Sáng kiến kinh nghiệm Dạy và học chương Số phức theo hình thức thi trắc nghiệm khách quan

m, người ta quy ước 2 1i   . Với việc quy ước 
này đã cho ta một tập hợp số mới đó là tập số phức và được kí hiệu là C. 
 ●Số phức z a bi  có phần thực là a, phần ảo là b 2( , ; 1).a b R i   
 ● .
a c
a bi c di
b d

    

 ●Số phức z a bi  được biểu diễn bởi điểm  ;M a b trên mặt phẳng tọa độ. 
 ●Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức z, tức là: 2 2 .z OM a b   
 ●Số phức liên hợp của z a bi  là .z a bi  
 ● Các phép toán trên tập số phức: 
+ Phép cộng:         .a bi c di a c b d i       
+ Phép trừ:         .a bi c di a c b d i       
+ Phép nhân:        .a bi c di ac bd ad bc i      
+ Phép chia: 
  
2 2
.
a bi c dia bi
c di c d
 

 
 ●Các căn bậc hai của số thực 0a  là .i a 
 ●Xét phương trình bậc hai 2 0ax bx c   với , , ; 0.a b c R a  Đặt 
2 4 .b ac   
 + Nếu 0  thì phương trình có một nghiệm kép (thực) .
2
b
x
a
  
 + Nếu 0  thì phương trình có hai nghiệm thực 1,2 .
2
b
x
a
  
 
 + Nếu 0  thì phương trình có hai nghiệm phức 1,2 .
2
b i
x
a
  
 
2.2 . Cơ sở thực tiễn 
- Theo Quy chế Thi trung học phổ thông quốc gia và xét công nhận tốt 
nghiệp trung học phổ thông (Ban hành kèm theo Thông tư số 04/2017/TT-BGDĐT 
ngày 25 tháng 01 năm 2017 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) thì năm 2017 
4 
môn Toán thi với hình thức trắc nghiệm khách quan với 50 câu hỏi thời gian làm 
bài 90 phút nội dung chủ yếu ở chương trình lớp 12. 
- Với lượng câu hỏi và thời gian làm bài như trên đòi hỏi học sinh phải nắm 
thật vững lý thuyết và vận dụng thành thạo kiến thức, phương pháp, kĩ năng vào 
giải bài tập với thời gian ngắn nhất có thể. Để làm được điều đó đòi hỏi các em phải 
thật sự cố gắng, chăm chỉ làm bài tập về nhà cũng như tự học qua sách, bạn bè, 
mạng internet, 
- Chương Số phức thuộc chương thứ tư của chương trình Giải tích 12. Kiến 
thức mới và ít liên quan đến những kiến thức cũ hơn so với các chương khác trong 
chương trình đồng thời lượng kiến thức tương đối ít và dễ nên các em sẽ dễ dàng 
đạt được trọn điểm số ở chương này. Đồng thời với hình thức thi trắc nghiệm với sự 
hỗ trợ của MTCT việc tính toán sẽ nhanh và chính xác. Vì hầu hết các phép toán ở 
chương Số phức đều thực hiện được trên MTCT. Tuy nhiên, ở một số dạng bài tập 
đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản và vận dụng chúng mới giải 
quyết được yêu cầu bài toán. 
- Vì vậy khi dạy chương này, trước tiên tôi cung cấp các kiến thức cơ bản và 
cho bài tập dưới hình thức tự luận để các em vận dụng thành thạo các phép toán trên 
tập số phức. Đến phần ôn chương, tôi mới bổ sung bài tập trắc nghiệm và hướng 
dẫn các em sử dụng MTCT. Vì nếu chỉ các em sử dụng máy tính trước thì các em sẽ 
không học lý thuyết và sẽ không giải quyết được các bài toán vận dụng. Để giúp các 
em nhận ra điều này thì phần bài tập trắc nghiệm nên đưa nhiều dạng toán vận dụng 
cho các em làm. 
 2.3. Một số dạng bài tập và cách giải 
 2.3.1 Tìm các số thực x, y thỏa yêu cầu đề bài: Đối với dạng này yêu cầu 
học sinh phải xác định được phần thực, phần ảo của số phức, vận dụng định nghĩa 
hai số phức bằng nhau. Đồng thời kết hợp máy tính cầm tay. 
 ●Ví dụ 1: Tìm các số thực x, y biết:    2 1 1 2 2 3 2 .x y i x y i       
A. 
1 3
; .
3 5
x y  B. 1; 1.x y  C. 3; 1.x y   D. 
1 3
; .
3 5
x y   
 Giải 
5 
 Ta có: 
1
2 1 2 3
.
1 2 3 2 3
5
x
x x
y y
y
 
    
 
    
 
 Chọn đáp án A. 
Nhận xét: Giáo viên cần cho học sinh nhận dạng phương trình thu được có 
bao nhiêu ẩn. Đối với bài toán trên để giải pt 2 1 2x x   không cần thu gọn mà 
nhập pt vào máy và bấm SHIFT CALC “=”, nếu muốn kết quả ở dạng phân số 
phấm “=” và “sd”. Tương tự cho pt 1 2 3 2y y   , tuy nhiên ta không nhập biến 
y mà nhập biến x, chú ý kết quả đổi x thành y. 
●Ví dụ 2: Tìm các số thực x, y biết:    4 3 3 2 1 3 .x y i y x i       
A. 
7 6
; .
11 11
x y  B. 
17 24
; .
11 11
x y   C. 1; 2.x y    D. 
7 6
; .
11 11
x y    
Giải 
Ta có: 
7
4 3 1 4 2 11
.
3 2 3 3 1 6
11
x
x y x y
y x x y
y

        
   
          

Chọn đáp án D. 
Nhận xét: Cả hai phương trình thu được là phương trình bậc nhất hai ẩn, để 
giải hệ trên ta thu gọn đưa về đúng dạng 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
 

 
rồi sử dụng máy tính bấm 
MODE51 rồi nhập các hệ số vào sau đó bấm “=” máy hiện nghiệm của hpt. 
2.3.2 Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức 
thỏa yêu cầu đề bài: Đối với dạng này yêu cầu học sinh ôn lại dạng của phương 
trình đường tròn, cách tìm tâm, bán kính của đường tròn, dạng của phương trình 
đường thẳng, pt đường elip, Kết hợp với các kiến thức về số phức như phần thực, 
phần ảo, môđun, số phức liên hợp. 
●Ví dụ 1: Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa 
mãn điều kiện phần thực của z bằng phần ảo của nó là: 
A. đường tròn tâm O, bán kính 1. 
B. hình tròn tâm O, bán kính 1. 
C. đường thẳng có phương trình .y x 
D. đường thẳng có phương trình .y x  
6 
Giải 
Giả sử  2, ; 1 .z x yi x y R i     
Vì phần thực của z bằng phần ảo của nó nên ta có pt x y . 
Kết luận: Tập hợp điểm thoả yêu cầu đề bài là đường phân giác của góc phần 
tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba. 
Chọn đáp án C. 
Nhận xét: Học sinh phải nhớ phương trình đường phân giác của mặt phẳng 
tọa độ Oxy. 
●Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa 
mãn điều kiện: 2z i z   là: 
A. đường tròn tâm  2;1I  , bán kính 2 . 
B. hình tròn tâm  2; 1I  , bán kính 2 . 
C. đường thẳng có phương trình 4 2 3 0.x y   
D. đường thẳng có phương trình 4 2 3 0.x y   
Giải 
Giả sử  2, ; 1 .z x yi x y R i     
Ta có: 2 2z i z x yi i x yi         
      
2 22 21 ( 2) 1 2x y i x yi x y x y            
 4 2 3 0.x y    
Kết luận: Tập hợp điểm thoả yêu cầu đề bài là đường thẳng có pt 
4 2 3 0.x y   
Chọn đáp án C. 
 Nhận xét: Học sinh phải có kĩ năng khai triển hằng đẳng thức, thu gọn pt. 
 ●Ví dụ 3: Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức 
thỏa mãn điều kiện 1.z i  
A. Đường tròn tâm  0; 1I  , bán kính 1. 
B. Hình tròn tâm  0;1I , bán kính 1. 
C. Đường thẳng có phương trình 0.x y  
D. Đường thẳng có phương trình 2 0.x y   
7 
 Giải 
Giả sử  2, ; 1 .z x yi x y R i     
Ta có: 1 1z i x yi i      
    
221 1 1 1x y i x y        
  
22 1 1.x y    
Kết luận: Tập hợp điểm thoả yêu cầu đề bài là hình tròn tâm  0;1I và bán 
kính 1.R  
Chọn đáp án B. 
2.3.3 Tìm số phức z thỏa yêu cầu đề bài: Đối với dạng này yêu cầu học 
sinh nắm vững các kiến thức về phần thực, phần ảo, môđun của số phức. 
●Ví dụ 1: Tìm số phức z biết 5z  và phần thực của z bằng hai lần phần ảo 
của nó. 
A. 2 5 5 2 5 5 .z i z i      B. 
10 3 5 3 10 3 5 3
.
3 3 3 3
z i z i      
C. 2 2 .z i z i      D. 5 2 5 5 2 5 .z i z i      
 Giải 
Giả sử  2, ; 1 .z x yi x y R i     
Ta có: 
 
2 22 25 2 255
2 22
x yi y yx y
x y x yx y
       
   
   
2 5 2 5
.
5 5
x x
y y
    
  
    
Trả lời: Có hai số phức cần tìm là 
2 5 5
.
2 5 5
z i
z i
  

  
Chọn đáp án A. 
Nhận xét: Học sinh phải đọc hiểu đề biết chuyển từ diễn đạt bằng lời sang kí 
hiệu Toán học, có kĩ năng giải hệ pt bằng phương pháp thế, kết hợp sử dụng MTCT. 
 ●Ví dụ 2: Tìm số phức z biết (2 ) 10z i   và z. 5.z  
A. 1 2 1 2 .z i z i      B. 1 2 1 2 .z i z i      
C. 2 2 .z i z i      D. 2 2 .z i z i      
8 
Giải 
Giả sử  2, ; 1 .z x yi x y R i     
Ta có: 
     
2 2
2 10 2 10
5. 5
z i x yi i
x yz z
        
 
  
       
2 2
2 2 2 2
2 1 10 2 1 10
5 5
x y i x y
x y x y
         
  
    
2 2 1 15
.
2 22
x xx y
y yy x
      
    
    
Trả lời: Có hai số phức cần tìm là 
1 2
.
1 2
z i
z i
 
   
Chọn đáp án B. 
Nhận xét: Học sinh phải có kĩ năng giải hệ pt bằng phương pháp thế, kết 
hợp sử dụng máy tính cầm tay. 
●Ví dụ 3: Tìm số phức z biết 2 2z  và 2z là số thuần ảo. 
A. 2 2 2 2 .z i z i      B. 2 2 2 2 .z i z i      
C. 2 2 2 2 .z i z i     D. 2 2 2 2 2 2 2 2 .z i z i z i z i             
Giải 
Giả sử  2, ; 1 .z x yi x y R i     
Ta có:    22 2 2 2 .z x yi x y xyi     
Vì 2z là số thuần ảo nên 2 2 0.x y  
Ta có: 
2 22 2
2 22 2 2 2
82 2 2 2
00 0
x yx yi x y
x yx y x y
       
   
       
2 2 2 2
.
2 2 2 2
x x x x
y y y y
       
      
       
Trả lời: Có bốn số phức cần tìm là: 1 2 3 42 2 ; 2 2 ; 2 2 ; 2 2 .z i z i z i z i        
Chọn đáp án D. 
Nhận xét: Học sinh phải biết khái niệm số thuần ảo. 
2.3.4 Tính giá trị của biểu thức: Đối với dạng này yêu cầu học sinh biết sử 
dụng máy tính cầm tay cùng với các kiến thức về phần thực, phần ảo, số phức liên 
hợp. 
9 
●Ví dụ 1: Cho số phức  3 1z i i  . Số phức liên hợp của z là: 
A. 3z i  B. 3z i   C. 3z i  D. 3z i   
Giải 
  3 1 3 3 .z i i i z i         
Chọn đáp án D. 
●Ví dụ 2: Cho hai số phức 1 1z i  và 2 2 3z i  . Tính môđun của số 
phức 1 2z z ? 
A. 1 2 13z z  B. 1 2 5z z  C. 1 2 1z z  D. 1 2 5z z  
Giải 
   1 2 1 2 3 13.z z i i      
Chọn đáp án A. 
●Ví dụ 3: Cho số phức z biết: 
5 4
4 3
3 6
i
z i
i

  

 phần thực và phần ảo của z 
là : 
A. 
73
15
 và 
17
.
5
i B. 
73
15
 và 
17
.
5
 C. 
17
5
 và 
73
.
15
i D. 
17
5
 và 
73
.
15
Giải 
5 4 73 17
4 3 .
3 6 15 5
i
z i i
i

    

Chọn đáp án B. 
 ●Ví dụ 4: Biểu diễn về dạng z a bi  của số phức 
 
2017
2
1 2
i
z
i


là số phức 
nào? 
A. 
4 3
.
25 25
i B. 
4 3
.
25 25
i  C. 
3 4
.
25 25
i D. 
4 3
.
25 25
i 
Giải 
 
2017
2
4 3
.
25 251 2
i
z i
i
  

Chọn đáp án D. 
●Ví dụ 5: Số phức nào sau đây là số thực? 
A. 
1 2 1 2
.
3 4 3 4
i i
z
i i
 
 
 
 B. 
1 2 1 2
.
3 4 3 4
i i
z
i i
 
 
 
10 
C. 
1 2 1 2
.
3 4 3 4
i i
z
i i
 
 
 
 D. 
1 2 1 2
.
3 4 3 4
i i
z
i i
 
 
 
Giải 
1 2 1 2 6 8
3 4 3 4 25 25
i i
z i
i i
 
    
 
A sai. 
1 2 1 2 2
3 4 3 4 5
i i
z
i i
 
    
 
B đúng. 
1 2 1 2 4
3 4 3 4 25
i i
z i
i i
 
    
 
C sai. 
1 2 1 2 4
3 4 3 4 5
i i
z i
i i
 
   
 
D sai. 
Chọn đáp án B. 
 ●Ví dụ 6: Tìm số phức z, biết  
2
2 3 .z i  
A. 7 6 2 .z i  B. 7 6 2 .z i  C. 7 6 2 .z i   D. 6 2 .z i  
Giải 
 
2
2 3 7 6 2 7 6 2 .z i i z i         
Chọn đáp án C. 
Nhận xét: Học sinh phải sử dụng thành thạo MTCT kết hợp với các kiến 
thức về số phức như phần thực, phần ảo, số phức liên hợp. 
Chế độ số phức: MODE2, nhập cả biểu thức vào máy và bấm “=”, máy cho 
kết quả của z rất nhanh và chính xác. 
Tìm môđun của số phức bấm SHIFT hyb rồi nhập biểu thức vào và bấm 
“=”. 
2.3.5 Giải phương trình trên tập số phức: 
2.3.5.1 Phương trình bậc nhất chứa một biến z hoặc z : Giải tương tự như 
giải pt bậc nhất trong tập số thực. 
●Ví dụ 1:Trên tập số phức, nghiệm z của phương trình:  4 5i z 2 i   là: 
A. 2 6 .z i   B. 
3 14
z i
41 41
  . C. 2 4 .z i   D. 
3 14
z i
41 41
   . 
Giải 
 
2 i 3 14
4 5i z 2 i z i
4 5i 41 41

      

. 
Chọn đáp án B. 
11 
Nhận xét: Máy tính ở chế độ MODE 2 ta không bấm SHIFT CALC được. 
●Ví dụ 2: Trên tập số phức, nghiệm cuả phương trình:   
2
3 2i z i 3i   là: 
A. 
36 15
.
169 169
z i   B. 
15 36
.
169 169
z i  
C. 5 14 .z i   D. 
36 154
.
169 169
z i   
Giải 
   
 
2
2
3i
3 2i z i 3i z i
3 2i
     

36 15
169 169
z i i     
36 15 36 154
.
169 169 169 169
z i i i        
Chọn đáp án D. 
●Ví dụ 3:Trên tập số phức, nghiệm của phương trình: 
3 5i
2 4i
z

  là: 
A. 
7 11
z i
10 10
   . B. 
7 11
z i
17 17
   . C. 1 9 .z i   D. 1 .z i   
Giải 
3 5i 3 5i 7 11
2 4i z i
z 2 4i 10 10
 
      

. 
Chọn đáp án A. 
●Ví dụ 4: Trên tập số phức, nghiệm của phương trình: 
   5 2 2 4 3i z i z i      là: 
A. 
2 8
z i
17 17
  . B. 
6 8
.
5 5
z i   C. 
22 32
z i
29 29
  . D. 
6 2
.
5 5
z i   
Giải 
       5 2 2 4 3 5 2 4 3 2i z i z i i z z i i              
  1 2 2 4i z i    
2 4 6 8
.
1 2 5 5
i
z i
i

    

Chọn đáp án B. 
12 
Nhận xét: Đối với pt chứa nhiều ẩn z, ta chuyển z về một vế, số về một vế 
rồi đặt z làm nhân tử chung. 
●Ví dụ 5: Trên tập số phức, nghiệm z của phương trình:   32 1 2i z i i    là: 
A. 1z i  B. 
1 3
.
5 5
z i  C. 1z i  D. 
1 3
.
5 5
z i  
 Giải 
   3 32 1 2 2 1 2i z i i i z i i         
  2 1 3i z i    
1 3
1
2
i
z i
i

   

 1 .z i   
Chọn đáp án C. 
Nhận xét: Đối với pt chứa ẩn z giải tương tự như giải pt chứa ẩn z, tuy 
nhiên chú ý khi tìm được z thì suy ra z. 
2.3.5.2 Phương trình bậc nhất chứa cả z và z : Ta thay ,z x yi z x yi    
vào pt, biến đổi để sử dụng được tính chất hai số phức bằng nhau để tìm x, y. 
●Ví dụ 6: Trên tập số phức, nghiệm z của phương trình: 
   1 3 1 2 2 9 0i z i z i      là: 
A. 3 3 .z i  B. 1 2 .z i   C. 2 .z i  D. 1 2 .z i  
Giải 
Giả sử  2, ; 1 .z x yi x y R i z x yi        
Ta có:      1 3 1 2 2 9i x yi i x yi i        
  5 2 2 9y x y i i      
2 1
.
5 2 9 2
y x
x y y
    
  
   
Vậy 1 2 .z i  
Chọn đáp án D. 
2.3.5.3 Phương trình bậc hai với hệ số thực: Sử dụng MTCT cùng với các 
kiến thức về phần thực, phần ảo, số phức liên hợp. 
 ●Ví dụ 1: Trên tập số phức, nghiệm của phương trình: 2 7 0z z   là: 
13 
A. 
1 3 3
2 2
.
1 3 3
2 2
z i
z i

  


  

 B. 
1 3 3
2 2
.
1 3 3
2 2
z i
z i

 


 

C. 
1 3
2 2
.
1 3
2 2
z i
z i

  


  

 D. 
1 3
2 2
.
1 3
2 2
z i
z i

 


 

Giải 
2
1 3 3
2 2
7 0 .
1 3 3
2 2
z i
z z
z i

  
   

  

Chọn đáp án A. 
Nhận xét: Vì đề thi là trắc nghiệm nên ta sử dụng MTCT để cho kết quả là 
nghiệm của pt. Cách bấm: MODE53, nhập các hệ số của pt và bấm “=”. 
●Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình: 
2 4 5 0.z z   Tính 
1 2 .z z 
A. 
1 2 0.z z  B. 1 2 2.z z  C. 1 2 5.z z  D. 1 2 2 2.z z  
Giải 
12
2
2
4 5 0
2
z i
z z
z i
 
    
 
   1 2 2 2 2.z z i i       
Chọn đáp án B. 
●Ví dụ 3: Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn 2 3 5 0.z z   Tìm mô 
đun của số phức: 2 3 14 .w z i   
A. 14 11.w   B. 5.w  C. 14 11.w   D. 14.w  
Giải 
 2
3 11
3 5 0
2 2
z z z i      
3 11
2 3 14 2 3 14 14 11.
2 2
w z i i i
 
          
 
14 
Chọn đáp án C. 
 ●Ví dụ 4: Kí hiệu 
0z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 
24 16 17 0.z z   Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào biểu diễn số phức 
0 ?w iz 
A. 
1
;2 .
2
M
 
 
 
 B. 
1
;2 .
2
M
 
 
 
 C. 
1
2; .
2
M
 
 
 
 D. 
1
2; .
2
M
 
 
 
Giải 
2
0
1
4 16 17 0 2
2
z z z i      
0
1 1
2 2 .
2 2
w iz i i i
 
      
 
Vậy điểm biểu diễn số phức w là điểm 
1
;2 .
2
M
 
 
 
Chọn đáp án B. 
●Ví dụ 5: Gọi 
1z và 2z là các nghiệm của phương trình
2 3 5 0.z z   Gọi M, 
N là các điểm biểu diễn của 
1z và 2z trên mặt phẳng phức. Tìm độ dài của đoạn 
MN. 
A. 5.MN  B. 5.MN  C. 3.MN  D. 11.MN  
Giải 
1
2
2
3 11 3 11
;
2 2 2 2
3 5 0
3 11 3 11
;
2 2 2 2
z i M
z z
z i N
  
     
  
    
       
 
 0; 11 11.MN MN    
Chọn đáp án D. 
Nhận xét: Yêu cầu học sinh sử dụng thành thạo MTCT, tìm môđun của số 
phức bấm SHIFT hyb rồi nhập biểu thức vào và bấm “=”. Chú ý giả thiết số phức z 
có phần ảo âm hoặc 0z là nghiệm phức có phần ảo dương để tìm z hoặc 0z cho 
đúng. 
●Ví dụ 6: Tìm b, c sao cho phương trình: 2 0z bz c   có một nghiệm là 
1 1 3 .z i  
A. 2b   và 10.c  B. 5b   và 2.c  
15 
C. 10b  và 5.c  D. 2b  và 5.c   
Giải 
 Vì 
1 1 3z i  là một nghiệm của phương trình 
2 0z bz c   nên ta có: 
   
2
1 3 1 3 0i b i c     
 8 6 3 0i b bi c      
   3 8 6b c bi i     
8 2
3 6 10
b c b
b c
    
  
  
Chọn đáp án A. 
 Nhận xét: Nếu phần trắc nghiệm có 4 kết quả b, c thì ngoài cách làm trên ta 
có thể thế b, c ở từng đáp án vào pt 2 0z bz c   rồi bấm MODE53 để tìm nghiệm, 
đáp án nào cho pt có nghiệm 
1 1 3z i  là đáp án đúng. 
 ●Ví dụ 7: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là 1 2z i  và 1 2.z i  
A. 2 2 3 0.z z   B. 2 2 3 0.z z   C. 2 3 0.z z   D. 2 3 0.z z   
Giải 
 Ta có: 
  
1 2 1 2 2
1 2 1 2 3
i i
i i
    

  
 Suy ra 1 2i và 1 2i là hai nghiệm của pt: 2 2 3 0.z z   
Chọn đáp án B. 
Nhận xét: Học sinh cần nắm hệ quả của định lí Vi-et. Ngoài ra, ta có thể sử 
dụng MTCT lần lượt kiểm tra nghiệm của các pt ở 4 đáp án, pt nào có 2 nghiệm là 
1 2z i  và 1 2z i  thì chọn. 
2.3.5.4 Phương trình bậc ba với hệ số thực: Dùng MTCT để tìm các 
nghiệm của pt. 
●Ví dụ 1: Trên tập số phức, nghiệm của phương trình: 3 8 0z   là: 
A. 2.z   B. 2.z  
C. 2 2 .z i z i    D. 2 1 3 1 3 .z z i z i          
Giải 
16 
3
2
8 0 1 3
1 3
z
z z i
z i
 

     

  
Chọn đáp án D. 
Nhận xét: Vì đề thi là trắc nghiệm nên ta sử dụng MTCT để cho kết quả là 
nghiệm của pt. Cách bấm: MODE54, nhập các hệ số của pt và bấm “=”. 
●Ví dụ 2: Biết 
1 1 2z i   là nghiệm phức của pt 
3 2 5 0.az az bz    Tìm 
các nghiệm còn lại. 
A. 
2 1z   và 3 1 2 .z i   B. 2 2z  và 3 1 2 .z i  
C. 
2 2z   và 3 1 2 .z i   D. 2 1z  và 3 1 2 .z i   
Giải 
Vì 
1 1 2z i   là một nghiệm của phương trình 
3 2 5 0az az bz    nên ta có: 
     
3 2
1 2 1 2 1 2 5 0a i a i b i          
     11 2 3 4 1 2 5 0a i a i b i          
   8 6 1 2 5a i b i      
 8 6 2 5a b a b i      
8 5 1
6 2 0 3
a b a
a b b
   
  
    
3 2: 3 5 0.pt z z z     
Vậy các nghiệm còn lại là: 1 và 1 2 .i  
Chọn đáp án A. 
2.3.5.5 Phương trình trùng phương với hệ số thực: Đặt ẩn phụ t đưa pt đã 
cho về pt bậc hai ẩn t, bấm máy tìm nghiệm t rồi tìm z. 
●Ví dụ: Ký hiệu 1 2 3 4, , ,z z z z là bốn nghiệm của phương trình: 
4 2 12 0z z   . 
Tính tổng: 1 2 3 4 .T z z z z    
A. 4.T  B. 2 3.T  C. 4 2 3.T   D. 2 2 3.T   
Giải 
 Đặt 2t z , ta được pt: 2 12 0t t   
2
2
4 4
3 3
t z
t z
  
       
17 
1
2
3
4
2
2
3
3
z
z
z i
z i

  


 

  
 Vậy 2 2 3 3 4 2 3.T i i        
Chọn đáp án C. 
Nhận xét: Chú ý trong tập số phức khi đặt ẩn phụ đối với pt trùng phương 
thì không đặt điều kiện cho ẩn phụ. 
2.4 Kết quả: 
Với những phương pháp trên, tôi đã áp dụng để dạy lớp 12C1 trường THPT 
Ngã Năm. Đối với lớp này mặc dù các em học theo chương trình cơ bản nhưng đa 
số các em có học lực từ khá trở lên và đều có nguyện vọng thi đại học ở ban tự 
nhiên. Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy đa số các em hiểu và vận dụng tốt khi làm 
bài tập trên lớp cũng như làm tốt bài kiểm tra cuối chương. Khi kiểm tra tôi ra 2 đề 
khác nhau ở mức độ tương đương gọi là 2 đề gốc ( phụ lục 1) và từ 2 đề gốc đó mỗi 
đề trộn thành 4 mã đề. Sau đây là kết quả thống kê điểm số