Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán viết phương trình đường thẳng trong không gian thường gặp

không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 
1 1
:
1 1 2
x y z 
  

và mặt phẳng   : 2 1 0P x y   . Viết phương trình đường thẳng d nằm 
trong (P), vuông góc với  và cắt . 
BÀI TOÁN 4: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M, cắt 
đường thẳng d’ và vuông góc với đường thẳng d cho trước. 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 11 
*Cách giải 
- Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua M và vuông góc với d. 
- Tìm giao điểm  ' .N d P  
- Viết phương trình MN 
Ví dụ 1: (Đại học khối D năm 2011) 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường 
thẳng 
1 3
:
2 1 2
x y z
d
 
 

. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, 
vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. 
Giải 
- Gọi  ;0;0M m là giao điểm của  với trục Ox, suy ra 
 1; 2; 3AM m   

- VTCP của d là  2;1; 2a  

. 
-      . 0 2 1 1 2 2 3 0 1d AM d AM a m m               
 
- Đường thẳng  đi qua M và nhận  2; 2; 3AM    

 làm VTCP nên 
có phương trình: 
1 2 3
2 2 3
x y z  
  
Có thể giải bài toán trên theo các cách sau: 
Cách 2 
-  đi qua A và cắt trục Ox nên  nằm trên mặt phẳng (P) đi qua A 
và chứa trục Ox. 
-  đi qua A và vuông góc với d nên  nằm trên mặt phẳng (Q) đi 
qua A và vuông góc với d. 
- Ta có: 
+ VTPT của (P) là ,Pn OA i   
  
+ VTPT của (Q) là Q dn a
 
-    P Q    VTCP của  là: ,P Qa n n    
  
Cách 3 
- Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d   : 2x 2z 2 0Q y     
- Gọi M là giao điểm của Ox và (Q)  1;0;0M  
- VTCP của  là AM

. 
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình 
đường thẳng  đi qua điểm  0;1;1A , vuông góc với đường thẳng 
1
1 2
:
3 1 1
x y z
d
 
  và cắt đường thẳng 2
1
:
1
x
d y t
z t
 


  
 . 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 12 
Giải 
- Đường thẳng 1d có VTCP  3;1;1a 

; đường thẳng 2d có VTCP 
 3;1;1b 

. 
- Gọi   là mặt phẳng đi qua  0;1;1A và vuông góc với 1d . Suy ra 
VTPT của   là  3;1;1a 

, nên phương trình mặt phẳng   là: 
     3 0 1 1 1 1 0 3x 2 0x y z y z           
- Gọi    2, ,B x y z d   , tọa độ của B thỏa 
mãn:
1
1
2
1
3
3x 2 0
x
x
y t
y
z t
z
y z
 
   
  
       
 hay  1;2;3B  . 
Đường thẳng  đi qua điểm  0;1;1A , vuông góc với đường thẳng 1d và 
cắt đường thẳng 2d chính là đường thẳng qua A, B tức nhận 
 1;1;2AB  

 làm VTCP nên  có phương trình: 
1 1
1 1 2
x y z 
 

. 
Bài tập áp dụng 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường 
thẳng  đi qua điểm  2;1;3A , vuông góc với đường thẳng 
1
2 1
:
1 1 1
x y z
d
 
 

 và cắt đường thẳng 2
1 1 1
:
2 1 1
x y z
d
  
 

 . 
Đs:
2 6
: 1 5
3 11
x t
y t
z t
 

  
  
*Cách giải 
- Giả sử    : z 0; : ' ' ' ' 0P Ax By C D Q A x B y C z D        
BÀI TOÁN 5: Viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai 
mặt phẳng  P và  Q . 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 13 
- Đường thẳng  là tập hợp các điểm  ; ;M x y z thỏa mãn hệ phương 
trình 
z 0
' ' ' ' 0
Ax By C D
A x B y C z D
   

   
Ta có thể lập được phương trình của  bằng một trong ba cách sau: 
(1) Tìm tọa độ hai điểm phân biệt A và A’ thuộc  rồi viết phương 
trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 
(2) Tìm tọa độ một điểm A thuộc  và một VTCP của nó rồi viết 
PTTS của . 
(3) Trong hệ (1) Cho   ,z f t t  (thường cho z t hoặc y t hoặc 
x t ), rồi tìm ,x y theo t . Từ đó suy ra phương trình tham số 
của . 
Ví dụ: Cho hai mặt phẳng   và  ' lần lượt có phương trình 
2 1 0x y z    và 2z 3 0x y    . Viết phương trình đường thẳng  là 
giao tuyến của hai mặt phẳng   và  ' . 
Giải 
- Hai mặt phẳng đã cho cắt nhau vì bộ ba số (1;2;-1) không tỉ lệ 
với bộ ba số (1;1;2). 
- Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng. Đường thẳng d gồm 
các điểm  ; ;M x y z vừa thuộc   vừa thuộc  ' nên tọa độ của 
M là nghiệm của hệ:  
2 1 0
1
2z 3 0
x y z
x y
   

   
- Bây giờ ta có thể viết phương trình tham số của d bằng một 
trong các cách sau đây: 
 Cách 1. Tìm tọa độ hai điểm phân biệt A và A’ thuộc d rồi viết 
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 
- Trong hệ (1) cho z=0, ta tìm được x=-5, y=2. Vậy điểm  5;2;0A  
thuộc d . 
- Lại cho z=1, ta được x=-10, y=5. Vậy  ' 10;5;1A  cũng thuộc d . 
- VTCP của d là  ' 5;3;1AA  

 nên d có phương trình tham số là: 
10 5
5 3
1
x t
y t
z t
  

 
  
 Cách 2. Tìm tọa độ một điểm A thuộc d và một VTCP của nó rồi 
viết PTTS của d . 
- Trong hệ (1) cho z=0 rồi tìm x và y, ta được x=-5, y=2. Vậy điểm 
A(-5;2;0) thuộc d . 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 14 
- Gọi  1 1;2; 1n  

 là VTPT của mặt phẳng   ,  2 1;1;2n 

 là VTPT 
của mặt phẳng  ' . Đường thẳng d vuông góc với hai vectơ 1n

và 2n

 nên nó có VTCP  1 2, 5; 3; 1 .u n n     
  
- Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: 
10 5
5 3
1
x t
y t
z t
  

 
  
 Cách 3. Trong hệ (1) cho z t rồi tìm ,x y theo z t , ta được 
5 5
2 3
x t
y t
z t
  

 
 
Đó cũng là phương trình tham số của đường thẳng d . 
Bài tập áp dụng 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường 
thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   : 1 0x z    và 
  : 2x 2 3z 1 0y     . 
Đs: 
4 2
:
3 2
x t
y t
z t
 

 
   
*Cách giải 
- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa M và đường thẳng a. 
- Tìm giao điểm B của b và (P). 
- Đường thẳng  chính là đường thẳng đi qua M và B. 
BÀI TOÁN 6: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M, cắt 
hai đường thẳng a, b cho trước. 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 15 
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình 
đường thẳng d đi qua điểm  3;10;1M và cắt cả hai đường thẳng 
1 2
2 1 3 3 7 1
: , :
3 1 2 1 2 1
x y z x y z
d d
     
   
 
. 
Giải 
- Đường thẳng 1d đi qua  2; 1; 3A   và có VTCP  1 3;1;2u 

- Đường thẳng 2d có PTTS là: 
3
7 2
1
x t
y t
z t
 

 
  
- Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và đường thẳng 1d . Suy ra 
 1;11;4AM 

, và (P) có VTPT  1, 18;10; 32n AM u    
  
Phương trình mặt phẳng 
       :18 3 10 10 32 1 0 9x 5 16z 61 0P x y z y           
- Gọi  2B d P  . Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình 
 
3
4
7 2
5 4;5;0
1
0
9x 5 16z 61 0
x t
x
y t
y B
z t
z
y
 
   
   
       
- Đường thẳng d đi qua điểm  3;10;1M và nhận vectơ  1; 5; 1MB   

làm VTCP nên có phương trình:
3 10 1
1 5 1
x y z  
 
 
. 
Ta cũng có thể giải bài toán dạng này theo các cách sau: 
*Cách giải 2 
- Chuyển phương trình đường thẳng a, b về dạng tham số t và t’. 
- Gọi    ; 'A a A t B b B t      . 
- Do , ,
'
t
M A B MA kMB
t

   

 
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình 
đường thẳng d đi qua điểm  1; 1;1A  và cắt cả hai đường thẳng 
1
1 3 1
:
2 1 2
x y z
d
  
 

và 2
2
:
3
x t
d y t
z t
 


 
Giải 
- Đường thẳng 1d có phương trình tham số 
1 2 '
3 '
1 2 '
x t
y t
z t
 

  
   
- Gọi: 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 16 
 1 1 1 2 '; 3 '; 1 2 'B d d B d B t t t          ,
 2 2 2 ; ;3C d d C d C t t t      
- Do    , , 2 '; 2 '; 2 2 ' 1 ; 1;3 1A B C d AB k AC t t t k t t t           
 
2 ' 2 ' 2 ' 2 '2 ' 2 ' 2 2 '
6 ' 2 ' 2 ' 2 2 ' 21 1 3 1
tt t tt t tt t t
tt t tt t tt t t
        
    
       
3 ' ' 2 2 1
' ' 0
4 ' 2 2 ' 0
tt t t t
tt t
tt t t
     
         
- Với    
1
1 ' 0 0; 2; 2 0;1;1 : 1
1
d
x
t t AB u d y t
z t


            
  
 
- Với    
1
' 0 1 0;2;2 0;1;1 : 1
1
d
x
t t AB u d y t
z t


          
  
 
. 
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình 
đường thẳng d đi qua điểm  4; 5;3M   và cắt cả hai đường thẳng 
1 2
1 3 2 2 1 1
: , :
3 2 1 2 3 5
x y z x y z
d d
     
   
  
. 
Giải 
- Phương trình tham số của các đường thẳng 
1 2
1 1 2 2
1 2
5 3 2 2
: 7 2 ; : 1 3
1 5
x t x t
d y t d y t
z t z t
    
 
      
    
- Gọi    1 2 1 1 1 2 2 2, 5 3 ; 7 2 ; , 2 2 ; 1 3 ;1 5A d d B d d A t t t B t t t            
   
 
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
9 3 ; 2 2 ; 3 , 6 2 ;4 3 ; 2 5
, 13 8 13 16; 13 39 ; 13 24 31 48
MA t t t MB t t t
MA MB t t t t t t t t t t t
          
            
 
 
  
A,M,B thẳng hàng ,MA MB
 
 cùng phương 1
2
2
, 0
0
t
MA MB
t

      
  
     1; 3;2 , 2; 1;1 3;2; 1A B AB      

. 
 - Đường thẳng d đi qua điểm  4; 5;3M   và có VTCP 
 
4 3
3;2; 1 : 5 2
3
x t
AB d y t
z t
  

     
  

*Cách giải 3: ngoài hai cách giải trên, ta có thể viết phương trình 
đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng. 
- Lấy bất kỳ điểm Aa; Bb (thường chọn luôn trên đề). Tính 
; .AM BM
 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 17 
- Gọi  P chứa AM và a ,P an AM u    
  
 và  Q chứa AM và b 
,Q bn AM u    
  
. 
 Gọi     ,P QP Q u n n        
  
; từ đó đưa ra kết luận. 
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình 
đường thẳng đi qua điểm  1; 1;1M  và cắt cả hai đường thẳng 
1
1 2
:
3
x t
d y t
z t
 


  
và 2d là giao tuyến của hai mặt phẳng 
   : 1 0; : 2z 3 0x y y       
Giải 
- Đường thẳng 1d đi qua điểm  1;0;3A có VTCP  1 2;1; 1u  

. 
- Đường thẳng 2d đi qua điểm  2;3;0B  có VTCP 
 2
1 1 1 1 1 1
; ; 1; 2;1
1 2 2 0 0 1
u
 
   
 

. 
- Gọi  P là mặt phẳng qua  1; 1;1M  và chứa đường thẳng 1d , có 
VTPT là Pn

 . Ta có:  0;1;2MA 

 1 1, 3; 4;2
P
P
P
n u
n u MA
n MA
        

 
  
  
Do đó phương trình mp  P là:      3 1 4 1 2 1 0x y z      hay 
3x-4y+2z 9 0  
- Gọi  Q là mặt phẳng qua  1; 1;1M  và chứa đường thẳng 2d , có 
VTPT là Qn

. Ta có:  3;4; 1MB   

 
2
2 , 2; 2; 2
Q
Q
Q
n u
n u MB
n MB
          

 
  
  
Do đó phương trình mp  Q là:      2 1 2 1 2 1 0x y z       hay 
1 0x y z    
- Rõ ràng  P cắt  Q và xét đường thẳng d là giao tuyến của  P 
và  Q . 
+ Gọi  
4 2 2 3 3 4
; ; 6; 1;7
1 1 1 1 1 1
u
  
    
 

 là VTCP của d . 
+ Từ đó suy ra u

 không cùng phương với 1u

 và cũng không cùng 
phương với 2u

. 
+ Vì thế trong  P thì d cắt 1d ; trong  Q thì d cắt 2d . Vậy d là 
đường thẳng duy nhất cần tìm. 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 18 
- Đường thẳng d đi qua điểm  1; 1;1M  và nhận  6; 1;7u   

 làm 
VTCP nên có phương trình: 
1 6
1
1 7
x t
y t
z t
 

  
  
Bài tập áp dụng 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường 
thẳng đi qua điểm  1;0;14A  và cắt cả hai đường thẳng 
1 2
1 1 3 3 4
: , :
1 1 6 2 2 1
x y z x y z
d d
    
   
 
. 
Đs: 
1 14
:
3 1 9
x y z
d
 
 
 
*Cách giải 
- Gọi  A a P   Tọa độ A. 
- Gọi  B b P   Tọa độ B. 
- Phương trình đường thẳng AB là phương trình đường thẳng phải 
tìm. 
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường 
thẳng nằm trong mặt phẳng   : 2z 0P y   , cắt hai đường thẳng 
1
1
:
4
x t
y t
z t
 

 
 
 và 2
2
: 4 2
1
x t
y t
z
 

  
 
. 
Giải 
- Gọi  1A P    Tọa độ điểm A thỏa mãn: 
BÀI TOÁN 7: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng 
 P , cắt hai đường thẳng ,a b cho trước. 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 19 
 
1
1
0 1;0;0
4
0
2z 0
x t
x
y t
y A
z t
z
y
 
  
   
    
- Gọi  2B P    Tọa độ điểm B thỏa mãn: 
 
2
5
4 2
2 5; 2;1
1
1
2z 0
x t
x
y t
y B
z
z
y
 
   
     
    
- Đường thẳng cần tìm đi qua A và B nhận vectơ  4; 2;1AB  

 làm 
VTCP nên có phương trình 
1
4 2 1
x y z
 

. 
Bài tập áp dụng 
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường 
thẳng nằm trong mặt phẳng   : z 0x   , cắt hai đường thẳng 
2 5
:
1 3 1
x y z
a
 
 

 và 
2
: 4 2
1
x t
b y t
z
 

 
 
. 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường 
thẳng  nằm trong mặt phẳng   : 2y+1 0x   , cắt hai đường thẳng 
1
1 1
:
1 1 2
x y z
d
 
 

 và 2
2 1
:
1 2 1
x y z
d
 
  . 
Đs: 
1 2
: 1
1 4
x t
y t
z t
 

   
   
* Cách giải 
BÀI TOÁN 8: Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt 
phẳng  P , cắt hai đường thẳng a, b cho trước. 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 20 
- Vì đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận VTPT Pn

của (P) làm VTCP. 
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và . Mặt 
phẳng (Q) đi qua một điểm M thuộc a và có VTPT là ,Q a Pn u n   
  
. 
- Tìm  B b Q  . 
- Đường thẳng  đi qua B và nhận Pn

 làm VTCP, từ đó suy ra phương 
trình. 
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình 
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   : 2 3z 5 0P x y    và cắt cả 
hai đường thẳng 1 : 4
3
x t
d y t
z t


  
  
 và 2
1 2
: 3
4 5
x t
d y t
z t
 

  
  
Giải 
- Mặt phẳng  P có VTPT là  1;2; 3Pn  

; đường thẳng 1d có VTCP 
là  1 1;1; 1u  

; đường thẳng 2d có VTCP là  2 2;1; 5u   

. 
- Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P nên nhận Pn

 làm 
VTCP. 
- Gọi  Q là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và 1d có VTPT là 
Qn

. Ta có:  1
2 3 3 1 1 2
, ; ; 1; 2; 1
1 1 1 1 1 1
Q Pn n u
  
          
  
   10; 4;3M d M Q    
Phương trình mặt phẳng  Q : 
     1 0 2 4 1 3 0 2 5 0x y z x y z           
- Gọi  2B d Q  , tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình 
 
1 2
3
3
1 3; 1; 6
4 5
6
2 5 0
x t
x
y t
y B
z t
z
x y z
 
     
       
        
- Đường thẳng d đi qua B và nhận Pn

 làm VTCP nên có phương 
trình 
3 1 6
1 2 3
x y z  
 

. 
Ta cũng có thể giải bài toán dạng này bằng các cách sau: 
* Cách giải 2 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 21 
- Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng a và vuông 
góc với mặt phẳng  P . Mặt phẳng   có VTPT là ,P an n u    
  
. 
- Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng b và vuông 
góc với mặt phẳng  P . Mặt phẳng   có VTPT là ,P bn n u    
  
. 
- Tìm giao điểm    M    
- Từ đó viết phương trình  qua M có VTCP Pn

Với ví dụ 1, ta có lời giải sau: 
- Mặt phẳng  P có VTPT  1;2; 3n  

; đường thẳng 1d có VTCP 
 1 1;1; 1u  

 và 2d có VTCP  2 2;1; 5u   

. 
- Vì  d P  VTCP của d là  1;2; 3n  

. 
- Gọi  R là mặt phẳng chứa 1d và vuông góc với (P). Suy ra 
VTPT của  R là  
2 3 3 1 1 2
; ; 1; 2; 1
1 1 1 1 1 1
Rn
  
    
  

Mặt khác,  R lại qua điểm  1 10; 4;3M d  nên có phương trình: 
   2 4 3 0 2 5 0x y z x y z          
- Gọi  Q là mặt phẳng chứa 2d và vuông góc với (P). Suy ra 
VTPT của  Q là  
2 3 3 1 1 2
; ; 7;11;5
1 5 5 2 2 1
Qn
  
   
   

Mặt khác,  Q lại qua điểm  2 21; 3;4M d  nên có phương trình: 
     7 1 11 3 5 4 0 7x 11 5z 20 0x y z y            
- Do đó    d R Q  . 
- Điểm 
5 15
;0;
2 2
M
 
  
 
 có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình 
2 5 0
7x 11 5z 20 0
x y z
y
   

    
 nên M d . 
Suy ra phương trình của đường thẳng cần tìm 
5
2
: 2
15
3
2
x t
d y t
z t

  



   

. 
*Cách giải 3 
- Giả sử PTTS của hai đường thẳng a,b lần lượt là: 
1 2
1 2
1 2
'
: , : '
'
x x at x x a s
a y y bt b y y b s
z z ct z z c s
    
 
    
     
- Lấy    1 1 1 2 2 2; ; , ' ; ' ; 'M a M x at y bt z ct N b N x a s y b s z c s          
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 22 
Suy ra:  2 1 2 1 2 1' ; ' ; 'MN x a s x at y b s y bt z c s z ct         

-   *
...
. ,
...
t
d P MN k n k
s

     

 
 Tọa độ của M, MN

- Đường thẳng d đi qua M và nhận MN

 làm VTCP, từ đó suy ra phương 
trình của d. 
 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình 
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   : z 1 0P x y    đồng thời cắt 
cả hai đường thẳng 
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
 
 

 và 2
1
: 1
x t
d y
z t
  

 
  
, với t . 
Giải 
- PTTS của 1
1 2s
: 1
x
d y s
z s
 

  
 
- Lấy  1 1 2 ; 1 ;M d M s s s     ;  2 1 ; 1;N d N t t      . Suy ra 
 2s 2; ;MN t s t s    

-   *
4
1 3 25
. , 2s 2 ; ;
2 5 5 5
5
t
d P MN k n k t s t s M
s

  
                
   

 
 
2 2 2
; ;
5 5 5
MN
 
    
 

- Suy ra 
1 3 2
5 5 5:
1 1 1
x y z
d
  
  
Bài tập áp dụng 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: 
     : 2x 1 0, : 2z 3 0, : 2 3z 1 0P y z Q x y R x y            và đường thẳng 
1
2 1
:
2 1 3
x y z 
  

. Gọi 2 là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương 
trình đường thẳng d vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng 
1 , 2 . 
Đs: 
231 1
812 12: .
1 2 3
zx y
d
 
 

 BÀI TOÁN 9: Viết phương trình đường thẳng  là hình chiếu của đường thẳng d 
lên mặt phẳng  P cho trước. 
SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 
Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 23 
*Có các khả năng sau 
 Nếu  d P (tức VTCP u
