Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy loại bài tập về số chính phương cho học sinh giỏi Lớp 8 ở trường Trung học Cơ sở

ải pháp 2: Phân loại các dạng bài tập. 
1. Loại bài tập “Nhận dạng xem một số có là số chính phương không” 
2. Loại bài tập “Chứng minh một số là số chính phương”. 
3. Loại bài tập “Chứng minh một số không là số chính phương”. 
4. Loại bài tập “Tìm số chính phương”. 
5. Loại bài tập “Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương”. 
* Giải pháp 3: Hướng dẫn cách giải đối với mỗi loại bài tập, đưa ra ví dụ cụ 
thể và lời giải chi tiết. 
1. Loại bài tập “Nhận dạng xem một số có là số chính phương không” 
Trong dạng bài tập này nếu theo định nghĩa về số chính phương thì các số trong các 
bài tập đề cập đến quá nhiều chữ số, rất khó phát hiện nó là bình phương của số nào 
ngay cả khi sử dụng máy tính cầm tay vì số chữ số của mỗi số tràn màn hình. Nếu 
giáo viên không phát hiện ra tính chất của số chính phương thì sẽ không thể giải 
được bài tập loại này. Do đó để giải được loại bài tập này tôi đã hướng dẫn học 
sinh phát hiện và nên sử dụng tính chất nào của số chính phương thì mới giải được. 
 Ví dụ 1: Hãy xét xem các số sau có phải là số chính phương không? 
 M = 1345678910111213 
 N = 1234567891011121314151617 
 P = 1234567891011121314151617181920212223 
Giáo viên hướng dẫn: Để xét xem các số cụ thể trên có là số chính phương 
không, ta sử dụng tính chất của số chính phương đó là “số chính phương không tận 
cùng bởi các chữ số 2; 3; 7; 8” 
Giải 
Trước tiên ta xét chữ số tận cùng của các số M, N, P 
M = 1345678910111213 có chữ số tận cùng là 3 
 N = 1234567891011121314151617 có chữ số tận cùng là 7 
 P = 1234567891011121314151617181920212223 có chữ số tận cùng là 3 
 Vậy M, N, P đều không phải là số chính phương. 
Ví dụ 2: Các số sau có là số chính phương không? 
2 2 21992 1993 1994A    
2 2 2 21992 1993 1994 1995B     
100 100 1001 9 94 1994P     
4 
Giáo viên hướng dẫn: Áp dụng tính chất 3- Số chính phương chỉ có thể có 
một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 
hoặc 4n + 3 (n  N). 
Và tính chất 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. 
Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ). 
Giải: 
 Các số 3 21993 ,1994 là số chính phương không chia hết cho 3 nên chia cho 3 
dư 1, còn 21992 chia hết cho 3. Số A là số chia cho 3 dư 2, không là số chính 
phương. 
Các số 2 21992 ,1994 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4.Các số 2 21993 ,1995 
là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1. Số B là số chia cho 4 dư 2, không là số 
chính phương. 
Các số 100 10094 ,1994 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4. Còn 1009 là 
số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1.Số P là số chia cho 4 dư 2, không là số 
chính phương. 
Ví dụ 3: Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương không? 
 11, 111, 1111, 11111, ... 
Giáo viên hướng dẫn: Áp dụng tính chất3- Số chính phương chỉ có thể có 
một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 
hoặc 4n + 3 (n  N). 
Giải 
Mọi số của dãy đều tận cùng bởi 11 nên là số chia cho 4 dư 3. Mặt khác, số chính 
phương lẻ thì chia cho 4 dư 1. 
Vậy không có số nào của dãy là số chính phương 
2. Loại bài tập “Chứng minh một số là số chính phương”. 
Với dạng bài tập này các số mà bài tập đề cập thường rất phức tạp không đơn 
giản để phát hiện nó là bình phương của một số. Do vậy với từng số, từng biểu thức 
cần biến đổi để đưa chúng về các hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc 
bình phương của một hiệu. Cách biến đổi như thế nào cho hiệu quả nhất thì tôi đã 
hướng dẫn cụ thể trong các ví dụ. Sau đây là các ví dụ minh họa mà tôi đã áp dụng. 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương 
a) A = 11  1
 ố 
 -22  2
 ố 
 
b) B = 224 99  9
 ố 
1 00  0 9
 ố 
 
5 
c) C =44  4
 ố 
88  8
 ố 
9 
Giáo viên hướng dẫn: Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau 
thành một số chính phương tức là biến đổi chúng về bình phương của một tổng 
hoặc một hiệu ta nên đặt11  1

 =a và như vậy: 99  9

+ 1 = 10 = 9a +1 
Giải 
a, A = 11  1
 ố 
 -22  2
 ố 
 = 11  1
 ố 
00  0
 ố 
 +11  1
 ố 
 - 2.11  1
 ố 
 
 = 11  1
 ố 
 .10 - 11  1
 ố 
 
Đặt 11  1

 =a 99  9
 ố 
 = 9a  9a +1 = 10 
Do đó A = a(9a + 1) – a =  
229 3a a = (33  3
 ố 
)2 là một số chính phương. 
b, B = 224 99  9
 ố 
1 00  0 9
 ố 
 
 = 224.10 + 99  9
 ố 
 10 +10 +9 
 = 224.10 + (10 − 1)10 + 10 +9 
 = 224.10 + 10 - 10 +10 +9 
 = 225.10 - 9. 10+ 9 
 = 225.10 - 90. 10+ 9 
 =  
2
1510 3n  
Vậy B là một số chính phương 
 c, C =44  4
 ố 
88  8
 ố 
9 
 = 4.11  1
 ố 
 .10 + 8.11  1
 ố 
 + 1 
 = 4. 
 110 1
9
n 
.10 +8. 
 110 1
9
n 
 + 1 
 = 
2 2 14.10 4.10 1
9
n n  
 = 
212.10 1
3
n 
 
 
Vì 12.10 1n  luôn chia hết cho 3 nên C là một số chính phương. 
Ví dụ 2: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) (kN). 
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương. 
Giáo viên hướng dẫn:Tính tổng S là một dãy có quy luật: 
6 
k(k + 1)(k + 2) = 
1
4
k (k + 1)(k + 2). 4= 
1
4
k(k + 1)(k + 2).  ( 3) ( 1)k k   = 
1
4
k(k + 1)(k 
+ 2)(k + 3) - 
1
4
 k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 
Giải : 
Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 
1
4
k (k + 1)(k + 2). 4= 
1
4
k(k + 1)(k + 2).  ( 3) ( 1)k k   
 = 
1
4
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 
1
4
 k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 
 - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 Đây là tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng 
1 luôn là số chính phương (Đã chứng minh ở ví dụ 3). 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì: 
 A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. 
Giáo viên hướng dẫn: Nhân thừa số đầu và thừa số thứ tư, thừa số thứ hai và 
thừa số thứ ba trong tích rồi đặt ẩn phụ để A là bình phươngcủa một số nguyên. 
Giải 
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4y 
= (
2 2 2 2 45 4 )( 5 6 )x xy y x xy y y     
Đặt 
2 25 5 ( )x xy y t t Z    thì 
 A = ( 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2)( ) ( 5 5 )t y t y y t y y t x xy y          
Vì x, y, z  Z nên 2 2 2 2, 5 , 5 5 5x Z xy Z y Z x xy y Z       
Vậy A là số chính phương. 
3. Loại bài tập “Chứng minh một số không là số chính phương”. 
Với loại bài tập này ngược lại với loại bài tập trước nếu theo tư duy logic thì 
cách làm là biến đổi các số, các biểu thức đã cho không có dạng bình phương của 
một tổng hoặc một hiệu, theo cách này thì một số bài tập trong ví dụ sau là khó khả 
thi. Vì vậy tôi đã đưa ra giải pháp là cần xem xét kĩ các tính chất của số chính 
phương mà tôi đã cung cấp cho các em để phát hiện nó không thỏa mãn tính chất 
nào để từ đó kết luận cho bài toán. 
Ví dụ 1 Chứng minh rằng : 
a, Tổng của ba số chính phương liên tiếp không là một số chính phương. 
b, Tổng S = 2 2 2 21 2 3 ... 30    không phải là một số chính phương 
Giáo viên hướng dẫn: Xét số dư trong phép chia số đó cho 3. 
7 
Giải 
a, Gọi ba số chính phương liên tiếp là    
2 221 ; ; 1n n n  
Tổng của chúng là    
2 221 1n n n    = 2 2 22 1 2 1n n n n n      = 23 2n  
Tổng này chia cho 3 dư 2 nên không phải là số chính phương. 
b,Ta viết S thành tổng của 10 nhóm, mỗi nhóm 3 số hạng. 
S = 2 2 2 21 2 3 ... 30    =      2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 ... 28 29 30        
Mỗi nhóm chia cho 3 dư 2 nên 
S =      1 2 103 2 3 2 ... 3 2k k k     
S = 1 2 103 3 ... 3 18 2k k k     
S = 3k + 2 (trong đó k = 1 2 10... 6k k k    ) 
S chia cho 3 dư 2 nên S không phải là số chính phương. 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: A = 2 2 2 2 21 2 3 4 ... 100     không là số chính 
phương. 
Giáo viên hướng dẫn: Với cách làm ở ví dụ 1 thì A chia cho 3 dư 1, ta chưa 
khẳng định được điều gì. Nên chuyển hướng xét số dư khi A chia cho 4 
Giải 
A gồm 50 số chính phương chẵn, 50 số chính phương lẻ. Mỗi số chính phương chẵn chia 
hết cho 4 nên tổng của 50 số đó chia hết cho 4. Mỗi số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1 
nên tổng của 50 số đó chia cho 4 dư 2. 
A là số chia cho 4 dư 2, không là số chính phương. 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp 
không thể là một số chính phương. 
Giáo viên hướng dẫn:Chứng minh tổng các bình phương của 5 số tự nhiên 
liên tiếp chứa số nguyên tố với số mũ lẻ. 
Giải 
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n, n +1, n + 2 ( n  N, n >2). 
Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2) 
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5 
=> 5.(n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương. 
Ví dụ 4:Cho a, b, c là các chữ số khác 0. Gọi S là tổng của tất cả các số có 3 chữ số 
tạo thành bởi cả 3 chữ số a, b, c. Chứng minh rằng S không phải là số chính phương. 
Giáo viên hướng dẫn: Viết S= + +  +  +  +  sau đó 
viết mỗi số hạng ở dạng cấu tạo số. 
Giải 
8 
Ta có S = abc +acb + bca + bac + cba + cab 
 = 100a + 10b + c + 100a + 10c + b + 100b + 10c + b + 100b + 10a + c + 
100c + 10b + a + 100c + 10a + b 
 = 222(a + b +c) = 2.3.37(a + b +c) 
Vì 0< a + b +c ≤ 27 nên a + b +c không chia hết cho 37 
(6; 37) = 1 6(a + b +c) không chia hết cho 37 do đó S không phải là số chính 
phương. 
4. Loại bài tập “Tìm số chính phương”. 
Ở loại bài tập này giáo viên hướng dẫn: Biểu diễn số chính phương đúng 
theo yêu cầu của đề bài, tiếp theo viết số đó dưới dạng tổng các lũy thừa của 10. 
Ví dụ 1Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 
chữ số cuối giống nhau. 
Giáo viên hướng dẫn:Biểu diễn số chính phương đúng theo yêu cầu của đề 
bài, viết số đó dưới dạng tổng các lũy thừa của 10. 
Giải 
Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b  N, 1  a  9; 0  b  9 
Ta có: n2 = aabb =  .100 +  = 1100 a + 11b =11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) 
 (1) 
Nhận xét thấy aabb  11 99a + a + b  11(Vì aabb là số chính phương), lại có 
99a 11 nên a + b  11 
Mà 1  a  9; 0  b  9 nên 1  a + b  18  a + b = 11 
Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương 
Bằng phép thử với a = { 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9 } ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn 
Suy ra b = 4 
Số chính phương cần tìm là: 7744 
Ví dụ 2:Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số 
nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương. 
Giáo viên hướng dẫn: Làm như ví dụ 1 nhưng chú ý đến số nguyên tố và căn 
bậc hai. 
Giải 
Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1  a  9; 0  b, c, d  9 
abcd chính phương  d  9,6,5,4,1,0 d nguyên tố  d = 5 
Đặt abcd = k2< 10000  32  k < 100 
k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5  k tận cùng bằng 5 
Tổng các chữ số của k là một số chính phương  k = 45 
9 
 abcd = 2025. Vậy số phải tìm là: 2025. 
Ví dụ 3 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số 
đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị. 
Giáo viên hướng dẫn: Làm như ví dụ 1 
Giải 
Đặt 2kabcd  ta có 1 cdab và k  N, 32  k < 100 
 =  + 1; k2 =  = 1000a + 100b +  = 100 +  
 = 100(1 + ) + = 101 + 100 
Suy ra : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10)  k + 10  101 hoặc k – 10  101 
Mà (k – 10; 101) = 1  k + 10  101 
Vì 32  k < 100 nên 42  k + 10 < 110  k + 10 = 101  k = 91 
 abcd = 912 = 8281. Vậy số chính phương cần tìm là 8281. 
5. Loại bài tập “Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương”. 
Ở loại bài tập này cần đặt cả biểu thức trong đề bài là bình phương của một 
số tự nhiên, sau đó biến đổi theo hướng có sử dụng tính chất của số chính phương. 
Ví dụ 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 + 1234 là một số chính 
phương. 
Giáo viên hướng dẫn: Đặtn2 + 1234 = k2 (kN). Sau đó biến đổi để có hiệu 
hai bình phương chính là hiệu của hai số chính phương, rồi xét số dư khi chia cho 
4. 
Giải 
Đặt n2 + 1234 =k2 (kN) hay 2 2 1234k n  . Số 1234 chia cho 4 dư 2 mà 2k n 2 là 
hiệu của hai số chính phương chia cho 4 không có số dư là 2. 
Do đó không có số tự nhiên nào để cho n2 + 1234 là số chính phương. 
Ví dụ 2: Tìm các số tự nhiên k để cho số 4 72 2 2k   là số chính phương. 
Giáo viên hướng dẫn: Như ví dụ 1 đặt 4 7 22 2 2k a   (aN) sau đó làm xuất 
hiện hiệu của hai số chính phương. 
Giải 
Đặt 4 7 22 2 2k a   (aN)  22 144 (a 12)(a 12)k a     

12 2
12 2
m
n
a
a
  

 
 (m, n N; m > n và m + n = k ) 
 Suy ra 32 2 24 8.3 2 (2 1) 2 .3m n n m n      
3 22 2 ;2 4 2 2 5; 3n m n m n m n          ; k = m + n =8. 
Thử lại ta thấy 8 4 7 22 2 2 400 20    . Vậy k = 8. 
Ví dụ 3: Tìm các số tự nhiên x sao cho x2 + 2x + 200 là một số chính phương. 
10 
Giáo viên hướng dẫn: như ví dụ 2. 
Giải 
Đặt x2 + 2x + 200 = a2 (a N; a > 14) 
2 2(x 1) 199 (a x 1)(a x 1) 199a          
Do a + x + 1 và a - x -1 có cùng tính chẵn lẻ nên (a x 1)(a x 1) 199.1     
Vì a + x + 1 > a - x -1 nên 
a x 1 199
a x 1 1
  

  
x = 98. Thử lại ta thấy 2 298 2.98 200 10000 100    là số chính phương. 
Vậy x = 98 thìx2 + 2x + 200 là số chính phương. 
Ví dụ 4: Tìm các số nguyên x sao cho A = x(x - 1)(x - 7)(x - 8) là một số chính 
phương. 
Giáo viên hướng dẫn: như ví dụ 3, cần lưu ý để xuất hiện hiệu hai số chính 
phương cần đặt ẩn phụ. 
Giải 
A = x(x - 1)(x - 7)(x - 8) = (x2 – 8x)( x2 – 8x +7) 
Đặt x2 – 8x =t thì A = t(t +7) = t2 + 7t 
Giả sử A là một số chính phương thì t2 + 7t = m2 (mN) 
 4t2 + 28t + 49 =4m2 + 49 
 (2t + 7)2 - (2m)2 = 49  (2t +7 + 2m)( 2t +7 - 2m) = 49. 
Ta thấy 2t +7 + 2m > 2t +7 - 2m nên 
 (2t +7 + 2m)( 2t +7 - 2m) = 49 = 49.1 = (-1)(-49) = 7.7 =(-7)(-7) 
Xét các trường hợp 
(I) 
2 7 2 49
2 7 2 1
t m
t m
  

  
 t = 9 
Do đó x2 – 8x =9  (x +1)(x - 9) = 0   1;9x  
(II)
2 7 2 1
2 7 2 49
t m
t m
   

   
 t = -16 
Do đó x2 – 8x =-16  (x - 4)2 = 0  x = 4 
(III)
2 7 2 7
2 7 2 7
t m
t m
  

  
 t = 0 
Do đó x2 – 8x = 0  x(x - 8) = 0   0;8x 
(IV)
2 7 2 7
2 7 2 7
t m
t m
   

   
 t = -7 
Do đó x2 – 8x =-7  (x - 7)(x - 1) = 0   1;7x 
11 
Vậy  1;0;1;4;7;8;9x  thì A = x(x - 1)(x - 7)(x - 8) là số chính phương. 
*Giải pháp 4: Đưa ra các bài tập áp dụng cho từng loại bài tập 
Bài tập áp dụng cho loại 1: 
Bài 1: Có thể dùng cả năm chữ số 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số chính phương có năm 
chữ số được không? 
Hướng dẫn: Áp dụngtính chất 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 
3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ). 
(Số có năm chữ số tạo bởi các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 là số chia cho 3 dư 2 nên không 
là số chính phương ). 
Bài 2: Các số sau có là số chính phương không? 
a) A = 22...24(có 50 chữ số 2) 
b) B = 44...4(Có 100 chữ số 4) 
c) C = 71994 + 7 
Giáo viên hướng dẫn: Áp dụng tính chất 3- Số chính phương chỉ có thể có một 
trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 
4n + 3 (n  N). 
Và tính chất 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n 
+1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ). 
Bài tập áp dụng cho loại 2: 
Bài 1 Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương. 
A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1 
 2n chữ số 1 n chữ số 4 
B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8 
2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 
C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7 
2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 
Kết quả: A= 
2 2 2
10 2 10 8 2.10 7
; ;
3 3 3
n n n
B C
       
      
     
Bài 2 Chứng minh rằng: 
a, Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính 
phương. 
12 
b, Nếu số 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính 
phương. 
c, Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì n2 cũng là tổng của hai số chính 
phương. 
Kết quả: a, Cho n = 2 2a b (a, bN) khi đó 2n =    
2 2
a b a b   
 b, Cho 2n = 2 2a b . Khi đó n = 
2 22 2
2 2 2
a b a b a b     
    
   
. Do 2 2a b là số 
chẵn nên a và b cùng chẵn hoặc cùng lẻ, do đó 
2
a b
 và 
2
a b
 là số nguyên. 
 c, Cho n = 2 2a b (a, bN) Khi đó      
2 2 22 2 2 2 2 2n a b a b ab     
Bài 3 Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng 
cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước: 16, 1156, 111556, ... 
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương. 
 Hướng dẫn: Cách làm như ví dụ 
Bài tập áp dụng cho loại 3 
Bài 1:Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính 
phương. 
Bài 2: Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên 
thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương. 
Bài 3: Chứng minh rằng tổng của 20 số chính phương liên tiếp không thể là số 
chính phương. 
Bài tập áp dụng cho loại 4: 
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A 
một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B. 
(Kết quả: A = 2025 và B = 3136). 
Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và 
số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính 
phương. (Kết quả: Số phải tìm là 65). 
Bài tập áp dụng cho loại 5: 
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương 
(Kết quả: n = 5 + 7 = 12) 
Bài 2: Tìm số tự nhiên n  1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! +  + n! là một số chính 
phương.( Kết quả n =1 và n=3). 
Bài 3: Tìm a để các số sau là những số chính phương 
a) a2 + a + 43 
13 
b) a2 + 81 
c) a2 + 31a + 1984 
Kết quả: a) 2; 42; 13 
b) 0; 12; 40 
c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 
Bài 4: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương 
a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) 
c) 13n + 3 d) n2 + n + 1589 
Kết quả: a, n =4 
 b, n = 1 
 c, n = 13k2 8k + 1 (với k  N) 
 d,  = 1588 ; 316 ; 43 ; 28 
+ Về khả năng áp dụng của sáng kiến: 
Qua thời gian trực tiếp nghiên cứu và giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi 
nhận thấy nội dung sáng kiến này rất khả thi, có thể áp dụng phổ biến được trong 
lĩnh vực bồi dưỡng học sinh giỏi toán khối 8, thậm chí cho cả lĩnh vực bồi dưỡng 
học sinh giỏi môn toán cấp trung học cơ sở trong toàn huyện, đặc biệt phù hợp cho 
các trường chất lượng cao. 
Mong rằng, nội dung của sáng kiến này sẽ được nhân rộng và sử dụng rộng 
rãi cho các giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán và học sinh trong đội tuyển 
học sinh giỏi trong toàn huyện trong các năm học tiếp theo. 
- Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp 
dụng sáng kiến lần đầu: 
+ Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được theo ý kiến tác giả: 
 - Đối với học sinh làm các bài toán về số chính phương một cách linh hoạt 
hơn, các em không còn thấy lạ, thấy khó nữa tự tin hơn. Từ đó kích thích được sự 
tò mò, sự sáng tạo, ham học hỏi, khám phá cái mới lạ trong học tập môn Toán nói 
riêng và các môn khoa học khác nói chung. Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận 
dụng phương pháp giải bài toán một cách hợp lý nên đã giải được nhiều bài toán 
hay, bài toán khó và có những lời giải độc đáo . 
- Học sinh giải bài tập về số chính phương hết ít thời gian hơn, không cần 
phải học thêm ngoài nhà trường, gi