Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức

ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cơ sở thực tiển:
	Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán 8; 9 tôi thấy dạng toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức là một trong những dạng toán khó đặc biệt là trong các đề thi học sinh giỏi, thực tế cũng cho thấy học sinh nói chung cũng ngại giải loại toán này. Vì thực tiễn đó tôi đã suy nghĩ và tìm tòi phương pháp giải loại toán này là rất cần thiết.
2. Cơ sở lý luận:
	Thực chất dạng toán này không thực sự khó nhưng học sinh hầu hết không biết bắt đầu từ đâu. Đặc biệt là dạng: Cho đẳng thức A yêu cầu chứng minh đẳng thức hoặc rút gọn đẳng thức B. Gặp dạng toán này học sinh không biết bắt đầu từ đâu hoặc sa vào khai triển đẳng thức B sau đó mới sử dụng kết quả đẳng thức A. Trong thực tế giảng dạy tôi gặp nhiều bài toán dạng này và kinh nghiệm cho thấy nếu ta bắt đầu từ đẳng thức A đã cho, biến đổi rồi thay vào đẳng thức B cần chứng minh thì bài toán sẻ được giải quyết một cách nhẹ nhàng và dễ dàng hơn. 
	Vì những lý do trên tôi xin giới thiệu sáng kiến kinh nghiệm ''Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức.''
II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu:
	Học sinh lớp 7; 8; 9 bậc THCS
2. Phạm vi nghiên cứu:
	Học sinh khối 8; 9 nơi tôi giảng dạy.
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
	Nghiên cứu về " Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức''. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả. 
	Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán. 
 	Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức. 
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường. 
2. Hệ thông hoá một số phương pháp chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức. 
3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài. 
4. Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm. 
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 
2. Phương pháp điều tra, khảo sát. 
3. Phương pháp thử nghiệm .
4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm .
VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán này hơn .
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. LÝ THUYẾT
Như đặt vấn đề ở trên, để giải quyết dạng toán này ta cần phải kết hợp hài hòa giữa đẳng thức đã cho với đẳng thức cần chứng minh và biểu thức cần rút gọn từ đó tìm ra những phép biến đổi hợp lý.
Các phép toán cần thiết: 
Các phép toán của đa thức và phân thức đại số.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là đẳng thức: thì 
Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Các phép biến đổi cần thiết khác( quy tắc mở ngoặc, đổi dấu, chuyển vế ...).
II. KHẢO SÁT BAN ĐẦU:
Đơn vị
Khối 8;9
Hứng thú với dạng toán
Biết cách tiếp cận dạng toán
Tổng số
240 HS
50
20
Tỷ số%
100%
20,8%
8,3%
III. THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN:
1. Thực trạng: 
	Qua kết quả khảo sát chất lượng ban đầu đã phản ánh học sinh không hứng thú với dạng toán này đặc biệt rất ít học sinh biết tiếp cận dạng toán một cách thực sự.
2. Nguyên nhân:
	- Đây là dạng toán khó, chủ yếu là dạng toán nâng cao dành cho học sinh khá và giỏi.
	- Trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập rất ít có dạng toán này. Vì vậy trên lớp ít có cơ hội tiếp cận dạng toán này, thường nó chỉ phổ biến cho một số em đội tuyển học sinh giỏi và học sinh lớp chọn.
IV. GIẢI PHÁP CHỦ YẾU:
	Thực tế trong quá trình giải toán nói chung và dạng toán này nói riêng thì không có một con đường nào thực sự cụ thể mà việc giải toán đặc biệt là toán khó thì đòi hỏi người dạy, người học phải tìm tòi sáng tạo cho mình một phương pháp tiếp cận bài toán dựa trên cơ sở đã học. Từ đó chúng ta sẽ tìm ra những quy luật những cách giải cho một dạng toán. Vì vậy trong đề tài này tôi xin đưa ra một phương pháp tiếp cận dạng toán chứng minh, rút gọn dựa vào đẳng thức cho trước bằng một số bài toán sau đây:
1. Dạng toán chứng minh đẳng thức
Bài toán 1:
Cho (*) với a, b, c đôi một khác nhau. 
Chứng minh: .
Lời giải:
Từ (*) ta suy ra: 
Hay 
Nhân hai vế với ta có: 	(1)
Biến đổi tương tự ta có: 	(2)
	(3)
Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta có:
Bài toán 2: 
Cho 
Chứng minh: 
Lời giải:
Từ 	 
Tương tự ta có: 	
	và 	
Do đó ta có:
Bài toán 3:
Cho a+b+c = 0
Chứng minh: 
Lời giải:
Từ 
Do đó:	 
Hay 	 	(đpcm)
Bài toán 4:
Chứng minh rằng: Nếu 
	thì 
Lời giải:
Ta có: 
Bài toán 5:
Cho 	(*)
Chứng minh rằng: với n là số nguyên dương lẻ.
Lời giải:
Từ 
 (a+b) = 0 hoặc (b+c) = 0 hoặc (a+c) = 0
Hay a = - b; b = - c; c = - a
Do n lẻ nên: 
Suy ra: (vì cùng bằng )
Bài toán 6:
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác không, đồng thời thỏa mãn:
Chứng minh rằng: 
Lời giải:
Đặt ta có: p + q + r = 0	(*)
	và 	(**)
Từ (**) suy ra: 
Kết hợp với (*) ta có: 
hay 
Bài toán 7:
Chứng minh rằng nếu: 
Thì với mọi số nguyên dương lẻ n ta đều có: 
Lời giải:
Ta có:
Suy ra: hoặc hoặc
Vì vai trò của a, b, c là bình đẳng với nhau nên có thể giả sử 
Do đó với n là số nguyên dương lẻ thì ta có:
Hay 
Bài toán 8:
Cho a, b, c, d, A, B, C, D là các số dương thỏa mản điều kiện: 
Chứng minh rằng: 
Lời giải:
Do 
Nên ta có:
Vậy 	(đpcm)
2. Dạng toán rút gọn biểu thức:
Bài toán 9:
Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức sau:
Lời giải:
Từ giả thiết thay vào biểu thức ta có:
Vậy A = 1
Bài toán 10:
Cho abcd = 1. Rút gọn biểu thức sau:
Lời giải:
Tương tự bài toán 9 ta có: 
Từ thay vào biểu thức ta có:
Bài toán 11:
Cho và 
Rút gọn biểu thức sau:
Lời giải:
Từ giả thiết 
Bình phương hai vế ta có: 
	(*)
Biến đổi mẩu số của phân thức đã cho ta có:
Thay (*) vào ta có:
Từ đó:
Vậy C = 2015.
Bài toán 12:
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 
Rút gọn biểu thức sau:
Lời giải:
Từ giả thiết ta có: 
Tương tự ta cũng có: 
Thay vào biểu thức ta có:
Bài toán 13:
Cho 
Rút gọn biểu thức sau: 
Lời giải:
Từ giả thiết ta có:
Từ đó ta có:
Suy ra:
Vậy	 
Bài toán 14:
Cho x, y, z khác không và 
Rút gọn biểu thức sau: 
Lời giải:
Áp dụng nhận xét sau: nếu thì 
Từ giả thiết ta có: 
Do đó: 
Vậy 	M = 3
Bài toán 15:
Cho và 
Rút gọn biểu thức: 
Lời giải:
Từ giả thiết ta có:
	( vì )
Vậy N = 2
Bài toán 16:
Cho và 
Tính giá trị biểu thức: 
Lời giải:
Từ giả thiết suy ra: 
Từ 
Thay vào (*) ta có: 
	 mà 
nên 
Vậy E = 0
V. MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: 
	Chứng minh rằng: 	
Bài 2: Cho	 
	Chứng minh rằng: .
Bài 3: Cho 
	Chứng minh rằng: 
Bài 4: Cho và x, y, z khác 
	Chứng minh: 
Bài 5: Cho 
	Tính 
Bài 6: Cho (a, b, c khác 0)
Tính 
	Sau khi đưa ra những bài toán này hướng dẫn cho học sinh, tôi khảo sát thu lại kết quả như sau:
Đơn vị
Khối 8;9
Hứng thú với dạng toán
Biết cách tiếp cận dạng toán
Tổng số
240 HS
110
80
Tỷ số%
100%
45,8%
33,3%
	Qua bảng trên và bảng khảo sát ban đầu ta thấy chất lượng học sinh được tăng lên một cách rõ rệt:
	- Hứng thú với dạng toán: tăng từ 50 HS lên 110 HS ( 20,8% lên 45,8%).
	- Biết cách tiếp cận dạng toán: tăng từ 20HS lên 80HS ( 8,3% lên 33,3%).
	Thông qua bảng số liệu cho thấy sáng kiến này đã có tính ứng dụng và mang lại hiệu quả cho việc học tập của học sinh. 
C. KẾT LUẬN
	Qua một số năm giảng dạy môn toán THCS nói chung và toán 8 nói riêng tôi nhận thấy dạng toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức là một dạng toán hay, khó và phổ biến, đặc biệt là xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi. Vì vậy tôi đã tìm tòi nghiên cứu đưa ra một số phương pháp hướng dẫn cho học sinh tiếp cận dạng toán này. 
	Trên đây là một số bài toán tôi đã vận dụng vào quá trình nghiên cứu và hướng dẫn cho học sinh. Tôi nhận thấy học sinh hứng thú hơn và học tập hiệu quả hơn. Theo tôi đề tài này có thể phổ biến cho học sinh THCS trên toàn quốc.
	Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình. 
	Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi sự sai sót và những hạn chế mong sự chia sẽ và thông cảm của quý bạn đọc đặc biệt là sự góp ý bổ sung chân thành của quý đồng nghiệp để đề tài này ngày càng hoàn thiện hơn.
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8. NXB Giáo Dục
2. Một số vấn đề phát triển toán 8. NXB Giáo Dục
3. Một số vấn đề phát triển toán 9. NXB Giáo Dục.
4. 225 bài toán chọn lọc Đại số. NXB Đại học quốc gia.
5. Một số tạp chí toán học tuổi thơ. NXB Giáo Dục
6. Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ. NXB Giáo Dục
7. Thực hành giải toán. NXB Giáo Dục
8. Một số đề thi học sinh giỏi ...