Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU 
I-Lý do chọn đề tài
II-Phạm vi nghiên cứu
 1-Phạm vi của đề tài
 2-Đối tượng nghiên cứu
 3-Mục đích 
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 
A-Nội dung
 I-Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
 1- Định nghĩa, tích chất của tỉ lệ thức
	 2- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
 	 3- Chú ý
	II-Đối tượng phục vụ của đề tài
 III-Nội dung và phương pháp nghiên cứu
 Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
 Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
 Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
 Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
 B-ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY:
 I- Quá trình áp dụng của bản thân
 II-Hiệu quả khi áp dụng đề tài:
 III- Những bài học kinh nghiệm rút ra, hướng nghiên cứu tiếp theo.
 IV-Những kiến nghị, đề xuất
PHẦN III: KẾT LUẬN 
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
 Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình đại số lớp 7. Từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa hai tích, trong một tỉ lệ thức nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ta thấy tỉ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn hình học, để học được định lí Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức. Mặt khác khi học tỉ lệ thức và của dãy tỉ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
	Với những lí do trên đây, trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bàng nhau trong Đại số lớp 7.
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
	1. Phạm vi của đề tài:
	Chương II, môn đại số lớp 7
	2. Đối tượng: 
Học sinh lớp 7 THCS.
	3. Mục đích:
	a) Kiến thức.
	- Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau như : Tìm số hạng chưa biết, chứng minh liên quan đến tỉ số bằng nhau, toán chia tỉ lệ, tránh những sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau.
	b) Kĩ năng:
	Học sinh có kĩ năng tìm số hạng chưa biết, chứng minh tỉ lệ thức, giải toán chia tỉ lệ.
	c) Thái độ :
	Học sinh có khả năng tư duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận trong tính toán.
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
A.Nội dung
I.Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
Định nghĩa, tích chất của tỉ lệ thức
Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số 
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
Tính chất
Tính chất 1( tính chất cơ bản)
Nếu thì ad = bc
tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức 
2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ từ tỉ lệ thức ta suy ra 
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau 
ta suy ra 
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có của đẳng thức, từ tỉ lệ thức suy ra
từ suy ra 
II.Đối tượng phục vụ của đề tài
 Học sinh lớp 7A. 7B trường THCS Nguyễn Viết Xuân năm học 2011-2012
III.Nội dung và phương pháp nghiên cứu
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập sau:
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1.Tìm một số hạng chưa biết
Phương pháp: áp dụng cơ bản tỉ lệ thức
Nếu 
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
 b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
 - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau :
a)
b) 
có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
Giải : từ 
Suy ra x = 30 hoặc x = -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức 
;
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
Giải: 
Cách 1: từ
Cách 2: từ 
 áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức 
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết:
a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
 (1) và x +y + z =d (2)
( trong đó a, b, c, a+b+c và a, b, c, d là các số cho trước)
Cách giải:
- Cách 1: đặt thay vào (2)
Ta có k.a + k.b + k.c = d
Từ đó tìm được 
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
b).Hướng khai thác từ bài trên như sau.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
* 
*
*x.y.z = g
 +Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
- 
- 
- 
- 
- 
 +Thay đổi cả hai điều kiện
c)Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết và x +y + z = 27
Giải: Cách 1.
Đặt 
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 
Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau ta có.
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
 Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: 
Cách 1: Đặt =k
Cách 2: Từ suy ra 
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết và 
Giải:
Cách 1: Đặt =k
Cách 2: từ 
suy ra 
áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Suy ra 
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết và x.y.z = 648
Giải:
Cách 1: Đặt = k
Cách 2: Từ 
Từ đó tìm được y = 9; z = 12.
Bài tập 5. Tìm x,y, z biết và x +y +z = 27
 Giải: từ 
 Từ 
Suy ra 
Sau đó ta giải tiếp như bài tập 1.
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
Giải: Từ 
 Từ 
 Suy ra sau đó giải như bài tập 1
Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z 
Sau đó giải tiếp như bài tập 2
Bài tập 8: Tìm x, y, z biết và 2x +3y -5z = -21
Giải:áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 6
Bài tập 9: Tìm x,y,z biết
 và x +y +z =27
Giải:
Cách 1: Đặt =k
Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
Vậy x = 6; y= 9; z = 12
Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phương pháp : 
Để Chứng minh tỷ lệ thức : Ta có các phương pháp sau :
Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phương pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: hãy suy ra tỷ lệ thức:.
Giải:
Cách 1: Xét tích 
 Từ 
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra 
- Cách 2: Đặt 
Ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
- Cách 3: từ 
Ta có: 
Do đó: 
- Cách 4: 
Từ
- Cách 5: từ 
Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
 ( này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Bài tập 2: chứng minh rằng nếu thì 
a) 
(với a
Lời giải: 
a) - Cách 1: Xét tích chéo 
 - Cách 2: từ 
Đặt 
Ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
- Cách 3: Ta có 
Do đó: 
Ngược lại từ ta cũng suy ra được a2 = bc
Từ đó ta có bài toán cho chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc 
b) 
- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)
 = (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)
Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c 
- Cách 2: Từ a2 = bc 
Đặt suy ra a = bk, c = ak = bk2 
Ta có
Do đó: 
- Cách 3: từ a2 = bc 
Từ 
Từ (1) và (2) suy ra: 
- Cách 4: Ta có 
Do đó: 
Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là thoả mãn chứng tỏ
Giải: Từ 
Từ (1) và (2) suy ra 
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Từ (3) và (4) suy ra: 
Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
Cho chứng minh rằng 
Bài tập 4: Biết 
Chứng minh rằng 
Giải: Ta có 
 Từ (1) và (2) suy ra: 
Bài tập 5:Cho .Chứng minh rằng (với và các mẫu đều khác 0)
Lời giải:
áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 
Từ (1),(2),(3) suy ra suy ra 
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1.Phương pháp giải
Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết 
Bước 4:Kết luận.
2.Bài tập
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c)
	Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có 
	áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ,ta có 
	Suy ra 
	Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
	Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có được
 c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được .
Lời giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương)
Theo bài ra ta có 
Suy ra 
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là ,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó.
Gọi 3 số phải tìm là a,b,c 
Theo bài ra ta có và 
Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi số thóc ở kho I, số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc 
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là 
Số thóc của kho II sau khi chuyển là 
Số thóc của kho III sau khi chuyển là 
theo bài ra ta có và a+b+c=710
từ 
Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 
đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm được 
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5 . Tính số học sinh của mỗi khối .
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(học sinh)(a,b,c là số nguyên dương)
Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c
Theo bài rat a có 
Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là 80 học sinh,240học sinh,300học sinh
Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
Sai lầm khi áp dụng tương tự 
Học sinh áp dụng hay 
Bài tập 1: (Bài 62 – SGKT31) tìm 2 số x,y biết rằng và x.y=10
Học sinh sai lầm như sau : suy ra x=2,y=5
Bài làm đúng như sau:
Từ từ đó suy ra 
vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ 
hoặc đặt vì xy=10 nên 2x.5x=10
Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng 
 và x.y.z= 648
Học sinh sai lầm như sau
Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn học sinh thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm
Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là .
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có 
áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau ta có 
học sinh thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng ta phải làm như sau
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
nên mỗi tỉ số đều bằng -1
+ Nếu a+b+c 0 khi đó
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
Bài tập 4: Cho biểu thức 
Tính giá trị của P biết rằng 
Lời giải:
Cách 1: áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có 
Cách 2:Từ (1) suy ra 
ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng như sau :
Nếu x+y+z+t suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau .Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4 nên dùng cách 2
Bài tập tương tự :
1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
.Hãy tính giá trị của biểu thức 
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau : 
Tìm giá trị của biểu thức M biết : 
Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng dưới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau.
Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lời giải bài toán “ Tìm x,y biết:
” Như sau: 
Ta có:	(1)
Từ hai tỷ số đầu ta có:	(2)
	Từ (1) và (2) ta suy ra (3)
 6x = 12 x = 2
	Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3
	Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm
	Đồng chí hãy nhận xét lời giải của học sinh trên
Lời giải :Học sinh trên sai như sau
Từ (3) phải xét hai trường hợp
TH 1 : 2x+3y-1.Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp như trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có
Suy ra 2-3y =3y-2 =0.Từ đó tìm tiếp 
Bài tập 6: Tìm x,y biết : 
	Giải tương tự như bài tập 5 nhưng bài này chỉ có một trường hợp
3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn 
Học sinh thường sai lầm nếu A2 = B2 suy ra A=B
Bài tập 7:Tìm x biết 
Giải: 
học sinh thường sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
phải suy ra 2 trường hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29
Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng 
biết rằng 
Lời giải:
Đặt =k suy ra x=2k, y=3k, z=4k
Từ suy ra 
Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra 
B.ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY:
I. Quá trình áp dụng của bản thân:
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấy mình hiểu sâu hơn về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối tượng học sinh TB, Khá, Giỏi, tùy theo từng đối tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dễ dàng, các em rất hứng thú khi tự mình có thể lập ra các bài toán.
II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài:
	Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài kiểm tra và kết quả thu được như sau :
LỚP
SĨ SỐ
GIỎI
KHÁ
TB
SL
%
SL
%
SL
%
7A
35
22
62,9%
9
25,7%
4
11,4%
7B
30
15
50%
7
23,3%
8
26,7%
III. Những bài học kinh nghiệm rút ra, hướng nghiên cứu tiếp theo.
	1. Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì vậy người thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân.
	2. Sáng kiến tiếp theo mà tôi dự kiến nghiên cứu là điều kiện để phương trình và hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
IV. Những kiến nghị, đề xuất
	Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học sinh.
Phần III. Kết luận
	Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỷ số bằng nhau trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh dễ hiểu và hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác sâu bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh được những sai lầm mà mình hay mắc phải.
	Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi chưa thể đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để đề tài này được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
	 Người thực hiện
 	 Phạm Thị Thanh Lê