán 1: Tìm m để phương trình có nghiệm.
 Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình có nghiệm.
 Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình 
 đúng với mọi 
 Vì vậy việc rèn luyện cho HS kĩ năng sử dụng đạo hàm tìm GTNN, GTLN của hàm số là một trong những yêu cầu bắt buộc, từ đó tạo tiền đề để HS có kĩ năng thành thạo trong việc giải các bài toán hàm số chứa tham số.
 2.3.1. Các kiến thức cơ bản
Định nghĩa GTNN, GTLN của hàm số
Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu : 
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu : 
 2.3.2. Các kĩ năng cơ bản	
Kĩ năng tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) trên một khoảng, một đoạn
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b)
- Tính đạo hàm f’(x).
- Tìm các nghiệm , , , của f’(x) trên (a; b).
- Lập bảng biến thiên của f(x) trên (a,b).
Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của f(x) trên (a;b)
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]
- Tính đạo hàm f’(x).
- Tìm các nghiệm , , , của f’(x) trên [a;b].
- Tính , , , , .
Chọn số M lớn nhất trong n+2 số trên .
Chọn số m nhỏ nhất trong n+2 số trên .
 2.3.3. Hệ thống bài tập sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số
	Dạng 1. Khảo sát trực tiếp
	Nếu hàm số y=f(x) trên miền D cho ở dạng đơn giản , ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số đó và rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số.
	Để giải quyết tốt các bài toán dạng này, HS cần có các kĩ năng sau:
- Tính f’(x) chính xác.
- Biết cách tìm nghiệm của phương trình f’(x)=0. 
- Biết cách lập bảng biến thiên của f(x) trên D để rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm sô.
Bài 1.Tìm GTNN, GTLN của hàm số 
	Lời giải
	TXĐ D=[-2,2]
	 ; y’=0 x=
	y(-2)=-2 ; y(2)= 2 ; y()=2
	Vậy ; 
Bài 2.Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = trên đoạn .
	Lời giải
	Ta có: = 0 x=1.
	Do y(-1) = 0, y(1) = , y(2) = nên
	= y(1) = , = y(-1) = 0.
Bài 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số 
	Lời giải 
	 ; ; 
Bảng biến thiên
 t
- +
 y’
 + 0 - 0 + 
 y
 9 1
 1 -1 
	Vậy khi ; khi 
Bài 4. Tìm GTNN, GTLN của hàm số
	 với 
	Lời giải
	*) 
Do k=0x=0.
	*) 
Do
; ; 
	Vậy Miny=4 ; Maxy = 
Bài 5. Tìm GTNN của 
	Lời giải
	 ; 
Bảng biến thiên
 x
- +
 y’
 - 0 + 
 y
+ + 
	Vậy khi 
	Dạng 2. Khảo sát gián tiếp
	Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số nếu ta khảo sát trực tiếp có thể gặp nhiều khó khăn, chẳng hạn như tìm nghiệm của f’(x), xét dấu của f’(x). Do đó thay vì khảo sát trực tiếp f’(x) ta có thể khảo sát gián tiếp hàm số đã cho bằng cách sau:
- Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t).
- Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức)
- Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số.
 Để giải quyết tốt dạng toán này HS cần phải có những kĩ năng sau:
	- Kĩ năng chọn ẩn phụ t : Chọn ẩn phụ t thích hợp sao cho hàm số ban đầu có thể qui hết về biến t.
	- Kĩ năng tìm điều kiện của ẩn phụ : Để tìm điều kiện của t, tùy theo từng bài toán cụ thể ta có thể dùng phương pháp đạo hàm, dùng bất đẳng thức, đánh giá trực tiếp
Bài 6. Tìm GTNN , GTLN của , xR
Lời giải
	Do nên ta qui S về cos2x
	S== 
	Đặt t= cos2x , 
	Bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 
 với 
Ta có ; g’(t) = 0 1-t =2t 
 g(1) =1 ; g(-1)=3 ; g()=
	Vậy MinS= ; MaxS= 3 
Bài 7: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y= 
	Lời giải
	Hàm số xác định với và y>0 với, do đó y đạt GTNN, GTLN đồng thời với đạt GTNN, GTLN.
	Ta có: y2= 
	Đặt t= sinx+ cosx = = t 
	Thì y2= f(t) = = 
	= 
	Vậy với 
	Bảng biến thiên:	
 t
 1 
 f’(t) 
 - 0 +
 f(t)
 1 
Từ bảng biến thiên ta có
= 4+2 ; = 1
; 
Bài 8. Tìm GTNN của biểu thức 
	Lời giải
	Nhận xét : Ta quy S về hết 
	Ta có 
Đặt . Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số với 
Vậy ; 
Bài luyện tập 1. Tìm GTNN , GTLN của biểu thức sau:
Bài 9. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức 
Lời giải
Điều kiện 
Đặt 
Ta có 
Tìm điều của t:
Xét hàm số với 
	 ; x=0
 ; 
 S là hàm nghịch biến trên 
Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức sau:
	 với 
Bài 10. Tìm GTNN, GTLN của với 
 	Lời giải
Nhận xét: 
	i, với mọi 
	ii, Để tìm GTNN, GTLN của S ta tìm GTNN, GTLN của (vì khi đó có thể quy hết về hoặc ). 
	Ta có 
	 = 
Đặt (0t1). Khi đó 
; 
Vậy Min S =0 ; 
Bài luyện tập. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức 
	 với 
Bài 11. Tìm GTNN, GTLN của hàm số :
, với x R
Lời giải
Nhận xét: 
 Do đó ta đưa y về hết sin2x 
Do đó y =+2()+sin2x-5
Đặt . Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số với 
	Ta có 
	Do đó ; 
	Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của hàm số :
, với x R
Bài 12. Tìm GTNN, GTLN của hàm số 
Lời giải 
Ta có 
Đặt 
Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 
 với 
 ; 
	 ; ; ; 
	Vậy ; 
Bài 13. Tìm GTNN của hàm số với .
	Lời giải
	Ta có 
Đặt 
Khi đó 
Xét hàm số với 
 x
- -4 -3 +
 g’(x)
 - 0 + 
 g(x)
 -8 +
 -9 
Suy ra 
Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số với . 
Ta có 
Bảng biến thiên
 t
- -9 -4 +
 y’
 - 0 + 
 y
 14 +
 -11 
	Vậy Miny=-11.
Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số khi đề bài có nhiều hơn hai biến ta phải tìm cách qui về một biến , sau đó tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới.
Sau đây là các bài toán minh họa
Bài 14. Tìm GTNN, GTLN của 
	Lời giải
Vì tử số và mẫu số của S là các biểu thức đẳng cấp bậc hai đối x, y nên ta xét TH y=0 và y0 để chia tử số và mẫu số của S cho , sau đó chuyển về biến số .
TH1: y= 0 
TH2: 
	Chia cả tử số và mẫu số của S cho ta được : 
Đặt . Khi đó 
 ; 
Bảng biến thiên 
 t
- +
 S’
 - 0 + 0 - 
 S
Kết hợp TH1 và TH2 ta có : S 
Vậy MinS = khi ; Max S = khi 
Bài luyện tập : Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:
	a, 
	b, 
Bài 15. Cho . Tìm GTNN của 
	Lời giải
Đặt . Ta có 
 = 
 với mọi t2
Bảng biến thiên của y’(t)
 t
- -2 2 +
 y’’(t)
 +
 + 
 y’(t)
 -11
- 
 +
13 
	Suy ra 
	 với ; với 
Bảng biến thiên của f(t)
 t
- -2 2 +
 y’(t)
 - 
 +
 y
- 
 -2 
 +
2 
	Vậy Miny=-2 ; Maxy=2 . 
	Nhận xét
	i, Đặt giúp ta chuyển y về hết biến t.
	ii, Để xét dấu của y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên của y’, sau đó suy ra dấu của y’ trên các khoảng và .
Bài 16. Cho x, y, z > 0 và x +y+z 1. Tìm GTNN của biểu thức
	Lời giải 
	Nhận xét: Ta quy S về “ x+ y +z ”
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:
Vậy 
Đặt t= x+y+z 
Khi đó ; 
 f(t) nghịch biến trên (0;1] 
Bài 17. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của biểu thức 
	Lời giải
Ta có 
Trong tam giác ABC ta có 
Ta đánh giá các biểu thức theo với 
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có: 
	Vậy 
	với mọi 
Bảng biến thiên
 t
0 
 f’(t)
 -
 P=f(t)
+ 
Vậy 
Bài 18: Cho và x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức 
P = .
	Lời giải
	Do và x + y = 1 y = 1- x và 
	P = = .
Đặt t = 3x . Khi đó với 
 Bảng biến thiên
 t
 1 3 
 f’(t)
 - 0 + 
 f(t)
4 10
Từ bảng biến thiên ta có
maxP = 10 3x = 3 
minP = 3x = 
Bài 19: Cho và x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
P =.
Lời giải
Ta có: P ===. 
Đặt xy = t , vì x+ y =1, 
Khi đó P = f(t) = với .
Do với nên hàm số f(t) luôn nghịch biến trong đoạn maxP = f(0) = 1 khi t = xy = 0 
	 minP = f() = khi t = x = y = .
	Trong các kì thi chọn HS giỏi thường có bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số có nhiều biến phụ thuộc lẫn nhau. Để giải những bài toán dạng này ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là : tìm GTNN ( hoặc GTLN ) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số , rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số
Bài 20. Cho miền 
	Tìm GTNN của hàm số 
	Lời giải
Đặt u=1-x ; v=1-y 
	Coi u là ẩn, v là tham số. Ta có:
Bảng