Sáng kiến kinh nghiệm Dùng kiến thức hình học giải bài tập số phức

óp sau: 
- Về mặt khoa học: HS có thể thấy được mối liên hệ giữa các mạch kiến thức 
được học, góp phần phát triển năng lực giải toán, khả năng sử dụng kiến thức 
được học như một phương tiện để giải quyết các vấn đề nảy sinh. 
- Về mặt thực tiễn: HS được cũng cố thêm kiến thức số phức và hình học 
phẳng, biết thêm phương pháp giải bài tập số phức, thấy được ứng dụng của 
hình học phẳng. 
 7 
Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
Chƣơng 1. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA VIỆC CHỌN ĐỀ TÀI 
1. Cơ sở lí luận. 
Ở sách giáo khoa chỉ đề cập đến việc điểm  ;M a b trong mặt phẳng 
Oxy là điểm biểu diễn hình học cho số phức z a bi  , z OM . Ngoài ra thì 
( ; )OM a b có thể coi là biểu diễn vectơ cho số phức z a bi  . Nếu điểm 
 ;M a b biểu diễn hình học cho số phức z a bi  , điểm  ' '; 'M a b biểu diễn 
hình học cho số phức ' ' 'z a b i  thì 'OM OM và 'M M lần lượt biểu diễn 
cho 'z z và 'z z . Vì vậy một số bài tập về số phức có thể chuyển về bài 
toán hình phẳng, dùng kiến thức vectơ và toạ độ để giải. 
2. Cơ sở thực tiễn. 
2.1. Đặc điểm tình hình: 
- Về học sinh: Phần chủ đề số phức chỉ nắm được kiến thức cơ bản, giải được 
các bài tập ở mức độ nhận biết thông hiểu. Những bài tập mang tính vận dụng 
ít em làm được và không làm được dạng bài toán lạ, phải vận dụng nhiều kiến 
thức hình học. Qua đó bộc lộ kiến thức hình học phẳng nắm chưa chắc chắn, 
chưa được đào sâu, thậm chí đã quên. 
- Về giáo viên: Chưa chú trọng việc liên hệ kiến thức giữa số phức và các chủ 
đề khác khi dạy toán để cũng cố kiến thức cho học sinh. 
- Về điều kiện khách quan: Thời lượng dành cho chủ đề số phức chưa nhiều, 
lại được bố trí học cuối chương trình lớp 12. SGK chỉ cung cấp những kiến 
thức cơ bản, bài tập liên hệ số phức với các chủ đề khác còn hạn chế. 
2.2. Nguyên nhân: 
Nguyên nhân là chủ đề số phức chưa được học kĩ. thời lượng chưa nhiều và 
các bài tập trong SGK chưa đa dạng. Các phương pháp giải bài tập số phức 
còn ít. HS chưa có khả năng vận dụng kiến thức cũ để học kiến thức mới. 
 8 
Chƣơng 2. QUÁ TRÌNH ĐIỀU TRA VÀ KHẢO SÁT THỰC TẾ 
1. Các nguồn thông tin khảo sát. 
 Khảo sát các tài liệu, SGK, các bài viết trên mạng internet  liên quan 
đến chủ đề số phức và hình học phẳng. 
 Dự giờ tiết ôn tập chương IV môn Toán lớp 12 SGK CB tại trường tác giả 
công tác. 
 Khảo sát, thăm dò ý kiến của HS về những vấn đề: Năng lực giải các bài 
tập số phức và hình học, khả năng vận dụng kiến thức hình học để giải bài 
tập số phức, kể tên những ứng dụng của số phức mà học sinh biết 
 Khảo sát ý kiến của GV về các vấn đề: cách dạy học chủ đề số phức, các 
phương pháp giải bài tập số phức, các ứng dụng của số phức, mối liên hệ 
giữa số phức và các chủ đề khác của môn Toán, giữa số phức và hình học 
phẳng 
2. Những nhận định chung. 
Qua khảo sát cho thấy: 
 Đa số học sinh chỉ mới nắm được những kiễn thức hết sức cơ bản của số 
phức. Các em làm khá tốt các dạng bài tập nhận dạng, thể hiện về các khái 
niệm của số phức, các bài tập liên quan đến các quy tắc thực hiện các phép 
toán trên số phức. Rất nhiều em không giải được dạng bài tập vận dụng 
kiến thức của số phức, chưa biết dùng kiến thức của hình học phẳng để 
giải bài tập số phức. Khi được hỏi về các ứng dụng của số phức và những 
phương pháp giải bài tập số phức khá nhiều em còn lúng túng, thể hiện 
chủ đề này các em chưa dành nhiều thời gian để nghiêm cứu, đào sâu kiến 
thức. 
 Giáo viên chưa làm cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa số phức và 
các mạch kiến thức khác, chưa chú trọng khai thác các ứng dụng của số 
phức cũng như dùng kiến thức khác để dạy học chủ đề số phức. 
 Các tài liệu, chuyên đề liên quan đến dùng hình học phẳng để giải bài tập 
số phức còn hạn chế, HS chưa có dịp được tiếp xúc để học tập. 
 9 
Chƣơng 3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP 
 Cần phải làm cho HS thấy được mối liên hệ giữa hình học phẳng và số 
phức từ đó khai thác để ứng dụng vào việc giải bài tập. 
 Trước hết rèn luyện cho các em dạng toán sau: 
 1. Dạng toán biểu diễn hình học của số phức. 
Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn điều 
kiện  T z nào đó. 
 Giải: Gọi  ;M x y biểu diễn hình học cho số phức z x yi  . Từ điều kiện 
 T z dấn tới phương trình  ; 0F x y  . Tuỳ vào dạng của phương trình này 
mà ta kết luận. Các kết quả hay thu được là: 
1.1. Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng. 
VD1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z 
thoả mãn hệ thức 2 1 2z z z    . 
( Trích đề thi thử THPT Cầu Xe Hải Dương Khối A lần 1 năm 2012). 
Giải: Gọi  ;M x y biểu diễn hình học cho số phức z x yi  , ( ,x y ). 
2 1 2z z z      
2 2 22 1 4 4x y y     1x  
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng 1x  . 
 10 
Bài tập: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa 
mãn: 1 2 3.z z i    
(Trích đề thi thử THPT Hồng Quang Hải Dương 2011) 
1.2. Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn. 
VD2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z 
thoả mãn hệ thức 2 5z i   . 
Giải: Gọi  ;M x y biểu diễn hình học cho số phức z x yi  ,  ,x y . 
Ta có: 2 5z i   
  
2 22 5x y   
  
2 22 5x y   
Vậy tập hợp điểm biểu 
diễn các số phức z là 
đường tròn tâm  2;0I 
bán kính 5 . 
1.3. Tập hợp điểm biểu diễn là đường Elip. 
VD3. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z 
thỏa mãn điều kiện: 522  zz . 
( trích đề thi thử THPT Cao Lãnh Khối A năm 2011). 
Giải: Gọi  ;M x y biểu diễn hình học cho số phức z x yi  , ( ,x y ). 
Xét các điểm  2;0A ,  2;0B  . Ta có 2z MA  , 2z MB  nên 
522  zz  5MA MB  (1) Vì A và B cố định nên từ điều kiện (1) suy 
ra điểm M thuộc một Elip có các tiêu điểm là A và B, tiêu cự 4AB  và trục 
lớn bằng 5. Từ đó suy ra tập hợp điểm cần tìm là elip  E : 
 E : 
2 2
2 2
1
5 3
2 2
x y
 
   
   
   
. 
 11 
Bài tập: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 
z thỏa mãn điều kiện: 4 4 10z z    . 
( Trích đề thi thử Khối D năm 2010). 
1.4. Tập hợp điểm biểu diễn là đường hypebol. 
VD4. Trong mặt phẳng phức, xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số 
phức z thoả mãn:    1 1 2 1i z i z z     . 
( Trích đề thi thử ĐH Vinh Khối A lần 3 năm 2012). 
Giải: Gọi  ;M x y biểu diễn hình học cho số phức z x yi  , ( ,x y ). 
   1 1 2 1i z i z z     
  
2 21x y x y    

   
2 2 21
x y
x y x y


   
 2 1
2
x y
x
y
x



 
Vậy tập hợp điểm biểu 
diễn các số phức z là 
phần đường hypebol 
2 1
2
x
y
x



 nằm dưới đường thẳng y x . 
 12 
1.5. Tập hợp điểm biểu diễn là đường parabol. 
VD5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z 
thoả mãn hệ thức 2 2z i z z i    . 
Giải: 
Gọi  ;M x y biểu diễn hình học cho số phức z x yi  , ( ,x y ). 
2 2z i z z i        
2 222 1 2 2x y y    
21
4
y x 
Vậy tập hợp điểm 
biểu diễn các số 
phức z là đường 
parabol 2
1
4
y x . 
Bài tập: 
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 
3z i z z i    . 
2. Một số bài toán sử dụng kiến thức hình học để giải bài tập số phức. 
 Sau khi HS đã nắm được dạng toán biểu diễn hình học của số phức thì GV 
gợi ý để các em có thể chuyển yêu cầu của bài tập số phức trở thành chỉ 
cần giải quyết bài toán hình học phẳng. Ta có thể gặp một số bài toán sau: 
2.1. Tìm điểm M nằm trên đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ M đến 
một điểm cố định A là nhỏ nhất. 
 13 
a)Giải: 
Gọi H là hình chiếu của 
A lên đường thẳng (d ) 
thì AM AH . Từ đó AM 
nhỏ nhất khi M H . 
b)Bài tập áp dụng: 
VD6. Tìm số phức z có modun nhỏ nhất thoả mãn: 4 3z z i   . 
Giải. Gọi z x yi   ,x y , điểm  ;M x y biểu diễn hình học của z. 
Từ giả thiết ta có: 8 6 25x y  . Vậy M thuộc :8 6 25 0.x y    và z OM 
Bài toán trở thành: Tìm M 
thuộc  sao cho OM nhỏ nhất 
M trùng với hình chiếu H 
của O lên  . 
Lập đường thẳng d qua O và 
:3 4 0d d x y    
Toạ độ H thoả mãn hệ 
2
3 4 0
3
8 6 25 0
2
x
x y
x y y

  
 
    
3
2
2
z i   
Bài tập: 
1. Tìm số phức z thoả mãn  ( 1) 2z z i  là số thực và z nhỏ nhất. 
2. Tìm số phức z có modun nhỏ nhất thoả mãn 2 3i z z i     . 
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên 2011). 
3. Cho số phức z thoả mãn 1 5 3z i z i     . Tìm z có modun nhỏ nhất. 
(Trích đề thi thử THPT An Dương – Hải Phòng 2013). 
 14 
4. Cho số phức z thoả mãn 2 4 2z i z i    . Tìm z có z nhỏ nhất. 
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp 2013 Khối D). 
5. Cho số phức z thoả mãn
1
1
2
z
z i



. Tìm z biết 
3
5
2
z i  nhỏ nhất. 
(Trích đề thi thử THPT Thanh Chương 3 – Nghệ An 2013). 
2.2. Tìm vị trí điểm M chạy trên đường thẳng cố định (d) để tổng khoảng cách 
từ nó đến hai điểm cố định A, B nhỏ nhất. 
a)Giải: 
- Nếu A và B nằm về hai nửa mặt 
phẳng có bờ là đường thẳng d thì vị trí 
điểm M cần tìm là giao điểm của AB 
và d. 
- Nếu A và B nằm cùng một nửa mặt 
phẳng có bờ là đường thẳng d. Lấy A’ 
đối xứng với A qua. Khi đó: 
' 'MA MB MA MB A B    . 
Từ đó suy ra:  
min
'MA MB A B  khi 
M E (với E giao điểm của A’B và d). 
b)Bài tập áp dụng: 
VD7. Tìm z thoả mãn đồng thời hai điều kiện 4 3z z i   và biểu thức 
1 2 3F z i z i      đạt giá trị nhỏ nhất. 
Giải. Gọi z x yi   ,x y và điểm ( ; )M x y là điểm biểu diễn hình học 
của z . Ta có: 4 3z z i   
2 2 2 2( 4) ( 3)x y x y      
8 6 25 0x y    . M  :8 6 25 0x y    
Xét các điểm A(-1;1); B(2;-3) F MA MB   . Bài toán trở thành tìm điểm 
M thuộc đường thẳng  sao cho tổng độ dài đường gấp khúc AMB nhỏ 
nhất.(Bài toán quen thuộc). Lấy 'A đối xứng với A qua  , 
69 58
'( ; )
25 25
A  . 
 15 
Phương trình đường thẳng 
'A B là: 133 119 91x y   . 
Toạ độ M là nghiệm của hệ: 
503
133 119 91 250
8 6 25 371
250
x
x y
x y
y

   
 
    

503 371
250 250
z i

   . 
2.3. Tìm điểm M nằm trên đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến một 
điểm cố định A là nhỏ nhất. 
a)Giải: 
Trường hợp A nằm ngoài đường tròn 
(C). Đường thẳng đi qua A và tâm O của 
(C) cắt (C) tại H và H’ với H nằm giữa 
A và O. Với mọi điểm M thuộc (C) ta 
có: OA OM AM OA OM    hay 
'AH AM AH  . Từ đó minAM AH 
khi đó M H . 
Trường hợp A nằm trong đường tròn 
(C). Đường thẳng đi qua A và tâm O của 
(C) cắt (C) tại H và H’ với A nằm giữa 
H và O. Với mọi điểm M thuộc (C) ta 
có: OM OA AM OA OM    
'OH OA AM OA OH     hay 
'AH AM AH  . Từ đó minAM AH 
khi đó M H . 
b)Bài tập áp dụng: 
 16 
* Tìm một điểm thuộc đường tròn để khoảng cách từ nó đến một điểm cố định 
là nhỏ nhất. 
VD8. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 1 2 1z i   tìm số phức z có 
modun nhỏ nhất. 
(Trích đề thi thử THPT Đông Hưng Hà- Thái Bình). 
Giải. Gọi z x yi   ,x y . 
Từ giả thiết ta có: 
   
2 2
1 1 1x y    , điểm 
 ;M x y biểu diễn hình học 
của z thuộc đường tròn (C): 
   
2 2
1 1 1x y    . 
Vì z OM nên bài toán trở 
thành tìm vị trí M thuộc (C) sao 
cho OM nhỏ nhất. Ta thấy điểm O nằm ngoài (C). Suy ra M H với H là 
giao điểm của (C) với đường thẳng OI và H nằm giữa O,I. 
Đường OI: 2y x . Suy ra toạ độ H thoả mãn hệ: 
   
2 2
2
1 1 1
y x
x y


   
1
1
5
x    ( loại 
1
1
5
x    ). 
1
1
5
x   
2
2
5
y    . 
Vậy 
1 2
1 ( 2 )
5 5
z i      . 
Bài tập: 
1. Cho số phức z thoả mãn 3 1z i  . Tìm z có z nhỏ nhất. 
(Trích đề thi thử THPT Thái Phúc - Thái Bình). 
2. Cho số phức z thoả mãn 2 3 1z i   . Tìm z có z nhỏ nhất. 
(Trích đề thi thử THPT Quỳnh Lưu2 Nghệ An 2012) 
3. Cho số phức z thoả mãn 3 4 1z i   . Tìm z có z nhỏ nhất. 
 17 
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ 2013). 
4. Cho số phức z thoả mãn 2 2z   . Tìm z sao cho (1 3 )z i  nhỏ nhất. 
(Trích đề thi thử THPT Quốc học Quy Nhơn 2013) 
5. Tìm z có z nhỏ nhất biết 
1 5
2
3
z i
z i
 

 
. 
( Trích đề thi thử THPT Phượng Bình lần 3 2011). 
6. Trong các số phức z thoả mãn 
(1 )
2 1
1
i z
i

 

. Tìm z có z nhỏ nhất, lớn 
nhất. 
(Thanh Chương I Nghệ An Lần 2 2011). 
7. Cho số phức z thoả mãn 
3
2 3
2
z i   . Tìm z có z nhỏ nhất, lớn nhất. 
8. Cho số phức z thoả mãn 1 2 1z i   . Tìm z có z nhỏ nhất. 
* Tìm một điểm thuộc đường tròn để khoảng cách từ nó đến một điểm cố định 
là lớn nhất. 
VD9. Cho z thoả mãn 
3
2
2
z i
z i
 

 
. Tìm z có z lớn nhất. 
Giải. Gọi z x yi  
 ,x y . Điểm  ;M x y 
biểu diễn hình học của z. Từ 
giả thiết suy ra điểm M 
thuộc đường tròn (C): 
   
2 2
1 3 10x y    . Bài 
toán trở thành tìm ( )M C để 
OM lớn nhất. 
Ta thấy ( ) ( )O C M C   để OM lớn nhất khi OM là đường kính hay 
 2;6M hay 2 6z i  . 
Bài tập: 
 18 
1. Tìm z có z lớn nhất thoả mãn: 1
2
3 4 1
log 1
2 3 4 8
z i
z i
   
     
. 
(Trích đề thi thử THPT Yên Khê- Phú Thọ 2012). 
2. Trong các số phức 2 52z i   . Tìm z có 4 2z i  nhỏ nhất, lớn nhất. 
2.4. Ứng dụng biểu diễn tổng, hiệu hai số phức theo hai véctơ để giải toán. 
VD10. Cho hai số phức , 'z z thoả ' 1z z  và ' 3z z  . Tính 'z z . 
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ Lần 3-2011). 
Giải. 
Gọi z x yi  , ' ' 'z x y i  
và ( ; )M x y , '( '; ')M x y là các 
điểm biểu diễn hình học của 
, 'z z thì ' 1OM OM   , 
' ' 3z z OM OM    và 
' ' 'z z M M MM   . 
Các điểm , 'M M thuộc 
đường tròn tâm O, bán kính 
1R  . 
Gọi I là điểm để 'MOM I là hình bình hành, 'OI OM OM   , 
' 3OI z z   . Vì ' 1OM OM   'MOM I là hình thoi. Theo tính chất của 
hình thoi ta có: 2 2 2' 4OI MM OM   2 2 2' 4 1MM OM OI    ' 1MM  
hay 
, 1z z  . 
Bài tập: 1. Cho 1 2,z z thoả 
1 2
1 2
13
5 2
z z
z z
  

 
 Hãy tính 1 2z z . 
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2013). 
2.5. Tìm một điểm chạy trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ nó đến 
hai điểm cố định là nhỏ nhất. 
 19 
VD11. Tìm tất cả các số phức z sao cho 2 2z   và 1z z  đạt giá trị nhỏ 
nhất. 
( Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2011). 
Giải. Gọi z x yi  , 2 2z    
2 22 2x y    , ( ; )M x y biểu diễn 
hình học của z nằm trên đường tròn  C :  2 22 2x y   . 
Xét điểm  1;0A  ,khi 
đó 
1z AM MA   vì vậy 
 1z z OM MA    . 
Bài toán trở thành tìm 
 M C sao cho tổng 
OM MA nhỏ nhất. 
Gọi H là giao điểm của 
 C và OI. 
Ta có: OM OI MI OH   , MA AI IM AH   . Sử dụng bất đẳng thức tam 
giác OM MA OH AH    . Dấu " " xảy ra khi M H . 
H thoả mãn hệ : 
 
2 2
0 0
2 2 2 2
y y
x y x
  
 
     
Vì H nằm giữa I và O nên 2 2x   . Vậy (2 2;0) 2 2M H z     
2.6. Tìm một điểm chạy trên đường tròn để hiệu các bình phương khoảng 
cách từ đó đến hai điểm cố định nhỏ nhất, lớn nhất. 
VD12. Tìm số phức z sao cho (3 4 ) 5z i   và biểu thức 
2 2
2P z z i    
đạt giá trị lớn nhất. 
Giải. Gọi z x yi  ,  ,x y và điểm  ;M x y biểu diễn hình học của z. 
Từ điều kiện suy ra M thuộc đường tròn  C :    
2 2
3 4 5x y    . 
 20 
Xét các điểm  2;0A  ,  0;1B 2 2P MA MB   . 
Bài toán trở thành tìm ( )M C sao cho 2 2MA MB đạt giái trị nhỏ nhất. 
Gọi d là đường thẳng đi qua A 
và B. H là hình chiếu của M 
lên d thì: 2 2 2MA MH AH  , 
2 2 2MB MH BH  . 
2 2 2 2MA MB AH BH    
( )( )AH BH AH BH   
( 2 )AB AB BH  . 
2 2P MA MB   đạt giá trị lớn 
nhất khi BH lớn nhất. 
Khi đó M là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến đường tròn vuông góc với AB hay 
M là giao điểm của đường thẳng  ( đi qua I và d ) với đường tròn 
 C . Ta có  2;1AB  ,  có dạng 2 5 0x y   . Toạ độ giao điểm của 
 và  C là nghiệm của hệ: 
   
 
2
2 2
2 5 5
4 1
32 8 4 5
x y y
y
yx y
  
         
Để BH lớn nhất thì chọn 5y  là hợp lý 5 (5;5)x M   hay 5 5z i  
2.7. Cho hai điểm chạy trên hai đường tròn tìm vị trí để chúng cách xa nhau 
nhất. 
VD13. Cho các số phức 1 2,z z thoả mãn 1 21 2; 4 2z z    . Tìm tất cả các 
số phức 1 2,z z sao cho 1 2z z đạt giái trị nhỏ nhất. 
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm 2011). 
Giải. Gọi 1z a bi  ; 2z c di  . Từ đó các điểm 1( ; )M a b , 2 ( ; )M c d biểu diễn 
hình học cho 1z , 2z lần lượt thuộc các đường tròn:  
2 2
1( ) : 1 2C x y   và 
 
2 2
2( ) : 4 4C x y   . 1 2 2 1 2 1z z M M M M    . Bài toán trở thành tìm các 
điểm  1 1M C ,  2 2M C sao cho đoạn 1 2M M lớn nhất. 
 21 
Gọi 1I , 2I lần lượt là tâm của  1C và  2C , các điểm A , B lần lượt là giao 
điểm của  1C ,  2C với trục Ox ( A , B nằm ngoài đoạn 1 2I I ). Ta có theo bất 
đẳng thức trong tam giác thì 
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2M M M I I M M I I I I M R R I I AB         
Vậy 1 2M M AB , dấu “=” xảy ra khi 1 2;M A M B  . 
Giải ta được  1 2;0A  ,  6;0B , 1 1 2z   , 2 6z  . 
2.8. Một điểm chạy trên đường thẳng, một điểm chạy trên đường tròn, tìm vị 
trí để chúng gần nhau nhất. 
VD14. Cho các số phức 1 2,z z thoả mãn: 1 1 21 ; 2 2 1z i z z i      . Tìm 
1 2,z z sao cho 1 2z z đạt giá trị nhỏ nhất. 
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc ). 
Giải Giả sử 1z x yi  , 
' '
2z x y i  và  1 ;M x y , 
' '
2 ( ; )M x y biểu diễn 
hình học của 1z và 2z . Từ giả thiết 1 11z i z   1 0x y    , 
   
2 2
' '
2 2 2 1 2 2 1z i x y        . Suy ra điểm 1M thuộc : 1 0x y    , 
điểm 2M thuộc đường tròn      
2 2
' ': 2 2 1C x y    . 
 22 
Ta có: 
1 2 2 1 2 1z z M M M M   
Bài toán trở thành tìm 1M  , 
 2M C sao cho 1 2M M nhỏ nhất. 
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I của 
đường tròn  C . Các điểm E, H lần 
lượt là giao điểm của d với  và  C 
( E nằm giữa I và H) . 
Ta có: 1 2 1 2 2M M M I IM HI IM EH     . 
Suy ra 1 2M M nhỏ nhất khi 1M H và 2M E . Giải bài toán tìm toạ độ giao 
điểm của của d với  và  C ta được: 
1 1
;
2 2
H
 
  
 
, 
1 1
2 ;2
2 2
E
 
  
 
. 
Vậy: 1
1 1
2 2
z i   , 2
1 1
2 (2 )
22
z i    . 
2.9. Bài toán dùng đến phép quay 
VD15. Cho các số phức 1 2,z z thoả mãn: 1 2 0,5iz   và 2 1z iz . Tìm giá trị 
nhỏ nhất của 1 2z z . 
(Chuyên đề Nguyễn Huệ Hà Nội lần 4- 2012). 
Giải. Giả sử 1z x yi   ,x y và điểm  ;M x y biểu diễn hình học của 1z . 
Từ giả thiết ( ) 2 0,5i x iy     
2
2 12
4
x y    , 1M thuộc đường 
tròn  C :  
2
2 12
4
x y   . Ta có  2 1z iz i x iy y xi      , suy ra 
2 ( ; )M y x là điểm biểu diễn hình học của 2z và 1 2 1 2z z M M  . 
Ta thấy 2M là ảnh của 1M qua phép quay tâm O góc quay 
090 . Suy ra 2M 
thuộc đường tròn  'C là ảnh của  C qua phép quay  0,90O
Q . 
Bài toán trở thành: Tìm vị trí của  1M C ,  2 'M C sao cho 1 2M M nhỏ nhất. 
Gọi 1I và R là tâm và bán kính của  C , ta có  1 0; 2I và 
1
2
R  . 
 23 
Ta thấy 1 2OM M vuông cân, 
1 2 12.M M OM  ,  1 2M M 
nhỏ nhất khi 1OM nhỏ nhất. 
Gọi A là giao điểm của đoạn 
1OI với  C thì 
1 1 1 1
1
2
2
OM OI I M OA     . 
Suy ra 1 2
1
2. 2
2
M M
 
  
 
. 
Vậy  1 2
1
min 2
2
M M   . Hay giá trị nhỏ nhất của 1 2z z là 
1
2
2
 . 
2.10. Bài toán phải biết kết hợp tính chất z z tìm một điểm trên đường 
tròn có khoảng cách đến O nhỏ nhất. 
VD16. Xét số phức z thoả mãn 2 1 1z z i    tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 
nhất của biểu thức 2E z z  . 
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị 2013). 
Giải. Đặt 2w z z  thì ta có 2w z z  E w w   . 
Bài toán trở thành tìm w sao cho 1 1w i   và w có mođun nhỏ nhất. 
Giả sử w x yi   ,x y và điểm  ;M x y biểu diễn hình học của w và 
1w i MA  