Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải bài toán liên quan đến khảo sát

g cố, kiểm tra. 
Ở mỗi thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau, các chức năng này đều hướng tới chức năng dạy học. 
Tìm được một lời giải hay của một bài toán, tức là đã khai thác những đặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học sinh biết được sự quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi.
Khi thực hiện giải toán cần đảm bảo: lời giải không có sai lầm, lập luận phải có căn cứ chính xác, lời giải phải đầy đủ ngoài ra cần lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất cách trình bày rõ ràng hợp lý.
Khi thực hiện giải toán việc quan trọng là phương pháp tìm tòi lời giải trước hết: 
Tìm hiểu nội dung bài toán tức là tìm hiểu về giả thiết, kết luận, hình vẽ minh hoạ.
Bài toán thuộc dạng toán nào (chứng minh hay tìm tòi, tính toán) 
Những kiến thức cơ bản cần áp dụng (các định lý, các khái niệm, các điều kiện tương tương, các phương pháp).
Xây dựng chương trình giải cần xác định rõ các bước tiến hành..
Thực hiện chương trình giải là trình bày bài giải theo các bước đã đặt ra chú ý sai lầm thường gặp trong tính toán, biến đổi.
Kiểm tra chương trình giải. 
Trong mỗi bài, mỗi chương sử dụng bản đồ tư duy để tổng hợp các kiến thức học sinh dễ nhớ dễ hiểu.
2.2. Thực trạng của vấn đề 
	Đối với học sinh khi học về liên qua đến khảo sát cảm thấy rất khó vì nó có nhiều dạng, mỡi dạng chia làm nhiều dạng nhỏ đặc biệt nó còn liên quan nhiều đến kiến thức cũ như dấu tam thức, nhị thức, cách giải phương trình, bất phương trình, tính đạo hàm ... Nhiều học sinh khi đứng trước một bài toán không biết mình phải dung các nào để giải.	Việc phân tích nhận dạng bài toán cho học sinh còn yếu.
	Khi cho học sinh giải các bài toán cụ thể học sinh lại quên phương pháp ngay, có khi giải sai không biết là mình làm sai.
	2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
2.3.1. Giải pháp chung	
	Đối với đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi cho học sinh tự xây dựng lời giải cho bài toán tổng quát sau đó đi giải một lớp các bài toán cụ thể nhằm phát triển tư duy cho học sinh.
	Đối với đối tượng học sinh yếu hướng dẫn học sinh và đưa học sinh lời giải của bài toán tổng quát học sinh áp dụng giải lớp các bài toán cụ thể.
Một bài toán tổng quát đưa ra nhiều cách giải và mỗi cách giải chỉ ra khả năng áp dụng, chỉ ra các trường hợp có thể xảy ra. 
Trong quá trình tìm tòi cách giải, học sinh biết phân tích nhận dạng hoặc tìm các kiến thức vận dụng. Tìm các mối quan hệ giữa các yếu tố của bài toán. Có thể sử dụng hình vẽ để học sinh quan sát tìm ra hướng giải.
Khi tiếp cận với bài toán cần cho học sinh hiểu và nắm vững nội dung của bài, gợi mở cho học sinh những bài toán quen thuộc có sử dụng phương pháp giải. Có thể là đặc điểm nhận dạng. Có thể là nguyên nhân để có kết quả và lời giải của bài toán.
	Thực hiện lời giải, kiểm tra quá trình phương pháp vận dụng và các kiến thức vận dụng.
	Mở rộng bài toán nếu có thể, giúp học sinh phát triển tư duy. Ta đưa ra 
các bài toán gốc sau đó giúp học sinh giải được một lớp các bài toán tưng tự với 
các hàm khác nhau.
	Đưa ra các sai lầm hay mắc phải để học sinh nhận biết và tránh mắc phải sai lầm.
	Dự trên nhận định trên tôi đưa ra các giải pháp sau:
Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư duy vào để học sinh nhớ kiến thức cơ bản và phương pháp một cách hệ thống.
Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số sai lầm khi giải toán lien quan đến khảo sát
Giải pháp 3: Chia tích phân thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách giải đối với từng dạng.
2.3.2. Một số ứng dụng cụ thể
2.3.2.1. Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư duy vào để học sinh nhớ kiến thức cơ bản và phương pháp một cách hệ thống
	Việc sứ dụng bản đồ tư duy trong qua trình dạy học giúp cho học sinh có thể nhớ kiến thức của một chương, của toàn cấp, của một bài một cách dễ dàng
Bản đồ tư duy giúp học sinh học được phương pháp học: Việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là mục tiêu dạy học. Thực tế cho thấy một số học sinh học rất chăm chỉ nhưng vẫn học kém, nhất là môn toán, các em này thường học bài nào biết bài đấy, học phần sau đã quên phần trước và không biết liên kết các kiến thức với nhau, không biết vận dụng kiến thức đã học trước đó vào những phần sau. Phần lớn số học sinh này khi đọc sách hoặc nghe giảng trên lớp không biết cách tự ghi chép để lưu thông tin, lưu kiến thức trọng tâm vào trí nhớ của mình. Sử dụng thành thạo bản đồ tư duy trong dạy học học sinh sẽ học được phương pháp học, tăng tính độc lập, chủ động, sáng tạo và phát triển tư duy.
 	Bản đồ tư duy giúp học sinh học học tập một cách tích cực. Một số kết quả nghiên cứu cho thấy bộ não của con người sẽ hiểu sâu, nhớ lâu và in đậm cái mà do chính mình tự suy nghĩ, tự viết, vẽ ra theo ngôn ngữ của mình vì vậy việc sử dụng bản đồ tư duy giúp học sinh học tập một cách tích cực, huy động tối đa tiềm năng của bộ não. Việc học sinh tự vẽ bản đồ tư duy có ưu điểm là phát huy tối đa tính sáng tạo của học sinh, phát triển năng khiếu hội họa, sở thích của học sinh, các em tự do chọn màu sắc (xanh, đỏ, vàng, tím,), đường nét (đậm, nhạt, thẳng, cong), các em tự “sáng tác” nên trên mỗi bản đồ tư duy thể hiện rõ cách hiểu, cách trình bày kiến thức của từng học sinh và bản đồ tư duy do các em tự thiết kế nên các em yêu quí, trân trọng “tác phẩm” của mình. 
Trên cơ sở đó tôi đã đưa sơ đồ tư duy váo một số tiết dạy cụ thể tôi hay đưa vào 
dạy ở các tiết ôn tập chương, bài tập và thường yêu cầu học sinh xây dụng bản đồ tư duy về kiến thức trước ở nhà. Sau đây tôi đưa ra một vài ví dụ về sơ đồ tư duy khi dạy học sinh có thể nắm kiến thức một cách đơn giản:
Khi bắt đầu dậy một chương giáo viên có thể giới thiệu học sinh nội dung
kiến thức cơ bản của cả chương bằng sơ đồ tư duy. Có thể cho học sinh chuan bị trước theo sự hướng dẫn của giáo viên cụ thể chương khào sát hàm số có thể giới thiệu với học sing bằng sơ đồ sau
	Hướng dẫn học bằng sơ đồ tư duy giúp học sinh:
	Sáng tạo hơn
	Ghi nhớ tốt hơn
	Có cái nhìn tổng thể về kiến thức
*Sau khi dạy xong bài , để thực hiện ôn tập tôi thực hiện các bước sau:
	 Bước 1: Xây dựng sơ đồ tóm tắt các dạng bài tập và phương pháp giải 
Sau mỗi bài học lý thuyết tôi đã hướng dẫn học sinh về nhà học theo sơ kiến thức và các dạng bài tập.
Làm như vậy học sinh có dịp ôn lại kiến thức đã học và tự sáng tạo sơ đồ theo năng lực và năng khiếu bản thân
Đặc biệt là sau học song chương I tôi câu đã yêu cầu học sinh viết sơ đồ các bài toán liên quan đến khảo sát và mỗi một học sinh đưa ra một ý tưởng 
( Có bản đính kèm)
Nhưng bảng sơ đồ tư duy chỉ là Minh họa trong thự tế giảng dạy tôi yêu cầu học sinh chia nhỏ kiến thức và đưa ra phương pháp cụ thể 
Bài tính đơn điệu hàm số
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a0). Tìm m để hàm số thỏa mãn một số tính chất sau:
Dạng 1: Để hàm số đồng biến trên R thì 
Dạng 2: Để hàm số nghịch biến trên R thì 
Dạng 3: Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến, (nghịch biến) (x1; x2)bằng d thì ta thực hiện các bước như sau:
-TXĐ: D = R
-Tính y’.
-Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến): (1)
-Biến đổi thành (2)
-Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m.
-Giải phương trình, đối chiếu điều kiện (1) để chọn nghiệm.
2.3.2.2.Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số sai lầm khi giải toánbài toán liên quan đến khảo sat.
Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
 a. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1:
Xét tính đơn điệu của hàm số: 
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: 
Ta có: 
-1
Bảng biến thiên:
x
y '
+
1
+
y
1
Suy ra: Hàm số đồng biến trên 
Phân tích: 
 Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D, 
x1 < x2 f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 2 và 
x2 = 0 thì x1 - 1 = f(x2) ???
Lời giải đúng là:
Tập xác định: 
Ta có: 
-1
Bảng biến thiên:
x
y '
+
1
+
y
1
Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng và .
Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
b. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.
Ví dụ 2: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)
Chứng minh rằng: tanx > x, với 
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với . 
Ta có: f '(x) = , suy ra hàm số f(x) đồng biến trên khoảng . 
Từ x > 0 f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với .
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau 
khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng thì vì sao từ x > 0 f(x) > f(0) 
Sai lầm ở đây là .
Nhớ rằng: nếu f(x) đồng biến trên đoạn (tức là f(x) liên tục trên và f '(x)> 0 với ) thì với 
Lời giải đúng là:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với . 
Ta có: f '(x) = , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng . 
Từ x > 0 f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với . 
Ø Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
c. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y = (2x+1)x.
Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có y' = .
Phân tích: 
Lời giải trên đã vận dụng công thức . Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ là một hằng số. 
Lời giải đúng là:
Điều kiện: (khi đó y > 0)
Từ y = (2x+1)x 
Ø Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức , , nhưng quên rằng nếu như không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
 d. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
	 Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
 Ÿ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 
y = x3 - mx2 + x- 1 đồng biến trên .
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = .
y ' = 3x2 - 2mx + 1. Hàm số đồng biến trên 
 .
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên , nhưng y ' = 3x2 , dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0 (!). Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). 
Lời giải đúng là:
Hàm số đồng biến trên 
 .
Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ là điểm cực tiểu
 Ÿ là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) = mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2.
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Phân tích: 
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 x = 0.
Bảng biến thiên:
x
0
y '
0
0
 +
 -
y
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 (!)
Vậy lời giải trên sai ở đâu ???
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f ''(x0) = 0. Lí do là điều kiện f ''(x0) 0), khi đó:
 là điểm cực đại của hàm số.
Lời giải đúng là:
Cách 1: 
Ta có y ' = 4mx3. Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y '(x) > 0,, với h > 0. Tức là: m < 0.
Thử lại, ta thấy với m < 0 là điều kiện cần tìm.
 Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
 m = 0: Ta có y = f(x) = 0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị.
 m > 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
 m < 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực đại của hàm số.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0.
e. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ 6: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = .
Một số học sinh trình bày như sau:
Đặt t = = t2 - 2.
Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 
Vậy , khi t = - 1.
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t), .
Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để = - 1 (!)
Nhớ rằng, số 
Lời giải đúng là: Đặt t = , với . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi = 1
Khi đó: = t2 - 2. Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3. 
Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với ):
t
-2
-1
2
g '(t)
-
0
 - +
+
g(t)
 -3
5
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: = = - 3
Đạt được khi t = - 2 
 g. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ 7: 
y
x
Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4)
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = - 3x2 + 6x.
Ta có điểm A(-1;4) đồ thị (C). 
suy ra phương trình tiếp tuyến là:
2
-1
y = f '(-1).(x+1)+4 
.
Phân tích: 
Phương trình tiếp tuyến là 
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
-5
tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể có 
tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;4) 
và có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + 4
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
 (I).
Hệ (I) 
Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4 và y = - 9x - 5.
2.3.2.3 Giải pháp 3: Chia bài toán thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách giải đối với từng dạng.
Bài toán 1 : Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a0). Tìm m để hàm số thỏa mãn một số tính chất sau:
Dạng 1: Để hàm số đồng biến trên R thì 
Dạng 2: Để hàm số nghịch biến trên R thì 
Dạng 3: Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến, (nghịch biến) (x1; x2)bằng d thì ta thực hiện các bước như sau:
TXĐ: D = R
Tính y’.
Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến): (1)
Biến đổi thành (2)
Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m.
Giải phương trình, đối chiếu điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Dạng 4: Để hàm số có cực trị (Cực đại, cực tiểu) có 2 nghiệm phân biệt 
Dạng 5: Để hàm số không có cực trị (Cực đại, cực tiểu) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
Lưu Ý: Hàm số luôn có cực trị phương trình y’ = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt 
Dạng 6: Để hàm số đạt cực đại tại x = A 
Dạng 7: Để hàm số đạt cực tiểu tại x = B 
Dạng 8: Để hàm số đạt cực trị bằng h tại x = x0 
Dạng 9: Để hàm số đi qua điểm cực trị M() 
Dạng 10: Để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng (d):
Phương pháp: Hiển nhiên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2, khi đó 2 điểm cực trị là .
	1. Nếu (d) là trục Oy thì 
	2. Nếu (d) là đường thẳng x = thì 
	3. Nếu (d) là đường thẳng ax + by + c = 0 thì 
4/ Nếu đường tròn (C) thì tương tự trường hợp 3.
Dạng 11: Để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng (d):
Phương pháp: Hiển nhiên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2, khi đó 2 điểm cực trị là .
	1. Nếu (d) là trục Oy thì 
2. Nếu (d) là đường thẳng x = thì 
	3. Nếu (d) là đường thẳng ax + by + c = 0 thì 
4. Nếu đường tròn (C) thì tương tự trường hợp 3.
Dạng 12: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
	- TXĐ:
	- Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = 0 (*)
	- Hàm số có cực đại, cực tiểu Pt(*) có hai nghiệm phân biệt (**)
	- Khi đó, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ: 
	Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình y = Ax + B.
	- Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số có dạng y = Ax + B.
Dạng 13: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
	- TXĐ:
	- Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = 0 (*)
	- Hàm số có cực đại, cực tiểu Pt(*) có hai nghiệm phân biệt khác (**)
	- Khi đó, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ: 
Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình 
	- Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số có dạng 
Dạng 14: Để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = mx + n, (m0).
Phương pháp: 
Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (1)
Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Gọi là trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị.
Hướng dẫn hoc sinh hệ thống bằng bảng
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
1. Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị:	
2. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành:
 (Hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu)
.
3. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 1phía đối với trục hoành:	
4. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành:	.
5. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành:
6. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung:
7. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung:
8. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm bên phải trục tung:
9. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm bên trái trục tung:
10. Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành:
Bài toán 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). PTTT tại có dạng: 
*Dạng 1: Tiếp tuyến thường gặp:
PTTT của (C) tại điểm có hoành độ x0: 
Ta đi tìm: 
PTTT của (C) tại điểm có hoành độ y0: 
 Ta đi tìm: 
PTTT của (C) khi cho biết hệ số góc k: 	
Ta đi tìm: 
PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b: 
Ta đi tìm: 
PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b: 
Ta đi tìm: 
PTTT của (C) tại điểm thỏa mãn phương trình f”(x) = 0: 
Ta đi tìm: 
* Dạng 2: Sự tiếp xúc của hai đường cong có phương trình: (C) y = f(x) và (C’) y = g(x).
Phương pháp: (C) tiếp xúc (C’) có nghiệm, nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
* Dạng 3: Tìm A, để từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị y = f(x) (C).
Phương pháp: 
- Giả sử A(x0; y0)
- Phương trình đường thẳng đi qua A(x0; y0) và có hệ số góc k có dạng (d): y = k(x-x0) + y0
- Đường thẳng (d) tiếp xúc (C) có nghiệm.
 - Thay (2) vào (1) ta được: f(x) = f’(x)(x - x0) + y0 (3)
 Số nghiệm của phương trình (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tới (C).
Vậy để từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C)(3) có n nghiệm phân biệt điểm A(nếu có).
* Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) (C) đi qua điểm A(x0; y0). 
Phương pháp: 
- Gọi phương trình đường thẳng đi qua A(x0; y0) và có hệ số góc k có dạng (d): y = k(x-x0) + y0
- Để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)có nghiệm.
 - Thay (2) vào (1) ta được: f(x) = f’(x)(x - x0) + y0 (3)
- Giải (3) tìm được , ta tìm được tiếp tuyến.
2.4. Hiệu quả của sang kiến 
	Kết quả kháo sát 2 lớp 12A1 và 12A3 năm học 2013-2014 khi chưa áp dụng giải pháp tôi đã nghiên cứu bài kiểm tra có kết quả như sau.
Lớp
Số lượng
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A1
27
0
0
5
18,5
9
33,4
8
29,6
5
18,5
12A3
27
0
0
4
14,8
10
37
9
33,4
4
14,8
Sau dó tôi đã bắt đầu nghiên cứu và đưa vào áp dụng thì kết quả như sau:
. Đựơc phân tích kỹ, chi tiết cho các đối tượng học sinh qua các tiết ôn tập, tăng tiết. Kết quả bài kiểm tra 1 tiết chương I trên các đối tượng lớp 12A3 (27 học sinh) ; 12A1 (27học sinh) như sau.
Lớp
Số lượng
Giỏi
Khá
TB
Yếu