Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

Có bao nhiêu số có 6 chữ số mà: 
 a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? 
 b) Chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau? 
 c) Số có hai chữ số đầu và số có hai chữ số cuối giống nhau? 
 Bài giải: 
 a) Số cách chọn 4 chữ số ở giữa là chỉnh hợp lặp chập 4 của 10 phần tử 
Nên ta có F10
4 = 104 cách chọn 
 Vậy có 9.104 = 90000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và cuối giống nhau. 
 b) Tương tự có 5510
6
10 10.9 FF số có 6 chữ số. 
12 
Vậy có 9.105 – 9.104 = 810.000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và chữ số cuối khác 
nhau. 
 c) Tương tự có: 90110
2
10  FF số có hai chữ số. Do đó có 90 cách chọn hai 
chữ số đầu và cuối giống nhau 
 Vậy có F210 = 100 cách chọn hai chữ số ở giữa. 
 Vậy có tất cả: 90.100 = 9000 số thỏa mãn 
*Tổng quát: Với n > 2m > 2 (với n, m là số tự nhiên) thì có: mnm FFF 210
1
1010 )(
 số có n 
chữ số mà số có m chữ số đầu và số có m chữ số cuối giống nhau. 
Bài toán 7: Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau? 
 Bài giải: 
Giả sử 4321 aaaax  là số cần tìm 
 Nếu a1 là số lẻ thì a1 có 3 cách chọn ( a1 có thể là 5,7,9), a4 có 5 cách chọn (a4 có 
thể là 0, 2, 4, 6, 8), a2 có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn. 
Vậy có tất cả: 3.5.8.7 = 840 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số lẻ 
 Nếu a1 là số chẵn thì a1 có hai cách chọn (a1 có thể là 6,8), a4 có 4 cách chọn, a2 
có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn. 
Vậy có: 2.4.8.7 = 448 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số chẵn 
Vậy tổng cộng có: 840 + 448 = 1288 số thoả mãn đề bài 
Bài toán 8: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau được lập từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 
5. Trong các số đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? 
 Bài giải: 
 Có P6 = 6! số có 6 chữ số lấy từ các chữ số đã cho kể cả các số có chữ số 0 
đứng đầu. Với chữ số 0 đứng đầu ta có: P5 = 5! số. 
 Vậy có tất cả: 6! – 5! = 600 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1, 
2, 3, 4, 5. 
 Số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Với số tận cùng là 0 ta 
có 5! số. Với số có tận cùng là 5 ta có: 5! – 4! số. 
 Vậy tất cả có: 5! + (5! – 4!) = 216 số thỏa mãn đề bài. 
13 
Bài toán 9: 
 a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và 
đôi một khác nhau? 
 b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên? 
 Bài giải: 
 a) Số có 5 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 là một hoán 
vị của 5 phần tử. Vậy có tất cả: P5 = 5! = 120 số. 
 b) Ta thấy: 5 + 9 = 6 + 8 = 7 + 7 = 14, nên ứng với mỗi số n của hoán vị trên 
ta có thể ghép một và chỉ một số n’ sao cho: 
 n + n’ = 14(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 155554 
 (Chẳng hạn: 65897 + 89657 = 155554) 
 Vậy tổng cần tìm là: S = (120 : 2).155554 = 9333240 
Bài toán 10: Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số 
còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu: 
 a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau 
 b) Các chữ số được xếp tùy ý. 
 Bài giải: 
 a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau ta xem như một phần tử. Mỗi số có 9 chữ 
số như thế là một hoán vị của 5 phần tử. 
 Vậy có P5 = 5! = 120 số thỏa mãn đề bài 
 b) Xem năm số 1 là khác nhau thì ta có 9! Số, nhưng có 5! Số trùng nhau (là 
hoán vị của 5 chữ số 1) 
 Vậy có tất cả: 9! : 5! = 3024 số thỏa mãn đề bài. 
Bài toán 11: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 
chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? 
 Bài giải: 
Số có 4 chữ số khác nhau có dạng: 4321 aaaa 
14 
 Có 3 cách chọn a4 ( a4 có thể là 1, 3, 7) 
 Có 34A cách chọn 321 aaa kể cả a1 = 0 
Với a1 = 0, có 
2
3A cách chọn 32aa 
 Vậy tất cả có: 3.( 34A - 
2
3A ) = 54 số thỏa mãn đề bài 
Bài toán 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số 
gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? 
 Bài giải: 
 Số có 5 chữ số khác nhau lập được từ các số đã cho là 57A số, kể cả chữ số 0 
nằm ở vị trí đầu tiên. Với chữ số 0 nằm ở vị trí đầu tiên có 46A số. Vậy có: 
5
7A - 
4
6A 
số có 5 chữ số khác nhau lập từ các số đã cho. 
 Tương tự, số có 5 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (trừ số 
5 ra) là: 56A - 
4
5A 
 Vậy tất cả có: 57A - 
4
6A -(
5
6A - 
4
5A ) = 1560 
Bài toán 13: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho, hỏi: 
 a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một? 
 b) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5? 
 c) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9? 
 Bài giải: 
a) Số cần tìm có dạng: 4321 aaaa (với  4,2,04 a ) 
Với a4 = 0 có 
3
5A cách chọn 321 aaa 
Với a4 = 2 (hoặc a4 = 4) có 
3
5A - 
2
4A cách chọn 321 aaa 
Vậy có: 35A + 2(
3
5A - 
2
4A ) = 156 số thỏa mãn 
b) Số cần tìm có dạng: 321 aaa (với  5,03 a ) 
Với a3 = 0 có 
2
5A cách chọn 21aa 
Với a3 = 5 có 
2
5A - 
1
4A cách chọn 21aa 
Vậy có: 25A + (
2
5A - 
1
4A ) = 36 số thỏa mãn đề bài 
c)  cbacbaabc ,,;99   có thể là {0, 4, 5}; {1; 3; 5} hoặc {2, 3, 4} 
15 
Khi {a, b, c} là {0, 4, 5} thì các số cần tìm là: 405; 504; 450; 540 (có 4 số) 
Khi {a, b, c} là {1; 3; 5} hoặc {2; 3; 4} thì có 3! = 6 số 
Vậy tổng cộng có 4 + 6 + 6 = 16 số thỏa mãn đề bài 
Bài toán 14: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, ..., 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 
chữ số khác nhau từ các số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. 
 Bài giải: 
 Số có 6 chữ số lấy từ 8 chữ số đã cho là chỉnh hợp chập 8 của 6 phần tử (kể 
cả các số có chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên): 68A 
 Với chữ số 0 đứng đầu ta có: 57A số 
 Vậy có: 68A - 
5
7A số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho 
 Tương tự, có 56
6
7 AA  số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho và 
không có chữ số 4 
 Vậy tổng cộng có: 
 13320
!1
!6
!1
!7
!2
!7
!2
!85
6
6
7
5
7
6
8  AAAA số. 
Bài toán 15: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10n mà tổng các chữ số bằng 3? 
 Bài giải: 
Các số tự nhiên này có nhiều nhất là n chữ số 
Có 1nC số tự nhiên chỉ chứa một chữ số 3 
Có 2nA số tự nhiên chỉ chứa chữ số 1 và 2 
Có 3nC số tự nhiên chỉ chứa 3 chữ số 1 
 Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 
 1nC + 
2
nA + 
3
nC = 
6
)2)(1(  nnn
Bài toán 16: Có bao nhiêu số có n chữ số, trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho 
mỗi chữ số có mặt ít nhất một lần trong mỗi số đó. 
 Bài giải: 
16 
 Ta dùng phương pháp gián tiếp: Xác định xem có bao nhiêu số có n chữ số, 
trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho các chữ số chỉ là 1 hoặc 2 trong ba chữ số 
đã cho. 
Số các số có n chữ số, trong đó có mặt một trong ba chữ số 1, 2, 3 là 3 (đó là 
các số: 
nnn
3....33;2....22;1....11 ) 
Trong ba số 1, 2, 3 có 23C tập hợp gồm 2 chữ số. Với hai số 1, 2 chẳng hạn, 
có 2n – 2 số có n chữ số trong đó các chữ số chỉ là 1, 2 và mỗi chữ số có mặt 
ít nhất 1 lần bằng số chỉnh hợp lặp nnF 2
2  trừ 2 số 
nn
2....22;1....11 
Vậy số các số gồm n chữ số chỉ có mặt hai trong ba chữ số 1, 2, 3 là )22(23 
nC . 
Do đó có: 32.333)22(333)22(3 23 
nnnnnn C số thỏa mãn đề bài 
Bài toán 17: 
 a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên 
phải khác 0) trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? 
 b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 
hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? 
 Bài giải: 
 a) Đưa chữ số 0 vào vị trí cuối có 5 cách chọn. 
 Đưa 5 chữ số trong 8 chữ số (trừ chữ số 0 và 1) có: 58A cách 
 Vậy tổng cộng có: 5. 58A = 33600 cách 
 b) Đưa hai chữ số 2 vào bảy vị trí có: 27C cách 
 Đưa ba chữ số 3 vào năm vị trí còn lại có: 35C cách 
 Đưa hai chữ số trong 8 chữ số (trừ chữ số 2 và 3) vào hai vị trí còn lại: 
có 28A cách. Theo quy tắc nhân ta được: 
2
7C .
3
5C .
2
8A số. 
 Ta còn phải loại trừ những số có chữ số 0 đứng đầu, trường hợp này có: 
 26C .
3
4C .7 số 
 Vậy số các số thỏa mãn đề bài là: 27C .
3
5C .
2
8A - 
2
6C .
3
4C .7 = 11340 số. 
17 
Bài toán 18: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 
10 chữ số được lấy từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ 
số khác có mặt đúng một lần. 
 Bài giải: 
Cách 1: (dùng hoán vị lặp) 
Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu là: 
!3
!8
Với chữ số 0 đứng đầu ta được: 
!3
!7
 số 
Vậy tổng cộng có: 
!3
!8
 - 
!3
!7
 = 544320 số thỏa mãn đề bài 
Cách 2: (dùng tổ hợp) 
 Số tự nhiên gồm 10 chữ số có dạng: 1021 ....aaa 
 Số cách chọn 3 vị trí trong 10 vị trí là: 310C 
 Đặt số 6 vào 3 vị trí vừa chọn, sau đó đặt các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 vào 7 
vị trí còn lại ta có: 310C .7! số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu. Với chữ số 0 đứng 
đầu, ta có 310C .6! số. 
 Vậy tổng cộng có: 310C .7! - 
3
10C .6! = 544320 số. 
Bài toán 19: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5? 
 Bài giải: 
Ta xét ba trường hợp: 
 a) Số phải đếm có dạng: ab5 
 Chữ số a có 9 cách chọn (từ số 0 đến số 9 nhưng khác 5), chữ số b cũng có 9 
cách chọn (từ số 0 đến 9 nhưng khác 5). Vậy tất cả có: 9.9 = 81 số. 
 b) Số phải đếm có dạng: ba5 
 Chữ số a có 8 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác 5), chữ số b có 9 cách chọn 
(từ 0 đến 9 nhưng khác 5). Vậy tất cả có: 8.9 = 72 số. 
 c) Số phải đếm có dạng: 5ab . Tương tự trường hợp b, 
 trường hợp này có: 72 số. 
 Vậy tổng cộng có: 81 + 72 + 72 = 225 số thỏa mãn đề bài. 
18 
Bài toán 20: Có bao nhiêu số chứa ít nhất một chữ số 1 trong các số tự nhiên: 
a) Có ba chữ số b) Từ 1 đến 999 
 Bài giải: 
 a) Ta đếm các số tự nhiên có ba chữ số rồi bớt đi các số có ba chữ số không 
chứa chữ số 1. 
 Số có ba chữ số là: 100, 101, ..., 999, có 900 số. Trong các số trên, số không 
chứa chữ số 1 có dạng: abc trong đó a có 8 cách chọn (từ 2 đến 9), b có 9 cách 
chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1), c có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1). Vậy 
có: 8.9.9 = 648 số. 
 Do đó tất cả có: 900 – 648 = 252 số thỏa mãn đề bài. 
 b) Ta thêm chữ số 0 vào dãy 1, 2, ..., 999 thành dãy mới: 000, 001, ..., 999 để 
đếm được dễ dàng. 
 Trước hết ta đếm các số không chứa chữ số 1 của dãy này: đó là các số có 
dạng abc . 
 Trong đó mỗi chữ số a, b, c đều có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1), 
tất cả có: 9.9.9 = 729 số. Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 không chứa chữ số 1 có: 
729 – 1 = 728 số. 
 Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 có chứa chữ số 1 là: 999 – 728 = 271 số. 
Bài tập tự luyện: 
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, có bốn chữ số, có đúng một chữ số 
5? (Đáp Số: 873 số). 
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có ít nhất hai chữ số giống 
nhau? (Đáp số: 252 số). 
Bài 3: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng các chữ số trên: 
 a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, trong đó các chữ số khác 
nhau? Tính tổng các chữ số được lập. 
 b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? 
19 
 c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó hai chữ số kề 
nhau phải khác nhau. 
 d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, các chữ số khác nhau, 
trong đó có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn? 
 (Đáp số: a) 399960 b) 48 c) 1280 d) 72) 
Bài 4: Cho năm chữ số: 0, 1, 2, 3, 4. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu 
số tự nhiên: 
 a) Có năm chữ số, gồm cả 5 chữ số ấy 
 b) Có bốn chữ số, các chữ số khác nhau? 
 c) Có ba chữ số, các chữ số khác nhau? 
 d) Có ba chữ số, các chữ số có thể giống nhau? 
 (Đáp số: a)96 số b)96 số c)48 số d)100 số) 
Bài 5: Cho 5 chữ số 0,1, 3, 5, 6. Từ các chữ số trên, lập được bao nhiêu số tự nhiên 
gồm năm chữ số khác nhau thỏa mãn một trong các điều kiện sau: 
 a) Không chia hết cho 2 
 b) Chia hết cho 2 
 c) Chia hết cho 5 
 (Đáp số: a) 54 số b) 42 số ). 
Bài 6: a) Dùng các chữ số 1, 2, 7, viết được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số 
sao cho các chữ số 2 và 7 có mặt một lần, còn chữ số 1 có mặt ba lần? 
 b) Cũng hỏi như câu a nếu thêm điều kiện các số phải đếm lớn hơn 20000? 
 (Đáp số: a. 20 b. 8 số). 
Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng 
số đó chia hết cho 9? (Đáp số: 16 số). 
Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 11 chữ số, gồm năm chữ số 1 và sáu chữ số 2 
sao cho đọc xuôi và đọc ngược đều giống nhau? (Đáp số: 10 số cần tìm). 
Bài 9: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao 
nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10 
20 
 (Đáp số: 1260 số). 
Bài 10: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng bìa ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 
3 miếng trong 5 miếng bìa này đặt lần lượt cách nhau từ trái sang phải để được các 
số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm ba chữ số và trong 
đó có bao nhiêu số chẵn. 
 (Đáp số: 48 số và 30 số chẵn). 
Bài 11: Có bao nhiêu số có 5 chữ số: 
 a) Bắt đầu bằng số 3? 
 b) Không bắt đầu bằng số 5? 
 c) Bắt đầu bằng số 54? 
 (Đáp số: a) 104 b) 105 – 2.104 c) 103). 
Bài 12:Với 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong 
đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có 
mặt đúng 1 lần? (Đáp số: 3360 số). 
Bài 13: Từ các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, 
trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần ? 
 (Đáp số: 7.7.6.5.4 = 5880). 
Bài 14: Từ ba chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, 
trong đó có mặt đủ ba chữ số trên? (Đáp số: 150 số). 
Bài 15: Dùng các chữ số 0, 1, 2, ..., 9 để viết các số tự nhiên x gồm 5 chữ số khác 
nhau đôi một, chữ số đầu tiên khác 0. 
 a) Có bao nhiêu số x? b) Có bao nhiêu số x là số lẻ? 
 (Đáp số: )b)5(A ) 38
4
9
4
994
5
10 AAAa  ) 
Bài 16: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi 
một khác nhau, trong đó: 
a) Phải có mặt chữ số 2? b) Phải có mặt hai chữ số 1 và 6? 
 (Đáp số: !2.2b)A !5) 56
5
6 Aa ). 
21 
Bài 17: Tìm các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số 
khác nhau? (Đáp số: 3000 số). 
Bài 18: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng có 3 
chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn? (Đáp số: 64800 số). 
Bài 19: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng 
sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. (Đáp số: C59 ). 
Bài 20: Cho 4 chữ số a, b, c và số 0 (a, b, c khác nhau và khác 0). Với cùng cả 4 
chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số. (Đáp số: 18 số). 
Dạng 2: Một số bài toán suy luận logic: 
 Các bài toán suy luận thường không đòi hỏi nhiều về kĩ năng tính toán, để 
giải chúng không cần trang bị nhiều kiến thức toán học. Điều cần thiết là phải có 
phương pháp suy luận đúng đắn, chặt chẽ, hợp lí, đôi khi cần cả sự thông minh 
sáng tạo. 
 Ngoài các bài toán sử dụng các phương pháp tính ngược từ cuối, bằng sơ đồ 
ven (Nâng cao và phát triển toán 6), phương pháp phản chứng và nguyên lí 
Dirichlet. Người ta còn dùng nhiều phương pháp khác để giải các bài toán suy luận. 
 Dưới đây tôi chỉ đề cập đến một số dạng bài tập có nội dung thực tế để sử 
dụng cho đội tuyển học sinh giỏi Toán 6 
Bài toán 1: Trong một bảng đấu loại bóng đá, có bốn đội thi đấu vòng tròn một 
lượt: đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm, đội thua được 0 điểm. Tổng số 
điểm của bốn đội khi kết thúc vòng đấu bảng là 16 điểm. Tính số trận hòa. 
 Bài giải: 
 Số trận đấu trong vòng đấu bảng là: 4.3:2 = 6 trận 
 Tổng số điểm của hai đội trong trận hòa là: 1 + 1 = 2 điểm 
 Tổng số điểm của hai đội trong trận có thắng – thua là 3 + 0 = 3 điểm 
 Giả sử không có trận hòa thì tổng số điểm của các đội là: 3.6 = 18 điểm 
 Dôi ra: 18 – 16 = 12 điểm 
 Tổng số điểm trong một trận hòa ít hơn tổng số điểm trong trận có thắng – 
thua là: 3 – 2 = 1 điểm 
22 
 Số trận hòa là: 2 : 1 = 2 trận 
Lưu ý: bài toán thuộc loại giả thiết tạm. 
Bài toán 2: Một số học sinh dự thi học sinh giỏi toán 
 Nếu xếp 25 học sinh một phòng thi thì thừa 5 học sinh chưa có chỗ. Nếu xếp 28 
học sinh một phòng thì thừa 1 phòng. Tính số học sinh dự thi? 
 Bài giải: 
 Nếu xếp 28 học sinh một phòng thì thừa 1 phòng, tức là thiếu 28 học sinh 
 Số học sinh chênh lệch trong hai trường hợp xếp phòng là: 
 5 + 28 = 33 học sinh 
 Số học sinh chênh lệch ở mỗi phòng trong hai trường hợp là: 
 28 – 25 = 3 học sinh 
 Số phòng thi là: 33 : 3 = 11 phòng 
 Số học sinh là: 25.11 + 5 = 280 học sinh 
Lưu ý: bài toán trên thuộc loại tìm số khi biết hai hiệu số 
Bài toán 3: Một câu lạc bộ lúc đầu có một thành viên, sau một tháng thì thành viên 
đó phải tìm thêm 2 thành viên mới . Cứ như vậy mỗi thành viên (cả cũ lẫn mới) sau 
một tháng phải tìm được thêm hai thành viên mới. Nếu kế hoạch phát triển hội viên 
như trên được thực hiện thì số thành viên của câu lạc bộ đó là bao nhiêu? 
 a) Sau 6 tháng b) Sau 12 tháng 
 Bài giải: 
 a) Cứ sau một tháng thì số thành viên lại tắng gấp 3 lần. Sau 6 tháng thì số 
thành viên của câu lạc bộ là: 36 = 729 người. 
 b) Sau 12 tháng, số thành viên của câu lạc bộ là: 
 312 = 36.36 = 729.729 = 531441 (người). 
Bài toán 4: Trong một cuộc thi có 20 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 10 điểm , 
còn sai thì bị trừ 15 điểm. Một học sinh được tất cả 50 điểm. Hỏi bạn đó đã trả lời 
đúng mấy câu? 
23 
 Bài giải: 
 Giả sử bạn học sinh đó trả lời đúng cả 20 câu. Như vậy, tổng số điểm bạn ấy 
đạt được là 10.20 = 200 điểm 
 Nhưng trên thực tế chỉ được 50 điểm nghĩa là còn thiếu: 
 200 – 50 = 150 điểm 
 Sở dĩ hụt đi 150 điểm vì trong số 20 câu có một số câu bạn ấy trả lời sai. 
Giữa một câu trả lời đúng và một câu trả lời sai chênh lệch là: 
 10 + 15 = 25 điểm 
 Do đó, số câu trả lời sai là: 150 : 25 = 6 câu 
 Số câu trả lời đúng là: 20 – 6 = 14 câu 
Bài tập tự luyện: 
Bài 1: Một cửa hàng có sáu hòm hàng có khối lượng 316kg, 327 kg, 336kg, 338kg, 
349kg, 351 kg. Trong một ngày, cửa hàng đã bán năm hòm, trong đó khối lượng 
hàng bán buổi sáng gấp đúng bốn lần khối lượng hàng bán buổi chiều. Hỏi hòm 
còn lại là hòm nào? 
Bài 2: Trong một cuộc hội thảo, mỗi người tham dự đều biết ít nhất một trong ba 
ngoại ngữ Anh, Pháp, Nga. Có 21 người biết tiếng Anh, 19 người biết tiếng Pháp, 
17 người biết tiếng Nga, 13 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp, 12 người biết cả 
tiếng Anh và tiếng nga, 11 người biết cả tiếng Nga và tiếng Pháp, 10 người biết cả 
ba thứ tiếng. Tính số người tham dự hội thảo. 
Bài 3: Một lớp học có 90% thích bóng đá, 60% thích bóng chuyền. Hỏi có ít nhất 
bao nhiêu phần trăm học sinh của lớp thích cả hai môn? 
Bài 4: Có 7 bi đỏ, 5 bi xanh để trong hộp. Không nhìn vào hộp, lấy ra ít nhất bao 
nhiêu viên bi thì chắc chắn có 2 bi đỏ, 3 bi xanh? 
Gợi ý + đáp án: 
Bài 1: Chú ý rằng tổng số lượng 6 hòm là số chia cho 5 dư 2, số hàng đã bán là số 
chia hết cho 5, nên hòm còn lại có khối lượng là số chia hết cho 5 dư 2, đó là hòm 
327 kg. 
Bài 2: 31 người 
24 
Bài 3: Gọi số phần trăm học sinh thích cả hai môn là x. Số phần trăm học sinh thích 
ít nhất một trong hai môn là: 90 + 60 – x hay 150 – x 
Ta có: 150 – x ≤ 100 
Do đó x ≥ 50. Vậy có ít nhất 50% số học sinh thích cả hai môn (chú ý rằng có thể 
có học sinh không thích môn nào). 
Bài 4: Lập luận thử các trường hợp có thể lấy đến 9 viên bị vẫn không thỏa mãn 
yêu cầu, còn lấy 10 viên bi thì chắc chắn đạt yêu cầu. 
3.1.e2. Áp dụng đại số tổ hợp trong hình học: Tìm số phần tử của tập hợp (Số 
điểm, số cạnh, số đường thẳng, số đoạn thẳng ...) 
 Để đếm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng, trong nhiều trường hợp ta 
không thể đếm trực tiếp mà phải dùng lập luận. 
Bài toán 1: a) Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 
hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng? 
 b) Cũng hỏi như câu a nếu trong 100 điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng. 
 Bài giải: 
 a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ 
được 99 đường thẳng. Làm như vậy với 100 điểm, ta được 99.100 đường thẳng. 
Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 99.100:2 = 4950 
đường thẳng.