Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số

 x
a
 . 
+ Số nghiệm của phương trình  ( ) b, , , 0af x a b a   bằng số giao điểm 
của đồ thị hàm số )x(fy  và đường thẳng 
b
y
a
 (đường thẳng 
b
y
a
 song 
song với trục hoành). 
 7 
Bài 1. Cho hàm số bậc ba )x(fy  có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm 
thực của phương trình 5 ( ) 2 0f x   là 
A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . 
Hướng dẫn 
+ Phương trình 
2
5 ( ) 2 0 ( )
5
f x f x

    . 
+ Số nghiệm của phương trình 5 ( ) 2 0f x   bằng số giao điểm của đồ thị hàm 
số )x(fy  và đường thẳng 
2
5
y

 . 
Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng 
2
5
y

 song song với trục hoành nên có số 
giao điểm là 3. 
Vậy chọn đáp án A. 
Bài 2. (Đề thi THPT QG - Mã đề 102 - 2018) 
Cho hàm số  4 2( ) , , , , 0f x ax bx c a b c a     có đồ thị như hình vẽ. Số 
nghiệm thực của phương trình 4 ( ) 3 0f x   là 
A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . 
 8 
Hướng dẫn 
+ Phương trình 
3
4 ( ) 3 0 ( )
4
f x f x    . 
+ Số nghiệm của phương trình 4 ( ) 3 0f x   bằng số giao điểm của đồ thị hàm 
số )x(fy  và đường thẳng 
3
4
y  . 
Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng 
3
4
y  song song với trục hoành nên có số 
giao điểm là 4. 
Vậy chọn đáp án A. 
Bài 3. Cho hàm số )x(fy  liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị như hình vẽ. 
Số nghiệm thực của phương trình 2 ( ) 3 0f x   trên đoạn  2; 1  là 
A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . 
Hướng dẫn 
+ Phương trình 
3
2 ( ) 3 0 ( )
2
f x f x    . 
+ Số nghiệm của phương trình 2 ( ) 3 0f x   trên đoạn  2; 1  bằng số giao 
điểm của đồ thị hàm số )x(fy  và đường thẳng 
3
2
y  trên đoạn  2; 1  . 
 9 
Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng 
3
2
y  song song với trục hoành nên có số 
giao điểm là 2. 
Vậy chọn đáp án A. 
Bài 4. Cho hàm số  y f x xác định và liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị là 
đường cong trong hình vẽ sau. 
Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình  f x m có 3 nghiệm 
phân biệt trên đoạn  2;2 là 
A.  2;m  . B.  2;2m  . C.  2;3m  . D.  2;2m  . 
Hướng dẫn 
Chọn D. 
Số nghiệm của phương trình  f x m bằng số điểm chung của đồ thị hàm số 
 y f x (hình vẽ) và đường thẳng y m trên đoạn  2;2 
Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì  2;2m  . 
Vậy chọn đáp án D. 
 10 
7.2.4.3.2.1.2 – Bài toán 2 : 
Bài toán : Biết đồ thị của hàm số )x(fy  . Xét các bài toán liên quan đến 
phương trình có dạng    f x g m ,     f u x g m ,    f x f m , 
    f u x f m . 
Cách giải: 
Xét trường hợp     f u x g m ta làm như sau: 
+ Chặn giá trị của     , ,x u x f u x 
+ Đặt  t u x , phương trình trở thành    f t g m 
+ Từ đồ thị suy ra điều kiện của  g m , từ đó suy ra điều kiện của m . 
Bài 1. Cho hàm số  y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây 
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 
 
2 1
0
3
x mf 

  có hai nghiệm phân biệt ? 
A. 3. B. 4 . C. 7 . D. 6 . 
Hướng dẫn 
Chọn A 
Phương trình đã cho tương đương với    
2 1
0 1
3
x mf 

  .
Đặt xt  . Điều kiện 0.t  (1) trở thành    
2 1
 2
3
m
f t

 .
Vì với mỗi nghiệm 0t  của phương trình (2) cho đúng một nghiệm logx t

 
của phương trình (1) nên (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có đúng 
 11 
hai nghiệm phân biệt trên  0; . Dựa vào đồ thị ta thấy điều này xảy ra khi và 
chỉ khi 
2 1
1 1.
3
m 
   
Mà m nguyên nên 
 2 1;0;11
2 21 1
3
m
m
mm
m


    
     

. 
Vậy có 3 giá trị của m thoả mãn. 
Bài 2. Cho hàm số  y f x liên tục trên  \ 1 và có đồ thị như hình vẽ dưới 
đây 
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình  2logf x m có 
nghiệm thuộc  4; là 
A.  2; . B.  0;1 . C.  0;1 . D.  \ 1 . 
Hướng dẫn 
Chọn B 
Đặt 
2logt x . Với  4;x  thì  2;t  . 
Do đó phương trình  2logf x m có nghiệm thuộc  4; khi và chỉ khi 
phương trình  f t m có nghiệm  2;t  
Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là  0;1m . 
Bài 3. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: 
Số các giá trị nguyên của m lớn hơn -10 để phương trình
 2 x 12 5 0f x m   
có đúng hai nghiệm phân biệt là 
A. 13 . B. 12 . C. 14 . D. 0 . 
O x
y
2
21
1
 12 
Hướng dẫn 
Chọn A 
Đặt 2 2x 1t x   , 0t  . Phương trình đã cho trở thành    5 1f t m  
Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình  1 có đúng 
1 nghiệm dương. 
Từ đồ thị hàm số  y f x ta có 5 2 3m m     . 
Do m nguyên và m lớn hơn -10 nên  9; 8; 7,...,2;3 .m    
Vậy có 13 giá trị của m thỏa mãn. 
Bài 4. Cho hàm số  y f x liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình 
vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình    2 23 7f x m có nghiệm ? 
A.  7m . B.  7m . C.  11m . D.  11m . 
Hướng dẫn 
Chọn D 
Đặt  2 3t x suy ra  3t , ta có phương trình    2 7f t m 
Từ đồ thị suy ra phương trình    2 7f t m có nghiệm  3t khi và chỉ khi 
   2 7 4 11m m . 
Vậy  11m . 
Bài 5. Cho hàm số  y f x liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình 
vẽ. Để phương trình      2 6 13f x x f m có nghiệm thì tất cả các giá trị m 
thoả mãn là    ; ;m a b    . Tính 2020a b ? 
 13 
A. 6066 . B. 2025 . C. 6064 . D. 2024 . 
Hướng dẫn 
Chọn C 
Đặt   2 6 13t x x suy ra  4t , ta có phương trình    f t f m 
Dựa vào đồ thị phương trình    f t f m có nghiệm  4t khi và chỉ khi 
 
 
   

3
5
4
m
f m
m
. 
Suy ra     3; 4 2020 6064a b a b . 
Vậy  2020 6064a b . 
Bài 6. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 
Tất cả các giá trị của m để phương trình (sin )f x m có nghiệm thuộc khoảng 
 0; là 
A.  1;1m  . B.  1;3m . C.  1;3m . D.  1;1m  . 
Hướng dẫn 
Chọn C 
Đặt sint x , do  0;x   0;1t  . 
Phương trình trở thành ( )f t m 
Phương trình (sin )f x m có nghiệm thuộc khoảng  0; khi và chỉ khi 
phương trình ( )f t m có nghiệm  0;1t . 
 14 
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có giá trị cần tìm của m là  1;3m . 
Bài 7. Cho hàm số  y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình  2 2f x x m  có 
đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 
3 7
;
2 2
 
 
 
 là 
A. 9 . B. 5 . C. 6 . D. 8 . 
Hướng dẫn 
Chọn D 
Đặt 2 2 ,t x x  ta có bảng biến thiên 
Vậy với 
3 7
;
2 2
x
 
  
 
 thì 
21
1; .
4
t
 
  
 
Dựa vào BBT ta thấy: với mỗi 
21
1;
4
t
 
  
 
 sẽ cho hai nghiệm x và với 1t   sẽ 
cho một nghiệm .x 
Do đó phương trình  2 2f x x m  có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 
3 7
;
2 2
 
 
 
  f t m  có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc 
21
1;
4
 
 
 
. 
Dựa vào đồ thị ta có phương trình  f t m có đúng 2 nghiệm phân biệt 
21
1;
4
t
 
  
 
 khi
2 4
5 .
(4)
m
m
m f
 
 

 
Vì m nguyên nên 3, 5m m  . Vậy chọn đáp án D. 
 15 
Bài 8. Cho hàm số  y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 
 3 2 23 2 3f x x m m    có nghiệm thuộc nửa khoảng  1;3 ? 
A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. Vô số. 
Hướng dẫn 
Chọn A 
Đặt 3 23 2t x x   . 
Vì 1 3 2 2x t      . 
Phương trình    3 2 2 23 2 3 3f x x m m f t m m       với  2;2t  . 
Phương trình có nghiệm 
2
2
2
3 2 0 1 1
2 3 4
2 43 4 0
m m m
m m
mm m
      
            
. 
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn. 
Bài 9. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình vẽ. 
Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình  cosf x m 
có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ;
2 2
  
 
 
? 
A. 18 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . 
Hướng dẫn 
Chọn D 
 16 
Đặt cos ; 0 1
2 2
t x x t
    
      
  
. 
Nhận xét: với mỗi giá trị t thỏa mãn 0 1t  cho tương ứng hai giá trị 
0x và 
 0x thuộc khoảng ;
2 2
  
 
 
. 
Phương trình  cosf x m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ;
2 2
  
 
 
 Phương trình  f t m có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng  0;1 
7 2m     . 
Mà:  3; 4; 5; 6m m       . 
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để thoả mãn đề bài là ( 18 ). 
Bài 10. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình 
vẽ dưới đây: 
Có bao nhiêu giá trị âm của tham số m để phương trình ( ) ( )f x f m có đúng 2 
nghiệm? 
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. 
Hướng dẫn 
Chọn A 
Dựa vào đồ thị hàm số thì phương trình ( ) ( )f x f m có đúng 2 nghiệm 
( ) 1
(1).
( ) 3
f m
f m
 
  
Số giá trị m thỏa mãn (1) chính là số nghiệm x âm của hệ 
( ) 1
(2).
( ) 3
f x
f x
 
 
 17 
Lại dựa vào đồ thị thì đường thẳng 3y  cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm 
phân biệt, đường thẳng 1y   cũng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân 
biệt, 4 điểm này có 2 điểm có hoành độ âm khác nhau nên hệ (2) có 2 giá trị x âm 
thỏa mãn. Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn bài toán. 
7.2.4.3.2.1.3–Bài toán 3 : 
Bài toán : Biết đồ thị của hàm số )x(fy  . Tìm số nghiệm của phương trình 
 ( ) b , , , , 0, 0af x c a b c a c     
Cách giải 1: 
+ Đưa phương trình ( ) baf x c  về dạng 
b
( )
c
f x
a a
  . 
+ Từ đồ thị hàm số )x(fy  suy ra đồ thị hàm số 
b
( )y f x
a
  
+ Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình ( ) baf x c  theo bài toán 
1. 
 18 
Cách giải 2: 
+ Đưa phương trình ( ) baf x c  về dạng 
( )
( )
c b
f x
a
c b
f x
a



  

. 
+ Từ đồ thị hàm số )x(fy  rút ra kết luận về số nghiệm các phương trình 
( ) ; ( )
c b c b
f x f x
a a
  
  
+ Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình ( ) baf x c  
Nhận xét : 
Làm tương tự khi xét các bài toán : 
 Biết đồ thị của hàm số  y f x , xét các bài toán liên quan đến phương trình 
có dạng     ; ...f x a f u x a  . 
Bài 1. Cho hàm số bậc ba  y f x có đồ thị như hình vẽ. 
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m: 5m  để phương trình  f x m 
có hai nghiệm phân biệt là 
A. 14. B. 15. C. 30. D. 10. 
Hướng dẫn 
Chọn A 
Từ đồ thị hàm số  y f x ta suy ra đồ thị hàm số  y f x như hình vẽ 
 19 
Từ hình vẽ suy ra tập các giá trị nguyên của tham số m: 5m  để phương trình 
 f x m có hai nghiệm phân biệt là  0;2;3;4;5m . 
Vậy có tổng các giá trị của m thoả mãn là 14. 
Bài 2. Cho đồ thị của hàm số  y f x như hình vẽ: 
Tìm số nghiệm phương trình  
3
2
f x  . 
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 
Hướng dẫn 
Chọn D 
Cách 1: 
Đồ thị hàm  y f x gồm 2 phần: 
+ Phần đồ thị   y f x nằm trên Ox (Kể cả giao điểm trên trục Ox ) 
+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị   y f x nằm dưới Ox 
Từ đó ta có đồ thị của của hàm số   .y f x 
 20 
Từ đồ thị của hàm số  y f x suy ra  
3
2
f x  có 6 nghiệm. 
Cách 2: 
 
3
2
f x  
   
   
3
*
2
3
**
2
f x
f x

 
 
 

Dựa vào đồ thị trên: 
-Phương trình  
3
2
f x   : có 4 nghiệm 
-Phương trình  
3
2
f x  : có 2 nghiệm 
Vậy  
3
2
f x  có 6 nghiệm. 
 Bài 3. Cho hàm số bậc bốn  y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm tập 
hợp tất cả các giá trị của m để phương trình  2 f x m có tám nghiệm phân 
biệt? 
 21 
A.  0;2 . B.  0;1 . C.  0;2 . D.  0;1 . 
Hướng dẫn 
Chọn C 
Từ đồ thị hàm số  y f x ta suy ra đồ thị hàm số  2y f x như hình vẽ (đồ 
thị nét liền) 
Từ đồ thị hàm số  2y f x ta suy ra đồ thị hàm số  2y f x như hình vẽ 
(đồ thị nét liền) 
 22 
Từ hình vẽ suy ra tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 
 2 f x m có tám nghiệm phân biệt là  0;2m . 
 Bài 4. (Đề thi THPT QG - Mã đề 103 - 2019) Cho hàm số bậc ba  y f x có 
đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình  3
3
3
2
f x x  là 
A. 8 . B. 4 . C. 7 . D. 3 . 
Hướng dẫn 
Chọn A 
Phương trình  
 
 
3
3
3
3
3
3 2
3
32
3
2
f x x
f x x
f x x

 
   
   

. 
* Phương trình  
 
 
 
3
1 1
3 3
2 2
3
3 3
3 , 2 0
3
3 3 , 0 2
2
3 , 2
x x a a
f x x x x a a
x x a a
     

      

  
. 
* Phương trình    3 3 4 4
3
3 3 , 2
2
f x x x x a a        . 
Đồ thị hàm số 3 3y x x  có dạng như hình vẽ sau: 
y
xa2a1 a3
a4
y =
- 3
2
y = 
3
2
2-2 O
-1
2
 23 
Dựa vào đồ thị trên ta có: 
- Phương trình 3
13x x a  có 3 nghiệm phân biệt. 
- Phương trình 3
23x x a  có 3 nghiệm phân biệt. 
- Phương trình 3
33x x a  có 1 nghiệm. 
- Phương trình 3
43x x a  có 1 nghiệm. 
Vậy phương trình  3
3
3
2
f x x  có 8 nghiệm phân biệt. 
Bài 5. (Đề thi THPT QG - Mã đề 101 - 2019) Cho hàm số bậc ba  y f x có 
đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình  4 22 2f x x  là 
A. 8 . B. 9 . C. 7 . D. 10 . 
Hướng dẫn 
Chọn A 
Phương trình  
 
 
4 2
4 2
4 2
2 2
2 2
2 2
f x x
f x x
f x x
  
  
   
. 
x
y
y = a4
y = a3
y = a2
y = a1
O
2
-2
1-1
 24 
* Phương trình  
 
 
 
4 2
4 2 4 2
4 2
2 , 1 0
2 2 2 , 0 1
2 , 2 3
x x b b
f x x x x c c
x x d d
     

      

   
. 
* Phương trình    4 2 4 22 2 2 , 2 1f x x x x a a          . 
Đồ thị hàm số 4 22y x x  như hình vẽ sau: 
Dựa vào đồ thị trên ta có: 
- Phương trình  4 22 , 2 1x x a a      không có nghiệm thực. 
- Phương trình  4 22 , 1 0x x b b     có 4 nghiệm thực phân biệt. 
- Phương trình  4 22 , 0 1x x c c    có 2 nghiệm thực phân biệt. 
- Phương trình  4 22 , 2 3x x d d    có 2 nghiệm thực phân biệt. 
Vậy phương trình  4 22 2f x x  có 8 nghiệm thực phân biệt. 
Bài 6. Cho hàm số trùng phương y f x có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm 
thuộc 0;2 của phương trình cos2 1f x bằng 
 25 
A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. 8 . 
Hướng dẫn 
Chọn D 
Ta có cos2 1f x
 
 
cos2 1
cos2 1
f x
f x

 
 
 
 
cos2 0
cos2 1 cos2 0
sin 4 0
sin 2 0cos2 1
cos2 1
x
x a VN x
x
xx b VN
x


         

 
Phương trình sin 4 0x có 8 nghiệm thuộc 0;2 . 
Bài 7. Đồ thị hàm số 3 22 9 12 4y x x x     như hình vẽ. Phương trình 
3 2 92 9 12 0
2
x x x    có bao nhiêu nghiệm phân biệt? 
A. 3. B. 4. C. 6. D. 8. 
Hướng dẫn 
Chọn C 
Xét phương trình 
3 2 92 9 12 0
2
x x x    
O x
y
1
1
2
4
 26 
3 2 12 9 12 4
2
x x x

      (*) 
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số 
3 22 9 12 4y x x x     và đường thẳng 
1
2
y

 
Hình vẽ dưới là đồ thị hàm số 
3 22 9 2 4y x x x     (C). Dựa vào đồ thị hàm 
số ta thấy đường thẳng 
1
2
y

 cắt đồ thị (C ) tại 6 nghiệm phân biệt. 
Bài 8. Cho hàm số ( )
ax b
y f x
cx d

 

có đồ thị như hình vẽ. 
Tất cả các giá trị của m để phương trình ( )f x m có hai nghiệm phân 
biệt là 
A.    0;1 1;m   . B.    ;1 2;m    . 
C.    ;1 2;m    D.  0;1m . 
Hướng dẫn 
Chọn C 
Số nghiệm của phương trình ( ) (1)f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số 
( )y f x và đường thẳng y m . 
Hàm số ( )y f x là hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng. 
Đồ thị hàm số ( )y f x gồm 2 phần: 
O x
y
1
1
2
4
12
 27 
+ Phần 1: Đồ thị hàm số ( )y f x với 0x  . 
+ Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số ( )y f x với 0x  qua trục Oy . 
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y m cắt đồ thị 
( )y f x tại 2 điểm phân biệt. Từ đồ thị ta có 2; 1m m  
Bài 9. Cho hàm số xác định trên và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi 
phương trình có bao nhiêu nghiệm? 
A. 4. B. 0. C. 6. D. 2. 
Hướng dẫn 
Chọn A 
+ Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số 
.  1C 
+ Tiếp theo xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng . 
+ Cuối cùng lấy đối xứng phần đồ thị còn lại ở trên qua đường thẳng . Ta 
được toàn bộ phần đồ thị của hàm số (hình vẽ bên dưới)  2C 
+ Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm 
số tại 4 điểm phân biệt phương trình có 4 nghiệm 
phân biệt. 
 y f x
 
1
2
2
f x  
x
y
1
3
-1
-1 O
 2y f x 
2x 
2x 
 2 .y f x 
x
y
1
3
-1
3O
2y f x
x
y
1
2
-1
3O
2y f x
1
2
y
 2y f x 
1
2
y  
 2y f x    
1
2
2
f x  
 28 
Bài 10. Cho hàm số    3 2 , , ,f x ax bx cx d a b c d     có đồ thị như hình 
vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đề phương trình  2 0f x m  có 
đúng 4 nghiệm thực phân biệt. 
 A. 3 1m   . B. 1 3m   . C. 2 6m   . D. 6 2m   . 
Hướng dẫn 
Chọn D 
Ta có:  2 0f x m   
2
m
f x

  . 
 f x là hàm chẵn nên đồ thị như hình sau: 
Từ đồ thị ta có phương trình  2 0f x m  có 4 nghiệm thực phân biệt khi: 
1 3
2
m
   6 2m    . 
Vậy 6 2m   . 
 29 
Bài 11. Cho hàm số  y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. 
Số giá trị nguyên của m để phương trình  2f x m  có nghiệm trên đoạn 
 1,5 là. 
A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. 
Hướng dẫn 
Chọn C 
Ta có 1 5 3 2 3 0 2 3x x x           
Do đó  1;5x   , 0 2 3x   . 
Đặt 2t x  với  0;3t . Xét hàm số  y f t liên tục trên  0;3 . 
Dựa vào đồ thị ta thấy 
 0;3
max ( ) 5f t  , 
 0;3
min ( ) 2f t  
   1;51;5
max ( 2 ) 5,min ( 2 ) 2f x f x

    
Suy ra phương trình  2f x m  có nghiệm trên đoạn  1,5 khi 2 5m  . 
7.2.4.3.2.2– Dạng 2: Liên hệ giữa đồ thị hàm số  'y f x và nghiệm của 
phương trình. 
Bài toán: Biết đồ thị của hàm số  y f x , xét nghiệm của các phương 
trình có dạng               0; 0; ; ...f x f u x f x g x f u x g v x    . 
Cách giải: 
Từ đồ thị của hàm số  y f x rút ra nhận xét về bảng biến thiên hoặc đồ thị 
hàm số  y f x và làm tương tự các bài toán trên. 
Bài 1. Cho hàm số   3 2y= f x a.x b.x c.x d    với , , ,a b c d , có đồ thị 
 y= f ' x như hình dưới đây 
 30 
Biết  0 0f  . Khi đó số nghiệm của phương trình  2 0f x x  là 
A. 2. B. 4. C. 3. D. 6. 
Hướng dẫn 
Chọn B 
*Cách 1: Từ đồ thị ta có BBT sau: 
Từ BBT ta có  
0
0
2
x
f x
x a

    
Do đó  
 
 
2
2
2
0 1
0
2
x x
f x x
x x a
  
   
 
Ta có (1) 
0
1
x
x

  
(2) 2 0x x a    , có 1 4 0 2a , a      nên (2) luôn có 2 nghiệm 
phân biệt khác 0 và 1 
Vậy phương trình  2 0f x x  có 4 nghiệm phân biệt. 
*Cách 2: Từ đồ thị ta có  
0
0
2
x
f ' x
x

   
Đặt    2g x f x x  
Ta có        2 22 1g' x f x x ' x f ' x x       
 
 2
2 1 0 1
0 1 0 1 2
0 2
x
g' x x ; ; ; ;
f ' x x
   
      
   
BBT: 
 31 
Từ BBT ta thấy phương trình    2 0g x f x x   có 4 nghiệm phân 
biệt. 
*Cách 3: Từ giả thiết ta có   23 2f ' x ax bx c   . 
 Từ đồ thị ta có  0 0 0f ' c   ; 
 2 0 12 4 0 3 0f ' a b c a b        (1) 
Lại có  1 1f '   nên 3 2 1a b  (2) 
Từ (1), (2) ta có 
1
1
3
a ; b   
Do đó      
3
2 2 22 2
3
x
f ' x x x f x x x dx x C        
Lại có  0 0 0f C   nên  
3
2
3
x
f x x  
Mặt khác  
3
2
0
0 0
33
xx
f x x
x

      
Khi đó  
2
2
2
0 1
0
0 1 13
3
2
x ;x
x x
f x x
x x x
 
          
 có 4 nghiệm. 
Vậy phương trình  2 0f x x  có 4 nghiệm. 
Bài 2. Cho hàm số  y= f x xác định trên . Hàm số  y= f ' x có đồ thị như 
hình dưới đây. 
Số nghiệm nhiều nhất của phương trình  2f x m ( m là tham số thực) là? 
 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5 
Hướng dẫn 
Chọn C 
 32 
Dựa vào đồ thị hàm số  y f x ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số 
 y f x như sau: 
Từ bảng biến thiên ta thấy phươn