Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

ác đa thức có tính chất đặc biệt dễ nhận thấy hoặc dễ nhẩm nghiệm(Đa 
thức có nghiệm 1;0 ...; các đa thức có hệ số cao nhất bằng 1, hệ số tự do bé...), 
còn đối bài toán tìm nghiệm các đa thức có hệ số cao nhất khác 1, đa thức mà hệ 
số tự do có nhiều ước số, đa thức hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ và đặc biệt đa 
thức hệ số hữu tỷ có nghiệm hữu tỷ là những bài toán khó đòi hỏi HS phải nắm 
vững phương pháp mới giải thành công được. 
 Trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tôi cũng đã cố gắng tìm kiếm 
và sưu tầm tài liệu song các tài liệu hướng dẫn HS giải loại toán "Tìm nghiệm 
hữu tỷ của đa thức" ít thấy. Một số tài liệu chỉ đề cập đến các định lý và hệ quả 
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 5/19
liên quan mà không đi vào hướng dẫn phương pháp tìm như thế nào đối với từng 
dạng đa thức hay từng yêu cầu cụ thể về nghiệm. 
Trước thực trạng đó, tôi đã tìm tòi, suy nghĩ, phân tích các phương pháp 
hướng dẫn học sinh tháo gỡ những vướng mắc nêu trên và tiến hành thử nghiệm 
thực tế đối với học sinh khá giỏi ở trường mình. Sau nhiều lần rút kinh nghiệm 
tôi đã chọn ra được các giải pháp hiệu quả nhất như sau: 
III. GIẢI PHÁP 
1. Xác định những kiến thức cơ bản liên quan 
1.1.Định nghĩa: Nếu tại x = c đa thức f(x)có giả trị bằng 0 thì ta nói rằng c 
(hoặc x =c) là một nghiệm của đa thức đó. 
1.2. Một đa thức (khác đa thức không ) có thể có nhiều nghiệm hoặc không có 
nghiệm nào. 
1.3. Một đa thức bậc n có nhiều nhất là n nghiệm phân biệt. Đa thức bậc 0 thì 
không có nghiệm. Đa thức không (không có bậc) thì có vô số nghiệm. 
1.4. Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là một nghiệm. 
 Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa chẵn bằng tổng các luỹ 
thừa lẻ thì x = - 1 là một nghiệm. 
* Từ định nghĩa trên ta thấy khi f(c) = 0 khi và chỉ khi f(x)  (x - c) 
* Định lý Bêzu: Dư của phép chia đa thức f(x) cho x -c là giá trị f(c) 
Bổ sung: 
1.5. Cho đa thức f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên) 
Nếu phân số 
p
q
(tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của a0; q là ước của an 
1.6. Mọi nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức với hệ số nguyên phải là ước 
của số hạng tự do. 
1.7. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên và hệ số cao nhất 
bằng 1 đều là nghiệm nguyên. 
1.8. Nếu 1   là nghiệm nguyên của đa thức f(x) với hệ số nguyên thì 
f (1)
1
và 
f ( 1)
1


 phải là các số nguyên. 
1.9. Sơ đồ Hoocne: Giả sử f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1x + a0. 
Chia f(x) cho x - c ta được thương q(x) có bậc n - 1 là: 
q(x) = bnx
n-1 + bn-1x
n-2 + ... + b2x + b1. và dư là hằng số r. Khi đó ta có sơ đồ 
sau gọi là sơ đồ Hoocne: 
 an an-1 ... ak ... a1 a0 
 c bn= an bn-1 ... bk-1 bk ... b1 r 
= 
Nhân 
Cộng
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 6/19
Quy tắc của sơ đồ: Mỗi phần tử dòng dưới bằng tích của c với phần tử đứng 
ngay trước nó cộng với phần tử tương ứng ở dòng trên. 
2. Những giải pháp đã tiến hành 
Trên cơ sở xác định rõ phạm vi các kiến thức liên quan mà giáo viên đã nắm 
bắt. Đầu tiên cần giúp các em nắm vững các kiến thức đó theo một quy trình phù 
hợp với mức độ nhận thức từ thấp đến cao của các em.Cụ thể chúng ta có thể 
tiến hành như sau: 
2.1. Giáo viên (GV) cho học sinh (HS) củng cố những kiến thức hiểu biết 
của mình về nghiệm của đa thức đã được học qua sách giáo khoa(SGK). 
Trước hết GV cho HS vận dụng các kiến thức cơ bản để giải bài toán cụ thể. 
Chẳng hạn: 
Bài toán 1: Tìm nghiệm của các đa thức sau: 
a. 5x - 7 b. (x - 3)(2+x) c. x2 - 4 
d. x2 + 3 e. x2 + 2x 
Đa số HS đều hiểu và vận dụng được những kiến thức cơ bản vào giải bài tập 
đã cho.Những bài tập này giúp HS củng cố lại các kiến thức cơ bản đã được học 
trong nội dung chính khoá. 
Đáp số bài toán 1: 
a. 
7
x
5
 b. x = 3 hoặc x = -2 c. x 2  
d.vô nghiệm e. x = 0 hoặc x = -2 
Trong các bài tập dạng đơn giản như trên, HS dễ dàng dùng các kiến thức 
được học ở SGK để giải. Nhưng khi gặp bài toán sau: 
Tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2 
Nếu không bổ sung thêm kiến thức thì HS sẽ gặp khó khăn. Do đó bước tiếp 
theo: 
2.2. GV hướng dẫn HS bổ sung những kiến thức cơ bản khác liên quan 
cần thiết đến nghiệm của đa thức. 
 Chẳng hạn đối với tiểu mục 1.4 ở trên GV có thể cung cấp cho HS. Tuy 
nhiên, trong dạy Toán cái đáng quý nhất là làm cách nào đó để HS tự mình rút ra 
được những nhận xét, kết luận cần thiết nhằm hình thành dần ở các em khả năng 
khái quát hoá vấn đề, tổng hợp hoá kiến thức. Như thế không chỉ dừng lại ở việc 
giải bài toán cụ thể mà các em còn có ý thức tìm tòi phương pháp giải cho các 
bài toán cùng loại hoặc từ bài toán cụ thể xem xét bài toán tổng quát. Vì vậy GV 
cần giúp HS hình thành, phát hiện các kiến thức mới có liên quan từ những bài 
toán mang tính chất tình huống : 
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 7/19
Bài toán 2: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c; Chứng tỏ rằng: 
 a. Nếu a + b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1. 
Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2 
b. Nếu a - b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1. Áp dụng để tìm 
một nghiệm của đa thức f(x) = 7x2 + 11x + 4 
Lược giải: 
a. Với x = 1 ta có: f(1) = a + b + c; mà a + b + c = 0 nên f(1) = 0 
 Điều này chứng tỏ x= 1 là một nghiệm của đa thức f(x). 
Áp dụng: Ta có 8+(-6) + (-2) = 0 nên đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2 có một 
nghiệm là x = 1 
b. Với x = -1 ta có: f(-1) = a - b + c; mà a - b + c = 0 nên f(-1) = 0 
Điều này chứng tỏ x= -1 là một nghiệm của đa thức f(x). 
Áp dụng: Ta có 7 - (+11) + 4 = 0 nên đa thức f(x) = 7x2 + 11x + 4 
 có một nghiệm là x = -1 
Qua việc giải bài tập 1 GV cho HS nêu các bước mà các em đã tiến hành giải 
để rút ra phương pháp: 
- Tính f(1); f(-1) theo a, b, c. 
- Căn cứ vào đề bài để suy ra f(1) =0 ; f(-1) =0. 
- Dựa vào định nghĩa nghiệm của một đa thức để kết luận x = 1; x = -1 là một 
nghiệm của đa thức f(x). 
Như vậy, sau khi rút ra được phương pháp giải thì HS hoàn toàn tự lực hoàn 
thành tốt bài tập sau: 
Bài toán 2.1: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.Chứng tỏ rằng: 
a. Nếu a + b + c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1 
b. Nếu - a + b - c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1 
Đến đây, GV yêu cầu HS phát biểu bài toán tổng quát. HS hoàn toàn có thể 
thực hiện tốt yêu cầu này: 
Bài toán 2.2: Cho đa thức f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1x + a0. Chứng tỏ 
rằng: 
a. Nếu tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức bằng 0 thì x = 1 là một 
nghiệm của f(x). 
b.Nếu tổng các hệ số của các hạng tử luỹ thừa chẵn bằng tổng các hệ số của 
các hạng tử luỹ thừa lẻ thì x = - 1 là một nghiệm của f(x). 
 Với đối tượng HS khá GV yêu cầu HS giải bài toán tổng quát vừa nêu. 
2.3. HS áp dụng các kiến thức cơ bản trên vào bài tập đơn giản: 
GV cho HS rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống các bài tập để HS nắm chắc 
và nhớ lâu hơn những vấn đề đã được học. 
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 8/19
Bài tập áp dụng : 
1. Tìm một nghiệm của mỗi đa thức sau: 
a. f(x) = x3 - x2 + x - 1; 
b. g(x) = 11x3 + 5x2 + 4x +10; 
c. h(x) = -17x3 + 8x2 - 3x + 12 
2. Trong các số sau: 1; -1; 5; -5 số nào là nghiệm của đa thức 
 f(x) = x4 + 2x3 - 2x2 -6x + 5 
3.Cho các đa thức: 
a. f(x) = x4 + 5x3 + 3x2 + 2x + 3; 
b. g(x) = 3x4 + x3 + x2 -7x - 10; 
c. h(x) = 4x3 + 2x2 - x + 1 
Nghiệm lại rằng x = -1 là nghiệm của mỗi đa thức đã cho. 
 Trong thực hành tìm nghiệm của đa thức HS không chỉ gặp những đa thức 
có những tính chất đặc biệt như trên và yêu cầu của bài toán cũng không dừng 
lại ở việc kiểm tra 1 số cho trước có phải là nghiệm hay không hoặc chỉ cần tìm 
một nghiệm của đa thức.Chẳng hạn bài toán: 
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x5 - 3x4 - 5x3 +15x2 + 4x - 12. 
 Rõ ràng, chỉ với những kiến thức cơ bản đã nắm HS đã gặp vướng mắc trong 
việc tìm phương pháp giải. Với học sinh lớp 8, sau khi nắm chắc các phương 
pháp phân tích đa thức thành nhân tử các em có thể thêm bớt hay tách hạng tử... 
đưa về tích các đa thức có bậc thấp hơn để tìm nghiệm. Song cũng không phải là 
dễ dàng. Vì vậy, GV cần phải bổ sung thêm những kiến thức mới, những 
phương pháp mới để HS có thể giải được những bài toán như đã nêu một cách 
nhẹ nhàng hơn. 
2.4. GV hướng dẫn HS bổ sung và vận dụng những kiến thức nâng cao 
liên quan cần thiết đến nghiệm của đa thức. 
Cũng với cách làm như trên, GV hướng dẫn HS bổ sung kiến thức. 
Bài toán . 
 Cho đa thức f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1x + a0. (Hệ số nguyên) 
Giả sử phân số tối giản p
q
 là nghiệm của f(x) thì p là ước của a0; q là ước của 
an. 
GV hướng dẫn HS giải bài toán: 
GV(?) Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu phân số tối giản 
p
q
 là 
nghiệm của f(x) thì suy ra điều gì? 
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 9/19
HS: Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu phân số tối giản 
p
q
 là nghiệm 
của f(x) thì ta có: f(
p
q
) = an
np
nq
 + an-1
n 1
n 1
p
q

 + ... + a1
p
q
 + a0 = 0 (*) 
GV(?) Quy đồng mẫu số sẽ suy ra được điều gì? 
HS: Ta có (*) n n 1 2 n 2 n0 1 2 na q a pq a p q ... a p 0
       (1) 
GV(?) Từ (1) hãy chứng tỏ p là ước của a0; q là ước của an? 
 HS: Từ (1) suy ra: 
n n 1 2 n 2 n
0 1 2 n
n n 1 n 2 n 1
0 1 2 n
n
0
a q (a pq a p q ... a p )
a q p(a q a pq ... a p )
a q p
 
  
    
     
 
Mà   np,q 1 q   0p a p  hay p là ước của a0 
Tương tự từ (1) suy ra: 
n n n 1 n 1
n 0 1 n 1
n n 1 n 2 n 1
n 0 1 n 1
n
n
a p (a q a pq ... a p q)
a p q(a q a pq ... a p )
a p q
 

  

    
     
 
Mà   np,q 1 p   nq a q  hay q là ước của an. 
Sau khi giải bài toán này HS dễ dàng rút ra được kết luận ở tiểu mục 1.5 là: 
Cho đa thức f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên) 
Nếu phân số 
p
q
(tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của a0; q là ước của an 
Kết luận này sẽ là công cụ rất hữu ích giúp HS tìm nghiệm hữu tỷ của một đa 
thức với hệ số nguyên. 
Ngoài ra, cũng từ kết luận trên, GV hướng dẫn HS đặc biệt hoá bài toán để rút 
ra một nhận xét mới: 
GV(?) Trong bài toán 3, nếu hệ số cao nhất bằng 1 thì có thể suy ra được điều 
gì? 
HS: (Xem xét trường hợp an = 1) 
 Khi đó ta có đa thức sẽ là: g(x) = xn + an-1x
n-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số 
nguyên) . Nếu 
p
q
(tối giản) là nghiệm của f(x) thì theo kết luận trên ta có p là ước 
của a0 và q là ước của 1. Vì vậy q = 1 nên 
p
q
 là một số nguyên. 
Đến đây, HS hoàn toàn tự mình rút ra được kết luận 1.6 và 1.7 là: 
1.6. Mọi nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức với hệ số nguyên phải là ước 
của số hạng tự do. 
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 10/19
1.7. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên mà hệ số cao nhất 
bằng 1 đều là nghiệm nguyên. 
Bây giờ, GV cho HS rèn luyện một số bài toán để vừa áp dụng vừa củng cố 
những kiến thức mà các em đã khám phá được ở trên. 
Bài toán 4: 
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x3 - x2 -4x + 4 
Bài tập này GV có thể yêu cầu HS tìm các cách khác nhau để giải. 
Lược giải: 
Cách 1: 
 Dễ thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số bằng 0 nên nhận x = 1 làm một 
nghiệm.Chia f(x) cho x - 1 ta thu được đa thức x2 - 4 có nghiệm x = 2 . Như vậy 
đa thức đã cho có các nghiệm là: x = 1; x = 2 
Cách 2: 
Ta có f(x) = x3 - x2 -4x + 4 = (x3 - x2) - (4x - 4) = 
 = x2 (x -1) - 4(x -1) = (x -1)(x2 - 4 ) = (x -1)(x - 2 )(x + 2). 
Vậy nghiệm của f(x) là x = 1; x = 2 . 
Cách 3: 
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. 
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do. 
Hay xƯ(4) tức là  x 1; 2; 4    
Kiểm tra ta có: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm. 
 f(-1) = 6  0 nên x = -1 không là nghiệm. 
 f(-2) = 0 nên x = -2 là nghiệm. 
 f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm. 
 f(-4) = - 60  0 nên x = - 4 không là nghiệm. 
 f(4) = 36  0 nên x = 4 không là nghiệm. 
Các cách giải khác nhau giúp học sinh có sự so sánh và chọn lựa phương pháp 
sao cho nhanh gọn, dễ hiểu nhất. Tuy nhiên, với 1 đa thức bậc cao thì cách 1 và 
cách 2 không dễ thực hiện. Lúc này nên dùng cách 3, song rõ ràng việc kiểm tra 
nghiệm cũng không dễ khi hệ số cao nhất có giá trị lớn. Để việc kiểm tra các giá 
trị ước số có phải là nghiệm không trở nên đơn giản hơn thì cần giúp HS tiếp 
cận với sơ đồ Hoocne. 
Một thực tế là nếu chỉ cung cấp cho HS lược đồ mà không hướng dẫn các em 
tự xây dựng thì các em rất dễ quên nếu không sử dụng thường xuyên, và khi 
quên thì không biết cách tìm lại nó. Như vậy, công việc tiếp theo của GV là 
hướng dẫn HS xây dựng sơ đồ Hoocne. 
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 11/19
 Bài toán: 
 Tìm dư trong phép chia đa thức f(x ) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1x + a0 
cho x -c. 
GV ? Nếu gọi thương của phép chia đó là q(x) thì bậc của đa thức q(x) và dư 
của phép chia sẽ như thế nào? Từ đó biểu diễn đẳng thức liên hệ giữa f(x); q(x) 
và dư như thế nào? 
HS: Nếu gọi thương của phép chia đó là q(x) bậc của đa thức q(x) là n - 1 
q(x) = bnx
n-1 + bn-1x
n-2 + ... + b2x + b1 và dư là hằng số r. Tức là: 
anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1x + a0 = (x - c)(bnx
n-1 + bn-1x
n-2 + ... + b2x + b1) + r (I) 
GV ? Áp dụng phương pháp hệ số bất định thì từ (I) ta lập được hệ nào 
HS: Áp dụng phương pháp hệ số bất định, ta có: 
an = bn 
an-1 = bn-1 - cbn 
an-2 = bn-2 - cbn-1 
................ 
ak = bk - cbk+1 
................ 
a0 = r - cb1 
Từ đó suy ra: 
an = bn 
bn-1 = cbn + an-1 
bn-2 = cbn-1+ an-2 
................ 
bk = cbk+1+ ak 
................ 
r = cb1 + a0 
Từ đó ta thành lập sơ đồ sau gọi là sơ đồ Hoocne: 
 an an-1 ... ak ... a1 a0 
 c bn= an bn-1 ... bk +1 bk ... b1 r 
Với sơ đồ Hoocne, HS dễ dàng kiểm tra các giá trị ước số của hệ số tự do có 
phải là nghiệm không một cách đơn giản đồng thời dễ dàng tìm đa thức thương 
và số dư trong phép chia f(x) cho x - c. 
Chẳng hạn với Bài toán 4 nêu trên ta có thể làm như sau: 
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. 
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do. 
Hay xƯ(4) tức là  x 1; 2; 4    
= 
Nhân 
Cộng 
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 12/19
Dùng sơ đồ Hoocne ta có: 
 1 -1 -4 4 
-1 1 -2 -2 6 
1 1 0 -4 0 
-2 1 -3 2 0 
2 1 1 -2 0 
-4 1 -5 16 -60 
4 1 3 8 36 
Từ sơ đồ ta có x = 1; x = 2 là các nghiệm của đa thức đã cho. 
Mặc dù sơ đồ Hoocne là công cụ kiểm tra nghiệm tương đối hiệu quả nhưng 
với đa thức có hệ số tự do lớn và có nhiều ước thì việc dùng sơ đồ cũng chưa tối 
ưu. Vì vậy, để tiếp tục bổ sung phương pháp GV có thể cho HS làm bài tập sau: 
Bài toán: Cho đa thức f(x) = xn + an-1x
n-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên) . 
Gọi 1   là nghiệm của f(x). Chứng minh: 
f (1) f ( 1)
Z; Z
1 1

 
 
Hướng dẫn: 
GV: Do 1   là nghiệm của f(x) thì có thể biểu diễn f(x) dưới dạng tích hai 
đa thức như thế nào? Từ đó biểu diễn q(x) dưới dạng thương và tiến hành chứng 
minh? 
HS: Do 1   là nghiệm của f(x) nên theo định lý Bêzu ta có thể viết: 
f(x) = q(x)( x  ) (1) 
Vì f(x) là đa thức với hệ số nguyên, x  cũng là đa thức hệ số nguyên nên 
q(x) là đa thức hệ số nguyên. Từ (1) ta có:
f (x)
q(x)
x


Khi x = 1 thì 
f (1)
q(1) Z
1
 

; Khi x = -1 thì 
f ( 1)
q( 1) Z
(1 )

  
 
Như vậy sau khi hoàn thành việc chứng minh bài toán HS có thêm một 
phương pháp thử nghiệm rất hiệu quả chính là kết luận 1.8 đã nêu. 
Bây giờ GV cho HS áp dụng vào bài toán cụ thể để áp dụng kiến thức mà 
các em vừa khám phá được nhằm so sánh và thấy được lợi ích của việc tìm tòi 
phương pháp giải toán từ những bài toán khác đã giải. 
 Bài toán 5: 
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x5 - 8x4 + 20x3 - 20x2 + 19x -12 
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 13/19
Lược giải bài toán 5: 
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. 
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do. 
Hay x Ư(12) tức là  x 1; 2; 3; 4; 6; 12       
Xét thấy đa thức có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm bằng 1 
Dùng sơ đồ Hoocne ta suy ra được: 
f(x) = (x - 1)(x4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12) 
Ta tìm x để g(x) = x4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12 = 0. 
Dễ thấy các hạng tử bậc lẻ đều có hệ số âm do đó với mọi x 0 vì 
vậy g(x) không có nghiệm âm.Ta chỉ xét các ước dương của 12. 
Ta có: g(1) = 12 . g(-1) = 40 
A = 
g(1)
1
 ; B = 
g( 1)
1


Với 2  thì A = 
12
12 Z
1
  

; B = 
40
Z
3
 (loại) 
Với 3  thì A = - 6 Z ; B = 10 Z 
Với 4  thì A = - 4 Z ; B = 8 Z 
Với 6  thì A = 
12
Z
15


 (loại) 
 Với 12  thì A = 
12
Z
11


(loại) 
Vậy nếu g(x) có nghiệm thì x  3;4 . Dùng sơ đồ Hoocne thử nghiệm: 
 1 -7 13 -7 12 
3 1 -4 1 - 4 0 
4 1 -3 1 -3 0 
Vậy g(x) có nghiệm là x = 3; 4. Suy ra f(x) có nghiệm x  1;3;4 
Các bài tập để HS tự củng cố rèn luyện: 
Bài tập: 
 Tìm nghiệm của các đa thức sau: 
a. x3 - 6x2 + 15x - 14 c. x5 - 7x3 - 12x2 + 6x + 36 
b. x4 - 2x3 - 8x2 + 13x - 24 
Nhận xét: Với những kiến thức đã được học, HS đã vận dụng và giải được các 
bài tập yêu cầu. 
Sau đó GV đưa ra tình huống: Tìm nghiệm của đa thức sau: 
f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x - 4 
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 14/19
 Với tình huống này thì nhiều em còn lúng lúng vì hệ số cao nhất khác 1. Do đó 
GV có thể đặt câu hỏi gợi ý tìm phương pháp giải đối với đa thức tổng quát như 
sau: 
GV? Với đa thức có hệ số cao nhất khác 1 do đó có thể tồn tại nghiệm hữu tỷ. 
Vậy có thể chuyển bài toán tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên về 
bài toán tìm nghiệm nguyên của đa thức tương ứng được không? chuyển bằng 
cách nào? 
Gợi ý: Chẳng hạn từ việc tìm nghiệm của đa thức 
 f(x ) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1x + a0 (hệ số nguyên) nghĩa là tìm x để 
anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1x + a0 = 0.(*)Ta có thể nhân hai vế của (*) với 
n 1
na
 khi 
đó ta có phương trình nào ? 
HS: Nhân hai vế của (*) với n 1na
 khi đó ta có phương trình: 
 (anx)
n + an-1( na x)
n-1 + ... + a1
n 1
na
 x + a0
n 1
na
 = 0 
 GV? Nếu đặt y = anx ta được phương trình nào? 
HS: Nếu đặt y = anx ta được phương trình: 
 yn + an-1y
n - 1 + ...a1 an
n-2y + a0 n 1na
 = 0 (**) 
GV? Nhận xét gì về phương trình (**) ? 
HS: Là phương trình mà vế trái là đa thức có hệ số cao nhất bằng 1 do đó nếu có 
nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó là nghiệm nguyên. 
Như vậy , bao giờ ta cũng chuyển được việc tìm nghiệm hữu tỷ của một đa thức 
với hệ số nguyên về việc tìm nghiệm nguyên của một đa thức tương ứng. 
Đối với bài toán tình huống đã nêu ở trên ta có thể giúp HS giải như sau: 
f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x - 4 
GV?: Đa thức f(x) đã cho có hệ số cao nhất bằng 2.Hãy xác định số cần nhân 
vào (an
n - 1) để đưa về đa thức tương ứng với hệ số cao nhất bằng 1? 
HS xác định an
n - 1 = 22 = 4 và tiến hành thực hiện: 
Ta có: 2x3 + 3x2 + 6x - 4 = 0  23 x3 + 3. 22 x2 + 6. 22 x - 4.22 = 0 
  (2x)3 + 3.(2x)2 + 12.2x - 16 = 0 
Đặt y = 2x ta có: f(y) = y3 + 3y2 + 12y - 16 = 0 
Xét thấy tổng các hệ số của f(y) là 1 + 3 + 12 - 16 = 0 nên f(y) có một 
nghiệm là 1. Do đó ta có: f(y) = (y - 1) (y2 + 4y + 16) = 0 
Suy ra y = 1 hoặc y2 + 4y + 16 = 0 (1) 
Do (1) vô nghiệm (có  ' = -12 < 0) nên f(y) chỉ có 1 nghiệm y = 1 
Suy ra f(x) chỉ có một nghiệm là x = 
1
2
Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến 
 15/19
2.5. GV hướng dẫn HS tổng hợp các kiến thức và khái quát thành phương 
pháp 
 Như thế, HS đã biết phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ 
số nguyên qua các bài toán, các ví dụ. Khi đó GV có thể yêu cầu HS : 
Hãy tổng hợp thành các bước tìm nghiệm hữu tỷ của đa