Sáng kiến kinh nghiệm - Đề tài: Tỷ lệ thức

Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
§éc lËp - Tù do - H¹nh phóc
 - - - –²— - - -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
®Ò tµi: tû lÖ thøc
 * * *
Gi¸o viªn: lª thÞ kim anh
A . PhÇn më ®Çu:
1- lý do chän ®Ò tµi:
To¸n häc kh«ng nh÷ng lµ m«n khoa häc cã mÆt hÇu hÕt trong mäi lÜnh vùc cña ®êi sèng x· héi mµ nã cßn gãp phÇn quan träng trong ph¸t triÓn chñ thÓ x· héi ®ã lµ con ng­êi.
chÝnh v× vËy m«n to¸n kh«ng thÓ thiÕu ®­îc: “ to¸n häc lµ m«n thÓ thao cña trÝ tuÖ gióp chóng ta nhiÒu trong viÖc rÌn luyÖn ph­¬ng ph¸p häc tËp, ph­¬ng ph¸p gi¶I quyÕt vÊn ®Ò vµ gióp chóng ta rÌn luyÖn trÝ th«ng minh s¸ng t¹o”.
Lµ mét gi¸o viªn d¹y to¸n 7 nhiÒu n¨m c¶ ch­¬ng tr×nh tr×nh cò vµ ch­¬ng tr×nh ®æi míi thay s¸ch. T«i nhËn th¸y ®a phÇn häc sinh líp 7 (kÓ c¶ häc sinh cã n¨ng lùc) tõ viÖ tiÕp thu kiÕn thøc vÒ lý thuyÕt ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc, tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau. ®Ó vËn dông kiÕn thøc ®· häc vµo viÖc gi¶i bµi tËp vµ tØ lÖ thøc häc sinh cßn lóng tóng nhiÒu. Tõ viÖc t×m ra h­íng gi¶i quyÕt ®Õn viÖc thùc hiÖn c¸c b­íc gi¶i, kÓ c¶ nh÷ng bµi t­¬ng ®èi b×nh th­êng ®Õn nh÷ng bµi to¸n khã.
	H¬n n÷a b¶n th©n t«i nhËn thÊy kiÕn thøc vÒ tØ lÖ thøc, tÝnh chÊt d·y tØ sè bµng nhau kh¸ quan träng trong viÖc t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng, c¹nh cña mét tam gi¸c, trong c¸c tam gi¸c ®ång d¹ng (ë líp 8-9)..vv.
	ChÝnh v× vËy sau khi häc xong kiÕn thøc vÒ tØ lÖ thøc, tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau, t«i ®· trùc tiÕp kh¶o s¸t häc sinh líp 7B (líp téi trùc tiÕp gi¶ng d¹y) ra ®Ò bµi mét sè d¹ng to¸n vÒ kiÕn thøc liªn quan ®Õn tû lÖ thøc, tÝnh chÊt d·y tû sè bµng nhau vµ thÊy kÕt qu¶ nh­ sau:
Líp
Sè HS ®­îc kh¶o s¸t
Sè häc sinh gi¶i ®­îc
Sè HS biÕt h­íng nh­ng kh«ng gi¶i ®­îc
Sè HS kh«ng thÓ gi¶i ®­îc
SL
%
SL
%
SL
%
7B
38
2
5.0
8
21.0
28
74.0
§©y lµ mét kÐt qu¶ mµ t«i kh«ng thÓ kh«ng suy nghÜ, tr¨n trë vµ b¨n kho¨n. chÝnh v× thÕ nªn t«i ®· ®is©u vµo nghiªn cøu ®Ò tµi nµy nh»m t×m ra mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ®Ó gióp häc sinh biÕt vËn dông lý thuyÕt vµo viÖc thùc hµnh gi¶I bµi tËp vÒ tû lÖ thøc.
2 - Giíi h¹n ®Ò tµi:
	§Ò tµi bao gåm c¸c d¹ng to¸n liªn quan ®Õn tû lÖ thøc, tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau trong ch­¬ng tr×nh to¸n häc ë líp 7 THCS.
	V× ®iÒu kiÖn vÒ thêi gian còng nh­ tr×nh ®é kiÕn thøc cßn h¹n chÕ nªn t«i chØ ®i vµo mét sè vÊn ®Ò sau:
Lý thuyÕt:
 + §Þnh nghÜa vÒ tû lÖ thøc.
 + TÝnh chÊt cña tû lÖ thøc.
 + TÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau.
 + C¸c kiÕn thøc liªn quan.
C¸c d¹ng to¸n:
a, liÖt kª c¸c tû lÖ thøc tõ c¸c ph©n tö (NÕu cã thÓ).
b, Cho mét tû lÖ thøc, hay suy ra c¸c tû lÖ thøc kh¸c.
c, T×m c¸c sè ch­a biÕt khi cho biÕt tû lÖ thøc hoÆc c¸c ®¼ng thøc.
d, C¸c bµi to¸n thùc tÕ trong ®êi sèng con ng­êi liªn quan ®Õn tû lÖ thøc.
3. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu:
- §äc c¸c tµi liÖu tham kh¶o.
- Häc hái kinh nghiÖm cña c¸c ®ång nghiÖp.
4. Thêi gian nghiªn cøu:
Tõ th¸ng 8 n¨m 2010 ®Õn hÕt th¸ng 1 n¨m 2011.
B. Néi dung:
1. Lý thuyÕt:
1.1- §Þnh nghÜa vÒ tû lÖ thøc:
Tû lÖ thøc lµ mét ®¼ng thøc cña hai tû sè
 hoÆc a : b = c : d.
Trong ®ã c¸c sè: a,b,c,d ®­îc gäi lµ c¸c sè h¹ng cña tû lÖ thøc. C¸c sè a vµ d gäi lµ ngo¹i tû, b vµ c gäi lµ trung tû.
1.2- TÝnh chÊt cña tû lÖ thøc.
+ TÝnh chÊt 1: trong méi tû lÖ thøc, tÝch 2 trung tû th× b»ng 2 ngo¹i tû.
NÕu th× a.d = b.c
+ TÝnh chÊt 2: Nõu tÝch cña 2 thõa sè khac 0 b»ng 1 tÝch cña 2 thõa sè kh¸c 0 th× ta cã thÓ lËp ®­îc 4 tû lÖ thøc:
NÕu cã: a.d = b.c (a,c,d ≠ 0) th× cã:
 ; ; vµ 
1.3- TÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau:
a, = (b ≠ ) 
b, = (C¸c mÉu sè kh¸c 0).
1.4- C¸c kiÕn thøc cã liªn quan.
a, tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè:
NÕu ta nh©n c¶ tö sè vµ mÉu sè víi cïng mét sè kh¸c 0 th× ta ®­îc mét ph©n sè míi b»ng ph©n sè ®· cho. ( b ≠ 0, m ≠ 0).
NÕu ta chia c¶ tö sè vµ mÉu sè víi cïng mét sè kh¸c 0 th× ta ®­îc mét ph©n sè míi b»ng ph©n sè ®· cho. ( b ≠ 0, n ≠ 0).
b, Tæng 3 gãc trong mét tam gi¸c b»ng 1800: + + = 1800
c, Qu·ng ®­êng ®i ®­îc cña chuyÓn ®éng b»ng tÝch cña vËn tèc víi thêi gian ®i hÕt qu·ng ®­êng ®ã: S = V.T
2 - C¸c d¹ng to¸n, c¸ch gi¶i vµ bµi tËp ¸p dông.
2.1 - D¹ng 1: Cho tËp hîp c¸c phÇn tö, h·y liÖt kª tÊt c¶ c¸c tû lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng kh¸c nhau lµ c¸c phÇn tö ®· cho:
a, C¸ch gi¶i: sö dông tÝnh chÊt tû lÖ thøc: NÕu th× a.d = b.c
b, VÝ dô: Cho tËp hîp sè A= . H·y liÖt kª tÊt c¶ c¸c tû lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng kh¸c nhau lµ c¸c phÇn tö cña A.
Gi¶i:
Mét tû lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng kh¸c nhau nÕu: a ≠ b, a ≠ c, d ≠ ab, b ≠ c, 
b ≠ d, c ≠ d, vµ a.d ≠ b.c . XÐt c¸c nhãm 4 phÇn tö cña A, xÕp theo thø tù:
H­ìng dÉn häc sinh xÐt tÝch 2 sè nµy b»ng tÝch 2 sè kia ta cã:
+ Víi nhãm: th× 4 x 32 = 8 x 16 vµ ta cã 4 tØ lÖ thøc nh­ sau:
 ; ; ; .
+ Víi nhãm: th× ta cã: 4 x 64 = 8 x 32, ta cã 4 tØ lÖ thøc sau:
 ; ; ; .
+ Víi nhãm: th× ta cã: 8 x 64 = 16 x 32, ta cã 4 tØ lÖ thøc sau:
 ; ; ; .
Nh­ vËy ta cã 12 tØ lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng kh¸c nhau thuéc tËp hîp A.
Gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn thªm: NÕu trong bµi to¸n nµy ta kh«ng ®ßi hái c¸c sè h¹ng kh¸c nhau th× ngoµi 12 tØ lÖ thøc trªn ta cßn cã c¸c tØ lÖ thøc kh¸c n÷a:
VÝ dô: 
 ; ; ; ; ; ; ; 
c, bµi tËp vËn dông:
* Bµi 1: Cho tËp hîp A= . H·y liÖt kª mäi tØ lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp A.
Víi bµi tËp nµy sè l­îng häc sinh hiÓu vµ n¾m b¾t ®­îc c¸ch gi¶i tõ viÖc vËn dông vÝ dô mµ gi¸o viªn ®· ra cã t¨ng tõ 10 em 15 em trong thêi gian 15 phót ®· lµm xong vµ cã kÕt qu¶ (cã sù gióp ®ì cña m¸y tÝnh bá tói). Sè häc sinh cßn l¹i còng lËp ®­îc mét sè tû lÖ thøc.
Gi¶i: tõ c¸c phÇn tö cña tËp hîp A ta cã c¸c hÖ thøc: 
+ 2 x 3 = 8 x 8 tõ hÖ thøc nµy cã c¸c tû lÖ thøc : vµ .
+ 8 x 128 = 32 x 32. Suy ra c¸c tØ lÖ thøc sau: vµ .
+ 32 x 512 = 128 x 128 ta cã hÖ thøc sau: vµ .
+ 2 x 512 = 32 x 32 ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau: vµ .
+ 2 x 128 = 8 x 32 ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau: 
 vµ .
+ 8 x 512 = 32 x 128 ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau:
 vµ .
+ 2 x 512 = 8 x 128 ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau:
 vµ .
Nh­ vËy tõ c¸c phÇn tö tËp hîp A cã thÓ lËp ®­îc 20 tû lÖ thøc kh¸c nhau.
* Bµi 2: T×m x biÕt:
a, 	b, 
Víi bµi tËp nµy häc sinh muèn t×m gi¸ trÞ cña x ph¶i sö dông tÝnh chÊt 1 cña tû lÖ thøc.
	 x.x = (-15).(-60) x2 = 900 x=.
T­¬ng tù b, Häc sinh t×m ®­îc : x2 = x = .
d, Bµi tËp tù gi¶i:
* cã thÓ lËp ®­îc tye lÖ thøc c¸c sè sau ®©y kh«ng? nÕu lËp ®­îc h·y viÕt tØ lÖ thøc ®ã: 2,2 ; 4,6 ; 3,3 vµ 6,7.
* lËp tÊt c¶ c¸c tØ lÖ thøc cã thÓ ®­îc tõ c¸c ®¼ng thøc sau:
a, 7.(-28) = (-49).4
b, 0,36 x 4,25 = 0,9x 1,7
2.2 - D¹ng 2: cho tØ lÖ thøc, h·y suy ra tØ lÖ thøc kh¸c:
a, VÝ dô: Cho tØ lÖ thøc: ;
h·y chøng minh ta cã tØ lÖ thøc sau:
 ( gi¶ sö a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ 0 )
b, C¸c c¸ch gi¶i:
* C¸ch 1: §Ó chøng minh ta xÐt t­êng tÝch a.(c-d) vµ c.(a-b).
Ta cã: a.(c-d) = ac - ad (1)
 c.(a-b) = ac - cb (2)
Ta l¹i cã: a.d = b.c (3)
Tõ (1), (2), (3) a(c-d) = c(a-b)
Do ®ã: 
* C¸ch 2: Dïng ph­¬ng ph¸p ®Æt
 = K th× a = bK ; c = dK
Ta tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c tû sè: theo K ta cã:
 (1)
 (2)
Tõ (1) vµ (2) .
* C¸ch 3: Ho¸n vÞ c¸c trung tû cña tû lÖ thøc:
 ta ®­îc 
¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau ta ®­îc:
Ho¸n vÞ c¸c trung tû cña ta ®­îc .
* C¸ch 4: tõ 
 .
Tõ 4 c¸ch trªn ta ®i ®Õn nhËn xÐt. §Ó chøng minh tû lÖ thøc th­êng ta dïng 2 ph­¬ng ph¸p chÝnh :
Ph­¬ng ph¸p 1: chøng tá r»ng ad=bc.
Ph­¬ng ph¸p 2: Chøng tá 2 tû sè vµ cã cïng mét gi¸ trÞ.
 NÕu trong ®Ò tµi ®· cho tr­íc mét tû lÖ thøc kh¸c th× ta ®Æt c¸c gi¸ trÞ cña méi tû sè ë tû lÖ thøc ®· cho b»ng K, råi tÝnh gi¸ trÞ cña mçi tû sè ë tû lÖ thøc ph¶i chøng minh theo K (c¸ch 2). Còng cã thÓ ta dïng c¸c tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc nh­ng ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau. TÝnh chÊt cña ®¼ng thøc ®Ó biÕn ®æi tû lÖ thøc ®· cho ®Õn tû lÖ thøc ph¶i chøng minh (c¸ch 3 vµ 4).
c, Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: cho tû lÖ thøc sau 
H·y chøng minh r»ng c¸c tû lÖ thøc sau ®©y (gi¶ thiÕt c¸c tû lÖ thøc ®Òu cã nghÜa). 
a, 
b, 
c, .
Tõ 4 c¸ch gi¶i ë vÝ dô mµ gi¸o viªn ®· ra, Häc sinh cã thÓ gi¶i theo mét c¸ch, Gi¸o viªn nhÊn m¹nh gi¶i theo c¸ch 2 vµ h­ìng dÉn häc sinh cïng thùc hiÖn.
Gi¶i:
§Æt = K th× a = bK vµ c = dK
a, (1).
 (2).
Tõ (1) vµ (2) 
C©u: (b, c) häc sinh tù gi¶i.
d, bµi tËp tù gi¶i:
* Bµi 1: cho a, b, c, d ≠ 0 Tõ tû lÖ thøc 
 h·y suy ra tØ lÖ thøc 
* bµi 2: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc: 
.
* Bµi 3: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc:
 HÖ thøc a2 = bc.
2.3 - D¹ng III: T×m c¸c sè ch­a biÕt khi biÕt c¸c tû lÖ thøc
a, C¸ch gi¶i:
* ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau.
* VËn dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè.
* §Æt tû lÖ thøc ®· cho b»ng K. t×m mèi quan hÖ cña Èn sè qua K.
b, VÝ dô:
+ VÝ dô 1:
T×m 2 sè x, y biÕt: vµ x + y = 21
BiÕt: 7x = 3y vµ x – y = 16
Gi¶i:
Tõ ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ta cã:
 Do ®ã: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6.
Tõ 7x = 3y 
 x = ; y = .
VÝ dô 2: 
T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng vµ 2x + 3y – z = 186
Víi bµi nµy gi¸o viªn cho häc sinh nhËn thÊy vµ ph¶i ®­a vÒ c¸c ph©n sè
( hoÆc tØ sè) cã cïng chung mÉu sè lµ 20.
VËy: hay (1)
T­¬ng tù: (2)
Gi¶i:
Tõ gi¶i thiÕt: ; 
Theo tÝnh chÊt b»ng nhau cña tØ lÖ thøc:
c, Bµi tËp vËn dông:
T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng:
Gi¶i:
¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau ta cã:
=
= v× ( x + y + y ≠ 0 ).
Do ®ã: x + y + z = 0,5 x + y = 0,5 – z. T­¬ng tù t×m x + z vµ y + z; thay kÕt qu¶ nµy vµo ®Ò bµi ta ®­îc:
.
Tøc lµ: 
VËy: .
d, Bµi tËp tù gi¶i:
Bµi 1: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng:
a, vµ a + 2b - 3c = -20.
b, vµ a – b + c = -49.
c, vµ .
Bµi 2: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng:
a, vµ 5x + y - 2z = 28.
b, 3x = 2y ; 7y = 5z vµ x – y + z = 32.
c, vµ 2x – 3y + z = 6.
d, vµ x + y +z = 49.
e, vµ 2x + 3y – z = 50.
g, vµ xyz = 810.
2.4 - D¹ng IV:
Bµi tËp vËn dông tû lÖ thøc vµo thùc tiÔn, ®êi sèng con ng­êi, vµo h×nh häc .
a, VÝ dô 1: T×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt r»ng sè ®o c¸c gãc nµy tû lÖ víi 2, 3, 4.
Gi¶i:
Sè ®o c¸c gãc cña rABC lµ ; ; . Gi¶ sö theo thø tù nµy, c¸c gãc ®ã tØ lÖ víi 2, 3 vµ 4 nghÜa lµ : : = 2 : 3 : 4 hay 
Do ®ã: ; ; 
b, VÝ dô 2: 
Mét ng­êi ®i A B ®· tÝnh r»ng nÕu ®i víi vËn tèc lµ 6km/h th× tõ B lóc 11h45’. V× r»ng ng­êi ®ã chØ ®i ®­îc qu·ng ®­êng víi vËn tèc ®Þnh tr­íc vµ qu·ng ®­êng cßn l¹i chØ ®i víi vËn tèc 4,5km/h nªn ddÐn B lóc 12h. Hái ng­êi ®i bé khëi hµnh lóc mÊy giê vµ qu·ng ®­êng AB dµi bao nhiªu km ?
Gi¶i:
Gäi AC lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 6km/h. CB lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 4,5km/h. theo ®Ò bµi ta cã:
 A B
CB = AB, Gi¶i sö ®Ó ®i qu·ng ®­êng CB víi vËn tèc 6km/h cÇn thêi gianlµ giêi. Cßn ®i víi vËn tèc 4,5km/h víi thêi gian giê. Ta cã:
 - = 12h – 11h45 = (h) vµ 6 = 4,5
 Tõ ®ã = 1h; = 
Qu·ng ®­êng Ab lµ : 4,5 . 5 = 22,5km
Qu·ng ®­êng Cb lµ : = 4,5km
Thêi gian ®Ó ®i bé tõ A B lµ 4 + = 3h + 1h = 4h
Thêi gian khëi hµnh ®Ó ®i bé lµ 12 - 4 = 8h.
c, Bµi tËp tù gi¶i:
* Bµi 1: Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 2 000®; 5 000® vµ 10 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu nh­ nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê ?
* Bµi 2: Trªn mét c«ng tr­êng x©y dùng cã 3 ®éi coong nh©n lµm viÖc. BiÕt r»ng sè c«ng nh©n ®éi I b»ng sè c«ng nh©n ®éi II b»ng sè c«ng nh©n ®éi III. BiÕt r»ng sè c«ng nh©n ®éi I Ýt h¬n tæng sè c«ng nh©n cña ®éi I vµ ®éi II lµ 18 ng­êi. TÝnh sè c«ng nh©n cña mçi ®«i.
B. KÕt luËn
Víi sù nç lùc kh«ng ngõng cña c¶ gi¸o viªn vµ häc sinh. C« trß t«i ®· thu ®­îc nh÷ng kÕt qu¶ ®¸ng mõng.
§iÒu tr­íc tiªn t«i thÊy ®­îc lµ häc sinh h¨ng say häc tËp trong c¸c giê lªn líp còng nh­ c¸c giê «n luyÖn häc sinh kh¸, giái. Víi häc sinh líp 7B mµ t«i gi¶ng d¹y. c¸c d¹ng bµi to¸n liªn quan ®Õn tû lÖ thøc kh«ng cßn lµ vÊn ®Ò ®¸ng ng¹i n÷a. 
Víi ®Ò tµi nµy tr­íc hÕt t«i ®· ra phÇn lý thuyÕt ë mçi phÇn cã kÌm theo vÝ dô mµ t«I cho lµ ®iÓn h×nh. C¬ b¶n nh»m gióp c¸c em còng cè vµ n¾m v÷ng h¬n vÒ lý thuyÕt. Sau khi c¸c em ®· n¾m v÷ng lý thuyÕt th× t«i ®· ra phÇn bµi tËp vËn dông lý thuyÕt vµ nh÷ng hiÓu biÕt ®· häc ®Ó lµm.
MÆc dï trong qu¸ tr×nh lµm bµi tËp mét sè em cßn v­íng m¾c nh­ng víi sù gîi ý cña t«i hÇu hÕt c¸c em ®Òu t×m ra h­íng gi¶i quyÕt vµ lµm ®­îc hÕt bµi tËp mµ t«i ®· ra. Trong ®ã mét sè em cã tiÕn bé râ rÖt. Ngoµi bµi to¸n trªn c¸c em cßn cã s­u tÇm thªm c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn tû lÖ thøc ë c¸c s¸ch n©ng cao ®Ó lµm.
Sù tiÕn bé vµ sù ®am mª cña c¸c em lu«n lµ nguån søc m¹nh tiÕp thªm cho t«i trong c«ng t¸c gi¶ng d¹y vµ nghiªn cøu cña m×nh. Nh÷ng thµnh tùu mµ c« trß t«i ®¹t ®­îc lµm t«i liªn t­ëng ®Õn lêi b¸c d¹y “ Kh«ng cã viÖc g× khã, chØ sî lßng kh«ng bÒn, ®µo nói vµ lÊp biÓn quyÕt trÝ ¾t lµm nªn”.
§Ó mét lµn n÷a kh¼ng ®Þnh l¹i kÕt qu¶ mµ c« trß t«i ®· ®¹t ®­îc vµ khÐp l¹i phÇn tû lÖ th­c. còng lµ lóc kÕt thóc cña ®Ò tµi. T«i ®· tiÕn hµnh kh¶o s¸t l¹i vµ kÕt qu¶ thËt ®¸ng mõng nh­ sau: 
Líp
Sè HS ®­îc kh¶o s¸t
Sè häc sinh gi¶i ®­îc
Sè HS biÕt h­íng nh­ng kh«ng gi¶i ®­îc
Sè HS kh«ng thÓ gi¶i ®­îc
SL
%
SL
%
SL
%
7B
38
28
8
2
KÕt qu¶ trªn lµ sù cè g¾ng kh«ng ngõng cña c¶ c« lÉn trß chóng t«i. Víi nh÷ng kiÕn thøc mµ c¸c em ®· thu ®­îc cïng víi sù nç lùc v­¬n lªn cña c¸c em.
T«I hy väng r»ng kh¶ n¨ng häc to¸n n¾m vøng trÝ thøc sau mçi phÇn, mçi lÜnh vùc kiÕn thøc sù ham mª häc to¸n cña c¸c em ngµy mét t¨ng lªn.
Do ®iÒu kiÖn vÒ thêi gian vµ tr×nh ®é cã h¹n cña t«i nªn ®Ò tµi kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt.
VËy t«i rÊt mong c¸c ®ång nghiÖp vµ héi ®ång thÈm ®Þnh c¸c cÊp gãp ý kiÕn ch©n t×nh ®Ó ®Ò tµi cña t«i ®­îc hoµn thiÖn h¬n.
T«i ch©n thµnh xin c¶m ¬n !
 Ngµy 30 th¸ng 1 n¨m 2011
	 Ng­êi thùc hiÖn: Lª ThÞ Kim Anh