Sáng kiến kinh nghiệm Dự đoán những sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán và cách khắc phục

A- Đặt vấn đề
1- Lý do chọn đề tài:
Dạy toán không chỉ đơn thuần là cung cấp cho học sinh một số kiến thức đơn thuần nào đó. Quan trọng hơn và cơ bản hơn và phải rèn luyện cho học sinh một tiềm lực, một khả năng và một phương pháp nghiên cứu để các em tự học tập, tự lực giải quyết vấn đề thực tiễn trong cuộc sống. Kỹ năng vận dụng kiến thức trong học tập và trong đời sống chính là thước đo mức độ sâu sắc, vững vàng của kiến thức mà học sinh thu nhận được. Bài tập toán với tình cách là một phương pháp học nó đáp ứng yêu cầu trên. Bởi vậy nó giữ vai trò đặc biệt quan trọng trong giảng dạy, và là một phương tiện tốt nhất để phát triển tư duy, óc sáng tạo của học sinh. Nó vũ trang cho các em công cụ sắc bén để nghiên cứu thế giới tự nhiên. Do vậy việc dạy cho học sinh những kiến thức mới là điều cần thiết, song chỉ có thông qua bài tập ở hình thức này hay hình thức khác mới giúp học sinh hiểu sâu sắc các quy luật tiên đề, định lý .... và biết cách ứng dụng linh hoạt vào những tình huống cụ thể khác nhau. Chính vì vậy mà công việc giải bài tập là cực kỳ quan trọng. Song quá trình giảng dạy tại mái trường THCS Ninh Hải tôi thấy: Học sinh giải bài tập thường mắc nhiều sai lầm mà "hình như" các em chưa có cách khắc phục. Tôi nghĩ rằng đầy là một trong những vấn đề bức xúc cần được giải quyết. Vì vậy là giáo viên đang trực tiếp giảng dạy tôi cần phải nghiên cứu vấn đề này, để tìm biện pháp khắc phục cho các em góp phần nâng cao chất lượng dạy học. Sau khi nghiên cứu tôi thấy giáo viên cần phải dự kiến những sai lầm mà học sinh hay mắc phải, và có cách khắc phục để các em có thể bổ sung những kiến thức cần thiết cho mình. Vì thế trong đề tài này tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh nghiệm trong việc dự đoán những sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải các bài toán và khắc phục.
	2- Mục đích nghiên cứu:
	Tìm được những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập toán và cách khắc phục. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng giải toán.
3- Khách thể và đối tượng nghiên cứu:
a) Khách thể:
Học sinh trường THCS Ninh Hải.
b) Đối tượng: 
Những sai lầm học sinh thường mắc phải và cách khắc phục sai lầm đó.
4- Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu thực chất việc giải bài tập toán của học sinh trong quá trình giảng dạy.
5- Biện pháp nghiên cứu:
Thực nghiệm, so sánh, kiểm tra ....
6- Điều kiện thực tế:
Trong khi giảng dạy tôi thấy các em làm bài tập còn rất kém, theo tôi có thể các em chưa nắm được kiến thức, chưa nắm được cách giải, do giáo viên giảng dạy hoặc điều kiện ngoại cảnh tác động đến các em .... Vì vậy tôi đưa ra một số bài tập sau để khảo sát với học sinh từng khối.
1- Tìm một số dự trong phép chia 193 cho 12.
2- a) Tính:	-74 + 12 =?	-12 - 36 = ?
	193 - 211 = ?	(-5) - (-7) = ?
	(-8) - (120) = ?
- (-7 + 9) + 5 - 10 - (20 - 27 + 6) =?
b) Tính:
c) Tính:
3- Giải các phương trình:
a)	
b)
c) 
4- Chứng minh rằng: 	x2 + 2xy + y2 + 1 > 0 "x, y
5- Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:
m2x2 + mx + 4 = 0
Sau khi khảo sát xong, tôi thu được kết quả như sau:
Bài tập 1: 	20% học sinh làm đúng.
Bài tập 2: 	19,2% học sinh làm đúng.
Bài tập 3: 	27% học sinh làm đúng.
Bài tập 4: 	15% học sinh làm đúng.
Bài tập 5: 	16,2% học sinh làm đúng.
B/- Nội dung:
I- Cơ sở lý luận:
Thực tế là điều kiện quyết định việc lựa chọn phương pháp để tác động 
đối tượng một cách phù hợp. Do đó muốn nâng cao chất lượng học toán, tránh những sai lầm khi giải toán của học sinh, trước tiến giáo viên cần phải dự đoán được những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, và có biện pháp hữu hiệu để khắc phục. Mọi cơ sở lí luận phải được thực tiễn thừa nhận, do vậy cần phải có biện pháp tích cực đến từng học sinh, nhằm nâng cao chất lượng học tập. Qua đó năng lực và phẩm chất các em ngày càng hoàn thiện hơn.
II- Thực chất của vấn đề nghiên cứu:
	Đối với môn toán, số lượng kiến thức rất nhiều, đa dạng khó hiểu. Nó được sử dụng rộng rãi, chặt chẽ và có một số lô gích phức tạp với số lượng kiến thức như vậy thì số lượng bài tập lại càng phong phú và khó hơn. Từ việc xây dựng công thức, định nghĩa, định lý ... giáo viên cần giúp học sinh khai thác,m biến đổi, phân tích v.v... để vận dụng trong quá trình giải bài tập. Từ đó xây dựng các mối quan hệ giữa các yếu tố để học sinh có một cách nhìn tổng quát hơn nhằm tạo ra phương hướng vươn tới sự bổ sung và hoàn thiện.
	Thật sự là thiếu sót nếu đề tài này không đề cập đến vấn đề bức xúc hiện nay là việc mắc sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán, cách khắc phục. Môn toán là một môn khoa học "đặc trưng" là nền tảng để chúng ta nghiên cứu thế giới tự nhiên. Tuy nhiên học sinh trường THCS Ninh Hải giải bài tập lại gặp rất nhiều sai lầm, chưa thể đáp ứng được yêu cầu thực tiễn đòi hỏi.
	III- Những biện pháp và việc làm cụ thể để bước đầu giúp các em khắc phục được những sai lầm thường mắc phải khi giải bài tập toán:
1- Khi giảng dạy: Giáo viên đưa ra những bài tập mà theo dự đoán các em mắc phải sai lầm khi trình bày lời giải.
2- Chỉ ra những sai lầm và nguyên nhân của các sai lầm đó.
3- Động viên, đưa ra tình huống để gây hứng thú trong khi học. Từ đó các em thấy được trách nhiệm cũng như xác định được các yêu cầu của lời giải toán.
* Sau đây tôi xin trình bày một số kinh nghiệm nhỏ được chắt ra trong quá trình giảng dạy tại mái trường THCS Ninh Hải:
1) Dự kiến những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình học "tập số" cách khắc phục.
a) Trong tập N: Thường mắc sai lầm ở phép chia có thể các em chia không triệt để.
Ví dụ: Học sinh lầm 13 là số dự của phép chia:
193 cho 12
Nguyên nhân của việc sai lầm là chưa phân biệt được số dự bé hơn số chia.
Vì vậy cần rèn luyện cho học sinh nhớ rõ số dư bé hơn số chia, phân biệt được số dư và thương.
b) Trong tập Z: Thường mắc sai lầm trong quá trình cộng các số khác dấu không đối nhau, quy tắc bỏ dấu ngoặc.
Ví dụ: Nhiều học sinh giải:
-7 + 12 = 19?	193 - 211 = 12?
- (-7 + 9) + 5 - 10 - (20 - 27 + 6) = ?
7 + 9 + 5 - 10 - 20 - 27 + 6 = -30?
Đa số các em còn lúng túng và giải sai đáp số khi mở dấu ngoặc mà đường trước có dấu (-) thì không đổi dấu với số hạng là dấu (+). Vì vậy giáo viên cần phải nêu quy tắc cộng hai số khác dấu thành hai bước:
Bước 1: Tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số bé)
Bước 2: Đặt trước kết quả nhận được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
* Nhắc lại quy tắc bỏ dấu ngoặc.
c) Trong bài tập Q:
Thường lầm hỗn số với phép nhân, lầm khi chia một phân số cho một số, chia số thập phân vô hạn tuần hoàn và không tuần hoàn, quy tắc chia các số gần đúng ...
Ví dụ: Nhiều học sinh lầm:
Vì vậy giáo viên cần cho học sinh thử lại kết quả để tìm ra chỗ sai, nếu không tìm ra được thì giáo viên chỉ chỗ sai và nguyên nhân của việc sai lầm, từ đó các em mới có thể khắc sâu kiến thức hơn.
d) Về phép tính luỹ thừa:
Học sinh hay lầm: anam với (an)m
	(am)n với 
Ví dụ: Nhiều học sinh lầm:
37 x 39 = (37)9 ?
(512)3 = 
Nguyên nhân của việc sai lầm này là các em chưa nắm vững quy tắc nhân các luỹ thừa. Vì vậy giáo viên cần phải nhắc lại quy tắc nhân các luỹ thừa.
e) Trong tập R:
Nhiều học sinh lầm trong việc khai căn:
Ví dụ: Có những học sinh giải:
Nguyên nhân là các em chưa nắm vững được quy tắc khai căn bậc hai.
Vì vậy giáo viên cần phải nhắc lại cách khai căn bậc hai.
2- Một số bài tập cụ thể học sinh mắc sai lầm trong quá trình giải. Nguyên nhân:
a) Trong quá trình giải toán, học sinh có thể mắc sai lầm do hấp dẫn, cẩu thả, sơ suất trong tính toán ...
Ví dụ: Khi giải phương trình: 
Có nhiều học sinh đã tìm được hai nghiệm là: 1 và 
Giáo viên có thể cho áp dụng hệ thức Viet để nhẩm nghiệm, các em sẽ nhận thấy ngay là sai, vì phương trình này là có các hệ số là: a + b + c = 0 nên có nghiệm là: 1 và 
b) Đôi khi các em còn mắc sai lầm là không nắm vững các định nghĩa, định lý, quy tắc ... vận dụng một cách máy móc không chú ý đến các điều kiện áp dụng.
Ví dụ: Giải phương trình: 
2x3 - 50x = 0
Thì lời giải sau đây của một số học sinh là sai lầm:
2x3 - 50x = 0 Û 2x3 - 50 = 0 Û x2 = 50 ị x = ± 5
ở đây học sinh chia cả hai vế cho x mà không lập luận điều kiện mà x ạ0 nên bị mất nghiệm x = 0.
c) Đôi khi các em còn mắc phải sai lầm về mặt suy luận và thường các em khó thấy hơn.
Ví dụ: Chứng minh rằng:
x2 + 2xy + y2 + 1 > 0 "x, y
Một số học sinh giải như sau:
Từ x2 + 2xy + y2 + 1 > 0 ị (x + y)2 + 1 > 0 
Hay: (x + y)2 > -1 ị đpcm
Trong trường hợp này sau khi cần chỉ ra lời giải này là sai vì đã coi phép suy ngược là một phép chứng minh có thể giáo viên ra một bài tập để các em tìm ra chỗ sai trong quá trình giải.
Ví dụ: Có bạn cho rằng "a, b ẻ R ta có a = b vì từ a = b Û a2 = b2 ị a2 + b2 = a2 + b2 ị a2 - 2ab + b2 = a2 - 2ab + b2 ị (a - b)2 = (b - a)2 luôn đúng với mọi a, b.
Hãy tìm chỗ sai trong lời giải này.
Rõ ràng ngay đề bài đã gợi cho các em sự hấp dẫn lôi cuốn các em tìm chỗ sai trong quá trình suy luận. Qua đó các em hiểu sâu sắc hơn các bước suy luận nhằm tránh những sai lầm không đáng xảy ra.
d) Trong quá trình giải đòi hỏi từng bước biến đổi, trong lời giải phải có cơ sở lý luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lý, quy tắc v.v... đã học, đặc biệt phải chú ý đảm bảo thoả mãn điều kiện nêu trong đề bài.
Ví dụ: Khi giải phương trình:
Nhiều học sinh giải như sau:
Rõ ràng trong trường hợp này đã thiếu nghiệm vì các em không nắm vững hằng đẳng thức 	 để từ phương trình đã cho suy ra | 2x - 1| = 3, do đó mất nghiệm x = -1. Vì vậy giáo viên cần nhắc lại cho các em hằng đẳng thức: 
2- Đôi khi một số học sinh còn bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một số tình huống, nhất là các bài toán đòi hỏi phải biện luận.
Ví dụ: Tìm giá trị của m để phương trình sau vô nghiệm:
m2x2 + mx + 4 = 0
Nhiều học sinh trình bày lời giải như sau:
"Để phương trình vô nghiệm thì điều kiện là D < 0
Û D = m2 - 4m2.4 < 0
Û m2 - 16m2 < 0 Û -15m2 < 0 Û m ạ 0
Vậy m ạ 0 phương trình vô nghiệm"
Rõ ràng các em đã thừa nhận phương trình đã cho là phương trình bậc hai đối với ẩn x, nên không xét đến trường hợp m = 0 ị dẫn tới bỏ nghiệm m = 0.
Trường hợp này giáo viên có thể yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số, để các em thấy được cần phải xét m = 0 và m ạ 0.
Đó là một số trường hợp mà học sinh thường mắc phải, nguyên nhân cửa việc sai lầm. Theo tôi khi đã chỉ ra được nguyên nhân của việc sai lầm thì các em sẽ khắc phục được bởi vì "Con người phải biết học, những sai lầm và những thiếu sót của mình" (Polya).
IV- Kết quả:
Sau khi đưa ra những kinh nghiệm trên, năm học này số học sinh mắc sai lầm đã hạn chế nhiều. Với những bài tập tương tự, đến khó hơn số học sinh làm được từ 70 - 100%.
- Số học sinh giỏi và khá tăng từ 30 - 45%.
C- Kết luận:
Việc dự đoán những sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán và cách khắc phục là rất cần thiết và hiệu quả. Vì một mặt uốn nắn được những sai lầm thì các em sẽ bổ sung được những tri thức còn thiếu. Qua đó cũng thấy được kết quả học tập của các em nâng lên một cách rõ nét, khả năng ghi nhận và lĩnh hội kiến thức của các em nhanh hơn. Đồng thời rèn luyện và phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo biết vận dụng những kiến thức để giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn.
Mặt khác việc khắc phục những sai lầm của học sinh là đã phân tích được những nguyên nhân dân đến sai lầm. Qua đó các em nhận thấy được các yêu cầu lời giải, khắc phục được những sai lầm không đáng xảy ra. 
Bản thân chỉ xin trình bày ý kiến trong phạm vi hẹp, chỉ là một kinh nghiệm nhỏ được chắt ra từ kinh nghiệm thực tế giảng dạy. Do đó không tránh khỏi những thiếu sót, thiếu tính khách quan. Rất mong được lĩnh hội các thông tin đáng giá, để tiếp thu, nghiên cứu, bổ sung vào những phần thiếu sót của đề tài này, để đề tài sau hoàn thiện hơn.
Ninh Hải, ngày 2 tháng 5 năm 2006
Người viết
Lê thị nguyệt minh