Sáng kiến kinh nghiệm Một số kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh Lớp 11

ABM Chứng minh  / / .MN SAB 
Bài 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm .O 
1) Xác định giao tuyến của  SAB và  .SCD Gọi I là trung điểm của ,SA tìm 
giao điểm của IC và mp  .SBD 
2) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  .IBC 
Bài 6: Cho hình chóp . ,S ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi 
,M N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh ,SA SB sao cho 2AM SM và 3 .SN SB 
1) Tìm giao tuyến của  SAD và  ;SBC  SAB và  .SCD 
2) Chứng minh MN song song với mp  .SCD 
Bài 7: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi 
,M N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và .SC 
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :  SAD và  .SBC 
2) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng  .AMN 
3) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  .AMN 
Bài 8: Cho hình chóp .S ABCD các cạnh đáy không song song nhau . Gọi M là điểm 
nằm trong mặt phẳng  .SCD 
1) Tìm giao tuyến của hai mặt  SAB và  .SCD 
2) Tìm thiết diện của mặt phẳng  P đi qua M song song với CD và .SA 
Bài 9: Cho hình chóp . ,S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên hai cạnh 
,SA SB lần lượt lấy hai điểm ,M N sao cho: 
SB
SN
SA
SM
 . 
 Trang 21 
1) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :  SAC và  ;SBD  ADN và  .SBC 
2) Chứng minh  / / .MN SCD 
NỘI DUNG 2: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
I. Cơ sở lý thuyết 
2.1. Các định nghĩa 
+) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa 
chúng bằng 090 . 
0( , ) 90a b a b   
+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó 
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. 
( ) ( ) :a b a b     
+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng 
bằng 090 . 
0( ) ( ) (( ),( )) 90      . 
+) Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng 'a và 
'b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và .b 
+) Định nghĩa 5: 
 . Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng   thì ta nói rằng góc giữa đường 
thẳng a và mặt phẳng   bằng 090 . 
. Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng   thì góc giữa a và hình 
chiếu 'a của nó trên mặt phẳng   gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng 090 . 
+) Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông 
góc với hai mặt phẳng đó. 
+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   (hoặc đến đường thẳng 
∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và ,H trong đó H là hình chiếu vuông góc của 
M trên mặt phẳng   (trên đường thẳng ∆). 
 Trang 22 
+) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng   song song với 
a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng  . 
+) Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một 
điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 
+) Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông 
góc chung của hai đường thẳng đó. 
2.2. Các định lý thường được sử dụng 
Định lý 1: , ( ) ( )
,
a b
a b P d P
d a d b
 

  
  
Định lý 2: 
( )
( )
( )
a P
d P d a
a P
 

  
  
Định lý 3: + 
( )
' ( )
'/ /
d P
d P
d d
 
 
 
 + 
( ) / /( )
( )
( )
P Q
d Q
d P

 
 
 + 
/ /( )
'
' ( )
d P
d d
d P

 
 
Định lý 4: 
( )
( ) ( )
( )
d P
P Q
d Q
 
 
 
Định lý 5: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
P Q
P Q
d Q
d P
d
 
  
 
 
  
Định lý 6: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q
P R R
Q R
  

  
  
 Trang 23 
BÀI TOÁN 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT 
PHẲNG 
1. Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý 1 để chứng minh. Hoặc sử dụng định lý 
3, định lý 5, định lý 6 trong một số trường hợp đặc biệt 
2. Các ví dụ mẫu: 
Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại ,C ( )SA ABC 
a) Chứng minh rằng: ( )BC SAC 
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên .SC Chứng minh rằng: ( )AE SBC 
c) Gọi mp  P đi qua AE và vuông góc với  ,SAB cắt SB tại .D Chứng minh rằng: 
( )SB P 
d) Đường thẳng DE cắt BC tại .F Chứng minh rằng: ( )AF SAB 
Giải: a) Ta có: ( ) (1)BC AC gt 
Mặt khác, vì 
( )
 (2)
( )
SA ABC
SA BC
BC ABC
 
 
 
Từ (1) và (2) suy ra:  .BC SAB 
b) Ta có: (3) (gt)AE SC 
Theo a) ( ) (4)BC SAB AE BC   
Từ (3) và (4) suy ra: ( )AE SBC 
c) Ta thấy: ( ) ( )P ADE 
Theo b) ( ) (5)AE SBC BC AE   
F
C
S
BA
E
D
H
 Trang 24 
Trong mp(ADE) kẻ ,EH AD H AD  . Vì 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (6)
ADE SAB
ADE SAB AD EH SAB SB EH
EH AD
 

     
 
Từ (5) và (6) suy ra: ( )SB ADE hay ( ).SB P 
d) Từ 
( )
 (7)
( )
SA ABC
AF SA
AF ABC
 
 
 
Theo c) ( ) (8)SB ADE AF SB   . Từ (7) và (8) suy ra: ( )AF SAB 
Ví dụ 2: Cho hình chóp . ,S ABCD đáy 
ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam 
giác đều, ( ) ( )SAB ABCD . Gọi ,I F lần 
lượt là trung điểm của AB và .AD Chứng 
minh rằng: ( ).FC SID 
Giải: Ta có: 
( ) ( ) ( )
( )
 (1)
SI AB
SAB ABCD SI ABCD
SI SAB
SI CF
 

  
 
 
Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và DFC có: 
, .AI DF AD DC  Do đó, AID DFC  từ đó ta có: 
1 1
0
2 2 1 2
0
1 2
0
90
90
90
I F
D C F D
I D
FHD


   

  
 
Hay (2)CF ID 
Từ (1) và (2) suy ra: ( )FC SID 
H
F
I
D
S
A
CB
2
2
1
1 H
I
F D
B
A
C
 Trang 25 
BÀI TOÁN 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
1. Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý 2 hoặc là các cách chứng minh vuông 
góc có trong hình học phẳng 
2. Các ví dụ mẫu: 
Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và 
,B ( )SA ABCD , 
2 ; .AD a AB BC a   Chứng 
minh rằng: Tam giác SCD vuông 
Giải: Ta có: 
( )
(1)
( )
SA ABCD
SA CD
CD ABCD
 
 
 
+ Gọi I là trung điểm của .AD 
Tứ giác ABCI là hình vuông. Do 
đó, 
045ACI  (*). Mặt khác, 
CID là tam giác vuông cân tại I nên: 045BCI  (*). 
Từ (*) và (**) suy ra: 
090ACD  hay AC CD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: ( )CD SAC CD SC   hay SCD vuông tại .C 
Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp đều .S ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm 
đối xứng của D qua trung điểm .SA Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của AE và 
.BC CMR: MN BD 
Giải: Gọi ,I P lần lượt là trung điểm của 
AB và ,SA O là giao điểm của AC và 
.BD 
Ta có: 
/ /
(1)
IN AC
BD IN
AC BD

 
 
P
I O
N
M
E
D
CB
A
S
DI
B C
A
S
 Trang 26 
Mặt khác, 
/ /
/ / (*)
/ /
IM BE
IM PO
BE PO



Mà (**)PO BD (vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm của BD ) 
Từ (*) và (**) ta có: (2)BD IM 
Từ (1) và (2) ta có: ( )BD IMN BD MN   
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2: 
+ Chọn mp  IMN với I là trung điểm của AB ( vì BD AC nên chọn mp chứa 
MN và vuông góc với BD là mp  IMN ) 
+ Sử dụng các giả thiết trung điểm để chứng minh song song. 
+ Sử dụng định lý: 
/ /a b
b c
a c

 
 
Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD 
đều, ( ) ( )SAD ABCD . Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm của ,SB BC và .CD 
Chứng minh rằng: AM BP 
Giải: Gọi I là giao diểm của AN và ,BP 
H là trung điểm của ,AD K là giao điểm 
của AN và .BH 
 Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có: 
,AB BC .BN CP Suy ra, 
ABN BCP 
,BAN CBP ANB BPC   mà 
0 090 90BAN ANB CBP ANB     
hay AN BP (1) 
Vì ∆SAD đều nên: ( ) ( ) (*)
( )
SH AD
SAD ABCD SH BP
BP ABCD
 

  
 
. 
K
H I
P
M
N
B
S
A
D C
 Trang 27 
Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật 
nên K là trung điểm của HB hay 
/ / (**)MK SH 
Từ (*) và (**) suy ra: (2)BP MH 
Từ (1), (2) suy ra: 
( )BP AMN BP AM  
BÀI TOÁN 3: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 
1. Phương pháp: Sử dụng định lý 3 
2.Các ví dụ mẫu: 
Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình thoi , .SA SC Chứng minh 
rằng: ( ) ( )SBD ABCD 
Giải:+ Ta có: AC BD (1) (giả thiết) 
+ Mặt khác, SO AC (2) (SAC là tam giác 
cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là 
đường cao của tam giác) 
+ Từ (1) và (2) suy ra: ( )AC SBD mà 
( )AC ABCD nên ( ) ( )SBD ABCD 
Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp .S ABCD có 
đáy ABCD là hình chữ nhật, 
AB a 2AD a , ( )SA ABCD . Gọi M 
là trung điểm của ,AD I là giao điểm của 
AC và .BM Chứng minh rằng: 
( ) ( )SAC SMB 
Giải: 
 + Ta có: ( ) (1)SA ABCD SA BM   . 
O
C
BA
D
S
I
M D
S
A
CB
 Trang 28 
+ Xét tam giác vuông ABM có: tan 2
AB
AMB
AM
  . Xét tam giác vuông ACD có: 
1
tan
2
CD
CAD
AD
  . Ta có: 
0
0
cot cot(180 ( ))
cot( ) 0
90
AIM AMB CAD
AMB CAD
AIM
   
  
 
Hay (2)BM AC . 
+ Từ (1) và (2) suy ra: ( )BM SAC mà ( )BM SAC nên ( ) ( )SAC SMB 
1.4. Bài tập: 
Bài tập 1: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh .a Gọi I là trung 
điểm của ,BC D là điểm đối xứng với A qua ,I 
6
( ),
2
a
SD ABC SD  . Chứng 
minh rằng: 
a) ( ) ( )SBC SAD 
b) ( ) ( )SAB SAC 
Bài tập 2: Cho hình chóp . ,S ABCD có đáy là hình vuông tâm ,O  .SA ABCD Gọi 
, ,H I K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên , , .SB SC SD 
a) Chứng minh rằng:      ; ; .BC SAB CD SAD BD SAC   
b) Chứng minh rằng: ,AH AK cùng vuông góc với .SC Từ đó suy ra 3 đường 
thẳng , ,AH AI AK cùng nằm trong một mặt phẳng. 
c) Chứng minh rằng:  .HK SAC Từ đó suy ra .HK AI 
Bài tập 3: Cho tứ diện .S ABC có tam giác ABC vuông tại  ;B SA ABC . 
 a) Chứng minh rằng:  .BC SAB 
b) Gọi AH là đường cao của .SAB Chứng minh rằng: .AH SC 
Bài tập 4: Cho hình chóp . ,S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm .O Biết 
; .SA SC SB SD  
a) Chứng minh rằng:  .SO ABCD 
 Trang 29 
b) Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của các cạnh , .BA BC Chứng minh rằng: 
 .IJ SBD 
Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều. Gọi I là trung 
điểm của .BC 
a) Chứng minh rằng:  .BC AID 
b) Vẽ đường cao AH của .AID Chứng minh rằng:  .AH BCD 
Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là 
hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng  .ABC Chứng minh rằng: 
a)  .BC OAH 
b) H là trực tâm tam giác .ABC 
c) 
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
   . 
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn. 
Bài tập 7: Cho hình chóp . ,S ABCD có đáy là hình vuông cạnh .a Mặt bên SAB là 
tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh .S Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của 
AB và .CD 
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh:    ; .SI SCD SJ SAB  
b) Goị H là hình chiếu vuông góc của S trên .IJ Chứng minh rằng: .SH AC 
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: .BM SA 
Tính AM theo .a 
Bài tập 8: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh ,a mặt bên SAB là tam 
giác đều và 2.SC a Gọi H và K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và .AD 
a) Chứng minh rằng:  .SH ABCD 
b) Chứng minh rằng: AC SK và .CK SD 
 Trang 30 
Bài tập 9: Cho hình chóp . ,S ABCD có đáy là hình chữ nhật và ; 3.AB a BC a  
mặt bên SBC vuông tại ,B mặt bên SCD vuông tại D và có 5.SD a 
a) Chứng minh rằng:  SA ABCD và tính .SA 
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với ,AC cắt các đường thẳng ,CB CD lần 
lượt tại , .I J Gọi H là hình chiếu của A trên .SC Hãy xác định các giao điểm 
,K L của ,SB SD với mặt phẳng  .HIJ Chứng minh rằng: 
   ; .AK SBC AL SCD  
c) Tính diện tích hình .AKHL 
Bài tập 10: Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng  .P Trên đường thẳng 
vuông góc với  P tại A ta lấy 2 điểm ,C D ở hai bên điểm .A Gọi 'C là hình chiếu 
của C trên ,MD H là giao điểm của AM và '.CC 
a) Chứng minh rằng:  ' .CC MBD 
b) Gọi K là hình chiếu của H trên .AB CMR: K là trực tâm của .BCD 
Bài tập 11: Cho tam giác đều ,ABC cạnh .a Gọi D là điểm đối xứng của A qua .BC 
Trên đường thẳng vuông góc với mp  ABC tại D lấy điểm S sao cho 6.SD a 
Chứng minh hai mặt phẳng  SAB và  SAC vuông góc với nhau. 
Bài tập 12: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt  ABC và  ABD cùng vuông góc 
với mặt phẳng  .DBC Vẽ các đường cao ,BE DF của ,BCD đường cao DK của 
.ACD 
 a) Chứng minh rằng:  .AB BCD 
 b) Chứng minh rằng hai mặt phẳng  ABE và  DFK cùng vuông góc với 
mp  .ADC 
 c) Goị O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và .ADC 
 Chứng minh rằng:  .OH ACD 
Bài tập 13: Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình vuông,  .SA ABCD 
 Trang 31 
 a) Chứng minh rằng    .SAC SBD 
 b) Gọi ,BE DF là hai đường cao của .SBD 
 Chứng minh rằng:    ,ACF SBC    .AEF SAC 
Bài tập 14: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a 
 .SA ABCD Gọi ,M N là 2 điểm thuộc hai cạnh ,BC DC sao cho 
2
a
BM , 

3
4
a
DN . Chứng minh 2 mặt phẳng  SAM và  SMN vuông góc với nhau. 
Bài tập 15: Cho tam giác ABC vuông tại .A Vẽ 'BB và 'CC cùng vuông góc với 
mp  .ABC 
 a) Chứng minh rằng    ' ' .ABB ACC 
 b) Gọi ,AH AK là các đường cao của ABC và ' .A BC Chứng minh hai mặt 
phẳng  ' 'BCC B và  ' 'AB C cùng vuông góc với mặt phẳng  .AHK 
Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông tại A có , .AB c AC b  Gọi  P là mặt 
phẳng qua BC và vuông góc với mp  ;ABC S là 1 điểm di động trên  P sao cho 
SABC là hình chóp có hai mặt bên ,SAB SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần 
lượt là  và 
2


 . Gọi , ,H I J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên 
, , .BC AC AB 
 a) Chứng minh rằng: 2 .SH HI HJ 
 b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị nhỏ nhất của . 
Bài tập 17: Cho hình tứ diện ABCD có ,AB BC a  ,AC b 
,DB DC x  .AD y Tìm hệ thức liên hệ giữa , , ,a b x y để: 
 a) Mặt phẳng    .ABC BCD 
 b) Mặt phẳng    .ABC ACD 
 Trang 32 
D
B C
A
S
Bài tập 18: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có 
góc A bằng 600, cạnh 
6
2
a
SC  và  .SC ABCD 
 a) Chứng minh rằng:    .SBD SAC 
 b) Trong tam giác SCA kẻ IK SA tại .K . Tính độ dài .IK 
c) Chứng minh rằng 090BKD  và từ đó suy ra    .SAB SAD 
BÀI TOÁN 4: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
1. Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau 
Cách 1:    , ', 'a b a b trong đó ', 'a b là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song 
song với a và .b Tức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với 
a và .b 
Cách 2:    , ', 'a b a b trong đó 'b là đường thẳng cắt đường thẳng a và song song 
với .b Tức là chọn trên a (hoặc b ) một điểm A rồi từ đó chọn một đường thẳng qua 
A và song song với b (hoặc .a ) 
2. Các ví dụ mẫu: 
Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABCD có đáy 
là hình thoi cạnh ,a 
3,SA a SA BC  . Tính góc giữa hai 
đường thẳng SD và .BC 
Giải: Ta có: / /BC AD và 
0
/ /
90
BC AD
SAD
SA BC

 
 
. Do đó, 
( , ) ( , )SD BC SD AD SDA  . 
Xét tam giác SAD vuông tại A ta có: 
0tan 3 60
SA
SDA SDA
AD
    
Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 060 . 
 Trang 33 
2a
2a
a 3
I
N
M
B
D
C
A
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có 2 .AB CD a  Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của 
BC và ,AD 3MN a . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và ?CD 
Giải: Gọi I là trung điểm của .BD Ta có: 
/ /
( , ) ( , )
/ /
IN AC
AB CD IM IN
IM CD

 

. 
Xét tam giác IMN có: 
, 3IM IN a MN a   . Do đó, 
2 2
2
0
2 3 1
cos
2 2
120
a a
MIN
a
MIN

  
 
Vậy: 
0 0 0( , ) 180 120 60AB CD    
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2: 
+ Việc tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD thông qua góc giữa hai đường thẳng 
IM và IN nhờ vào giả thiết 3.MN a 
+ Một số em đồng nhất ( , )IM IN MIN
là chưa chính xác mà 
0
( , )
180
MIN
IM IN
MIN

 
 
. Đến đây ta có thể giải quết theo hai hướng: 
+ Chứng minh góc 
090MIN  
+ Tính ra cụ thể góc MIN rồi sau đó dựa vào giá trị của góc MIN để kết luận về giá 
trị của góc giữa hai đường thẳng AB và CD 
Ví dụ 3: (A-2008) Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 2 ,a đáy 
ABC là tam giác vuông tại ,A , 3.AB a AC a  Hình chiếu vuông góc của 'A lên 
mp  ABC là trung điểm của .BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng 'AA và 
' '.B C 
 Trang 34 
Giải: Gọi H là trung điểm của .BC 
Ta có: 
'/ / '
( ', ' ')
' '/ /
( ', )
AA BB
AA B C
B C BD
BB BD

 


Hay, 
cos( ', ' ') cos( ', )
cos '
AA B C BB BD
HBB
 
 
Xét tam giác A’B’H có 
0' 90 , ' 'A A B a  , 
2 2
2
2
' '
' 3
2
A H AA AH
BC
AA a
  
 
   
 
, 
2 2' ' ' ' 2HB A H A B a   . 
Do đó, 
2 2 2' ' 1
cos '
2. . ' 4
BH BB HB
HBB
BH BB
 
  
 Vậy 
1
cos( ', ' ') cos '
4
AA B C HBB  
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 3: 
+ Áp dụng cách 1 để giải bài toán này 
+ Điểm mấu chốt của bài toán này là tìm ra được độ dài của HB’ thông qua nhận xét 
A’H vuông góc với mp(A’B’C’) 
BÀI TOÁN 5: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
1.Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  P 
+ Tìm ( )I d P  
+ Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với  P 
+ ( ,( ))d P AIH 
I
H
C'
B'
C
B
A
A'
 Trang 35 
2.Các ví dụ mẫu: 
Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a 
( ) ( )SAB ABCD , H là trung điểm của ,AB , .SH HC SA AB  Tính góc giữa 
đường thẳng SC và mặt phẳng 
 .ABCD 
Giải: 
 Ta có: 
1
,
2 2
a
AH AB  ,SA AB a  
2 2 5 .
2
a
SH HC BH BC    
Vì 
2
2 2 25
4
a
SA AH AH   nên tam 
giác SAH vuông tại A hay SA AB 
mà ( ) ( ).SAB ABCD Do đó, ( )SA ABCD và AC là hình chiếu vuông góc của 
SC lên mp  .ABCD 
Ta có: ( ,( ))SC ABCD SCA , 
2
tan
2
SA
SCA
AC
  . 
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD là góc có tang bằng 
2
2
. 
Ví dụ 2: Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a SA vuông góc 
với mặt phẳng đáy, 6.SA a Tính sin của góc 
giữa: 
a) SC và  .SAB 
b) AC và  .SBC 
Giải: 
a) Ta có: (gt)BC AB và SA BC (vì 
( )SA ABCD ) ( )BC SAB 
a
H
D
B C
A
S
D
B C
A
S
H
 Trang 36 
Do đó SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp  .SAB 
( ,( ))SC SAB BSC  . Ta có: 
2 2
sin( ,( )) sin
2
4
SC SAB BSC
BC a
SC SA AC
  
  

. 
b) 
Trong mp  SAB kẻ ( )AH SB H SB  . 
Theo câu a) ( )BC SAB AH BC   nên ( )AH SBC hay CH là hình chiếu 
vuông góc của AC trên mp  .SBC ( ,( ))AC SBC ACH  . 
Xét tam giác vuông SAB có: 
2 2 2 2
1 1 1 7 6
.
6 7
AH a
AH AB SA a
     
+ Vậy 
21
sin( ,( )) sin
7
AH
AC SBC ACH
AC
   
BÀI TOÁN 6: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 
1.Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau  P và  Q 
+ Tìm giao tuyến ( ) ( )P Q  
+ Trong  P tìm a vuông góc với , trong  Q tìm b vuông góc với  và ,a b cắt 
nhau tại .I 
+       , ,P Q a b 
Chú ý: Trong một số trường hợp nếu chỉ yêu cầu tính góc giữa hai mặt phẳng thì 
chúng ta có thể áp dụng công thức hình chiếu để tính. 
Công thức hình chiếu: Gọi hình  H có diện tích  ;S hình  'H là hình chiếu của 
 H trên mặt phẳng   có diện tích ';S  là góc giữa mặt phẳng chứa  H và 
mp   Lúc đó, ta có công thức sau: ' .cosS S  
2. Các ví dụ mẫu 
Ví dụ 1: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh bằng .a 
 Trang 37 
Tính số đo của góc giữa  'BA C và  'DA C 
Giải: 
Kẻ ' , ( ' )BH A C H A C  (1) 
Mặt khác, ta có: (gt)BD AC , 
' ( ) ' AA ABCD AA BD  
( ') 'BD ACA BD A C    (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
' ( ) 'A C BDH A C DH   . Do đó, 
(( ' ),( ' )) ( , )BA C DA C HB HD . 
+ Xét tam giác vuông 'BCA có: 
2 2 2 2
1 1 1 3
' 2
2 2
. .
3 3
BH BC BA a
BH a DH a
  
   
+ Ta có: 
2 2
0
2
2 1
cos 120
2 2
BH BD
BHD BHD
BH

     . 
Vậy 
0(( ' ),( ' )) 60 .BA C DA C AB 
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng 
. ' ' 'ABC A B C đáy ABC là tam giác cân 
,AB AC a  
0120 ,BAC  'BB a và 
I là trung điểm của '.CC Tính cosin của 
góc giữa hai mp  ABC và  ' .AB I 
Giải: 
Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu 
vuông góc của tam giác 'AB I lên mặt 
phẳng  .ABC Gọi  là góc gi