Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển bài toán mới từ bài toán cơ bản để nâng cao năng lực tư duy hình học cho học sinh lớp 6

PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỂ NÂNG CAO NĂNG LỰC TƯ DUY HÌNH HỌC CHO HỌC SINH LỚP 6
ÁP DỤNG: CHƯƠNG I HÌNH HỌC 6
A-ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài
 Mọi vật thể đều được cấu tạo từ chất và mọi chất được cấu tạo từ những phân tử nhỏ. Trong Toán học cũng vậy mọi bài toán đều bắt nguồn từ những chi tiết nhỏ nhặt, những bài toán đơn giản hơn. Đối với học sinh lớp 6, bước đấu làm quen với môn hình học phẳng, việc tiếp thu môn hình học bước đầu còn nhiều khó khăn.Vì vậy để học sinh giỏi môn hình học không những phải yêu cầu học sinh nắm vững và biết vận dụng các bài toán cơ bản mà còn phải biết cách phát triển nó thành những bài toán mới có tầm suy luận cao hơn, nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Cách dạy học như vậy mới đi đúng hướng đổi mới giáo dục hiện nay. Có như vậy mới tích cực hóa hoạt động của học sinh, khơi dậy khả năng tự lập, chủ động, sáng tạo của học sinh. Nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tâm lí, tình cảm, đem lại niềm say mê và hứng thú học tập cho học sinh.
II. Cơ sở thực tiễn
 Trước đây việc dạy học toán thường sa vào phương pháp đọc chép áp đặt kiến thức, học sinh lĩnh hội kiến thức một cách bị động, người giáo viên thường chú trọng đến số lượng bài tập. Nhiều học sinh chỉ hiểu bài thầy dạy mà không tự giải được bài tập. Việc phát triển bài toán ít được học sinh quan tâm đúng mức. Phần nhiều học sinh cảm thấy sợ môn hình học, giải bài tập hình học. Thực tiển dạy học cho thấy: HS khá - giỏi thường tự đúc kết những tri thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, còn học sinh trung bình hoặc yếu, kém gặp nhiều khó khăn hoặc không thể nắm được bài.
 Để có kĩ năng giải bài tập hình học cần phải qua quá trình luyện tập. Tuy rằng, không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng, việc luyện tập sẽ có hiệu quả, nếu như học sinh nắm chắc được lí thuyết và biết khéo léo khai thác từ một bài tập này sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, rèn luyện một phương pháp học tập nào đó cho mình.
 Nếu người thầy giáo biết hướng cho học sinh cách học chủ động thì học sinh không những không có ái ngại với môn hình học mà còn hừng thú với việc học hình. Học sinh không còn cảm thấy học hình học nói riêng và toàn học nói chung là gánh nặng, mà còn ham mê học toán, có được như thế mới là thành công trong việc dạy học môn toán.
 Qua thực tế giảng dạy trên lớp và học hỏi đồng nghiệp tôi có sáng kiến kinh nghiệm nhỏ trong vấn đề: " Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, vận dụng và đào sâu kiến thức qua khai thác phát triển bài toán từ bài toán cơ bản để nâng cao năng lực tư duy của học sinh"
III. Thực trạng của vấn đề:
 1. Thực trạng
Qua công tác giảng dạy môn toán nói chung và hình học lớp 6 nói riêng trong những năm qua tôi thấy đa số học sinh:
Không nắm được phần lí thuyết cơ bản của bài học hoặc nắm nội dung bài học một cách thụ động, nên trong quá trình làm bài tập còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng.
Không chịu đề cập bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không sử dụng hết các dữ kiện của bài toán....
Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải mẫu hoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động.
Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việc rèn luyện năng lực giải toán hình học.
2. Kết quả của thực trạng
 Từ thực trạng của học sinh lớp 6 như thế đã dẫn tới kết quả đa số các em cảm thấy học môn hình khô khan, khó hiểu, nên học sinh không có hứng thú cao đối với môn hình nói riêng và môn Toán nói chung, điều đó ảnh hưởng không nhỏ tới việc học tập của các em. Chính vì thế mà tôi đã mạnh dạn áp dụng và lồng ghép vào trong từng tiết học một số phương pháp nhằm phát triển tư duy của các em, điều đó đã đem lại kết quả khả quan. Đa số các em trong lớp mà tôi giảng dạy đã có sự chú ý và ham mê đối với môn hình học nhiều hơn dẫn đến kết quả, chất lượng môn Toán có sự chuyển biến tích cực hơn. Chính vì thế mà tôi đã quyết định nêu một số biện pháp của mình đã thử nghiệm và có kết quả tốt để các đồng nghiệp tham khảo và góp ý kiến cho tôi.
 Trước khi tôi chưa áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy, thực tế điều tra ở học sinh lớp 6 năm trước nhận thấy như sau:
Lớp
Sĩ số
Số học sinh tự học (có phát huy được tính tư duy sáng tạo)
Số học sinh tự học (chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo)
6A
31
7 (22,5%)
24 (77,5%)
6B
33
5 (15,1%)
28 (84,9%)
6C
34
11 (32,3%)
23 (67,6%)
	Tôi đem vấn đề mà mình tìm tòi phát hiện ra trao đổi với một số đồng nghiệp. Họ cũng nhất trí cho rằng tuy vấn đề mà tôi tìm tòi
Phát hiện chỉ là vấn đề nhỏ, song nó giúp cho học sinh rất lớn về mặt tư duy sáng tạo và hình thành cho học sinh thói quen luôn tự đặt câu hỏi và tìm cách giải quết mooic vấn đề khi giải bài tập hình cũng như là học tians. Hình thành cho học sinh thói quen nghiên cứu khoa học, tôi đã đem vấn đề này dạy cho học sinh trong chương I hình học 6 và trong giảng dạy đạt một số kết quả nhất định.
B- NỘI DUNG
I. Các giải pháp thực hiện:
 Để phát triể tư duy học sinh thông qua việc dạy môn hình học chương I ở lớp 6. Quán triệt quan điểm dạy học theo hướng “ Phát huy tính tích cực, tự giác, thói quen nghiên cứu khoa học cho học sinh” thì việc hường dẫn cho học sinh có thói quen khai thác, nhìn nhận một vấn đề trên nhiều khía cạnh khác nhau sẽ có tác dụng tốt trong việc phát triển tư duy loogic, độc lập sáng tạo cho học sinh. Rèn luyện cho học sinh một số pg]ơng pháp khi giải toán hình học như:
- Phương pháp phân tích tổng hợp
- Phương pháp so sánh
- Phương pháp tổng quát hóa
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện:
 Do điều kiện không cho phép sau đây tôi chỉ xin đư ra mọt số bài toán hình học bắt đầu từ bài toán cơ bản, tôi thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới vẩn giử nguyên bàn chất của bài toán toán cũ nhưng phải có mức độ tư duy cao hơn; phỉ có tư duy tổng quát hóa mới giải quyết được vấn đề, tôi thấy vận dụng vào quá trình ôn tập cho học sinh lớp 6 rất phù hợp.
 Bài toán 1: Cho 4 điểm M, N, P, Q trong đó 3 điểm M, N, P thẳng hàng, kẻ các đường thẳng đi qua các điểm. Có bao nhiêu đường thẳng phân biệt.
Nhận xét: Đối với bài toán này, đối tượng học sinh trung bình, thậm chí một số học sinh yếu cũng có thể vẽ hình và làm một cách dể dàng sau khi đã học xong chương I( chương Đoạn thẳng). Tôi thu được kết quả sau:
Lớp
Sĩ số
Số HS làm được
Số HS chưa làm được
6A
37
37
0
6B
39
39
0
 Hình vẽ trên có 4 đường thẳng phân biệt là: MQ, NQ, PQ, MN
Chú ý: Ta chỉ tính đến các đường thẳng phân biệt, các đường thẳng trùng nhau ta coi như một đường thẳng. 
 Từ bài toán 1, lợi dụng luôn hình vẽ ta cho học sinh làm bài toán sau:
Bài toán 2: Cho hình 1
Có bao nhiêu đoạn thẳng nằm trên đường thẳng a.
Có bao nhiêu đoạn thẳng trong hình 1.
Có bao nhiêu tam giác trong hình 1.
Lời giải:
Có 3 đoạn thẳng là: MN, NP, MP nằm trên đường thẳng a.
Có 6 đoạn thẳng trên hình vẽ 1, đó là: MN, NP, MP, MQ, NQ, PQ
Có 3 tam giác trong hình 1, đó là: 
Nhận xét: Bài toán này so với bài toán trên cũng không có gì khác lắm, tương đối dể đối với học sinh trung bình, thậm chí yếu nếu chú ý cũng có thể quan sát " bằng cách đếm" và trả lời yêu cấu của đề bài một cách hoàn hoả, số học sinh làm được bài này cũng khá cao, cụ thể tôi thu được kết quả sau:
 Lớp
Sĩ số
Số HS làm được
Số HS chưa làm được
6A
37
37
2
6B
39
39
3
Xuất phát từ bài toán 2 không thay đổi bản chất bài toán tôi giao cho học sinh làm bài toán sau nhưng khó hơn:
 Bài toán 3: Cho năm điểm A, B, C, D, P thuộc đường thẳng a và điểm Q không thuộc đường thẳng a. Hỏi: 
Có bao nhiêu đoạn thẳng thuộc đường thẳng a.
Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo ra từ 6 điểm trên.
Có bao nhiêu tam giác được tạo ra từ 6 điểm trên.
 a) Trên đường thẳng a có 10 đoạn thẳng, đó là: AB, AC, AD, AP, BC, BD, BP, CD, CP, DP.
 b) Có tất cả 15 đoạn thẳng được tạo thành từ 6 điểm A< B, C, D, P, Q là: AB, AC, AD, AP, BC, BD, BP, CD, CP, DP, AQ, BQ, CQ, DQ, PQ.
c) Có 10 tam giác được tạo ra từ 6 điển trên, đó là: 
 ,
 Nhận xét:
Về bản chất bài toán: giống bài toán 2
Cái khác ở đây là: ở bài toán 2 có 4 điểm, trong đó có 3 điểm thẳng hàng, còn ở bài toán 3 có 6 điểm, trong đó có 5 điểm thẳng hàng.
Nếu sử dụng phương pháp đếm thì học sinh dễ bị nhầm lẩn, do đó bài toán này chỉ có một số học sinh trung bình và học sinh khá giỏi làm được, còn một số học sinh trung bình và số học sinh yếu, kém chỉ ra không đủ đượ số đoạn thẳng, số tam giác, hoặc chỉ ra số đoạn thẳng, số tam giác trùng nhau, cụ thể tôi thu được kết quả sau: 
Lớp
Sĩ số
Số HS làm được
Số HS chưa làm được
6A
37
37
5
6B
39
39
4
Vẫn giữ nguyên bản chất bài toán 3, nhưng ta tăng số điểm trên đường thăng a lên 10 điểm ta có nội dung bài toán 4 như sau:
 Bài toán 4: Cho 10 điểm A, A, A,..., A nằm trên đường thẳng a và điểm M không thuộc đường thẳng a. Hỏi: (không cần chỉ rỏ tên từng đoạn thẳng, từng tam giác)
Có bao nhiêu đoạn thẳng thuộc đường thẳng a.
Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo ra từ 11 điểm trên.
Có bao nhiêu tam giác được tạo ra từ 11 điểm trên.
Nhận xét:
Về bản chất, bài toán không khác bài toàn 3
Điểm khác ở đây là bài toàn 3 có 5 điểm nằm trên đường thẳng a, còn bài toán 4 này có những 10 điểm thuộc đường thẳng q, do vậy:
+ Các em học sinh không thể sũ dụng phương pháp " đếm" để làm bài toán này vì rất dể nhầm lẫn trong khi đếm do quá nhiều điểm.
+ Do vậy trong lớp 6 mà tô dạy chỉ có 3 học sinh là được bài này, thế nhưng các em trình bày lời giải cũng chưa trình bày cho tôi thuyết phục được, còn các học sinh khác không biết làm thế nào. Vì vậy tôi đã đuă ra một số gợi ý như sau:
Một số gợi ý:
Xét trên đường thẳng a:
 GV: Điểm A kết hợp với 9 điểm còn lại tạo được bao nhiêu đoạn thẳng?
(HS: tạo thành 9 đoạn thẳng)
 GV: Tương tự điểm A kết hợp với 8 điểm còn lại (trừ điểm A ) tạo thành bao nhiêu đoạn thẳng?
 (HS: tạo thành 8 đoạn thẳng)
 GV: Cũng tương tự như vậy các điểm A, A, A, A, A, A, A lần lượt kết hợp với các điểm (trừ những điểm đã kết hợp trước đó) tạo thành lần lượt bao nhiêu đoạn thẳng?
(HS: lần lượt tạo thành 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 đoạn thẳng) 
GV: Vậy tổng số đoạn thẳng thuộc đường thẳng a là bao nhiêu?
 (HS: số đoạn thẳng là 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45)
 GV: Điểm M kết hợp với 10 điểm từ A đến A được bao nhiêu đoạn thẳng?
 (HS: tạo thành 10 đoạn thẳng)
GV: Vậy tổng số đoạn thẳng được tạo ra từ 11 điểm trênlà bao nhiêu?
(HS: số đoạn thẳng là 45 + 10 = 55 đoạn)
 GV: nhận xét các tam giác tạo thành đều có chung đỉnh M và trong đó có một cạnh luôn nằm trên đường thẳng a, vây:
 GV: Đoạn thẳng MA kết hợp với các đoạn thẳng MA, MA,......, MA tạo nên bao nhiêu tam giác?
(HS: số tam giác là 9) 
 GV: Tương tự đoạn thẳng MA kết hợp với các đoạn thẳng MA, MA, ......, MA (trừ đoạn thẳng A) tạo nên bao nhiêu tam giác?
(HS: tạo thành 8 tam giác) 
 GV: Cũng tương tự như vậy lần lượt các đoạn thẳng MA, MA, ......, MA kết hợp với các đoạn thẳng còn lại (trừ những đoạn thẳng đã kết hợp trước đó) lần lượt được bao nhiêu tam giác?
(HS: lần lượt tạo thành 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 tam giác ) 
GV: Vậy tổng số tam giác được tạo thành từ 11 điêm trên hình vẽ là bao nhiêu?
HS: tổng số tam giác được tạo thành là: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45
- Với cách vấn đáp gợi mở như trên, đa số học sinh của tôi đã làm được bài này, cụ thể tôi thu được kết quả sau: 
Lớp
Sĩ số
Số HS làm được
Số HS chưa làm được
6A
37
37
7
6B
39
39
9
Qua bài tập này tôi đã giúp học sinh của tôi có hướng suy nghĩ để nhàm hình thanh tư duy khái quát bài toán chứ không còn sử dụng cách đếm để làm bài tập dạng này nữa, tôi cho một học sinh lên trình bày lời giải và em đã trình bày một cách tương đối hoàn chỉnh như sau: 
Bài giải: a) Xét trên đường thẳng a:
 Điểm A kết hợp với 9 điểm còn lại tạo được 9 đoạn thẳng.
 Tương tự điểm A kết hợp với 8 điểm còn lại (trừ điểm A ) tạo được 8 đoạn thẳng.
Cũng tương tự như vậy các điểm A, A, A, A, A, A, A lần lượt kết hợp với các điểm (trừ những điểm đã kết hợp trước đó) tạo thành lần lượt 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 đoạn thẳng.
Vậy tổng số đoạn thẳng thuộc đường thẳng a là:
 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 (đoạn thẳng)
b) Vậy tổng số đoạn thẳng được tạo ra từ 11 điểm trên là:
 45 + 10 = 55 (đoạn thẳng)
c) Nhận xét: các tam giác tạo thành có đặc điểmcó cùng chung một đỉnh M có một cạnh luôn nằm trên đường thẳng a, các cạnh này đối diện với đình M, do số đường thẳng nằm trên đường thẳng a là 45 nên số tam giác tạo thành là 45 tam giác.
Từ kết quả trên tôi cho học sinh làm nhanh một bài toán, thực chất là bài toán tổng quát hơn của các bài toán 1, 2, 3, 4 như sau:
 Bài toán 5: Cho 2009 điểm A, A, A, ..., A nằm trên đường thẳng a và điểm M không nằm trên đưởng thẳng a. Hỏi:
Có bao nhiêu đoạn thẳng thuộc đường thẳng a.
Có bao nhiếu đoạn thẳng được toạ ra từ 2010 điểm trên.
Có bao nhiêu tam giác được tạo ra từ 2010 điểm trên. 
Về bản chất bài toán 5 không khác với 4 bài toán nên trên, cách suy luận giống bài toán 4, tôi cho học sinh nháp, cho ra nhanh kết quả, và đa số học sinh trả lời được, tôi thu được kết quả sau: 
Lớp
Sĩ số
Số HS làm được
Số HS chưa làm được
6A
37
37
9
6B
39
39
11
a) Số đoạn thẳng thuộc đường thẳng a là:
 2008 + 2007 + .....+ 1 = 2009.1004 = 2017036 (đoạn thẳng)
b) Số đoạn thẳng được tạo nên từ 2010 điểm trên là:
 2009 + 2017036 = 2019045 (đoạn thẳng)
c) Số tam giác được tạo nên từ 2010 điểm là: 2017036 (tam giác)
Kết thúc giờ học tôi giao cho học sinh về nhà làm bài tập tổng quát của 5 bài trên như sau:
 Bài toán 6: Cho 2009 điểm A, A, A, ..., A nằm trên đường thẳng a và điểm M không nằm trên đưởng thẳng a. Hỏi:
Có bao nhiêu đoạn thẳng thuộc đường thẳng a.
Có bao nhiếu đoạn thẳng được toạ ra từ n + 1 điểm trên.
Có bao nhiêu tam giác được tạo ra từ n + 1 điểm trên. 
Giờ học sau tôi thu vở bài tập chấm và tôi thu được kết quả sau: 
Lớp
Sĩ số
Số HS làm được
Số HS chưa làm được
6A
37
37
11
6B
39
39
12
a) Số đoạn thẳng thuộc đường thẳng a là: (n + 1).n:2 - n
b) Số đoạn thẳng được tạo nên từ n + 1 điểm trên là: (n + 1).n:2
c) Số tam giác được tạo ra từ n + 1 điểm là: (n + 1).n:2 - n
C- KẾT LUẬN
Qua bài giảng này bản thân tôi thấy với cách chủ động tự nêu vấn đề và giải quyết vấn đề có sự giúp đỡ của giáo viên làm cho học sinh có hứng thú trong khi học và giúp cho học sinh có thói quen" suy nghĩ ", giải quyết bài toán ở nhiều góc độ khác nhau thông qua một bài toán đơn giản bằng tư duy khái quát hóa để làm được bài toán khó hơn, từ đó các em học sinh hình thành tư duy của mình biết tự phát triển tư duy khi học môn hình học nói chung, môn toán nói riêng. Vấn đề này giúp học sinh giải quyết một bài toán hình chắc chắn hơn, sáng tạo hơn.
1. Kết quả nghiên cứu: 
Sau khi vạn dụng sàng kiến này vào giảng dạy cho học sinh tôi đã điều tra và cho kết quả sau:
Lớp
Sĩ số
Số HS tự học (đã phát huy được tính tư duy sáng tạo)
Số HS tự học (chưa phat huy được tính tư duy sáng tạo)
6A
37
37
13
6B
39
39
15
 2. Ý kiến đề xuất:
Đây chỉ là vấn đề nhỏ mà tôi đưa ra vào bài dạy nhằm phát huy và giúp học sinh nâng cao khả năng tự học, tự giải quyết vấn đề. Bài học đã cho kết quả rất tốt. Mong các đồng nghiệp góp ý và bổ sung cho đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
	 Trung Sơn, ngày 25 tháng 10 năm 2010
	 Người thực hiện
 Nguyễn Đức Bản