Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử - Toán 8

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)
= (x2 + 1)(x4 + 1)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x2 + 2x + 1 – y2
Giải: Ta có: B = x2 + 2x + 1 – y2
= (x2 + 2x + 1) – y2
= (x + 1)2 – y2
=(x +1 – y)(x + 1 + y )
Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
Giải: Ta có : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
 = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)
 = (x + y)2 – z(x + y)
 = (x + y)(x + y – z)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 2xy + z + 2x + yz
Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz
 = (2xy + 2x) + (z + yz)
 = 2x(y + 1) + z(y + 1)
 = (y + 1)(2x + z)
Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1
Giải: Ta có : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1
 = xm + 3(x + 1) – ( x + 1)
 = (x + 1)(xm + 3 – 1)
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y)
Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z 
Ta có : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2
 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)
 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
 = (y – z)((x2 + yz – x(y + z))
 = (y – z)(x2 + yz – xy – xz)
 = (y – z)(x(x – y) – z(x – y))
 = (y – z)(x – y)(x – z)
Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y)
nên : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)
 =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)
 = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) 
 = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
 = (y – z) (x – y)(x – z)
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
 = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
 = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc
 = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)
 = ( a + b)(bc + ca + ab + c2)
 = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
 = ( a + b)(b + c)(c + a)
Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
Giải: Ta có : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
 = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc)
 = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
 = ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
Giải: Ta có : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)
= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)
= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)
= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))
= (a + 2b)(2b – c)(a – c)
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
Giải: Ta có : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
 	 	= 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z)
= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z)
 = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))
= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))
= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)
= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z))
= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)
= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z))
= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) 
1.2.3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
Các hằng đẳng thức thường dùng là :
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2y2 + y4 
Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4 
 	= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
 	= (x2 + y2)2 - x2y2
 	 	= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)
Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 
Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 
 	= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )
 	= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2
 	= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2
 	= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )
 	= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))
 	= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)
Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
 	= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2
 	= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2
 	= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2
 	= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1) 
 	= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
Giải: Ta có: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
 	= (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2
 	= (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2
 	= (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz)
 	= (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )
 	= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y)3 +(x - y)3 
Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải như sau :
Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3 
 	= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
 	= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)
 	= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))
 	= 2x(x2 + 3y2)
Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3 
 	= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 
 	= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))
 	= 2x(x2 + 3y2)
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 16x2 + 40x + 25
Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25
 	= (4x)2 + 2.4.5.x + 52
 	= (4x + 5)2
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 
Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)
Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))
 	 	= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)
 	= 3(z – x)(y – z)(x – y)
Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)
Giải: Ta có: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)
 	= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)
 	= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)
 	= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)
 	= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)
 	= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
 	= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x8 – 28 
Giải: Ta có : P = x8 – 28 
 	= (x4 + 24) (x4 - 24) 
 	= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) 
 	= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) 
 	= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)
Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
Giải: Ta có: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
 	= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
 	= (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3)
 	= (x – 1)( x2 + 6x + 9)
 	= (x – 1)(x + 3)2 
1.2.4. Phương pháp thực hiện phép chia:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8
Giải: 
Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: 
	f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)
Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: 
g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)
Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0 
Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)
 = (x + 2)3(x2 + 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau :
1
6
13
14
12
8
-2
1
4
5
4
4
0
Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)
Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau :
1
4
5
4
4
-2
1
2
2
2
0
Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) 
Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau :
1
2
2
2
-2
1
0
1
0
 	Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1)
 Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)
Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 : 1; 2; 3; 4; 6 ; 9; 12; 18; 36.
Ta thấy : x = -2
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 
 	 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
 	 = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18)
Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử 
Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta được :
Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)
 = (x + 2)(x – 3)2
Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2
1.2.5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :
 A = y2 + 4y – 12
 	= y2 – 2y + 6y – 12
 	= y(y – 2) + 6(y – 2)
 	= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vào (1) ta được :
A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
 = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12
 = y2 + y – 12
 = y2 – 3y + 4y – 12
 = y(y – 3) + 4(y – 3)
 = (y – 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được :
A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
 = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)
 	 	 = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)
Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x12 – 3x6 + 1
Giải: B = x12 – 3x6 + 1
Đặt y = x6 (y )
Đa thức đã cho trở thành :
B = y2 – 3y + 1
 = y2 – 2y + 1 – y
 = (y – 1)2 – y
 = (y – 1 - )(y + 1 +) (*)
Thay : y = x6 vào (*) được :
B = (x6 – 1 - 
 = (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x3 - 3x2 + 3x + - 2
Giải: Đặt : y = x - , ta có x = y + 
 A = (y + )3 - 3(y + )2 + 3(y + ) + - 2 
 = y3 + 3y2 + 3y.2 + 2 - 3(y2 + 2y + 2) + 3(y + ) + - 2 
 = y3 - 3y – 2
 = y3 - y – 2y – 2
 = y(y2 – 1) – 2(y + 1)
 = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
 = (y + 1)(y(y – 1) – 2)
 = (y + 1)(y2 – y – 2)
 = (y + 1)(y + 1)(y – 2)
 = (y + 1)2(y – 2) (*)
Thay : y = x - vào (*), được :
A = (x - + 1)2(x - - 2)
Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Giải: Ta có: 
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
M = y(y + 8) + 15
 = y2 + 8y + 15
 = y2 + 3y + 5y + 15
 = y(y + 3) + 5(y + 3)
 = ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta được :
M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
 = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)
 = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
 = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành :
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
Bằng cách biến đổi tương tự như bài 36, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.
Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Giải: Giả sử x , ta viết đa thức dưới dạng :
A = x2((x2 + ) + 6( x - ) + 7 )
Đặt y = x - thì x2 + = y2 + 2
Do đó : A = x2(y2 + 2 + 6y + 7)
	 	= x2( y + 3)2 
	 	= (xy + 3x) 2 
Thay y = x - , ta được 
A = 
 = (x2 + 3x – 1)2 
Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét : 
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = a0x2n + a1xn – 1 +.+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + ..+ a1x + a0 
Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay :
A = xn(a0xn + a1xn – 1 + .+ an – 1x + an + +..+ + 
Sau đó đặt y = x + ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng như bài tập trên.
Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12
Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12
 	 = (x + y)2 – (x + y) – 12 
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :
A = X2 – X – 12
 = X2 - 16 – X + 4
 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
 = (X - 4)(X + 4 - 1)
 = (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vào (1) ta được :
A = (x + y – 4)( x + y + 3)
Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2
Giải: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 
Đặt : 	x2 + y2 + z2 = a
xy + yz + zx = b
 	( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b
Đa thức A trở thành :
A = a(a + 2b) + b2 
 = a2 + 2ab + b2 
 = (a + b)2 (*)
Thay : a = x2 + y2 + z2 
 b = xy + yz + zx vào (*) ta được :
	A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2
Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 
Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x
Ta có : A + B + C = 0. Nên
	A + B = - C
Lập phương hai vế :
	(A + B)3 = - C3
	 A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3
	 A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B) 
	 A3 + B3 + C3 = 3ABC
Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta được :
 	(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
1.2.6. Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng)
	Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 – 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:
Cách 1: A = x2 – 6x + 5
 	= x2 – x – 5x + 5
 	 	= x(x – 1) – 5(x – 1)
 	= (x – 1)(x – 5)
Cách 2 : A = x2 – 6x + 5
 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4
 = (x – 1)2 – 4(x – 1)
 	= (x – 1)(x – 1 - 4)
 	= (x – 1)(x – 5)
Cách 3 : A = x2 – 6x + 5
 = (x2 – 6x + 9) – 4
 = (x – 3)2 – 4
 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 4 : A = x2 – 6x + 5
 = (x2 – 1) – 6x + 6
 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
 = (x – 1)( x + 1 – 6)
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 5 : A = x2 – 6x + 5
 = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2
 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)
 = 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 6 : A = x2 – 6x + 5
 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4
 = (x – 1)2 – 4x(x – 1)
 = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 7 : A = x2 – 6x + 5
 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5
 = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
 = (x – 1)(6x – 5(x + 1))
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 8 : A = x2 – 6x + 5
 	Đặt f(x) = x2 – 6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho 
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm như sau :
Bước 1 : lấy tích a.c = t
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b
Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x4 + 2x2 - 3
Giải:
Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3
 = x4 – x2+ 3x2 – 3
 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
 = (x2 – 1) (x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3
 = x4 + 3x2 – x2– 3
 = x2(x2 + 3) - (x2 + 3)
 = (x2 + 3)(x2 – 1) 
 = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (x4 ) + 2x2 – 1 – 2
 = (x4 – 1) + 2x2– 2
 = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)
 = (x2 – 1)(x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 4 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (x4 + 2x2 + 1) - 4
 = (x2 + 1)2 – 4
 = (x2 + 1)2 – 22 
 = (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2)
 = (x2 – 1) (x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 5 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (x4 – 9) + 2x2 + 6
 = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3)
 = (x2 + 3)( x2 - 3 + 2)
 = (x2 + 3)(x2 – 1)
 = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2
 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1)
 = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1)
 = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2)
 = (x2 – 1) (x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 	A = x4 + x2 + 1
Giải:
Cách 1 : A = x4 + x2 + 1
 = (x4 + 2x2 + 1) - x2
 = (x2 + 1)2 - x2
 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 2 : A = x4 + x2 + 1
 = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 3 : A = x4 + x2 + 1
 = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1)
 = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 5x2 + 6xy + y2
Giải: 
Cách 1 : F = 5x2 + 6xy + y2
 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2)
 = 5x(x + y) + y(x + y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 2 : F = 5x2 + 6xy + y2
 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2)
 = 6x(x + y) – (x – y)(x + y)
 = (x + y)(6x – x + y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 3 : F = 5x2 + 6xy + y2
 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 )
 = 4x(x + y) + (x + y)2 
 = (x + y)(4x + x + y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 4 : F = 5x2 + 6xy + y2	
 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 )
 = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 )
 = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 5 : F = 5x2 + 6xy + y2	
 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2)
 = 5(x + y)2 – 4y(x + y)
 = (x + y)(5(x + y) – 4y))
 = (x + y)(5x + y)
Cách 6 : F = 5x2 + 6xy + y2	
 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2)
 = 5(x2 – y2) + 6y(x + y)
 = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
 = (x + y)(5x – 5y + 6y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 7 : F = 5x2 + 6xy + y2	
 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2
 =(3x + y)2 – 4x2
 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x)
 = (x + y)(5x + y)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x4 + x2y2 + y4
Giải:
Ta có : P = x4 + x2y2 + y4
 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2
 = (x2 + y2)2 – (xy)2
 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)
Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có : A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
 	= x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x
 	= (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1))
	= (x2 – x + 1)(2x2 + 2)
Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x4 + 81
Giải: Ta có : P = 4x4 + 81
 	= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
 	= (2x2 + 9)2 – (6x)2
 	=(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
Giải: Ta có : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
 	= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
 	= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
 	= (3x – 1)(x2 – 2x + 5)
 Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x3 – x2 – x - 2
Giải: Ta có : A = x3 – x2 – x - 2
 	= x3 – 1 – (x2 + x + 1)
 	= (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1)
 	= (x2 + x + 1)(x – 1 – 1)
 	= (x2 + x + 1)(x – 2)
Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x3 + x2 – x + 2
Giải: Ta có : B = x3 + x2 – x + 2
 	= (x3 + 1) + (x2 - x + 1)
 	= (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
 	 	= (x2 - x + 1)(x + 1+ 1)
 	= (x2 - x + 1)(x + 2)
Bài 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x3 – 6x2 – x + 30
Giải: Ta có : C = x3 – 6x2 – x + 30
 	= x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30
 	= x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)
 	= (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1)
 	= (x + 2)((x – 4)2 – 1))
 	= (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1)
 	= (x + 2)(x – 5)(x – 3)
1.2.7. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :
Xét bd = 3 với b, d , b với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
 	Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Giải: