Sáng kiến kinh nghiệm Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

c, phù hợp với yêu cầu bài 
toán. 
 2.2.5. Ôn tập các kiến thức cơ bản: 
 Như tôi đã nói ở phần trên (soạn tài liệu để dạy), để bồi dưỡng nâng cao kiến 
thức cho các em, điều trước tiên tôi cho rằng: Các em phải nắm được những kiến thức 
cơ bản đã học, nắm hiểu và vận dụng linh hoạt kiến thức cơ bản là chìa khóa cho mọi 
sự thành công trong giải toán. 
 Thật ra, có một số em vào học bồi dưỡng mà kiến thức cơ bản, thậm chí tôi cho 
là sơ đẳng các em còn không nhớ được. Ở đây tôi nói là không nhớ, chứ không phải là 
không biết. Ví dụ như: Các định nghĩa, đinh lí, các quy tắc, các em cũng không phát 
biểu được. Có em hiểu được vấn đề nhưng nói chẳng thành câu ! 
 Cho nên, trong thời gian các em học ở những tuần đầu, tôi cố gắng tái hiện lại 
cho các em những điều gì đã học được ở lớp 6. Có thể nói giống như dạy lại những 
bài luyện tập ở lớp 6, nên ở từng mãng kiến thức tôi vừa ôn tập lại cho các em, đến 
khi các em nhớ lại chính xác vấn đề, tôi lại có một số bài tập nâng dần một cách nhẹ 
nhàng, đủ sức để các em hiểu được vấn dề một cách mạch lạc, vững chắc. 
2.2.6. Cung cấp cho các em nhiều dạng bài tập: 
 Ngoài việc tái hiện cho các em các kiến thức cơ bản đã được học ở lớp 6 và 
đồng hành cùng các em với chương trình lớp 7 đang học ở lớp. Tôi mở rộng thêm 
nhiều dạng bài tập khác liên quan đến các kiến thức đã học để các em được làm quen. 
 Ngoài những dạng toán điển hình, tôi còn tham khảo, nghiên cứu và suy nghĩ 
thêm nhiều dạng đề bài khác và từng loại bài tôi nâng dần vừa sức với các em. 
Do điều kiện không cho phép sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán đại số 
bắt đầu từ bài toán cơ bản, tôi thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán 
mới vẫn giữ nguyên bản chất của bài toán cũ nhưng phải có mức độ tư duy cao 
hơn; phải có tư duy tổng quát hoá mới giải quyết được vấn đề ,tôi thấy vận dụng 
 5 
vào quá trình ôn tập cho học sinh giỏi lớp 7 rất phù hợp. Trước hết chúng ta bắt 
đầu với bài toán khá đơn giản sau: 
Bài toán1: Cho 
3 5 3
x y z
  và x+y+z=-360, Tìm x,y,z 
Đối với bài tập này với học sinh lớp 7A mà tôi phụ trách, số lượng cac em làm 
được là khá nhiều (25/29 học sinh), vì đơn thuần bài tập này chỉ việc áp dụng tính chất 
dãy tỉ số bằng nhau 
a c e a c e
b d f b d f
 
  
 
. Một học sinh đã lên bảng trình bày lời giải 
khá chuẩn như sau: 
Giải: 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, từ 
3 5 3
x y z
  , x+y+z=-360 ta có 
360
36
2 5 3 2 3 5 10
x y z x y z  
     
 
, 
 Suy ra: 36
2
x
   x=-72 
 36
5
y
   y=-180 
 36
3
z
   z=-108 
Vậy: x=-72, y=-180, z=-108 
Vẫn giữ nguyên dữ kiện thứ 2 của bài toán nhưng tôi thay đổi dữ kiện thứ nhất 
đi một chút, tôi có bài toán thứ hai khó hơn như sau: 
Bài toán2: Cho 5x=2y,3y=5z và x+y+z=-360, tìm x,y,z. 
Đến bài toán này trong 28 học sinh lớp 7A tôi chỉ thấy có 5 em giơ tay xung 
phong làm, các em còn lại không biết bắt đầu từ đâu. vì vậy tôi đưa ra cho các em một 
số gợi ý sau: 
Gợi ý 
? Bài toán này khác gì so với bài toán trước? 
H/S: khác dữ kiện đầu tiên. 
? Hãy biến đổi 2 đẳng thức 5x=2y,3y=5z thành dãy tỉ số bằng nhau? 
H/S: ??? 
Gợi ý thêm: ? Hãy viết 2 đẳng thức 5x=2y,3y=5z thành hai tỉ lệ thức có chứa 
x,y,z ở “ tử ”? 
H/S: 5x=2y
2 5
x y
  (1) 
 3y=5z 
5 3
y z
  (2) 
? Từ (1) và (2) ta suy ra điều gì? 
H/S: 
2 5 3
x y z
  
Đến lúc này cả lớp ồ lên vì thực ra bài toán này không khác gì so với bài toán 
trước và hào hứng làm vào vở.Tôi gọi 1 học sinh lên giải, lời giải của em như sau: 
 6 
Giải: 
Ta có: 5x=2y
2 5
x y
  (1) 3y=5z 
5 3
y z
  (2) Từ (1) và (2) ta có: 
2 5 3
x y z
  
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, và x+y+z=-360 ta có: 
360
36
2 5 3 2 3 5 10
x y z x y z  
     
 
, 
 Suy ra: 36
2
x
   x=-72 
 36
5
y
   y=-180 
 36
3
z
   z=-108 
Vậy: x=-72, y=-180, z=-108 
 Vẫn giữ nguyên dữ kiện thứ 2 của bài toán tôi tiếp tục thay đổi dữ kiện thứ 
nhất đi một chút, tôi có bài toán thứ 3 khó hơn như sau: 
Bài toán3: Cho 15x=6y=10z và x+y+z=-360, tìm x,y,z. 
Đến bài toán này trong 29 học sinh lớp 7A không thấy có em nào giơ tay, vì các 
em chưa thấy mối liên hệ nào giữa đẳng thứ kép 15x=6y=10z với dãy tỉ số bằng nhau 
để có thể áp dụng T/C dãy tỉ số bằng nhau. do đó tôi đưa ra một số gợi ý để học sinh 
làm như sau: 
Gợi ý: 
? BCNN(15;6;10)=? 
H/S: 30 
? Hãy chia các vế của đẳng thức cho BCNN(15;6;10)? 
H/S: 
15 6 10
30 30 30
x y z
  
2 5 3
x y z
  
Đến đây học sinh lại ồ lên vì thực chất bài toán 3 cũng chính là bài toán 1, cả 
lớp hào hứng bắt tay vào làm. 
Từ cách gợi ý của hai bài toán trên tôi lại giữ lại dữ kiện thứ nhất của bài toán 2 
và bài toán 3 thay đổi dữ kiện thứ hai Tôi đưa ra cho học sinh bài toán 4 khó hơn như 
sau: 
Bài toán4: Cho 5x=2y,3y=5z và 2x-3y+z=288, tìm x,y,z 
 Cho 15x=6y=10z và 2x-3y+z=288, tìm x,y,z 
Nhận xét: Rõ ràng H/S đã biết được cách biến đổi 5x=2y,3y=5z và 15x=6y=10z 
thành dãy tỉ số bằng nhau 
2 5 3
x y z
  . Vấn đề đặt ra là các em chưa tìm được mối liên 
hệ giữa 
2 5 3
x y z
  với dữ kiện 2x-3y+z=288 của bài toán. Để học sinh làm được bài 
toán này tôi đưa ra cho học sinh một số gợi ý sau: 
Gợi ý: 
? Để áp dụng được 2x-3y+z=288 Thì trên “tử” của các tỉ số ,
2 3
x y
 phải xuất hiện 
thêm các thừa số nào? 
H/S: Trên tử phải xuất hiện các tích 2x và 3y trên “tử” 
 7 
? Muốn xuất hiện 2x và 3y trên tử các tỉ số ,
2 3
x y
 ta làm thế nào? 
H/S: Nhân cả tử và mẫu của các tỉ số trên lần lượt với 2 và 3, ta được dãy tỉ số 
bằng nhau mới 
2 3
4 15 3
x y z
  . 
Đến đây thì các em đã tìm ra cách giải một cách không thể mĩ mãn hơn được. 
Cả lớp hào hứng bắt tay vào làm. Kết quả học sinh tìm được là: 
x=-72, y=-180, z=-108. 
Tiếp tục khai thác bài toán trên, thay dữ kiện 2x-3y+z thành dữ kiện 
x2+y2+z2=152 ta có bài toán mới khó hơn như sau: 
Bài toán 5: Cho 5x=2y,3y=5z và x2+y2+z2=152, tìm x,y,z 
 Cho 15x=6y=10z và x2+y2+z2=152, tìm x,y,z 
Ở bài toán này học sinh đã biết cách biến đổi 5x=2y,3y=5z và 15x=6y=10z 
thành dãy tỉ số bằng nhau 
2 5 3
x y z
  . Vấn đề là làm cách nào để biến đổi 
2 5 3
x y z
  để 
áp dụng được dữ kiện x2+y2+z2=152. 
Thật bất ngờ, đến bài này có rất nhiều học sinh giơ tay (22/28 học sinh). Rõ ràng đúc 
kết từ kinh nghiệm bài trên các em đã rút ra được muốn áp dụng được dữ kiện 
x2+y2+z2=152 thì các em phải bình phương các tỉ số , ,
2 5 3
x y z
 để được dãy tỉ số bằng 
nhau mới 
2 2 2
4 25 9
x y z
  . 
Một em lên bảng trình bày lời giải tương đối hoàn chỉnh như sau: 
Giải: 
Ta có: 
2 5 3
x y z
  
2 2 2
4 25 9
x y z
  . 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cùng với dữ kiện x2+y2+z2=152 ta được 
2 2 2 2 2 2 152
4
4 25 9 4 25 9 38
x y z x y z 
    
 

2
2
2
4
4
4
4 10
25
6
4
9
x
x
y
y
z
z


  
 
    
   


. 
Vậy tồn tại 2 cặp giá trị (x, y, z) thõa mãn đề bài là: 
 (x=4; y=10;z=6) và (x=-4; y=-10; z=-6) 
Các bạn thấy đấy bằng cách thay đổi 1 dữ kiện trong bài toán cũ ta lại được một 
bài toán có vẻ khó hơn. Song nếu tìm thấy được mối liên hệ giữa các bài toán đó ta 
thấy chúng thật đơn giản phải không? Từ các bài toán này học sinh hình thành hướng 
giải hàng loạt bài toán về dãy tỉ số bằng nhau một cách dễ dàng. 
Sau bài học này, tôi giao cho học sinh 3 bài tập sau cho học sinh về làm: 
 8 
Bài toán 6: Tìm x, y, z biết 
a) ; , 78
2 3 5 4
x y y z
x y z      
b) 
1 2 3
, 2 3 14
2 3 4
x y z
x y z
  
     
c) 2 2 2, 2 12
2 3 5
x y z
x y z      
Đến hôm sau, tôi thu vở chấm thật bất ngờ đa số các em làm rất tốt các bài tập 
mà tôi đã giao. Cụ thể: 24/28 học sinh đã làm được các bài tập này với một đáp án 
chính xác là: 
a) x=-60; y=-90; z=-72 
b) x=3; y=5; z=7 
c) x=4; y=6; z=10 và x=-4; y=-6; z=-10. 
Quả thật đây là một kết quả như tôi mong đợi trước khi tiến hành bài dạy, tuy 
chỉ là một vấn đề nhỏ gói gọn trong một tiết luyện tập xong tôi nhận thấy hiệu quả của 
nó thật là to lớn. 
2.2.7. Hình thành năng lực giải toán qua việc phát triển các bài toán từ bài 
toán ban đầu: 
- Để tạo ra một bài toán từ bài toán ban đầu thì phải tuân theo các con đường sau: 
1. Lập bài toán tương tự. 
2. Lập bài toán đảo. 
3. Thêm một số yếu tố rồi đặc biệt hoá. 
4. Bớt một số yếu tố rồi khái quát hoá. 
5. Thay đổi một số yếu tố. 
* Sau đây xin trình bày một số ví dụ minh hoạ: 
Bài toán 1: Tính x, biết rằng: 3,27,1 x 
Bài toán này chúng ta đã có lời giải. 
Ta có hai trường hợp: 
 * x – 1,7 = 2,3 => x = 2,3+ 1,7=4 
 * x – 1,7 = - 2,3 => x = -2,3 + 1,7 = -0,6 
Ở bài này đối với học sinh trung bình, yếu không thể làm được. Ta có thể tinh 
giản đưa về dạng đơn giản hơn mà ở đó học sinh chỉ cân đọc SGK là làm được bài. Ta 
có bài toán mới. 
Bài toán 1.1 : tính x, biết rằng: 3,2x 
+ Phân tích: ta thấy 3,22,3- và3,23,2  nên khi 3,2x 
thì x = 2,3 hoặc x = -2,3 
Từ bài toán 1.1 ta thêm yếu tố (-1,7) vào giá trị tuyêt đối cho học sinh nhìn thấy 
sự giống nhau hai bài toán. 
3,22,3- và3,23,2  nên khi 3,27,1 x thì  
 9 
+ Phân tích: Từ bài toán trên ta thấy yếu tố quan trọng của bài toán không phụ 
thuộc nhiều vào biểu thức trong ngoặc. ta chỉ cần thay vế phải bằng hai giá trị đối 
nhau. từ đó cho ta đề suất bài toán tương tự 
Bài toán 1.2: Tìm x, biết rằng: 20002009 x 
Bài toán này chắc rằng học sinh sẽ giải được dựa vào bài toán 1. ta cung có thể 
thay 2009, 2000 bằng những phân số 
Ta có hai trường hợp: 
 x – 2009 = 2000 => x = 2000 + 2009 = 4009 
 x – 2009 = -2000 => x = -2000 + 2009 = 9 
thêm một vài yếu tố cho bài toán 1 ta được 
Bài toán 1.3: tìm x, biết rằng: 3,22,37,1 x 
+ Phân tích: ở dạng bài này cần áp dụng quy tắc chuyển vế thự hiện cộng, trừ thì 
bài toán trở về dạng Bài toán 1. 
3,22,37,1 x 
7,1x = 2,3 + 3,2 
7,1x = 5,5 
Kết quả: x = 7,2 hoặc x = -3,8 
Ở bài 1.3 nội dung gần giống như bài toán 1 nhưng đã được nâng lên với mức 
độ khó hơn mà học sinh vẫn giải được. 
Khai thác:Trong bài toán 1 
3,27,1 x theo định nghĩa ta có 7,1x =





1,7x0 1,7 -nêu x 1,7) - x (-
 1,7x0 1,7 -nêu x 7,1x
* x – 1,7 = 2,3 => x = 2,3+ 1,7=4 
 * -(x – 1,7) = 2,3 => x-1,7 = -2,3 => x = -2,3 + 1,7 = -0,6 
Tới đây ta có thể đề xuất bài toán đăt biệt hơn. Đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ nội 
dung định nghĩa giá trị tuyệt đối. có phương pháp suy luận tốt. ta có bài toán mở rộng. 
Bài toán 1.4: tìm x, biết: 
2
1
 xx 
Phân tích: trong trường hợp này ta phải xét từng trường hợp dấu của biểu thức 
trong dấu giá trị tuyệt đối. 
Giải 
 Nếu 
4
1
2
1
2 0  xxxxxxvàxxthìx 
 Nếu 
2
1
0 0  xxxxxvàxxthìx không thoả mãn 
Vậy 
4
1
x 
Lưu ý: dễ thấy x > 0 vì nếu x < 0 thì x +x = 0 
Từ việc cần phải xét dấu biểu thức trong giá trị tuyệt đối. ta đề xuất thêm bài 
toán tương tự. 
Bài toán 1.5 tính giá trị của biểu thức: A = 3
3
2
 xx khi x 3 
 10
 Giải 
Vì x 3 nên 
3
2
x > 0 và 3x  0; do đó 
3
2
x =
3
2
x và 3x = 3x 
=> 3
3
2
 xx = 
3
2
x - ( x – 3) = ( x- x ) + (
3
2
 - 3 ) = 
3
7
Khai thác trong bài toán trên ta phải xét dấu trong giá trị tuyệt đối với một giá trị 
của x . vậy với nhửng bài có nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì ta cũng xét tương tự. đối 
với bài toán chưa cho giá trị của x trước ta sẻ xét tường trường hợp một của x. ta có đề 
xuất bài toán mới như sau: 
Bài toán 1.6 tìm x , biết: 2. 3617  xx 
Phân tích: 






0 
0 
xkhix
xkhix
x ; 






0)17()17(
0)17(17
17
xkhix
xkhix
x 
Do đó ta cần phải xét dấu đầy đủ hai giá trị tuyệt đối. trong từng trường hợp cụ 
thể vì khi x ≥ 0 trong đó còn trường hợp x < 17. 
Bài toán được giải như sau: 
* Khi x< 0 thì |x| = - x và x – 17 <0 nên |x – 17|= -(x – 17) = -x + 17 suy ra 
2.|x – 17| + |x| = 36 
 2(-x +17) – x = 36 
 -2x + 34 – x = 36 
 -3x = 2 
 x = 
3
2
 
* Khi 0 < x < 17 thì |x| = x và x – 17 <0 nên |x – 17|= -(x – 17) = -x + 17 suy ra 
2.|x – 17| + |x| = 36 
 2(-x +17) + x = 36 
 -2x + 34 + x = 36 
 -x = 2 
 x = -2 ( không thoả mãn) {0 < x < 17} 
* Khi x ≥ 17 thì |x| = x và |x – 17| = x – 17 suy ra 
2.|x – 17| + |x| = 36 
 2( x – 17) + x = 36 
 2x – 34 + x = 36 
 3x = 70 
 x = 
3
70
Vậy x = 
3
2
 hoặc x = 
3
70
Xét Bài toán 2: viết các phân số 
999
1
,
99
1
 dưới dạng số thập phân. 
Phân tích: Trong bài toán trên để tính được chỉ cần thực hiện phép chia tử cho 
mẫu. 
 11
 Giải 
1 99 
100 
 100 
 100 
0,0101 
Vậy 
99
1
= 0, (01); 
999
1
=0,(001) 
Khai thác bài toán: ta thấy phép chia là một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Chu 
kỳ gồm có số các số đúng bằng số các chữ số 9 ở mẫu, trong đó số cuối cùng là tử số 
1 các số còn lại là chữ số 0. ví dụ )0001(,0
9999
1
 . 
Từ đây cho phép ta lập bài toán tương tự. 
Bài toán 2.1: Viết các số sau dưới dạng số thập phân: 
9999
4
;
999
3
;
99
2
Tương tự cách giải trên ta có: 
)0004(,0
9999
4
);003(,0
999
3
);02(,0
99
2
 
Theo quy tắc trên cho ta bài toán đảo: 
Bài toán 2.2: Viết các số sau dưới dạng số thập phân tối giản: 0,(4); 0,(05); 
0,(006); 0,(33). 
Ta cung có thể áp dụng quy tắc trên để dự đoán kết quả. 
Giải 
 0,(4) = 4.0,(1)= 4.
9
4
9
1
 
 0,(05) =5. 0,(01) = 
99
5
99
1
.5  
 0,(006) = 6. 0,(001) = 
333
2
999
6
999
1
.6  
 0,(33) = 33.0,(01) = 
3
1
99
33
99
1
.33  
* Phân tích: ta thấy chu kỳ của một số bắc đầu ngay dấu phẩy, khi đổi số thập 
phân vô hạn tuần hoàn này ra phân số ta được phân số có: 
+ tử là chu kỳ 
+ mẫu là lột số gồm các chữ số 9. số chữ số 9 bằng số các số có trong chu kỳ. 
Khai thác: trong trường hợp số thập phân vô hạn tuần hoàn mà chu kỳ không 
bắc đầu ngay dấu phẩy ta làm như thế nào? Ta có ví dụ sau: 
Bài toán 2.3: viết phân số 0,1(25) dưới dạng số thập phân tối giản. 
Phân tích: ta thấy 0.1(25) = 0,1 + 0,0(25). Số 1 trong số thập phân được gọi là 
phần bất thường một số thập phân như vậy gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. 
Dựa vào đây ta tìm cách giải tổng quát. 
1 999 
1000 
 1000 
 1000 
0,001001
 12
Giải 
0,1(25) = 
990
25
10
1
99
25
.
10
1
10
1
)25(,0.
10
1
10
1
)25(0,0
10
1
 
 =
990
124
990
1125
990
251100
990
25)1100(1
990
2599.1








Vậy 0,1(25) = 
990
124
. 
* Khai thác: Khi đổi số thập phân vôi hạn tuần hoàn tạp sang phân số, ta được 
một phân số là: 
 + Tử là một số gồm phần bất thường kèm theo một chu kì ( ở vd trên là 125) trừ 
bớt đi phần bất thường ( 125 – 1). 
 + Mẫu là một số gồm các chữ số 9 và chữ số 0. số chữ số 9 bằng số chữ số 
trong chu kì, còn số chữ số không bằng số chữ số trong phần bất thường. 
Bài toán 2.4: viết số sau dưới dạng phân số tối giản. 0,2(16); 0,63(84) 
Giải 
0.2(16)=
495
107
990
214
990
2216


; 0,63(84)=
3300
2107
9900
6321
9900
636384


Từ bài toá trên có thể đề xuất bài toán sau. 
Bài toán 2.5: Tìm x, biết. )2.(0.
)6(1,1)3(,0
)3.(0)6(1,0



x 
Giải 
Ta có: 
9
2
)2(,0;
6
7
90
105
90
11116
)6(1,1;
3
1
9
3
)3(,0;
6
1
90
15
90
116
)6(1,0 



 . 
Do đó: )2(,0.
)6(1,1)3(,0
)3.(0)6(1,0



x 
9
2
.
6
7
3
1
3
1
6
1



x => 
9
2
.
6
9
6
3
x => 
3
2
x 
Ví dụ 3: chúng ta bắt đầu từ bài toán sau: 
Bài toán 3: Cho a,b  Z, b > 0. So sánh hai số hữu tỉ 
2001 b
2001 a
 và


b
a
(bài 9, trang 4 SGK tóan 7) 
Bài toán này chúng ta đã có lời giải sau 
Xét tích a( b + 2001) = ab + 2001a, b(a + 2001) = ab + 2001b 
Vì b>0 nên b + 2001 > 0 
- Nếu a > b thì ab + 2001a > ab + 2001b 
 a(b + 2001) > b>(a + 2001) 
 => 
2001
2001
b
a



b
a
 13
- Tương tự, nếu a< b thì 
2001
2001
b
a



b
a
- Nếu a = b thì rõ ràng 
2001
2001
b
a



b
a
Điều này cho ta bài toán tương tự bài toán trên 
Bài toán 3.1: Cho a,b  Z, b > 0. So sánh hai số hữu tỉ 
2009 b
2009 a
 và


b
a
Đến đây chúng ta cũng lập bài toán tương tự. 
Bài toán 3.2: Cho a,b  Z, b> 0, n  N*. So sánh hai số hữu tỉ 
n b
n a
 và


b
a
 Giải 
Xét tích a( b + n) = ab + an, b(a + n) = ab + bn 
Vì b > 0 và n  N* nên b + n > 0 
- Nếu a > b thì ab + an > ab + bn 
 a(b + n) > b(a + n) 
 => 
n b
n a
b
a


 
- Tương tự, nếu a 
n b
n a
b
a


 
- Nến a= b, thì rõ ràng 
n b
n a
b
a


 
 Từ lời giải này chúng ta lại có bài toán mới 
Bài toán 3.3: Cho a,b  Z, b > 0 và n  N*. chứng minh rằng: 
a) Nếu 
nb
na
b
a
 thì1
b
a


 
b) Nếu 
nb
na
b
a
 thì1
b
a


 
 Giải 
 Ta có 
b
a
>1  a> b 
  an > bn ( Vì n  N*) 
  ab + an > ab +bn 
  
n b
n a
b
a


 
b) chứng minh tương tự câu a). 
Áp dụng điều này cho ta đề xuất tiếp bài toá thực tế. 
Bài toán 3.4: So sánh hai phân số: 
a) 
1999
2009
1973
1983
và 
b) 
1009
1000
 và
2009
2000
 14
I
CB
A
E D
 Giải 
a) Ta có: 
1973
1983
>1 nên theo bài 3.3 a) suy ra 
1973
1983
 >
1999
2009
261973
261983



b) ta có 
1009
1000
<1 nê theo bài 3.3 b) say ra 
1009
1000
< 
2009
2000
10001009
10001000



bài toán này vẩn cò có thể khái thác thành bài toán mới ví dụ: 
Bài toán 3.5: So sánh hai số hữu tỉ sau 
a) x =
11983
11983
2008
2009


 và y = 
11983
11983
2007
2008


b) a = 
12008
12008
2009
2008


 và b= 
12008
12008
2008
2007


Ở hình học việc lập ra các bài toán mới có phần khó khăn hơn. Tuy nhiên 
giúp học sinh đưa ra các bài toán mới cũng rất cần thiết. Ta có ví dụ sau: 
Bài toán 4: cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, Điểm E 
thuộc cạnh AB, Sao cho AD = AE. 
a) So sánh ECˆA vàDBˆA 
b) IBC là tam giác gì? Vì sao? 
GT 
ABC (AB= AC) 
DAC, EAB,AD = AE 
KL 
a) so sánh ECˆA vàDBˆA 
b) IBC là tam giác gì? 
* Phân tích: Ta thấy ECˆA vàDBˆA là các góc của tam hai tam giác ABD và tam 
giác ACE. Hai tam giác này có đủ các yếu tố để bằng nhau. Ta chứng minh cho 
ECˆA DBˆA  
* Chứng Minh 
a) Xét ABD và ACE có 
AB = AC ( GT) 
AD = AE (GT) 
Aˆ : góc chung 
=> ABD = ACE ( C – G – C) 
=> ECˆA DBˆA  ( hai góc tương ứng) 
 b) Ta có ECˆABCˆAECˆBD;BˆACBˆADBˆC  
 mà a)Câu ( ECˆA DBˆA cân); giác đáy tam góc hai (ˆˆ  BCACBA 
=> cân giác tamlà IBC ECˆB DBˆC  
 15
I
CB
A
E D
* Khai thác: rõ ràng nếu AD + AE thì BE = CD . và IB = IC (IBC là tam). Từ 
đó giúp đề xuất bài toán tương tự. 
Bài toán 4.1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm E. 
Trên cạnh AC lấy điểm D. sao cho AD = AE. Chứng minh rằng: 
a) CBD BCE  
b) IB= IC, ID=IE 
GT 
ABC (AB= AC) 
DAC, EAB, AD = AE 
KL 
a) CBD BCE  
b) IB= IC, ID=IE 
* Phân tích: 
Tương tự bài trước chứng minh CBD BCE  theo trường hợp Cạnh – Góc 
– Cạnh. Câu b) IBE và ICD đã có EB = DC và IDˆC IEˆB  ( từ kết quả câu a) còn 
thiếu điều kiện DCˆI EBˆI  . Vì vậy ta chứng minh cho DCˆI EBˆI  . 
* Chứng minh
a) Xét BCE và CBD có: 
BE = AB – AE; 
CD = AC – AD Mà AB = AC, AE = AD (GT) 
=> BE = CD, BE cạnh chung 
BCˆD CBˆE  ( Hai góc ở đáy tam giác cân) 
=> CBD BCE  ( C- G–C) 
b) Ta có: CBˆI-CBˆE IBˆE  ; BCˆI - BCˆD ICˆD  
mà BCˆI CBˆI B;CˆD CBˆE  (hai góc tương ứng) 
=> ICˆD IBˆE  
Xét có: IBE và ICD 
BE = BD ( câu a) 
CDˆI BEˆI  ( Câu a) 
ICˆD IBˆE  ( chứng minh trên) 
=> IBE = ICD (G – C – G) 
=> IB = IC, ID = IE ( hai canh tương ứng) 
Khai thác: Bài toán 4.1 a) trường hợp CBD BCE  theo trường hợp góc 
- cạnh – góc. Trong đó hai góc là do yếu tố tam giác cân. Và hai cạnh bằng nhau BC 
= CB. 
 Dựa vào đó ta phát triễn bài toán mới như sau 
 16
 Bài toán 4.2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy hai điểm D và E sao 
cho BD = CE. Từ D kẽ DH  AB (H  AB). Từ E kẽ EK  AC (K AC). Chứng