Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp làm các bài toán tính nhẩm, tính nhanh

và mẫu số rồi thực hiện rút gọn biểu thức.
Ví dụ: Tính nhanh: 
3.3. Giải pháp 3: Dạy lần lượt từng dạng bài theo thứ tự từ dễ đến khó
Sau khi phân loại các dạng toán để học sinh biết cách làm và khắc sâu được kiến thức chúng ta tiến hành dạy theo từng dạng toán theo thứ tự từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
* Bước 1: Dạy các dạng toán trong sách giáo khoa
Đầu tiên chúng ta cần dạy kĩ từng dạng toán trong sách giáo khoa, khi dạy cần thực hiện tốt những điều sau:
- Cần thường xuyên luyện tập tính nhẩm, tính nhanh. Trong mỗi giờ học nên giành một lượng thời gian thích hợp cho việc dạy học tính nhẩm, tính nhanh, không nên chỉ cho các em học ở trong mỗi tiết học mà nên cho các em rèn luyện nhiều trong khi thực hành cũng như trong cuộc sống.
- Các bài tập đưa ra không nên dập khuôn, lặp đi lặp lại quá nhiều, không quá dễ cũng không quá phức tạp. Khi giao bài tập giáo viên không nên cho tùy ý mà cần cân nhắc chọn các bài tập phù hợp với dạng đang dạy để các em được củng cố nắm chắc cách giải của dạng toán đó và phát triển tư duy logic cho học sinh.
- Nâng cao kĩ năng tính nhẩm, tính nhanh bằng cách thường xuyên gọi học sinh lên bảng thi tính nhẩm, tính nhanh; tổ chức cho các em tự đố vui lẫn nhau.
- Cần lôi cuốn toàn thể học sinh tham gia tính nhẩm, tính nhanh. Có biểu dương và động viên kịp thời.
- Khuyến khích học sinh sưu tầm các cách tính nhẩm, tính nhanh thông dụng trong nhân dân, trong sách báo và giải thích cơ sở lí thuyết của cách tính đó.
- Khi học sinh làm bài, ngoài việc kiểm tra đúng - sai thì nên có phần kiểm tra cách làm của học sinh (làm thế đã thỏa mãn chưa, còn cách nào khác nữa không?)
- Có rất nhiều quy tắc, tính chất để áp dụng tính nhẩm, tính nhanh; không nhất thiết phải dạy học sinh quá nhiều quy tắc trong cùng một lúc, chỉ cần cho các em nắm được quy tắc chung và một số quy tắc riêng cơ bản. Chỉ nên dạy trong nội khóa một số quy tắc riêng, tránh những quy tắc rườm rà, phức tạp. Cần làm cho học sinh nắm được cơ sở lí thuyết của các quy tắc đã được học. Không nên dạy ngay tất cả các quy tắc vào một lần mà nên giới thiệu dần dần. Nên thường xuyên củng cố các quy tắc đã học bằng cách lựa chọn các bài tập thích hợp và yêu cầu học sinh làm.
- Khi học sinh giải bài tính nhẩm, tính nhanh cần đặc biệt chú ý đến yêu cầu: " đúng, nhanh" và " phương pháp hợp lí nhất", khen thưởng những em làm bài tốt.
- Khi làm xong bài tập, giáo viên nên yêu cầu học sinh nói rõ cách làm và cơ sở lí thuyết của phương pháp đã sử dụng.
- Khuyến khích học sinh tìm, nghiên cứu, sưu tầm các dạng bài tập tính nhẩm, tính nhanh và phải đưa ra được phương pháp giải hợp lí.
* Bước 2: Dạy các dạng toán trong sách nâng cao và sách tham khảo.
Sau khi học sinh đã làm thành thạo các dạng toán trong sách giáo khoa để nâng cao tư duy cho học sinh giáo viên có thể dạy thêm một số dạng toán tính nhẩm, tính nhanh trong sách nâng cao và sách tham khảo như sau:
a) Dạng 1: Tính nhanh tổng của một dãy số cách đều.
- Giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh kiến thức về cách tìm số số hạng của một dãy số cách đều để từ đó học sinh vận dụng vào tính nhanh tổng của một dãy số cách đều:
Số các số hạng = (Số hạng cuối - số hạng đầu) : khoảng cách + 1
- Sau khi học sinh nắm được cách tìm số hạng của một dãy số cách đều, giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện tính nhanh tổng dãy số cách đều theo các bước:
+ Bước 1: Tìm số số hạng của dãy số đó.
+ Bước 2: Tính số cặp có thể tạo được từ số các số hạng đó (Lấy số số hạng chia cho 2)
+ Bước 3: Nhóm các số hạng thành từng cặp, thông thường nhóm số hạng đầu tiên với số hạng cuối cùng của dãy số, cứ lần lượt làm như vậy đến hết.
+ Bước 4: Tính giá trị của một cặp (các giá trị của từng cặp là bằng nhau)
+ Bước 5: Ta tính tổng của dãy số bằng cách lấy số cặp nhân với giá trị của một cặp
Lưu ý: Trường hợp khi chia số cặp còn dư 1, giáo viên hướng dẫn học sinh để lại một số không ghép cặp, thông thường ta nên chọn số đứng đầu tiên hoặc số đứng cuối cùng của dãy.
Ví dụ: Tính nhanh tổng các số trong dãy sau: 10,12,14, , 96, 98
+ Bước 1: Tìm số số hạng của dãy số đó.
Số số hạng của dãy số trên là:
 (98 - 10) : 2 + 1 = 45 (số)
+ Bước 2: Tính số cặp có thể tạo được từ số các số hạng đó.
45 số tạo thành số cặp là:
45 : 2 = 22 cặp (dư 1 số)
(Trong các số của dãy, ta chọn để riêng số 10 và ghép cặp các số còn lại là phù hợp nhất)
+ Bước 3: Nhóm các số hạng thành từng cặp.
Ta có : 10 + 12 + 14 + 16 + ...... + 92 + 94 + 96 + 98 = 10 + (12 + 98) + (14 + 96) + (16 + 94) + ........
+ Bước 4: Tính giá trị của một cặp: 12 + 98 = 110
+ Bước 5: Ta tính tổng của dãy số bằng cách lấygiá trị của một cặp nhân vớisố cặp.
Vậy 10 + 12 + 14 +  + 96 + 98 = 10 + (12 + 98) + (14 + 96) + (16 + 94) + ...
 = 10 + 110 x 22
 = 2430
Sau khi các em đã nắm được bản chất và giải thành thạo theo 5 bước trên giáo viên giới thiệu cho các em một cách tính ngắn gọn hơn bằng cách áp dụng công thức tính tổng các dãy số cách đều như sau:
Tổng=Số đầu+ số cuối× số lượng số hạng 2
Ví dụ: Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, , 94, 97, 100 là:
Sau đó yêu cầu học sinh làm bài theo cả hai cách trên.
Ví dụ: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10, 13,52, 55, 58. Hãy tìm tổng của dãy số đó.
Để giải được dạng toán này, giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo hai cách sau:
Cách 1:
Dãy trên cố số số hạng là:
(58 – 1) : 3 + 1 = 20 (số hạng)
20 số tạo thành số cặp là:
20 : 2 = 10 cặp 
Nhóm theo từng cặp có tổng bằng nhau.
(1 + 58) + (4 + 55) + (7 + 52) + .......+ (28 + 31)
 10 cặp 
Giá trị của một cặp là: 
1 + 58 = 59
Vậy tổng của dãy số trên là:
59 x 10 = 590
Cách 2:
Bước 1. Tìm số số hạng:
Số lượng số hạng = (Số hạng cuối - số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Bước 2. Tính (Áp dụng công thức)
Tổng=Số đầu+số cuối×số lượng số hạng 2
Trước hết, học sinh cần phải tìm xem dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng, sau đó mới tiến hành tính tổng theo công thức.
Dãy số đã cho có số lượng số hạng là:
(58 – 1) : 3 + 1 = 20 (số hạng)
Vậy tổng của dãy số đã cho là:
(58 + 1) x 20 : 2 = 590
Sau đó cho học sinh tự thực hành làm một số bài cùng dạng để giúp các em khắc sâu kiến thức và làm thành thạo dạng toán này.
Có thể chọn một số bài tập thực hành cho dạng này như sau:
Bài 1: Tính nhanh tổng của các dãy số sau:
2, 4, 6, 8,..., 2468
 b) 1,1; 2,2; 3,3; ; 108,9; 110,0
b) Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần(n > 1).
Ví dụ 1:Tính nhanh: A = .
Ta thấy: 4 = 2 x 2
	 8 = 4 x 2
	 16 = 8 x 2
	32 = 16 x 2
	64 = 32 x 2
Như vậy ta thấy tổng trên có tử số đều bằng nhau còn mẫu số của phân số liền 
sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần (gấp 2 lần).
Để giải được dạng toán này, giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo hai cách sau:
Cách 1. Đặt biểu thức là A và tiến hành theo hai bước sau:
Bước 1 : Tính A x n
Bước 2: Tính A x n – A
Từ biểu thức này ta sẽ tìm được kết quả.
	Tiến hành giải
Bước 1: Tính A x n (n = 2)
	 Ta có: A x 2 = 2 x Cùng nhân cả hai vế với 2
	 = 
	 = 
Bước 2: Tính A x n - A = A x (n - 1)
 A x 2 - A = 
A x (2 - 1) = - 
	 A = 1 - 
 A = 
Cách 2. Phân tích từng số hạng như sau:
Ta thấy: 	;
 ; 
; 
Vậy: 
= 
= 
 = = 
Trong hai cách trên ta thấy, đối với cách hai chỉ làm được khi tử số của chúng đều bằng 1. Do vậy, để làm được với mọi bài toán thuộc dạng này học sinh nên áp dụng theo cách 1 sẽ dễ dàng hơn. Ta xét ví dụ 2 sau:
Ví dụ 2: Tính nhanh: B = 
Cách giải
Bước 1: Tính B x n (n = 3) 
	B x 3 = 3 x 
 = 
Bước 2: Tính B x n - B
B x 3 - B = - 
B x (3 - 1) = - 
B x 2 = 
B x 2 = 
B x 2 
B = 
B 
B 
Có thể cho học sinh tự thực hành làm một số bài cùngdạng này như sau:
Bài 1: Tính nhanh
a) 	
b) 	
c) 
Bài 2: Tính bằng cách thuận tiện nhất:
a) 
b) 3 + 
c) 
d) 
c) Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:
Ví dụ:Tính nhanh: 
Ta thấy: 11×2= 1-12
 12×3=12-13
 .
 16×7=16-17
Vậy, ta có: 
 = 
Một số bài tập thực hành cho dạng này:
Bài 1: Tính nhanh
a)
b)
Bài 1: Tính bằng cách thuận tiện nhất
a) + + + + + 
b) + + + + + 
d) Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3 thừa số trong đó thừa số thứ 3 hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau.
Ví dụ 1: Tính nhanh giá trị của biểu thức sau:
Ta thấy: 
Ví dụ 2:Tính nhanh : A = 
Giải
Ta có:
A =
A =
Cùng nhân cả hai vế với 12, ta được:
A x 12 =
A x 12 =
A x 12 = = 
A = 49499900×12= 4949118800
Một số bài tập thực hành cho dạng này.
Bài tập: Tính nhanh
a) + + + + 
 Dạng 5: Tính nhanh bằng cách vận dụng linh hoạt các tính chất: một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số.
Khi hướng dẫn học sinh làm dạng bài tập này, giáo viên cần giúp học sinh nắm được các kiến thức về: một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số.
+ Một số nhân với một tổng: a × (b + c) = a × b + a × c
a× b + a × c = a × (b + c)
+ Một số nhân với một hiệu: a × (b - c) = a × b - a × c
a× b - a × c = a × (b - c)
+ Một tổng chia cho một số: (a + b + c) : d = a : d + b : d + c : d
a: d + b : d + c: d = (a + b + c) : d
Ví dụ: Tính nhanh giá trị biểu thức sau:
19 x 82 + 18 x 1 9 + 12 x 431 – 331 x 12 + 15 : 3 + 45 : 3 + 240 : 3
= 19 x (82 + 18) + 12 x ( 431- 331) + (15 + 45 + 240) : 3
= 19 x 100 + 12 x 100 + 300 : 3
= 1900 + 1200+ 100
= 3200
- Với những biểu thức chưa có thừa số chung, giáo viên gợi ý để học sinh tìm ra thừa số chung bằng cách phân tích một số ra một tích hoặc từ một tích thành một số.
Ví dụ:Tính nhanh giá trị biểu thức sau:
35 x 18 - 9 x 70 + 100 = 35 x 2 x 9 - 9 x 70 + 100
= 70 x 9 - 9 x 70 + 100
= 0 + 100
= 100
- Ở những bài có tử số và mẫu số phức tạp, ta thường phải sử dụng nhiều tính chất thì mới có thể tính nhanh và chính xác được.
Ví dụ 1:Tính nhanh biểu thức sau:
Ta có: 
Ví dụ 2:
= 1(vì tử số bằng