Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai

Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm
trong khi giải toán về căn bậc hai
I – Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm :
a) Nhắc lại một số tính chất của luỹ thừa bậc hai :
- Bình phương hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm.
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau có bình phương bằng nhau và ngược lại nếu hai số có bình phương bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau.
- Với hai số a,b : Nếu a>b thì a2 > b2 và ngược lại nếu a2 > b2 thì a >b.
- Bình phương của một tích (hoặc một thương) bằng tích (hoặc thương) các bình phương các thừa số (hoặc số bị chia với bình phương số chia).
b) Căn bậc hai của một số :
* Xét bài toán : Cho số thực a. Hãy tìm số thực x sao cho x2 = a. Ta thấy :
- Nếu a< 0 thì không tồn tại số thực x nào thoả mãn x2 =a
- Nếu a > 0 có hai số thực x mà x2=a, một số thực dương x1>0 mà x12=a và một số thực âm x2<0 mà x22=a, hơn nữa đó là hai số đối nhau.
* Công nhận : Người ta chứng minh được rằng với mọi số thực a ≥ 0 luôn luôn tồn tại số thực duy nhất x≥ 0 mà x2 =a. Ta ký hiệu x = và gọi là căn bậc hai số học của a.
* Từ đó đưa ra định nghĩa : căn bậc hai số học (CBHSH) của một số a ≥ 0 là số không âm x =≥ 0 có bình phương bằng a :
* Đưa ra chú ý : a) Số 0) được gọi là căn bậc hai âm của a. Như vậy mỗi số thực a> 0 có 2 căn bậc hai là hai số đối nhau :
gọi là CBHSH hay còn gọi là căn bậc hai dương của a.
gọi là căn bậc hai âm của a.
b) Căn bậc hai số học có thể coi là kết quả của phép toán sau :
 R+ → R+
 a → sao cho phép toán đó gọi là phép khai phương hay phép khai căn bậc hai trên R+, đó là phép toán ngược của phép bình phương trên R+.
4. Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9 (SGK mới) :
a) Đưa ra kiến thức đã biết ở lớp 7 :
 - Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2=a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdương kí hiệu là và số âm kí hiệu là -
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết = 0.
b) Đưa ra định nghĩa : Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
c) Đưa ra chú ý : Với a≥ 0, ta có :
Nếu x= thì x ≥ 0 và x2 =a;
Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x=. Ta viết : 
d) Đưa ra nội dung về phép khai phương : Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương.
e) Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai bậc hai của nó.
II - Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai :
1. Kiến thức :
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.
* Nội dung của phép khai phương gồm :
- Giới thiệu phép khai phương(thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm)
- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a≥0, có ; với a bất kỳ có )
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : ”)
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau : 
= | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức )
 ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0)
 ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)
 ( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )
 ( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 )
 ( với A, B là biểu thức và B > 0)
 (với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B2)
 ( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )
* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và chủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức( một số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ. Một số phép gắn với trình bày tính chất phép tính khai phương).
2. Kỹ năng : 
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức.
* Có thể kể các kỹ năng về tính toán như :
- Tìm khai phương của một số ( số đó có thể là số chính phương trong khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc thương của số đó với số 100)
- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số ( tính theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai phương)
* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức như :
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần trên( với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành A). Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn(thức) bậc hai có thể coi là vận dụng công thức theo chiều từ phải qua trái.
- Phối hợp các kỹ năng đó( và cả những kỹ năng có trong những lớp trước) để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ năng trục căn thức ở mẫu.
Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện nào đó.)
Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành và củng cố trong phần này như :
- Giải toán so sánh số 
- Giải toán tìm x
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho
- Một số lập luận trong giải toán so sánh số(củng cố tính chất bất đẳng thức nêu ở toán 8)
- Một số kỹ năng giải toán tìm x ( kể cả việc giải phương trình tích)
- Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính. 
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này( ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng tương ứng và nhiều khi, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình thành kỹ năng).
2. Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh :
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và rễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức).
III - Những sai lầm thường gặp khi giải toán về căn bậc hai :
Như đã trình bày ở trên thì học sinh sẽ mắc vào hai hướng sai lầm chủ yếu sau :
1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học :
a) Định nghĩa về căn bậc hai :
* ở lớp 7 : - Đưa ra nhận xét 32=9; (-3)2 =9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 =a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là và một số âm ký hiệu là-.
* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học.
b) Định nghĩa căn bậc hai số học :
Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a.
Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có :
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 =a;
Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x =. Ta viết
x= 
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi tắt là khai phương).
⋆ Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ căn bậc hai” và"căn bậc hai số học”. 
Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 4 và - 4.
Ví dụ 2 : Tính 
Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau :
 = 4 và - 4 có nghĩa là = 4
Như vậy học sinh đã tính ra được số có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :
 =4 và = -4
Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
Lời giải đúng : = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
c) So sánh các căn bậc hai số học :
Với hai số a và b không âm, ta có a < b 
Ví dụ 3 : so sánh 4 và 
Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 4 < (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn ).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
Lời giải đúng : 16 > 15 nên > . Vậy 4 = > 
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!
d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học : 
với a ≥ 0, ta có :
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 =a;
Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x =.
Ví dụ 4 : Tìm số x, không âm biết :
 = 15 
Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau : 
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 =a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là x = và x =- học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau :
 Do x ≥ 0 nên = 152 hay x = 225 và x = -225. 
Vậy tìm được hai nghiệm là x1 =225 và x2 =-225
Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 152. Vậy x =225.
e) Sai trong thuật ngữ khai phương :
Ví dụ 5 : Tính - 
- Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - là một căn bậc hai âm của số dương 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai như sau : 
 - = 5 và - 5
Lời giải đúng là : - = -5 
g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức = | A|
∙ Căn thức bậc hai : 
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
∙ Hằng đẳng thức : = | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương.
Ví dụ 6 : Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) : 
 (-8)2 = 64 , nên khai phương số 64 lại bằng -8
Lời giải đúng : (-8)2 = 64 và = 8.
Mối liên hệ = | a| cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”
Ví dụ 7 : Với a2 = A thì chưa chắc đã bằng a
Cụ thể ta có (-5)2 = 25 nhưng = 5; rất nhiều ví dụ tương tự đã khảng định được kết quả như ở trên.
2. Sai lầm trong các kỹ năng tính toán :
a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của :A = x + 
 * Lời giải sai : A= x + = (x++ ) - = (+)2 ≥ - 
Vậy min A = -.
 * Phân tích sai lầm : 
Sau khi chứng minh f(x) ≥ -, chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -. Xảy ra khi và chỉ khi = -(vô lý).
 * Lời giải đúng : 
Để tồn tại thì x ≥0. Do đó A = x + ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0
Ví dụ 9 : Tìm x, biết : - 6 = 0
 * Lời giải sai :
- 6 = 0 2(1-x) = 6 1- x = 3 x = - 2.
 * Phân tích sai lầm : Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có = | A|, có nghĩa là :
 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
 * Lời giải đúng : 
- 6 = 0 | 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 1- x = 3 x = -2
2) 1- x = -3 x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4.
Ví dụ 10 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B = - + + với x ≥ -1
* Lời giải sai :
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = 42 = ()2 hay 16 = 
 16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15
 2) 16 = -(x+1) x = - 17.
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1= 15 và x2=-17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2= -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng : 
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = (do x ≥ -1)
 16 = x + 1. Suy ra x = 15.
b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 11 : Tìm x, biết : (4- .
* Lời giải sai :
(4- 2x < ( chia cả hai vế cho 4-)
 x < .
* Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng : Vì 4 = < nên 4 - < 0, do đó ta có
(4- 2x > x > .
Ví dụ 12 : Rút gọn biểu thức : 
* Lời giải sai : = = x - .
* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = - thì x + = 0, khi đó biểu thức sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x + ≠ 0 hay x ≠ -. Khi đó ta có 
 = = x - (với x ≠ -).
Ví dụ 13 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
M = với a > 0.
* Lời giải sai :
M = = 
M = . 
M = 
Ta có M = = - = 1- , khi đó ta nhận thấy M 0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
* Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai.
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì = 1 do đó - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức.
* Lời giải đúng :
M = có a > 0 và - 1 ≠ 0 hay a >0 và a ≠ 1.
Với điều kiện trên, ta có :
M = . 
M = 
khi đó ta nhận thấy M 0. Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1(mâu thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0< a <1.
Ví dụ 14 : Cho biểu thức : 
Q = với x ≠ 1, x > 0
a) Rút gọn Q
b) Tìm x để Q > -1.
 Giải : a) Q = 
 Q = - 
 Q = 
 Q = = 
 Q = = 
 Q = - 
 b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có 
 - > -1 3 > 1+ 2 > 4 > x hay x < 4.
 Vậy với x < 4 thì Q < -1.
 * Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức vì thế có luôn được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài toán dẫn đến sai.
 * Lời giải đúng : 
 Q > -1 nên ta có 
 - > -1 3 > 2 x > 4.
 Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
IV - Những phương pháp giải toán về căn bậc hai :
Xét biểu thức phụ có liên quan :
Ví dụ 1 : Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh < 
Giải : Ta đi so sánh hai biểu thức sau : a + b và (+ )2
Ta có : (+ )2 = a+ b + 2
Suy ra a + b < (+ )2 do đó ta khai căn hai vế ta được :
 0, b > 0 nên ta được :
 < 
* Như vậy trong bài toán này muốn so sánh được với thì ta phải đi so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết được quan hệ thứ tự của chúng, do đó biểu thức liên quan đó ta gọi là biểu thức phụ.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A :
 A = 
Giải :
Ta phải có |x| ≤ 3. Dễ thấy A > 0 . Ta xét biểu thức phụ sau :
 B = 2- 
Ta có : 0 ≤ ≤ => - ≤- ≤ 0 => 2- ≤ 2 - ≤ 2 giá trị nhỏ nhất của B = 2- = x = 0
Khi đó giá trị lớn nhất của A = = 2+ .
Giá trị lớn nhất của B = 2 khi và chỉ khi = 0 x = , khi đó giá trị nhỏ nhất của A = = .
* Nhận xét : Trong ví dụ trên, để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức phụ .
2. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học :
Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về căn bậc hai bằng cách sử dụng các hệ thức và công thức đã học : Hằng đẳng thức, Quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, quy tắc khai phương một thương, quy tắc chia hai căn bậc hai, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu
Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh gặp những bài toán có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhưng bài toán lại yêu cầu đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá trị của một tham số nào đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dương hoặc bằng 0 hoặc bằng một giá trị nào đó thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức sao cho khi hướng dẫn học sinh thực hiện nhẹ nhàng mà học sinh vẫn hiểu được bài toán đó .
Ví dụ 3 : Cho biểu thức :
P = với a > 0 và a ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị của a để P < 0 
Giải : a) 
P = 
 = = 
 = = .
Vậy P = với a > 0 và a ≠ 1. 
b) Do a > 0 và a ≠ 1 nên P < 0 khi và chỉ khi 
 1.
Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A :
A = + biết x + y = 4
Giải : Ta có A2 = ( x-1) + (y - 2) + 2 = 
 = (x + y) - 3 + 2= 1+ 2
Ta lại có 2 ≤ (x -1) + (y- 2) = 1
Nên A2 ≤ 2 
=> Giá trị lớn nhất của A = khi và chỉ khi .