Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

y phương trình có nghiệm là 	 và x = - 4
C - Phương trình bậc nhất dạng ẵAẵ+ẵBẵ= C
1. Phương pháp giải:
Đối với loại phương trình bậc nhất dạng ẵAẵ+ẵBẵ= C trong đó A, B, C là những nhị thức bậc nhất thì nên dùng phương pháp lập bảng biến đổi.
2. Bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải phương trình: ẵx - 2ẵ+ẵx - 3ẵ= 4 (1)
Ta lập bảng xét dấu f(x) = ẵx - 2ẵ+ ẵx - 3ẵ
x	- à	2	3	+ à
ẵx-2ẵ	2 - x	0	x- 2 	 x - 2
ẵx-3ẵ	3 - x 	3 - x	0 x - 3
 f(x)	5-2x	 1	 2x-5
Nếu x < 2 phương trình (1) Û 5 - 2x = 4 Û 2x = 1 Û x = thoả mãn x < 2
Nếu 2 Ê x Ê 3 Do1 ạ 4 nên phương trình vô nghiệm.
Nếu x >3 phương trình (1) Û 2x - 5 = 4Û 2x = 9 Û x = (thoả mãn x > 3)
Tóm lại: Phương trình (1) có nghiệm là x = và x = 
Bài 2: Giải phương trình: ẵx - 1ẵ+ẵx + 2ẵ-2ẵx - 3ẵ = 2005 (2)
Ta lập bảng xét dấu VT (2)
x	- à	-2	1	 3	 + à
ẵx-1ẵ	1 - x	1 - x 	0 x - 1	x-1
ẵx+2ẵ	-x - 2 	0	x + 2	 x + 2	x+2 
 -2ẵx-3ẵ	2x-6	2x - 6	 	 2x-6 0 -2x+6
 VT(2)	- 7	2x-3	 4x - 5 	7	 
Nếu x Ê - 2 Do -7 ạ 2005 nên phương trình (2) vô nghiệm.
Nếu-2 < x < 1 phương trình (2) Û 2x - 3 = 2005 Û 2x = 2008.
	Û x = = 1004 (không thoả mãn)
Nếu 1Ê x < 3 phương trình (2) Û 4x-5 = 2005 Û 4x= 2010 Û x= =
(Không thoả mãn)
Nếu x ³ 3 do 7 ạ 2005 nên phương trình (2) vô nghiệm.
Tóm lại: Phương trình (2) vô nghiệm.
Bài 3: Giải phương trình: (m-1) ( x + x+2 ) = 3m - 4
Giải: Xét ba trường hợp.
- Nếu x < - 2 thì (m-1) (-x-x-2) = 3m- 4 Û (m-1)(-2x-2) =3m-4
Với m ạ 1, thì x = 	 < - 2 hay - 	 < 0 (đúng)
Với mọi m ạ 2; m 2
- Nếu -2 Ê x Ê 0 thì (m - 1) (-x + x +2) = 3m - 4.
Khi m ạ 1 thì 	nên m = 2 phương trình vô số nghiệm.
- Nếu x > 0 thì (m - 1) (2x + 2) = 3m - 4
Khi m ạ 1 thì x = 	đúng với mọi m ạ 2; m 2.
D - Phương trình quy về phương trình bậc nhất:
Bài 1: Giải các phương trình:
a) xẵx + 3ẵ - ẵx2 + x+ 1ẵ = 1	b) ẵxẵ3 - 3ẵxẵ + 2 = 0
Giải:
a) Ta có: x2 + x + 1 = 
Do đó: ẵx2 + x + 1ẵ = x2 + x + 1.
ị Phương trình: xẵx + 3ẵ - ẵx2 + x + 1ẵ = 1 Û xẵx + 3ẵ = ẵx2 + x + 1ẵ+1
Û xẵx + 3ẵ= x2 + x + 1 + 1 Û xẵx + 3ẵ = x2 + x + 2 	(1)
Nếu x ³ - 3 phương trình (1) Û x(x + 3) = x2 + x + 2 Û x2 + 3x = x2 + x + 2
Û 2x = 2 Û x = 1 (thoả mãn điều kiện đang xét)
Nếu x < - 3 phương trình (1) Û x(-x-3) = x2 + x + 2 Û -x2 - 3x = x2 + x + 2
Û 2x2 + 4x + 2 = 0 Û x2 + 2x + 1 = 0 Û (x + 1)2 = 0 Û x + 1 = 0 Û x = -1
(Không thoả mãn điều kiện đang xét)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 1
b) Đặt t = ẵxẵ > 0. Khi đó phương trình ẵxẵ3 - 3ẵxẵ + 2 = 0
Trở thành phương trình: t3 - 3t + 2 = 0 Û t3 - t - 2t + 2 = 0
Û (t3 - t) - 2(t - 1) = 0 Û t (t2 - 1) - 2 (t - 1) = 0
Û t (t - 1) (t + 1) - 2 (t - 1) = 0 Û (t - 1) (t2 + t - 2) = 0
Û (t - 1) (t2 + 2t - t - 2) = 0 Û (t - 1) [t (t + 2) - (t + 2)] = 0
Û (t - 1)2 (t + 2) = 0 Û (t - 1)2 = 0 hoặc t + 2 = 0
* (t - 1)2 = 0 Û t - 1 = 0 Û t = 1 (thoả mãn điều kiện t > 0)
(**) t + 2 = 0 Û t = - 2 (không thoả mãn điều kiện t > 0) Û t = -2 (loại)
Với t = 1, ta có: 1 = ẵxẵ Û x = ± 1.
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {-1, 1}
Bài 2: Giải phương trình ẵx3 + 100 x2ẵ = ẵx + 100ẵ (1)
Cách 1: Phương trình (1) Û ẵx2 (x + 100)ẵ- ẵx+100ẵ = 0
x + 100 = 0
x2 - 1 = 0
Û ẵ(x + 100)ẵ(x2 - 1) = 0 Û 
Û x = - 100; x = ±1 
Vậy phương trình có ba nghiệm là: x = ± 1; x = - 100
Cách 2: phương trình (1) Û x3 +100x2 = x + 100; x3 + 100x2 = -x - 100
ị x = ± 1; x = -100
Bài 3: Giải phương trình:
ĐKXĐ của phương trình: x ³ - 1
Phương trình:
	(*)
Cách 1: Ta thấy:
Dấu bằng có 
Vậy phương trình đã có nghiệm mọi x ẻ [3; 8]
Cách 2: Từ phương trình (*) có:
Nếu 
Phương trình: 
ị x = 3 (loại) vì không thoả mãn (-1 Ê x < 3)
Nếu
Phương trình 	 chứng tỏ rằng có vô số nghiệm x ẻ [3, 8].
Nếu
Phương trình (*) 
	 (loại) vì không thoả mãn x > 8.
E - Hệ phương trình bậc nhất:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
(A)	(1)
	(2)
Giải: Muốn giải hệ phương trình trên ta xét các trường hợp sau để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối đưa về hệ bậc nhất hai ẩn số rồi giải chúng.
Xem y là tham số, ta lập bảng biến đổi các giá trị tuyệt đối có chứa x.
x
- à
+à
ẵ2x-3ẵ
 -2x + 3
-2x + 3 0 2x - 3
ẵ3x+2ẵ
-3x - 2 0 3x + 2
3x + 2
(1)
ẵ5y-4ẵ=2x+1
ẵ5y-4ẵ=2x+1
ẵ5y-4ẵ=-2x+7
(2)
2ẵyẵ=-3x-11
2ẵyẵ=3x-7
2ẵyẵ= 3x-7
(loại)
(loại)
Thuộc phạm vi 
khoảng xét 
Vậy với 	 Ta có ẵ5y - 4ẵ = -2x + 7
Û 5y - 4 = -2x + 7 hoặc 5 y - 4 = 2x - 7
Û 5y + 2x = 11 (1) hoặc 5y - 2x = -3 (2)
Lại có: 2ẵyẵ = 3x-7 	Û 2y = 3x - 7 hoặc 2y = -3x + 7
	Û 3x - 2y = 7 (3) hoặc 3x + 2y = 7 (4)
Kết hợp (1) và (2) với (3) và (4) Ta có 4 hệ phương trình tương đương với phương trình đã cho:
 	Hoặc
(Nghiệm thích hợp)
(Nghiệm không thích hợp)
 	(Nghiệm thích hợp)
(Nghiệm không thích hợp)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 
Bài 2: Giải hệ:
Nếu 	 Ta có hệ 
	(Nghiệm thích hợp)
Nếu	 Ta có hệ 
	(Nghiệm không thích hợp)
Nếu x > 2 Ta có hệ
	(Nghiệm thích hợp)
Tóm lại: Hệ (A) có nghiệm là:
G - Hệ phương trình có chứa tham số:
Bài 1: Giải và biện luận hệ phương trình với tham số m
	(1)
	(2)
Giải: Từ phương trình (1) ị 2y = x - m thay vào phương trình (2) Ta có:
mẵxẵ + 2 (x - m) = 1
Û	mẵxẵ + 2x = 2m + 1
a) Nếu x ³ 0 Ta có: 	mx + 2x = 2m + 1
	Û	(m + 2) x = 2m + 1 	(3)
Khi m = -2 phương trình (3) Û 0x = -3 (vô lý) do đó hệ vô nghiệm 
Khi m ạ -2 ị 	 Để giá trị này là nghiệm của phương trình
Cần có	hoặc m < - 2.
b) Nếu x < 0 Ta có - mx + 2x = 2m + 1
Û (2 - m) x = 2m + 1	 (4)
Khi m = 2 phương trình (4) Û 0.x = 5 (vô lý) do đó hệ vô nghiệm.
Khi m ạ 2 ị x = Do x 2 hoặc 
Kết luận:
+ Nếu 	 thì hệ phương trình có nghiệm là:
+ Nếu 	thì hệ phương trình có nghiệm là:
+ Nếu	thì hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
Giải: Từ phương trình (1) ta có: 1 = ẵx - 1ẵ+ẵy - 2ẵ ³ ẵx - y + 1ẵ (3)
Từ (2) ta có (x - y)2 - (x - y) + m (x - y - 1) = 0
Û (x - y + m) (x - y - 1) = 0
Nếu x - y = 1 thì từ (3) ị 1 ³ 2 (vô lý)
Nếu x - y = -m thì từ (3) ị 1 ³ ẵ1 - mẵ Û 0 Ê m Ê 2
Vậy hệ có nghiệm Û 0 Ê m Ê 2
H - Bài tập luyện tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) ẵ2x - 3ẵ = 10x	3) ẵx - 2005ẵ = x - 200
2) 12ẵ2x - 9ẵ = 15 + x	4) ẵ3x - 1ẵ + 1 = 3x + 4
Bài 2: Cho phương trình với tham số m.
1) Giải phương trình đã cho:
2) Phải cho m giá trị nào để có x = 36
3) Tìm những giá trị nguyên của m để có nghiệm x thuộc khoảng (0; 8)
Bài 3: Giải các phương trình.
1) ẵx3 + x2 + xẵ = x	 
2) ẵx5 + x4 + x3 + x2ẵ= 2(x + 1)	
3) 
4) 
5) 
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
1)
	2)
	3)
	4)
Chương Iii: 
bất phương trình bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối
-------------
Phương pháp chung để giải một bất phương trình bậc nhất có chứa ẵAẵ trong đó A là biểu thức bậc nhất đối với ẩn số là chuyển tất cả sang vế trái vế phải là số không. Tiếp theo là biến đổi ẵAẵ thành biểu thức tương đương không còn dấu giá trị tuyệt đối, theo quy tắc:
ẵAẵ =
	 A nếu A ³ 0
	-A nếu A < 0
Sau đó giải các bất phương trình không còn có chứa giá trị tuyệt đối trong các khoảng chia. Cuối cùng tổng hợp các kết quả đạt được để có toàn bộ nghiệm của bất phương trình.
Trong một số trường hợp, có thể giải nhanh hơn cách dùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi tương đương sau:
1. a) Với a là số dương, ta có ẵA(x)ẵ < a Û - a < A(x) < a
 b) A(x) < B(x) Û -B(x) < A(x) < B(x).
2. a) Với a là số dương, ta có ẵA(x)ẵ>a Û A(x) a
 b) ẵA(x)ẵ> B(x) Û A(x) > B (x) hoặc A(x) < - B (x)
3. ẵA(x)ẵ > ẵB(x)ẵ Û [A(x)]2 > [B (x)]2
A - Bất phương trình có dạng ẵAẵ B)
Bài 1: Giải bất phương trình: ẵ3x - 2ẵ < 4
Cách 1: Bất phương trình:
Û -4 < 3x - 2 < 4 Û -2 < 3x < 6 Û 
Cách 2: Vì hai vế của bất phương trình đều dương nên ta bình phương hai vế của bất phương trình.
ị ẵ3x - 2ẵ < 4 	Û (3x - 2)2 < 42
	Û (3x - 2)2 - 42 < 0
	Û (3x - 6) (3x + 2) < 0
hoặc
hoặc
	3x - 6 > 0	3x - 6 < 0
	3x + 2 0
	x > 2	x < 2
 	Û
Cách 3: (Theo phương pháp chung)
Bất phương trình Û ẵ3x - 2ẵ - 4 < 0
Lập bảng biến đổi:
x
- à 2/3 + à
ẵ3x-2ẵ- 4
2 - 3x
3x - 6
Nghiệm thích hợp
-2/3 < x < 
2/3 Ê x < 2
Vậy bất phương trình có nghiệm là: x ẻ(- ; 2)
Bài 2: Giải bất phương trình:
ẵ2x - 1ẵ< x + 3
Cách 1: Bất phương trình.
	Û -x - 3 < 2x - 1 < x + 3 Û - < x < 4
Cách 2: Bất phương trình Û ẵ2x - 1ẵ - x - 3 < 0 	(1)
Lập bảng biến đổi:
x
- à 1/2 + à
VT (1)
-2x + 1 -x - 3
2x - 1 - x - 3
BPT (1)
-3x - 2 < 0
x - 4 < 0
Nghiệm thích hợp
-2/3 < x < 1/2
1/2 Ê x < 4
Vậy bất phương trình có nghiệm là: -2/3 < x < 4
B - Bất phương trình dạng ẵAẵ + ẵBẵ < C
Phương pháp giải: ở đây có nhiều giá trị tuyệt đối, nên việc xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra có phần phức tạp. Nên sử dụng phương pháp lập bảng biến đổi.
Bài 1: Giải bất phương trình: ẵx - 1ẵ + ẵx + 2ẵ < 5
Lập bảng biến đổi:
x
- à -2 1 +à
ẵx-1ẵ
1 - x
1 - x 0 x - 1
ẵx+2ẵ
-x - 2 0 x + 2
x + 2
ẵx-1ẵ+ẵx+2ẵ
-2x - 1
3
2x + 1
Nghiệm 
x > -3
đúng mọi x
x < 2
Vậy bất phương trình có nghiệm là: x ẻ (-3; 2)
Bài 2: Giải bất phương trình: ẵxẵ - x + 2 Ê 2 ẵx - 4ẵ
 Û ẵxẵ - 2ẵx - 4ẵ - x + 2 Ê 0 (1)
Lập bảng biến đổi:
x
- à 0 4 +à
ẵxẵ
 - x 0 x
x
ẵx-4ẵ
4 - x
4 - x 0 x - 4
VT(1)
-x - 8 + 2x - x + 2
x - 8 + 2x - x + 2
x - 2x + 8 - x + 2
BPT
0x - 6 Ê 0
2x - 6 Ê 0
-2x + 10 Ê 0
Nghiệm 
đúng mọi x
x Ê 3
x ³ 5
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: x Ê 3 và x ³ 5
C - Bất phương trình có chứa ẩn số ở mẫu thức:
 (2)
	x ạ 1	x ạ 1
(2) 	ẵ2x - 1ẵ > 2ẵx-1ẵ	ẵ2x - 1ẵ - 2ẵx - 1ẵ > 0
Lập bảng biến đổi:
x
- à 1/2 1 +à
ẵ2x - 1 ẵ
1 - 2x 0 2x -1
2x -1
-2ẵx - 1ẵ
2x - 2
2x - 2 0 -2x + 2
(2) Û
-1 > 0
4x - 3 > 0
1 > 0
Nghiệm 
Vô nghiệm
4/3 < x < 1
Luôn đúng
Vậy bất phương trình có nghiệm là T = (3/4 ; 1) ẩ (1; +à)
D. Bất phương trình có tham số:
Nhắc lại lý thuyết cơ bản:
1) Để giải và biện luận một bất phương trình bậc nhất với ẩn số x có tham số m ta thực hiện những biến đổi tương đương để đưa bất phương trình về dạng ax > b (ax 0; a < 0; a = 0.
2) Để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì vẫn phải dựa vào việc biến đổi các biểu thức theo quy tắc:
{A} =
	 A nếu A ³ 0
	 -A nếu A < 0
Trong những trường hợp phức tạp có nhiều giá trị tuyệt đối thì nên dùng phương pháp lập bảng biến đổi.
Bài 1: Giải và biện luận bất phương trình ẵ(m - 1)xẵ < m2 - 1 (1)
m > 1
m < - 1
(1) Û ẵm-1ẵẵxẵ < m2 - 1 (2)
Ta thấy điều kiện: m2 - 1 > 0 Û ẵmẵ > 1:
+ Nếu m > 1 Û m - 1 > 0 do đó (2) 	Û (m - 1) ẵxẵ < m2 - 1
	 Û ẵxẵ < m + 1
	 Û - (m + 1) < x < m + 1
+ Nếu m = - (m + 1)
 Û x > - (m + 1) hoặc x < m + 1
Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm là:
T = 
	 -(m + 1) 1
	 x > - (m + 1) hoặc x < m + 1 	nếu m < - 1
Bài 2: Giải và biện luận bất phương trình: ẵxẵ - 3m < 4 - ẵmxẵ (1)
Bất phương trình (1): 
Ûẵxẵ + ẵmẵẵxẵ < 3m + 4
Û (1+ẵmẵ)ẵxẵ < 3m + 4 Û ẵxẵ < (2)
+ Nếu m > 0 (2) 	Û 
+ Nếu m < 0 (2) 	Û 
Khi m = 1 tính theo trường hợp m > 0 có: -7/2 < x < 7/2
Khi m = -1 tính theo trường hợp m < 0 có: -1/2 < x < 
Khi m = 0 (2) Ûẵxẵ < 4 Û - 4 < x < 4
Chương IV: 
phương trình bậc hai có chứa Giá trị tuyệt đối
-------------
A - Phương trình dạng: ax2 + bx + c + ẵAẵ = 0
Phương pháp giải: A là nhị thức bậc nhất, ta dùng:
| A| = 
 	 A nếu A ³ 0
	-A nếu A < 0
Rồi giải trường hợp và tổng kết các kết quả lại:
Bài 1: Giải phương trình:
x2 - 3x - 1 + ẵ2x - 1ẵ= 0
 	x2 - 3x - 1 + 2x - 1 = 0 nếu x ³ 	 	x2 - x - 2 = 0 nếu x ³ 
x2 - 3x - 1 + 1 - 2x = 0 nếu x < 	x2 - 5x = 0 nếu x < 
Û	ị x = 2; x = 0
Bài 2: Định m để phương trình: mx2 - 2(m-1)x + 2 = ẵmx-2ẵ (1)
 có nghiệm duy nhất:
Giải: Phương trình (1) Û mx2 - 2(m-1) x + 2 - ẵmx-2ẵ= 0 (2)
* Với m = 0, phương trình (2) trở thành: 2x + 2 - 2 = 0 Û x = 0 (nghiệm duy nhất). Vậy m = 0 là một giá trị cần tìm.
* Với m ạ 0, đặt t = mx - 2 ị x = phương trình (2) trở thành:
Û t2 + 4t + 4 - 2(m-1)t - 4(m-1) + 2m - m|t| = 0
Û t2 - 2(m-3) t + 8 - 2m - m ẵtẵ = 0 (*)
 (I)
 (a)
 (II)
 (b)
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
Xét phương trình (b) của hệ (II):
Rõ ràng t = -2 < 0 là nghiệm của phương trình (*) nên để phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì cần phải có:
* Nếu m = 2 thì phương (a) trở thành t2 + 4 = 0 phương trình này vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất và m = 2 là một giá trị cần tìm.
* Nếu m ³ 4 thì phương trình (a) có một nghiệm không âm, vì P = 8 - 2m Ê 0, nên hệ (I) có một nghiệm t ³ 0 mà hệ (II) vẫn có nghiệm t = - 2. Từ đó suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nên các giá trị m ³ 4 không phải là các giá trị cần tìm. Vậy các giá trị cần tìm là m = 0; m = 2.
B - Phương trình dạng: ax2+ + bx + c + ẵAẵ+ẵBẵ = 0
Bài 1: Giải phương trình: x2 - 3x + 1 + ẵx + 1ẵ - ẵ2 - 3xẵ = 0 (1)
a) Nếu x Ê -1 	(1) 	Û x2 - 3x + 1 - x - 1 + 3x - 2 = 0
	Û x2 - x - 2 = 0
	ị x = - 1; x = 2
Chỉ có x = -1 là thoả mãn.
b) Nếu -1 < x Ê phương trình (1) Û x2 - 3x + 1 + x + 1 + 3x - 2 = 0
	 Û x2 + x = 0 ị x = 0; x = -1
Chỉ có x = 0 là thoả mãn.
c) Nếu x > 	 phương trình (1) Û x2 - 3x + 1 + x + 1 + 2 - 3x = 0
	Û x2 - 5x + 4 = 0 ị x = 1; x = 4 (thoả mãn)
Tóm lại: Phương trình có nghiệm là: x = -1; x = 0; x = 1; x = 4.
C - Phương trình dạng: ax2 + bx + c + ẵmx2 + nx + P)ẵ= 0
Bài 1: Giải phương trình: 3x - 1 - ẵ-x2 + 2x - 3ẵ= 0
Ta thấy: -x2 + 2x - 3 = -4 - (x - 1)2 < 0 . Mọi x
Nên phương trình Û 3x - 1 - ẵx2 - 2x + 3ẵ= 0
	 Û 3x - 1 - x2 + 2x - 3 = 0 Û x2 - 5x+4 = 0 ị x =1; x = 4
Chương V: 
một số bất phương trình bậc hai có chứa Giá trị tuyệt đối
-------------
A - Lý thuyết cơ bản:
1. Dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c. Nghiệm của f(x) là giá trị của x làm cho tam thức có giá trị bằng 0, do đó nghiệm của tam thức bậc hai cũng là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0.
2. Định lý: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ạ 0)
Nếu D = b2 - 4ac 0 , " x ẻIR
Nếu D = b2 - 4ac = 0 thì a.f(x) > 0 , " x ẻ IR \ 
Nếu D = b2 - 4ac > 0 và f(x) = a(x - x1)(x - x2); (x1 < x2)
Thì: 	a.f(x) > 0 nếu x x2
	a.f(x) < 0 nếu x1 < x < x2
Chứng minh:
Xét:
Nếu D 0, do đó af(x) > 0
Nếu D = 0 thì 	 d o đó af(x) > 0, " x ẻ IR \ 
Nếu D > 0 thì 	 = (x - x1) (x - x2)
* af(x) < 0 nếu x1 < x < x2
* af(x) > 0 nếu x x2.
3. Các dạng cơ bản của bất phương trình:
+ ẵf(x)ẵ Ê a Û -a Ê f(x) Ê a 	 (Với a là hằng số dương)
+ ẵf(x)ẵ ³ a Û f(x) ³ a hoặc f(x) Ê -a 
+ ẵf(x)ẵÊ g(x) Û -g(x) Ê f(x) Ê g(x)
+ ẵf(x)ẵ³ g(x) Û f(x) ³ g(x) hoặc f(x) Ê -g(x)
Bài 1: Giải phương trình: ẵ-x2 + 2x - 1ẵ> 9 	(1)
(1) Û ẵ(x-1)2ẵ > 9 Û (x - 1)2 > 9 Û ẵx-1ẵ > 3
Û x - 1 > 3 hoặc x - 1 < -3
Û
x > 4
x < -2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (-à; -2) ẩ (4; + à)
Bài 2: Giải bất phương trình: ẵx2 + 2x - 3ẵ > 5	 (2)
	hoặc x < -3	hoặc x < -3
	 (vô nghiệm)
ị x > 2 hoặc x <-4
 hoặc x < -3
	 hoặc x < -4
Vậy nghiệm của bất phương trình là: S = (-à; -4) ẩ (2; + à)
Bài 3: Giải bất phương trình: ẵx2 - 5xẵ < 6 (3)
	hoặc x < 0	hoặc x < 0
	hoặc x < 0	
	 hoặc -1 < x < 0
hoặc x <2
 hoặc 0 < x < 2
ị -1 < x < 2 hoặc 3 < x < 6
Vậy bất phương trình có nghiệm là: S = (-1; 2) ẩ (3; 6)
Bài tập luyện tập:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) ẵ3 - 2xẵ< x + 1	c) ẵ2x - 1ẵ < ẵx + 2ẵ
b) ẵx3 + 1ẵ ³ x + 1	d) ẵẵxẵ-1ẵ > ẵx + 3ẵ
e)	f) 
g) ẵx2 + 2ẵ x - 3 ẵ-2ẵ > 7
h) ẵ2x2 + 8x - 10ẵ-ẵx2 + 12x - 13ẵ> 0
Bài 2: giải các phương trình sau:
1) x2 - 3x + 1 + ẵx + 1ẵ - ẵ2 - 3xẵ = 0
2) x2 + 3x - 10 + ẵ-xẵxẵ+5x-6ẵ = 0
3) ẵ2x2 + 3x - 2ẵ - x2 - 3x - 2ẵ2x + 5ẵ = 0
4) ẵx - 3ẵ + 
Bài 3: Tìm m để phương trình: x2-4x + m2 + 3 + 2m ẵx-mẵ= 0 có nghiệm
Chương VI: 
Hàm số bậc nhất y = ax + b
-------------
1. Miền xác định: D = IR
2. a > 0 hàm số đồng biến, a < 0 hàm số nghịch biến.
3. Bảng biến thiên.
	a > 0	a < 0
x	- à	+ à	x	- à	+ à
	+ à	+ à
y	- à	y	- à
4. Đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm A (0; b); B (-b/a; 0)
5. Cực trị:
+ Điểm cực đại, cực tiểu:
- Khi một hàm số ngừng tăng để bắt đầu giảm ta nói nó đi qua một điểm cực đại, tại điểm cực đại hàm số có giá trị lớn nhất so với các giá trị của nó tại các điểm khác trong một khoảng có chứa điểm cực đại.
- Khi một hàm số ngừng giảm để bắt đầu tăng ta nói nó đi qua một điểm cực tiểu. Tại điểm cực tiểu hàm số có giá trị nhỏ nhất so với các giá trị của nó tại các điểm khác trong một khoảng có chứa điểm cực tiểu.
+ Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị.
Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = ẵxẵ + 2 c) y = ẵx - ẵxẵẵ
b) y = -ẵxẵ - 1	d) y = ẵx - 1ẵ
Giải:
a) y = |x| +2 = 
	x + 2 nếu ³ 0
	- x + 2 nếu x < 0
Đồ thị hàm số như hình vẽ sau:
	 y
	 -2 0 2	 x
	-x - 1 nếu x ³ 0
b) y = -|x|-1= 
	x - 1 nếu x < 0
Đồ thị hàm số y = -ẵxẵ - 1 như hình vẽ sau:
0
	 y
1
-1
	-1
	0 nếu x ³ 0
c) y = ẵx - ẵxẵ ẵ =
-2x nếu < 0
Đồ thị y = ẵx - ẵxẵ ẵ là hai tia Ot và Ox trong hình vẽ sau:
x
y
t
4
2
 -2 -1 O
 	x - 1 nếu x ³ 1
d) y = ẵ x -1 ẵ= 	
1 - x nếu < 1 
y
Đồ thị hàm số y =ẵx -1ẵ như hình vẽ sau:
x
 1 
 -1
Bài 2: Cho hàm số y = 2 ẵ 2 ẵxẵ - 1 ẵ
a. Vẽ đồ thị (T) của hàm số trên 
b. Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
2 ẵ 2 ẵxẵ - 1 ẵ = m
Giải:	 y	(T) 
 	Ta có: y = 2 ẵ 2 ẵxẵ - 1 ẵ
y = m
	 - 4x - 2 nếu x < - 1/2 2 
=> y = 
 4x + 2 nếu - 1/2 Ê x < 0 
 - 4x + 2 nếu 0 Ê x Ê 1/2
 4 x - 2 nếu >1/2 -1 -1/2 0 1/2 1 
b. Dựa vào đồ thị :
Ta có: 
m < 0 phương trình vô nghiệm 
m = 0 hoặc m > 2 phương trình có 2 nghiệm 
0 < m < 2 phương trình có 4 nghiệm 
m = 2 phương trình có 3 nghiệm
Bài 3: Khảo sát hàm số 
* TXĐ : D = IR 
x - 1 với x < 2 
* y =1 - ệ (x - 2)2 = 1 - ẵx - 2ẵ = 
- x + 3 với x ³ 2
* Bảng biến thiên:
x
- Ơ
2
+Ơ
 y 
- Ơ
1
Max
 -Ơ
y
* Đồ thị là đường gấp khúc đi qua điểm cực đại M (2; 1) cắt trục hoành tại hai điểm x = 1; x =3 cắt trục tung tại điểm có y = -1 .
 M 
 O 1 2 3 x
	Bài 4: Cho hàm số y = ệ x2 - 2x + 1 + ệ x2 - 6x + 9 
 	a. Tìm giá trị nhỏ nhất của y 
b. Tìm x để y ³ 4
Giải:
	a. y = ệ (x -1)2 + ệ (x -3)2 = ẵx - 1ẵ + ẵx -3ẵ
	 4 - 2x nếu < 1
 ị y = 2 nếu 1 Ê x Ê 3
 2x - 4 nếu x > 3
Như vậy: yMin = 2 Û 1 Ê x Ê 3
b. Để tìm x sao cho y ³ 4 ta đi vẽ đồ thị:
 4 - 2x nếu < 1
 ị y = 2 nếu 1 Ê x Ê 3
 2x - 4 nếu x > 3.
Hình vẽ cho thấy:
 y
 A B
 2
 0 1 2 3 4 x 
* Đường biểu diễn của hàm số là đường gấp khúc, có giá trị cực tiểu bằng 2 trên đoạn [1; 3]
* Đường y = 4 cắt đường biểu diễn tại A = (0 ; 4); B (4 ;4) nên y ³ 4 nếu: 
 x ẻ (-Ơ;0] ẩ ( 4; +Ơ).
Bài tập luyện tập:
Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: 
 ệ x2 
1) y = 3) y = ệ x2 -4x + 4 + ệ x2 +4x + 4
 x 
2) y = x + 2 + ẵx - 2ẵ 4) y = 2 ẵ2ẵxẵ- 3ẵ
Bài 2:
1. Hãy viết biểu thức tường minh của hàm số y(x) cho bởi phương trình sau đây: x + ẵyẵ =2y.
Nói rõ miền xác định của hàm số đó và vẽ đồ thị.
2. Xác định giá trị của x để các hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất.
a) y =ẵ5 - 2xẵ + ẵ 2x + 1ẵ
b) y = ẵ 1 - xẵ + ẵ2 - x ẵ + ẵ3 - xẵ+ẵ4 - xẵ
Bài 3: Kiểm tra lại bằng đồ thị kết quả giải phương trình với tham số a 
1) ẵx - 1ẵ= 3x + 2a 	2) ẵẵaẵx - 3ẵ = 4 - a
	Bài 4: Giải hệ PT sau bằng đồ thị: 5 ẵ3x -2ẵ + 7ẵ5y - 1ẵ = 88
 3x + 5y =7
Chương VII: 
Một số bài toán có giá trị tuyệt đối
---------------- 
Bài 1: Cho n số thực a1 < a2 < a3 < ... < an Xét biểu thức 
Ư(x) = ẵx - a1 ẵ + ẵx - a2 ẵ+ .......+ ẵx -anẵ
Tìm các số thực x để Ư(x) nhận giá trị nhỏ nhất.
Ta xét các trường hợp n chẵn và n lẻ.
* Nếu: n = 2k thì: 
ẵx - a1 ẵ + ẵx - a2k ẵ³ (a2k - a1)
ẵx - a2 ẵ + ẵx - a2k-1 ẵ³ (a2k - 1 - a2)
...........................................................
............................................................
ẵx - ak ẵ + ẵx - ak + 1 ẵ³ (ak + 1 - ak) 
Lấy tổng các bất đẳng thức trên, ta được:
 Ư(x) ³ (a2k + a2k -1 + a2k-2 + ...............+ ak+1) -(a1 + a2+ ......+ ak).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ak Ê x Ê ak+1 
* Nếu n = 2k -1, tương tự trường hợp trên:
ẵ