Sáng kiến kinh nghiệm Khắc phục một số khiếm khuyết khi giải phương trình vô tỉ

i một bất phương trình tích, dễ gây nhầm lẫn cho học sinh
Ví dụ 1: Giải phương trình
 (1)
Có học sinh giải như sau:
ĐK:
Khi đó (1)
Do nên chia hai vế cho ta có
Với ta có do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
- Sai lầm ở đây là do:
+ Thói quen thường gặp của học sinh đầu cấp THPT vẫn còn ảnh hưởng bởi việc phân tích một biểu thức thành nhân tử rồi phân chia các trường hợp để xét dấu các nhân tử theo cách làm ở cấp THCS. Sở dĩ ở cấp THCS phải làm vậy vì các em chưa được học định lý về dấu của tam thức bậc hai.
+ Sau khi phân tích biểu thức ban đầu thành nhân tử, cộng với kiến thức về biến đổi tương đương còn chưa tốt, các em dễ mắc sai lầm sau 
-Biện pháp khắc phục sai lầm như trên:
+ Giáo viên yêu cầu học sinh ghi nhớ:
 , tương tự .
+ Tuy vậy điều vừa nói ở trên là về mặt kiến thức, còn khi thực hành giáo viên dạy cho học sinh giải điều kiện là một bất phương trình bậc hai một cách gọn gàng, dễ làm bằng Định lý về dấu của tam thức bậc hai chứ không phân tích một tam thức bậc hai thành tích hai nhị thức bậc nhất như lời giải sai ở trên. Giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Sau khi giải triệt để điều kiện xác định thì nên dựa vào điều kiện xác định để phân ra các trường hợp nhằm xét dấu các biểu thức dưới căn bậc hai( hoặc một căn bậc chẵn ), khi đó có thể giúp ta rút gọn 2 vế phương trình, đánh giá các vế của phương trình
Lời giải đúng.
ĐK:
Ta thấy nghiệm đúng phương trình đã cho.
(1)
Nếu nên chia hai vế cho ta có
Với ta có , do đó phương trình đã cho vô nghiệm trong trường hợp này.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 
	Tuy vậy, khi tìm điều kiện cho một phương trình vô tỷ nếu dẫn tới phải giải một bất phương trình bậc 3(hoặc bậc cao hơn) thì điều không tránh khỏi là phải phân tích biểu thức bên vế trái thành các nhân tử. Sẽ không có vấn đề gì nếu các nhân tử đều là các nhị thức bậc nhất với lũy thừa bậc lẻ (thường là bậc 1), tuy vậy nếu trong biểu thức xuất hiện nhân tử là nhị thức bậc nhất với số mũ chẵn (thường gặp là bậc 2) thì học sinh lại dễ mắc sai lầm.
Ví dụ 2:
Học sinh thường làm như sau
Điều kiện để căn thức có nghĩa:
Vậy không tồn tại giá trị của để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên phương trình vô nghiệm.
Có thể chỉ ra với thì cả hai căn thức đều có nghĩa và chính là nghiệm của phương trình. Học sinh đã sai khi giải bất phương trình 
- Biện pháp khắc phục: 
+ Học sinh lực học yếu và trung bình rất hay nhầm rằng: , vì lẽ đó nên khi gặp một vế có nhân tử dạng các em này thường rút gọn một cách hết sức ngây thơ mà bỏ qua trường hợp . Do đó khi có một nhân tử là nằm ở một vế của bất phương trình mà ta đang giải để tìm điều kiện xác định thì giáo viên cần cho học sinh phân làm hai trường hợp:
 và , để từ đó tìm ra được điều kiện chính xác đối với nhân tử còn lại.
Lời giải đúng:
Điều kiện để căn thức có nghĩa:
Thử vào phương trình ta có nên là nghiệm duy nhất.
Ở ví dụ trên ta thấy việc giải điều kiện xác định cũng gần như đồng nghĩa với việc giải bất phương trình. Vì vậy ở những dạng bài kiểu này giải đúng điều kiện xác định nghĩa là làm được bài toán. Tiếp tục xoay quanh vấn đề trên, giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Nếu ở điều kiện trên bỏ đi dấu =, ta được bất phương trình: thì có gì khác trước?
Bây giờ thì học sinh sẽ hiểu rằng: Nếu thì bất phương trình này vô nghiệm, nếu , bất phương trình trở thành: 
b) Sai lầm khi đặt điều kiện để biến đổi phương trình
+Sai lầm khi giải phương trình dạng
Trong khi giải phương trình học sinh thường biến đổi như sau:
, hoặc đỡ nhầm hơn một chút thì 
Sau khi giải được nghiệm học sinh không thử lại vào phương trình ban đầu mà khẳng định ngay đó chính là nghiệm của phương trình đã cho hoặc chỉ kiểm tra điều kiện và kết luận đó là nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Học sinh kiến thức yếu thường làm như sau:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là : và .
Một số học sinh khác thì nhớ được rằng: Để căn thức bậc hai có nghĩa thì biều thức nằm dưới dấu căn bậc hai phải không âm, do đó các em này làm như sau:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là : và ..
-Biện pháp khắc phục sai lầm trên
Để khắc phục sai lầm trên cho học sinh, ta hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp sau
	 Giáo viên lưu ý cho học sinh là điều kiện nên điều kiện xác định được thỏa mãn. Vì vậy giáo viên nhấn mạnh cho học sinh: Khi gặp dạng toán trên ta không cần tìm điều kiện xác định của phương trình mà chỉ cần quan tâm đến điều kiện có nghiệm của phương trình()
Lời giải đúng:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :.
c) Sai lầm khi giải phương trình vô tỷ chứa căn bậc lẻ.
	Các bài toán giải phương trình vô tỷ chứa căn bậc lẻ chủ yếu gặp dưới dạng căn bậc 3.
Đối với học sinh yếu, trung bình: Giáo viên lưu ý cho học sinh mọi biểu thức có nghĩa đều tồn tại căn bậc lẻ, nhớ rằng không được nhầm lẫn mà buộc điều kiện biểu thức nằm dưới dấu căn bậc lẻ phải không âm.
Có lẽ phương trình chứa căn bậc lẻ thường gặp hoặc thường biến đổi rồi đưa được về phương trình dạng , gặp phương trình này học sinh thường biến đổi như sau
 (2)
Sau khi giải xong phương trình (2) học sinh kết luận luôn nghiệm của (2) là nghiệm của (1).
-Các sai lầm mắc phải:
+ Học sinh luôn quan niệm căn bậc lẻ thì không có điều kiện xác định nhiều và phức tạp như căn bậc chẵn, thậm chí điều kiện xác định là mọi giá trị xnên cứ thoải mái biến đổi, thay thế ta sẽ được các phương trình tương đương với phương trình ban đầu.
+ Ở bài dạng toán trên sai lầm của học sinh là coi rằng (1) và (2) là hai phương trình tương đương nhưng thực ra hai phương trình đó không tương đương vì ta đã thay thế bởi .
-Biện pháp khắc phục
Thực tế cho thấy ngay cả học sinh khá cũng có thể mắc phải sai lầm này. Do đó để khắc phục sai lầm cho học sinh, giáo viên nhấn mạnh rằng (1) và (2) không tương đương mà phương trình (2) chỉ là phương trình hệ quả của phương trình (1) nên khi giải xong phải thử lại nghiệm vào phương trình (1).
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Lời giải đúng như sau:
Thử lại (1) chỉ có x = là thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm x = .
Rõ ràng rằng nếu quan niệm sai lầm như đã nói ở trên thì sẽ dẫn tới lấy thêm nghiệm ngoại lai x =0 
d) Sai lầm khi giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai
 	Khi giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai bằng phương pháp biến đổi tương đương, tôi nhận thấy rằng: Ở phương trình dạng: , học sinh thường ít gặp nhầm lẫn, nhưng khi thay dấu + bởi dấu -, tức là gặp phương trình dạng
 , học sinh thường mắc sai lầm.
Học sinh thường biến đổi như sau
Biến đổi như trên học sinh cũng đã thể hiện một phần hiểu biết của mình( mặc dù còn sai). Học sinh đặt điều kiện đối vớinhưng không đặt điều kiện đối với vì cho rằng, ta sẽ phải bình phương 2 vế của phương trình để khử căn bậc hai, điều đó dẫn tới, suy nghĩ này cũng có điểm đáng để khen ngợi, có lẽ các em đã một phần áp dụng lối tư duy khi giải phương trình dạng( bằng phương pháp bình phương hai vế). Ta xét một ví dụ cụ thể:
Ví dụ 5: Giải phương trình
Lời giải sai của học sinh:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: .
Có thể thấy ngay không phải là nghiệm của phương trình.
-Học sinh này phạm những sai lầm sau:
Sở dĩ em học sinh này chỉ đặt 2 điều kiện, 3x+10 vì quan niệm rằng sẽ dẫn tới 2x-1 không âm, nên không cần đặt điều kiện 2x-10 nữa. Thậm chí nếu đặt thêm điều kiện 2x-10 thì vẫn sai vì điều kiện này kết hợp với 2 điều kiện trên sẽ cho ta: x, điều kiện này dẫn tới ta không loại được nghiệm x =1.
Sai lầm nằm ở chỗ chưa biết 2 vế có cùng dấu hay không mà đã bình phương, cụ thể là nếu được thoả mãn điều kiện x thì vế phải không âm, còn thì chưa xác định dấu.
-Biện pháp khắc phục	
Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta cần nhấn mạnh muốn bình phương hai vế để được một phương trình tương đương thì 2 vế phải cùng dấu (mà thực chất thường làm là hai vế không âm). Ta hướng dẫn học sinh biến đổi như sau:
Nhiều học sinh kiến thức yếu còn mắc phải sai lầm ngây thơ 
Như vậy, chỉ bằng hành động chuyển vế đổi dấu, giáo viên đã gần như có thể khắc phục được sai lầm rất nghiêm trọng cho học sinh.
Lời giải đúng cho bài toán trên:
Nhận thấy với thì vế trái của (*) không âm, còn vế phải của (*) âm, do đó (*) vô nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm
e) Sai lầm khi rút gọn hoặc phân tích nhân tử có chứa căn bậc hai
	Học sinh rất hay nhầm lẫn khi gặp một phương trình vô tỷ có chứa các biểu thức dưới dạng: 
Ví dụ 6: Giải phương trình:
Học sinh thường mắc sai lầm như sau:
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Ta thấy rằng khi thay vào phương trình đã cho ta thấy nó thỏa mãn phương trình. Do đó phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy nguyên nhân nào dẫn tới lời giải trên sai?
Học sinh sai lầm khi cho rằng, sai lầm này do không để ý gì đến dấu của các biểu thức A, B
-Biện pháp khắc phục
+ Giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng:
Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy rằng lời giải trên thiếu một trường hợp A<0; B<0 nên dẫn tới mất nghiệm 
	+ Khi gặp dạng này phải giải điều kiện xác định, rồi dựa vào điều kiện đó xét dấu của hai biều thức để phân chia trường hợp chính xác, dẫn tới rút gọn biểu thức đúng.
Lời giải đúng:
ĐK: 
Nếu , ta có:
Phương trình vô nghiệm trong trường hợp này.
Nếu , ta có:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm .
Ví dụ 7: Giải phương trình: 
Học sinh thường làm như sau: 
Pt (*)
Căn thức có nghĩa khi , khi đó 
(*)
(nhận)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm .
Nhận thấy ngay x =0 cũng là một nghiệm của phương trình
Khi biến đổi như trên, học sinh thường mắc sai lầm khi cho rằng Đẳng thức này chỉ đúng khi . Nếu thì 
- Biện pháp khắc phục
+ Giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng:
	+ Khi gặp dạng này phải giải điều kiện xác định, rồi dựa vào điều kiện đó xét dấu của hai biều thức để phân chia trường hợp chính xác, dẫn tới rút gọn biểu thức đúng.
Lời giải đúng:
 ĐK: .
* x = 0 là một nghiệm của phương trình.
*
(nhận)
*
(loại)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0 và x = 
Bài toán trên còn có cách giải như sau:
 ĐK: .
Pt 
(do đk (*)) (thỏa (*)).
f) Sai lầm khi bỏ đi biểu thức như nhau ở hai vế của phương trình mà không để ý