Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích

hen chốt ; nhà trường đã phát động nhiều phong trào nhằm đẩy 
mạnh công tác chuyên môn . Tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để các thầy cô 
giáo có điều kiện học hỏi đúc rút được nhiều kinh nghiệm cho bản thân 
- Đa số giáo viên nhiệt tình trong công tác giảng dạy ; học sinh ham học 
- Cơ sở vật chất đầy đủ ; đồ dung học tập phong phú 
 b/ Mặt yếu : Chất lượng học sinh không đồng đều nên việc tiếp thu kiến 
thức còn hạn chế 
2.4 : Các nguyên nhân ; các yếu tố tác động 
- Xuất phát từ thực trạng nói trên nguyên nhân chủ yếu là nhằm giúp cho các em 
học sinh có ý thức học tập đúng đắn ; tạo sự ham mê học tập giúp các em có 
điều kiện lĩnh hội được một số kiến thức để các em học tập sau này được tốt hơn 
- Xuát phát từ sự ham học hỏi của học sinh và sự ham mê nghiên cứu và lòng 
yêu nghề 
 của bản thân 
- Sự chỉ đạo sát sao của các cấp chuyên môn phát động phong trào viết sáng kiến 
kinh nghiệm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy 
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 7 / 28 
PHẦN 3: BIỆN PHÁP 
3.1: Mục tiêu của giải pháp , biện pháp 
- Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp giải 
các 
phương trình đưa được về dạng “ Phương trình tích “ . Đồng thời vận dụng các 
phương pháp đó để giải các bài toán hay và khó hơn như sau 
- Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử rồi phân tích đa thức đưa 
- về dạng tích 
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích là gì 
? 
Và những dạng bài tập nào thì vận dụng được nó và vận dụng như thế nào 
Phân tích vế trái thành một tích ( thừa số ) là biến đổi vế trái thành một tích của 
các đa 
 thức ; đơn thức khác của ẩn và vế phải bằng 0 
3.2: Nội dung và phương pháp thực hiện 
G/V ? : Một tích bằng 0 khi ? 
 Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng ? 
- Cần cho học sinh thấy rõ là : Một tích bằng 0 khi một trong các thừa 
số phải có một thừa số bằng 0 
- Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích đó bằng 0 
Ví dụ : Giải phương trình : ( 2x – 3 ) ( x + 1 ) = 0 ( I ) 
Phương pháp giải 
Tính chất nêu trên của phép nhân có thể viết 
 ab = 0  a = 0 hoặc b = 0 ( với a ; b là các số ) 
Đối với phương trình ta cũng có : ( 2x – 3 ) ( x + 1 ) = 0 
  2x – 3 = 0 
 Hoặc x + 1 = 0 
Do đó để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình 
 1/ 2x – 3 = 0 2 3 1,5x x    
 2/ x + 1 = 0  x = - 1 
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 8 / 28 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 1,5 và x = - 1 
Và ta viết tập hợp nghiệm của phương trình là : S =  1,5; 1 
Giải phương trình như trên được gọi là giải phương trình tích 
Giáo viên đưa ra dạng phương trình tích tổng quát như sau 
GV? : Để giải phương trình tích : A(x 1 ) . A(x 1 ) . .A(x n ) = 0 ( II ) 
 thì ta cần giải những phương trình nào ? 
HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải các phương trình sau 
 A( x 1 ) = 0 ( 1 ) 
 A( x 2 ) = 0 ( 2 ) 
 .. 
 A ( x n ) = 0 ( n ) 
Nghiệm của các phương trình ( 1 ) ; ( 2 ) .( n ) là nghiệm của phương trình ( 
II ) 
Với các giá trị của x thỏa mãn điều của phương trình ( II ) 
SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 
I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN 
VÍ DỤ 1: Giải phương trình 
 ( x + 1 ) ( x + 4 ) = ( 2 – x ) ( 2 + x ) 
Nhận xét : Hai tích không có nhân tử chung thi ta phải khai triển và thu gọn để 
tìm cách đưa về dạng tích , do đó để giải phương trình này ta cần thực hiện hai 
bước 
Bước 1 : Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích bằng cách chuyển 
tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái và đổi dấu các hạng tử đó ; vế phải 
bằng 0 ; rồi áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích 
vế trái thành tích 
 Ta có : ( x + 1 ) ( x + 4 ) = ( 2 – x ) ( 2 + x ) 
  ( x + 1 ) ( x + 4 ) – ( 2 – x ) ( 2 + x ) = 0 
  x 2 2 24 4 2 0x x x      
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 9 / 28 
 22 5 0 (2 5) 0x x x x      
Bước 2 : Giải phương trình tích vừa tìm được rồi kết luận nghiệm 
 x ( 2x + 5 ) = 0 
0
0 0
5
2 5 0 2 5
2
x
x x
x x x

   
    
       
Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
5
0;
2
 
 
 
VÍ DỤ 2: Giải phương trình :  
3 1
1 3 7
7 7
x x x   
 Tương tự ví dụ 1 ta thực hiện phép chuyển vế ta có : 
   2
3 1 3 3
1 3 7 1 0
7 7 7 7
x x x x x x        
  2 2
3 3 3 3
1 0 1 0
7 7 7 7
x x x x x x
 
          
 
     
3 3
1 1 0 1 1 0
7 7
x x x x x
 
         
  
1 0 1
3 7
1 0
7 3
x x
x x
   
 
  
    
 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
7
1;
3
 
 
 
VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : 2 2 1 4 0x x    
 Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi 
 vế trái dựa vào hằng đẳng thức 
 Giải : Ta có :  
2
2
2 1 4 0
2 1 4 0
x x
x x
   
     
 
   
2 21 2 0
1 2 1 2 0
x
x x
   
     
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 10 / 28 
   3 1 0x x    
3 0 3
1 0 1
x x
x x
   
  
    
 Vậy nghiệm của phương trình là S =  1;3 
VÍ DỤ 4: 
 Giải phương trình :       
2 2
1 2 1 2 2 0x x x x       
Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận ra được 
 hằng đẳng thức bình phương của một tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc 
nhân đa thức rồi mới phân tích thành nhân tử 
Ta xem ( x- 1 ) =A ; ( x + 2 ) = B  phương trình có dạng ( A + B ) 2 = 0 
Giải : ta có        
2 2
1 2 1 2 2 0x x x x       
    
2
1 2 0x x       
    1 2 0x x       
 1 2 0
2 1 0
x x
x
    
  
1
2 1
2
x x      
Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
1
2
 
 
 
VÍ DỤ 5 : Giải phương trình : 
   3 5 2 2 1 0x x   
 Đây là một phương trình tích có chứa căn thức bậc hai , Để 
 tránh cho học sinh có thể hiểu bài toán môt cách phức tạp vì phương 
trình 
 có chứa căn bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh vẫn thực hiện 
 cách giải thông thường . vì 2; 3; 5 cũng được coi là các hệ số thông 
thường 
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 11 / 28 
Giải : ta có   3 5 2 2 1 0x x   
3
3 5 0 5
12 2 1 0
2 2
x
x
x
x

   
  
   

 Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
3 1
;
5 2 2
  
 
  
II/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP 
TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH 
TÍCH 
VÍ DỤ 1 : Giải phương trình : 3 23 2 0x x x   
 Đối với phương trình này thì học sinh có thể có các cách giải 
 khác nhau chẳng hạn ở đây ta có thể tham khảo hai cách giải sau 
 Cách 1 : Ta có :  3 2 23 2 0 3 2 0x x x x x x       
  2 2 2 0x x x x     ( tách 3x = x + 2x ) 
    2 2 2 0x x x x       ( nhóm hạng tử ) 
    1 2 1 0x x x x       ( đặt nhân tử chung ) 
   1 2 0x x x    ( đặt nhân tử chung ) 
0 0
1 0 1
2 0 2
x x
x x
x x
  
 
      
     
 Vậy nghiệm của phương trình là : S =  0; 1; 2  
CÁCH 2: Giải : Ta có 
 3 2 3 2 23 2 0 2 2 0x x x x x x x        ( tách 2 2 23 2x x x  ) 
        3 2 2 22 2 0 1 2 1 0x x x x x x x x          
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 12 / 28 
       21 2 0 1 2 0x x x x x x        ( đặt nhân tử chung ) 
1 0 1
0 0
2 0 2
x x
x x
x x
    
 
    
     
 Vậy nghiệm của phương trình là : S =  0; 1; 2  
VÍ DỤ 2: 
Giai phương trình : 
3 19 30 0x x   đối với phương trình này đầu tiên chưa 
xuất hiện nhân tử chung ; cũng không ở dạng hằng đẳng thức nào cả 
Do vậy khi giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp nào 
đã biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) 
ở đây ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x 
 Giải : Ta có : 
 3 319 30 0 9 10 30 0x x x x x        
        3 29 10 30 0 9 10 3 0x x x x x x          
          2 23 10 3 0 3 3 10 3 0x x x x x x x           
       23 3 10 0 3 3 10 0x x x x x x            
        2 23 5 2 10 0 3 ( 5 ) 2 10 0x x x x x x x x              
           3 5 2 5 0 3 5 2 0x x x x x x x             
3 0 3
5 0 5
2 0 2
x x
x x
x x
    
 
     
     
Vậy nghiệm của phương trình là : S =  3; 2;5  
 VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : 
23 5 2 0x x   
 Đối với phương trình này ta tách hạng tử 5x = 6x – x 
 Giải : Ta có : 2 23 5 2 0 3 6 2 0x x x x x        
        23 6 2 0 3 2 2 0x x x x x x          
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 13 / 28 
   2 3 1 0x x    
2
2 0
1
3 1 0
3
x
x
x x
 
  
  
   
Vậy nghiệm của phương trình là : 
1
2;
3
 
 
 
VÍ DỤ 4 : Giải phương trình : 
3 24 14 6 0x x x   
 Đói với phương trình này bước đầu tiên ta phải biến đổi vế trái thành 
 tích bằng cách đặt nhân tử chung để biểu thức trong ngoặc đơn giản 
 hơn . sau đó dung phương pháp tách hạng tử để đưa về dạng tích 
Giải : Ta có :  3 2 24 14 6 0 2 2 7 3 0x x x x x x       
      2 22 2 6 3 0 2 2 6 3 0x x x x x x x x            
       2 2 3 3 0 2 3 2 1 0x x x x x x x           
2 0 0
3 0 3
2 1 0 1
2
x x
x x
x
x

 

      
     

Vậy : nghiệm của phương trình là : S = 
1
0; 3;
2
 
  
 
VÍ DỤ 5: Giải phương trình : 
2 9 20 0x x   
 Đói với phương trình này vế trái chưa xuất hiện nhân tử chung 
 Do đó ta cần biến đổi để đưa vế trái về dạng tích bằng cách 
 Tách hạng tử 9x = 4x + 5x 
Giải: Ta có : 2 29 20 0 4 5 20 0x x x x x        
        2 4 5 20 0 4 5 4 0x x x x x x          
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 14 / 28 
   
4 0 4
4 5 0
5 0 5
x x
x x
x x
    
      
    
 Vậy nghiệm của phương trình là : S =  4; 5  
VÍ DỤ 6: Giải phương trình : 
2 6 0x x   
 Ta biến đổi vế trái của phương trình thành tích bằng cách tách hạng 
 Tử x = 3x – 2x sau đó nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung 
 Giải : Ta có : 
2 26 0 3 2 6 0x x x x x        
        2 3 2 6 0 3 2 3 0x x x x x x          
   
3 0 3
3 2 0
2 0 2
x x
x x
x x
    
      
   
 Vậy nghiệm của phương trình là : S =  3;2 
VÍ DỤ 7: Giải phương trình : 
2 3 2 0x x   
 Đối với phương trình này có nhiều cách giải khác nhau . sau đây là 
 Một số cách giải 
Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x 
 Ta có : 
2 23 2 0 2 2 0x x x x x        
        2 2 2 0 1 2 1 0x x x x x x          
    
1 0 1
1 2 0
2 0 2
x x
x x
x x
   
      
   
Vậy nghiệm của phương trình là : S =  1;2 
 Cách 2 : Tách hạng tử 2 = - 4 + 6 
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 15 / 28 
 Ta có : 
2 23 2 0 3 4 6 0x x x x        
          2 4 3 6 0 2 2 3 2 0x x x x x           
        2 2 3 0 2 1 0x x x x           
2 0 2
1 0 1
x x
x x
   
  
   
Vậy nghiệm của phương trình là : S =  1;2 
Cách 3 : Biến đổi 
3
3 2. .
2
x x  ; 
9 1
2
4 4
  
 Ta có : 
2 2 3 9 13 2 0 2 0
2 4 4
x x x x        
2 2
2 23 9 1 3 3 12 0 2 . 0
2 4 4 2 2 2
x x x x
      
               
       
2 2
3 1 3 1 3 1
0 0
2 4 2 2 2 2
x x x
          
                   
          
   
3 1 3 1
0 1 2 0
2 2 2 2
x x x x
  
           
  
1 0 1
2 0 2
x x
x x
   
  
   
Vậy nghiệm của phương trình là : S =  1;2 
III/DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG 
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 
VÍ DỤ 1: Giải phương trình 
4 213 36 0x x   
 Đây là phương trình bậc 4 ẩn x . để giải dạng phương trình này ta 
 cần đặt biến phụ sau khi tìm được giá tri của biến phụ ta lắp giá 
 trị đó vào biểu thức lien quan ban đầu để tìm nghiệm 
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 16 / 28 
 Ở đây ta đặt 
2x a ta có cách giải sau 
Giải :Ta có : 
4 2 213 36 0 13 36 0x x a a       
    2 24 9 36 0 4 9 36 0a a a a a a          
       4 9 4 0 4 9 0a a a a a         
1
2
44 0
9 0 9
aa
a a
  
  
   
 Vì ta đặt 
2
2
2
4 2
39
x x
x a
xx
   
   
  
 Vậy nghiệm của phương trình là : S =  2; 3  
VÍ DỤ 2: Giải phương trình : 
4 22 5 2 0x x   
 Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ 
 là : Đặt 
2x a nên ta có cách giải sau 
 Giải :Ta có : 
4 2 22 5 2 0 2 5 2 0x x a a       
    2 22 4 2 0 2 4 2 0a a a a a a          ( tách 5a = 4a + a ) 
       2 2 2 0 2 2 1 0a a a a a         ( nhóm và đặt NTC ) 
2
2 0
1
2 1 0
2
a
a
a a
 
  
  
    
 Vì đặt 
2
2
2
2
1
2
x
x a
x
 

  
 

 Điều này không thể xẩy ra vì 
2 0x  với mọi giá trị của x vậy phương trình 
 đã cho vô nghiệm : tập hợp nghiệm của phương trình là : S =  
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 17 / 28 
VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : 
4 29 6 1 0x x   ta biến đổi vế trái bằng 
 cách đặt ẩn phụ 
2x a để đưa về dạng tích 
 Giải : Ta có : 
4 2 29 6 1 0 9 6 1 0x x a a       
    
2 223 2.3 1 0 3 1 0a a a       
  
1
3 1 0
3
a a     
Vì đặt 
2 2 1
3
x a x    Trường hợp này cũng không thể xẩy ra 
Vì 
2 0x  với mọi giá trị của x . Vậy phương trình vô nghiệm 
 Tập hợp nghiệm của phương trình là : S =  
VÍ DỤ 4: Giải phương trình : 4 22 7 4 0x x   
 Đặt 
2x a Ta có cách giải sau 
 4 2 22 7 4 0 2 7 4 0x x a a       
    2 22 8 4 0 2 8 4 0a a a a a a          
       2 4 4 0 4 2 1 0a a a a a         
4
4 0
1
2 1 0
2
a
a
a a

  
  
    
 Vì đặt 
2x a 2 4 2x x     
 Và : 
2 1
2
x   Loại 
 Vậy nghiệm của phương trình là : S =  2 
VÍ DỤ 5 : Giải phương trình : 
4 22 20 18 0x x   
 Đặt 
2x a nên ta có cách giải sau 
 4 2 22 20 18 0 2 20 18 0x x a x       
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 18 / 28 
    2 22 10 9 0 2 9 9 0a a a a a         
        22 9 9 0 2 9 9 0a a a a a a               
   
9 0 9
2 9 1 0
1 0 1
a a
a a
a a
   
      
   
Vì đặt 
2 2 9 3x a x x      
 Và : 2 1 1x x    
Vậy nghiệm của phương trình là : S =  1; 3  
IV: DẠNG BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ 
 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 
Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác định của 
phương trình 
Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn để mẫu thức khác 
không . Sau đây là một số ví dụ về dạng phương trình này 
 VÍ DỤ 1: Gi ải phương trình :  
2 1 2
2 2
x
x x x x

 
 
 ( I ) 
 Điều kiện xác định của phương trình là : 
0 0
2 0 2
x x
x x
  
 
   
 Giải : Ta có 
 ( I )   
   
   
2 22 1 2 2
2 2 2 2
x x xx
x x x x x x x x
  
   
   
     22 2 2 2 2 2x x x x x x          
  2
0
0 1 0
1 0
x
x x x x
x

       
 
0
1
x
x

 
 
 Vì điều kiện xác định của phương trình là : 0x  và 2x  
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 19 / 28 
 Nên với x = 0 loại . Do đó nghiệm của phương trình là : S =  1 
VÍ DỤ 2: Giải phương trình : 
 
2
2 112 3
2 2 4
xx
x x x

 
  
 ( II ) ĐKXĐ: 2x   
 Giải : Ta có : 
 (II)  
 
2
2 112 3
2 2 4
xx
x x x

 
  
   
  
 
  
2
2 3 2 2 11
2 2 2 2
x x x
x x x x
   
 
   
 Quy đồng mẫu hai vế 
      
2
2 3 2 2 11x x x      (Nhân hai vế với   2 2x x  khử mẫu ) 
 Khai triển chuyển vế thu gọn ta được 
2 29 20 0 4 5 20 0x x x x x         ( tách -9x = - 4x – 5x ) 
        2 4 5 20 0 4 5 4 0x x x x x x          
    
4 0 4
4 5 0
5 0 5
x x
x x
x x
   
      
   
 Vì x = 4 ; x = 5 Thuộc tập xác định của phương trình 
 Vậy nghiệm của phương trình là : S =  4;5 
VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : 
3 2 1
2 2
x
x
x x

 
  ( III) ĐKXĐ : 
2x  
 Giải : Ta có : 
 (III) 
 2 1 23 2 1 3
2 2 2 2
x x xx
x
x x x x
  
   
   
23 2 1 2x x x     ( nhân hai vế với x – 2 và khử mẫu ) 
  
22 4 4 0 2 0x x x       
 2 0 2x x     
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 20 / 28 
 (Loại vì x = 2 không thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình 
 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là : S =  
VÍ DỤ 4 : Giải phương trình : 
2
2
1 1
x x
x x
   ( IV ) ĐKXĐ : 0x  
 ( IV ) 
3 4
3 4
2 2
1
1
x x x
x x x
x x
 
      
    3 4 3 41 0 1x x x x x x         
      3 31 1 0 (1 ) 1 0x x x x x         
        22 21 1 1 0 1 1 0x x x x x x x           
 Vì  2 2 2
1 1 3 1 1 3
1 2 . 2. .
2 4 4 2 4 4
x x x x x x
 
          
 
2
1 3
0
2 4
x
 
    
 
 nên      2 221 1 0 1 0 1 0 1x x x x x x            
 Thỏa mãn điều kiện của bài toán 
 Vậy nghiệm của phương trình là : S =  1 
V: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC 
Tùy theo mỗi dạng phương trình mà ta có thể có những cách biến đổi khác nhau 
Để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích . Sau đây là một dạng 
phương trình đặc trưng 
Ví dụ I: Giải phương trình : 
2 1
1
2001 2002 2003
x x x 
   
Đây là một phương trình nếu áp dụng cách giải thong thường thì chúng ta sẽ gặp 
rất nhiều khó khăn . Do đó để giải được phương trình này ta sử dụng phương 
pháp sau 
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 21 / 28 
Để biến đổi đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích đơn giản hơn 
Ta cộng thêm 2 vào hai vế của phương trình và biến đổi phương trình như sau 
2 1 2 1
1 1 1 1
2001 2002 2003 2001 2002 2003
x x x x x x       
           
   
2003 2003 2003 2003 2003 2003
0
2001 2002 2003 2001 2002 2003
x x x x x x     
       
  
1 1 1
2003 0 2003 0 2003
2001 2003 2003
x x x
 
          
 
 Vì : 
1 1 1
0
2001 2002 2003
   
Vậy nghiệm của phương trình là : S =  2003 
VÍ DỤ 2 : Gi ải phương trình : 
1 2 3 4 5 6
94 93 92 91 90 89
x x x x x x     
     
 Cộng thêm 3 vào hai vế của phương trình ta được 
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
94 93 92 91 90 89
x x x x x x                
                     
           
95 95 95 95 95 95
94 93 92 91 90 89
x x x x x x     
      
95 95 95 95 95 95
0
94 93 92 91 90 89
x x x x x x     
       
  
1 1 1 1 1 1
95 0
94 93 92 91 90 89
x
 
        
 
 95 0 95x x      
 Vì : 
1 1 1 1 1 1
0
94 93 92 91 90 89
      
Vậy nghiệm của phương trình là : S =  95 
VÍ DỤ 3: Giải phương trình : 
Kinh nghiệm dạy học giải phương trình tích 
Trang 22 / 28 
59 57 55 53 51
5
41 43 45 47 49
x x x x x    
      
 Đối với phương trình này ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái và tách 
 Thành 5 hạng tử . mỗi hạng tử là 1 đơn vị nên ta có cách giải sau 
59 57 55 53 51
5
41 43 45 47 49
x x x x x    
      
59 57 55 53 51
1 1 1 1 1 0
41 43 45 47 49
x x x x x             
                   
         
100 100 100 100 100
0
41 43 45 47 49
x x x x x    
      
  
1 1 1 1 1
100 0
4