Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của hàm số

 
Mặt khác 
2 2 21
2 2
y z x
yz
 
  , suy ra 
2
2 1 1
2 2
x
x

  , do đó 
6 6
(*)
3 3
x   
Khi đó: 
  5 2 2 3 3 2 2
2
5 2 2 2 2
( )
1
 (1 ) ( )( ) ( )
2
P x y z y z y z y z
x x y z y z yz y z x x
     
 
           
 
2
5 2 2 2 2 31 1 5(1 ) (1 ) (2 ).
2 2 4
x x x x x x x x x x
    
              
    
 Xét hàm 
3( ) 2f x x x  trên 
6 6
;
3 3
 
 
 
, ta có 2( ) 6 1f x x   ; 
6
( ) 0
6
f x x     
Ta có 
6 6 6 6 6 6
,
3 6 9 3 6 9
f f f f
       
              
       
Do đó 
6
( )
9
f x  Suy ra 
5 6
36
P   
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 
5 6
36
Bài 4. Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn 3a b c   và 2 2 2 27.a b c   
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
     4 4 4 2 2 2 2 2 2 .P a b c ab a b ac a c bc b c         
Giải 
Ta có 
       
4 4 4 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 33
P a b c a b ab a c ac b c bc
a a b c b b a c c c a b a b c
        
           
18 
   3 2 23 3a b c b c bc     
Mà 3b c a  
       2 22 2 2 2
1 1
3 27 3 9
2 2
bc b c b c a a a a             
   
Ta luôn có  
2
4 , ,b c bc b c   . Do đó      2 23 4 3 9 3;5a a a a       
Ta có 3 23 27 81 324P a a a     
Xét hàm số 
3 2( ) 3 27 81 324f a a a a     xác định và liên tục trên  3;5 
 
 
2
3 3 2 3;5
'( ) 9 54 81; '( ) 0
3 3 2 3;5
a
f a a a f a
a
    
     
    
; 
( 3) 243; (5) 381; (3 3 2) 81 324 2f f f       
Vậy GTLN của ( )f a bằng 381 khi 5a  
Do đó GTLN của P bằng 381 khi 5; 1a b c    
Bài tập đề nghị 
1. Cho , 0x y > thỏa mãn 2 2 1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( )
1 1
1 1 1 1P x y
y x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= + + + + +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
. 
2. Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện 
2 2 2 1x y z   
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  6 27P y z x xyz    
2.2.2 Đưa biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa 1 biến là biến 
mới. 
2.2.2.1 Đánh giá qua hàm trung gian 
Bài 1: (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 – 2018) 
Cho ,a b là các số thực dương thoả mãn 
2 22( ) ( )( 2)a b ab a b ab     . Tìm GTNN 
của biểu thức 
3 3 2 2
3 3 2 2
4 9
a b a b
T
b a b a
   
      
   
. 
Giải 
Ta có , 0a b  
2 2 2 2 2 22( ) ( )( 2) 2( ) 2( )
1 1
2 1 ( ) 2
a b ab a b ab a b ab a b ab a b
a b
a b
b a a b
           
   
         
   
19 
Theo BĐT Côsi ta có: 
1 1 1 1
( ) 2 2 ( )2 2 2 2
b a
a b a b
a b a b a b
     
             
     
Suy ra 
5
2 1 2 2 2
2
a b b a a b
b a a b b a
   
          
   
 (do 0 
a b
b a
) 
Ta có 
3 23 3 2 2
3 3 2 2
4 9 4 3 9 18
a b a b a b a b a b
T
b a b a b a b a b a
          
                   
          
 Đặt 
a b
t
b a
  , 
5
2
t  . Ta được : 
3 2 3 24( 3 ) 9( 2) 4 9 12 18P t t t t t t        . 
Xét hàm số: 3 2 2
5
( ) 4 9 12 18, '( ) 12 18 12
2
f t t t t t f t t t         
1
'( ) 0 2
2
t
f t
t

  


Ta có bảng biến thiên : 
   
5 23
minT ( ; ) { 1;2 , 2;1 }
2 4
 
     
 
f khi a b 
Bài 2. Cho các số dương , ,a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3
1 6
P
a ab abc a b c
 
   
. 
Giải 
Vì , ,a b c là các số dương 44 2 .4 4 4 (1)
4
a b
a b a b a b ab ab

        . 
Đẳng thức xảy ra 4a b  . 
Vì a,b,c là các số dương 
t 5
2
  
'( )f t + 
(t)f 
23
4
 
 
20 
3 34 16 3 .4 .16 4 16 12a b c a b c a b c abc        3 4 16 (2)
12
a b c
abc
 
  . 
Đẳng thức xảy ra 4 16a b c   . 
Từ (1) và (2) => 3 4 4 16
4 12
a b a b c
ab abc
  
    
3 4 4 16
4 12
a b a b c
a ab abc a
  
       3
4
3
a ab abc a b c      . 
 3
1 3
4 a b ca ab abc
 
    
3 6
(3)
4
P
a b c a b c
  
   
Đặt ( 0)t a b c t    
Từ (3) xét 
2 3 2
3 6 3 6 1
( ) ( 0); '( ) ; '( ) 0
4 2 4
f t t f t f t t
t t t t
         . 
Bảng biến thiên 
t 0 1
4
  
'( )f t - 0 + 
( )f t  
12 
 0 
Nhìn vào bảng biến thiên   1( ) 12, , , 0
4
P f a b c f a b c         
đẳng thức xảy ra 
1
21
4 16
1
1
84
4
1
336
a
a b c
b
a b c
c


  
 
   
   



Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 
Bài 3. Cho , ,a b c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
2 2 2
4 9
( ) ( 2 )( 2 )4
T
a b a c b ca b c
 
    
Giải 
Theo BĐT Bunhiacopski ta có: 2 2 22 4( 4)a b c a b c       
21 
   2 2 2
1
2 4
2
a b c a b c        
Theo BĐT Côsi ta có: 
 
2
24 1 4( )
3( ) ( 2 )( 2 ) (3 3 ). 2
2 2 2
a b c a b c
a b a c b c a b a b c
      
           
   
Vậy 
2
8 27
2 2( )
T
a b c a b c
 
    
Đặt ;( 0)t a b c t    
2
8 27
( )
2 2
T f t
t t
   

Xét hàm số 
2
8 27
( ) , ( 0)
2 2
f t t
t t
  

; 
2 3
8 27
'( )
( 2)
f t
t t
  

3 2
2 3
8 27
'( ) 0 8 27( 2) 0 6
( 2)
f t t t t
t t
        

Bảng biến thiên: 
t 0 6 + ¥ 
( )'f t + 0 - 
( )f t 
5
8
 - ¥ 0 
Từ BBT ta có 
5
( ) (6)
8
T f t f   ; Vậy 
5
ax
8
m T  xảy ra khi 2a b c   
Bài 4. Cho các số thực , , 1a b c  thỏa mãn 6a b c   . Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức    2 2 22 2 2P a b c    . 
 Giải 
 Không mất tổng quát giả sử a b c  . Mà 6 2 , 4a b c c a b       
Nhận xét ta có bất đẳng thức     
2
2
2 22 2 2 , *
2
a b
a b
  
     
   
thật vậy  *
     
4
2 2 42 2 2 2 2 22 2 16 16
2
a b
a b a b a b a b a b a b
 
           
 
22 
         
22 2 2 22 216 4 4a b a b ab a b a b a b ab          
 
(đúng)(  
2
4 16a b ab   ). 
Đặt 
2
a b
x

 mà 2 6 6 2x c c x    
5
2
2
x   
Áp dụng  * ta có 
           
2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 6 2 2P a b c x c x x           
 
Xét hàm số      
2 22 52 6 2 2 , 2;
2
f x x x x
           
Có      2 224 2 2 3 1f x x x x x      ,  
3 5 5
0 2 , 2; .
2 2
f x x x
  
       
 
Lập bảng biến thiên 
 
5
2;
2
max ( ) 2 216f x f
 
 
 
  , Dấu bằng khi và chỉ khi 2a b c   
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 216 
Bài 5. (Đề thi HSG 12 – Tỉnh Vĩnh Phúc – năm học 2015-2016) 
Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn  1;9 và , x y x z . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 1
10 2
y y z
P
y x y z z x
 
   
   
. 
Giải 
Với a, b dương thỏa mãn 1ab  ta có bất đẳng thức 
1 1 2
1 1 1a b ab
 
  
. 
Thật vậy: 
1 1 2
1 1 1a b ab
 
  
   
2
1 0a b ab    đúng do 1ab  . Dấu 
bằng xảy ra khi và chỉ khi a b hoặc 1ab  . 
x 2 5
2
'( )f x 0 - 
( )f x 216 
3267
16
23 
Áp dụng bất đẳng thức trên: 
1 1 1 1 1 1
2
10 1 1 10 1
P
x z x x x
y y z y y
 
 
     
      
  
Đặt  1;3
x
t
y
  . Xét hàm số   2
1 1
10 1
f t
t t
 
 
 trên đoạn  1;3 . 
 
   
  4 3 22 2
2
2 1
' ; ' 0 2 24 2 100 0
110
t
f t f t t t t t
tt
        

  32 24 50 0 2t t t t      do  3 24 50 0 1;3t t t     . 
BBT 
Suy ra min
1
2
P  khi và chỉ khi 
4
4
2
1
x y
z x
x y
y z
z y
x
y


     
 

. 
Bài 6. Cho a,b,c là các số thực dương và 1abc  , thỏa mãn: 3 3 1 2.a b b a ab
ab
    
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 2
1 1 3
1 1 1 2
P
a b c
  
  
Giải 
Theo BĐT Cô–si ta có: 3 3 2 2 2 2 12 2 2a b ab a b ab a b
ab
      
Đặt t=a.b>0 2 3 21 12 2 2 2 1 0 1
2
t t t t t t
t
            
Với , 0; 1a b ab  ta chứng minh 
2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
 
  
(*) 
t 1 2 3 
 'f t  + 
 f t 
11
18
1
2
 5
4
24 
Thật vậy: 
2 2
1 1 1 1
(*) ( ) ( ) 0
1 1 1 1a ab b ab
    
   
2
2 2
( ) ( )
0 ( ) ( 1) 0
(1 )(1 ) (1 )(1 )
a b a b a b
a b ab
a ab b ab
 
      
   
 (đúng) 
 2 3 2 3
21 1 2
1
t
P
ab t t
ab
    
  

Xét    
   
2 2
1 2 3 2 6
;1 ; ; ' 0
2 1 2 1 2
t
t f t f t
t t t t
 
            
Từ đó  f t nghịch biến trên  
1 1 11
;1 ax
2 2 15
M f t f
   
    
   
Dấu “=” xảy ra khi 
1 1 1
; ; 2
2 2 2
t a b c     
Bài 7. Cho các số , ,x y z thỏa mãn 0 x y z   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức 
 
2
2 2 2
2 2 2
6
x y z
P xy yz zx xyz
 
     . 
Giải 
Vì 0 x y z   nên 
2
2 2 2 2 2 2
( )( ) 0 ( )( ) 0
0
x x y y z x xy y z
x y x z xy xyz x y xyz x z xy
      
        
Khi đó 
     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2xy yz zx xyz x z xy yz xyz x y xyz yz xyz y x z             
Theo bất đẳng thức Cô si ta có: 
 2 2 2 2 2 2 2
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 ( )( )
2
1 2 ( ) ( )
2
3 32
y x z y x z x z
y x z x z x y z
   
        
    
   
Do đó 
 
2 3 22 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 32
6 3 2 3
x y z x y z x y z
P xy yz zx xyz
        
         
   
Đặt 
2 2 2
( 0)
3
x y z
t t
  
  
 
. Ta có 
3 43( ) 2
2
P f t t t   . 
25 
2 3 2'( ) 6 6 6 (1 ) 0 1f t t t t t t       . 
Lập bảng biến thiên của hàm ( )f t 
t 0 1 + ¥ 
( )'f t + 0 - 
( )f t 
1
2
0 - ¥ 
Từ bảng biến thiên ta có 
3 1 1
( ) (1) 2 .
2 2 2
f t f P      
Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là 
1
2
 khi 1.x y z   
Bài 9. (Đề khảo sát giáo viên tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 – 2018) 
Cho hai số thực , a b thỏa mãn 1 1
3
b a   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
23 1log 12log 6
4
a b
a
b
P a
 
   
 
. 
Giải 
Ta có: 
3 2 14 3 1 ( 1)(2 1) 0, ;1
3
b b b b b
 
        
 
. 
Suy ra:  3 3
3 1
3 1 4 log log
4
a a
b
b b b
 
    
 
, do 
1
;1
3
a
 
 
 
. 
 
2
2
2
12 12
3log 12log 6 3 og 6 3 og 6
log 1log
a b a a
a a
a
P b a l b l b
b b
a
         
  
 
 
. 
Đặt logat b . Do 1 1b a t    
Khi đó 
 
2
12
3 6
1
P t
t
   

Xét 
 
2
12
( ) 3 6
1
f t t
t
  

 trên (1; ) 
Ta có 
 
3
24
'( ) 3
1
f t
t
 

; '( ) 0 3f t t   
Bảng biến thiên 
26 
t 1 3 + ¥ 
( )'f t - 0 + 
( )f t 
+ ¥ + ¥ 
 6 
Dựa vào bảng biến thiên ta có ( ) 6, 1.f t t³ " > 
Suy ra 6,P ³ dấu “=” xảy ra khi 
3
1 1
;
2 2
b a= = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 . 
Bài tập đề nghị 
1. Cho , 0a b  và 1a b  . Chứng minh rằng: 1 1 5a b
a b
    . 
2. Cho ,x y là số thực dương thỏa mãn  2ln nln l  y xx y . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của  P x y 
3. Cho các số thực dương , ,a b c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
   2 2 2
1 2
1 1 11
P
a b ca b c
 
    
4. (Đề thi Đại học khối A năm 2011) 
Cho , ,x y z là ba số thực thuộc đoạn  1;4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
2 3
x y z
P
x y y z z x
  
  
 5. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 1x y z   . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
3 3 3 14
( 1) 1
x y z
P
x yz y zx z xy z x y xy
   
      
2.2.2.2 Sử dụng hàm số đặc trưng để đánh giá 
Bài 1. (THPT Quốc gia 2016- 2017) 
Cho các số thực dương thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải 
Ta có 
Xét hàm số 
3
1
log 3 2 4.
2
xy
xy x y
x y

   

.P x y 
        3 3 3
1
log 3 2 4 log 3 3 3 3 log 2 2 *
2
xy
xy x y xy xy x y x y
x y

           

  3log , 0f t t t t  
27 
Ta có đồng biến trên 
Khi đó 
Vậy
23 3 2
3 2 3 2
x x x
P x y x
x x
  
    
 
Xét hàm số 
23 2
( )
3 2
x x
g x
x
 


trên 
Ta có 
 
2
2
9 12 7
'( )
3 2
x x
g x
x
 


; 
2 11
'( ) 0
3
g x x
 
   
Bảng biến thiên 
x 0 
2 11
3
- +
 + ¥ 
( )'g x - 0 + 
( )g x 
1 + ¥ 
2 11 3
3
-
Từ bảng biến thiên ta có 
2 11 3
min
3
P

 
Bài 2. (Đề thi HSG – tỉnh Vĩnh Phúc – năm học 2016-2017) 
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 1abc  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
3 3 3
2 2 21 1 1
a b c
P
a a b b c c
   
     
Giải 
Xét hàm số  
3
2
2 1
( ) ln , 0;
1 3 3
x
f x x x
x x
    
 
Ta có 
 
 
 
 
2 2 4 3 2
2 2
2 2
2 3 ( 1) 3 7 12 6 22
'( )
31 3 1
x x x x x x x x
f x
xx x x x x
      
  
   
Do 0 '( ) 0 1x f x x     
Ta có bảng biến thiên 
   
1
1 0, 0
ln3
f t t f t
t
        0;
     
3
* 3 3 2 3 3 2
3 2
x
f xy f x y xy x y y
x

         

 
2 2
2
3 3 2 9 12 7
3 2 3 2 3 2
x x x x x
S x S
x x x
    
    
  
 0;
28 
x 0 1 3 
( )'f x - 0 + 
( )f x 
+ ¥ 
68 26 ln3
39

 0 
Từ bảng biến thiên ta được ( ) (1) 0; 0f x f x    
Thay x lần lượt bằng a,b,c ta được: ( ) ( ) ( ) 0f a f b f c   
 
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
2
ln ln ln 1 0
1 1 1 3
2
ln( ) 1 0
1 1 1 3
1 1
1 1 1
a b c
a b c
a a b b c c
a b c
abc
a a b b c c
a b c
P
a a b b c c
       
     
     
     
     
     
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi a b c 1   
Bài 3. Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 
 ( ) ( ) ( )
2 2 2
0 18.x y y z z x< + + + + + £ 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
( ) ( )
42017 2017 20173 3 3
3
1
4 4 4 log 2017.
108
x y z
P x y z x y z= + + + + + - + + - 
Giải 
Từ giả thiết suy ra 
2 2 2
0 , , 3
0 9
x y z
x y z
ì £ £ïï
í
ï < + + £ïî
Xét hàm số ( ) [ ]34 1, 0;3
t
g t t t= - - Î . Ta có ( ) 3
1
' .4 .ln 4 1
3
t
g t = - 
( ) 4 0
3
' 0 3log
ln 4
g t t t= Û = = ; ( ) 0' 0g t t t> Û > và ( ) 0' 0 .g t t t< Û < 
Vì 
3
1 4
ln 4
< < , nên 00 3.t< < 
Bảng biến thiên 
29 
t 0 0t 3 
( )'g t - 0 + 
( )g t 
0 0 
 ( )0g t 
Suy ra ( ) [ ] [ ]30, 0;3 4 1, 0;3
t
g t t t t£ " Î Û £ + " Î (1) 
Lại có 
2017 2017 2017 2 2 2
0 , , 3 0 , , 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
x y z x y z x y z
x y z
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç£ £ Û £ £ Þ + + £ + + £÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø è ø
2017 2017 2017
3log 0
3 3 3
x y zé ùæ ö æ ö æ öê ú÷ ÷ ÷ç ç çÞ + + £÷ ÷ ÷ç ç çê ú÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øê úë û
 (2) 
Ta có ( )
2017 2017 2017
4
3 3 3
3
1
4 4 4 log
3 3 3 108
x y z
x y z
P x y z
é ùæ ö æ ö æ öê ú÷ ÷ ÷ç ç ç= + + + + + - + +÷ ÷ ÷ç ç çê ú÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øê úë û
Từ (1) và (2) ( ) ( )
41
3
108
P x y z x y zÞ £ + + + - + + 
Đặt ,x y z u+ + = khi đó 0u ³ và 
413
108
P u u£ + - . 
Xét hàm số ( ) 4
1
3
108
f u u u= + - , với [ )0;u Î + ¥ 
Có ( ) ( )3
1
' 1 , ' 0 3
27
f u u f u u= - = Û = 
Bảng biến thiên 
Dựa vào bảng biến thiên ta có ( )
21
, 0.
4
f u u£ " ³ 
u 0 3 + ¥ 
( )'f u + 0 - 
( )f u 
21
4
3 - ¥ 
30 
Suy ra 
21
,
4
P £ dấu “=” xảy ra khi 3, 0x y z= = = hoặc các hoán vị. 
Vậy giá trị lớn nhất của P là 
21
4
. 
Bài 4. Cho hai số thực thỏa mãn và 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải 
Ta có 
Xét hàm số trên  0; 
1
'( ) 1 0; 0f t t
t
     
Hàm số đồng biến nên 
Vậy 
Đặt 
Ta có 
Mặt khác   
9
1 1 0 1 8 2 1
2
x y xy x y x y xy t t               
Xét hàm số 3 2( ) 3 81g t t t t   trên 
9
4;
2
 

 
,x y , 1x y 
     
1
3log 1 1 9 1 1 .
y
x y x y

       
 3 3 57P x y x y   
         
1
3 3 3
9
log 1 1 9 1 1 log 1 log 1 1
1
y
x y x y x y x
y

               
 3 3
9 9
log 1 1 log
1 1
x x
y y
     
 
  3logf t t t 
9
1 8
1
x x y xy
y
     

     
3
3 57P x y xy x y x y     
 3 3 23 8 . 57 3 81t x y P t t t t t t t         
2
28 4 32 0 4.
4
t
x y xy t t t t          
  23 6 81 0 1 2 7g t t t t        
31 
Bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của P là 83 112 7 
Bài 5. Xét các số thực x , y  0x  thỏa mãn 
 3 1 1 3
1
2018 2018 1 2018 3
2018
x y xy xy
x y
x y x   

      
. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2T x y  . 
Giải 
 
  
3 1 1
3
3 3 1 1
1
2018 2018 1 2018 3
2018
2018 2018 3 2018 2018 1 *
x y xy xy
x y
x y x y xy xy
x y x
x y xy
   

     
      
        
Xét hàm số ( ) 2018 2018t tf t t   
'( ) 2018 ln 2018 2018 ln 2018 1 0;t tf t t     
Hàm số đồng biến nên  
1
* 3 1 ( 0)
3
x
x y xy y do x
x
 
       

Khi đó 2 2
3
x
T x
x

 

Ta có  
2 2
3
x
g x x
x

 

 xét trên  0; . 
Có  
 
2
2
' 0, 0
3
6 5x
g x x
x
x





  
Vậy 
 
 
0;
2
min (0)
3
g x g

   . 
Bài 6. Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn: 2 2 2 1a b c   . Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức 
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2a a a b b b c c c
P
b c c a a b
     
  
  
Giải 
 t 
4 2 7 1 
9
2
 'g t + 0 - 
 g t 
 212 
1708
8

 83 112 7 
32 
Từ giả thiết  , , 0;1a b c  
Ta có: 
 
2
25 3
3
2 2 2
12
1
a aa a a
a a
b c a
 
   
 
Tương tự ta cũng có: 
5 3
3
2 2
2b b b
b b
c a
 
  

 và 
5 3
3
2 2
2c c c
c c
a b
 
  

Do đó      3 3 3P a a b b c c         
Xét hàm số:    3 , 0;1f t t t t    . Ta có:    2
1
3 1, 0
3
f t t f t t       
 Bảng biến thiên: 
Do đó      
2 3
3
f a f b f c   hay      3 3 3
2 3
3
a a b b c c         
Dấu “=” xảy ra khi 
1
3
a b c   . 
Vậy giá trị lớn nhất của P là 
2 3
3
Bài tập đề nghị 
1. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn  
2 2 22 2 2 24 9.3 4 9 .7x y x y y x      . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 18x yP
x
 
 . 
2. Cho các số thực a , b thỏa mãn điều kiện 0 1b a   . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
  24 3 1log 8log 1
9
a b
a
b
P a

   . 
2.2.2.3 Sử dụng tính chất tiếp tuyến 
Cho hàm số f ( x )liên tục và có đạo hàm cấp hai trên đoạn  a;b 
Nếu  f "(x) 0, x a,b   ta luôn có    0 0 0 0f(x) f '( x ) x x f(x ), x a,b     
Nếu  f "(x) 0, x a,b   ta luôn có    0 0 0 0f(x) f '( x ) x x f(x ), x a,b     
 t 
0 
1
3
 1 
 f t + 0 - 
 f t 
2 3
9
0 0 
33 
Đẳng thức xảy ra trong hai bất đẳng thức trên khi và chỉ khi 0x x 
Với bài toán sử dụng tính chất tiếp tuyến này thì việc chọn điểm rơi 0x x là 
khó, để tìm được điểm này thường chúng ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi các 
biến có giá trị bằng nhau. 
Bài 1. Cho a,b,c,d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=   2 2 2 2 2 2 2 21 1a b a b c d c d      
Giải 
    
       
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
ln ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
P a b c d
P a b c d
    
        
Đặt  2( ) ln 1f t t  
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi 1
4
a b c d    
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  2( ) ln 1f t t  tại 
1 17
;ln
4 16
M
 
 
 
: 
1 1 17 8 2 17
' ln ln
4 4 16 17 17 16
y f t t
  
       
  
Chứng minh được bất đẳng thức:     2
8 2 17
ln 1 ln , 0;1 *
17 17 16
t t t      
Thật vậy    2
8 2 17
(*) ( ) ln 1 ln 0, 0;1
17 17 16
g t t t t         
2
2 8
'( )
1 17
t
g t
t
 

 
 
1
0;1
4'( ) 0
4 0;1
t
g t
t

  

 
Ta có 
2 17 32 6 1
(0) ln ; (1) ln ; 0
17 1