Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đánh giá phần tử đại diện

PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài:
Trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, bản thân tôi đã gặp những tình huống mà học sinh đưa ra là “ Tại sao người ta lại nghĩ được bài toán chứng minh bất đẳng thức này?”. Những câu hỏi đó luôn xuất hiện trong tâm trí của tôi và luôn nhắc nhở tôi phải tìm hiểu nó. 
 Cũng từ đó đã nảy sinh ra việc nghiên cứu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà được gọi là phương pháp đánh giá phần tử đại diện. Phương pháp này thể hiện được nguồn gốc xuất phát của bài toán nên tôi chọn đề tài “Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đánh giá phần tử đại diện”
Mục đích nghiên cứu:
Với mục đích cung cấp một phương pháp giải toán mới cho các em học sinh và quan trọng hơn cả là giúp các em nhìn thấy được bản chất của sự việc, hiện tượng, thấy được sự sáng tạo ra những bài toán đẹp từ những kiến thức hết sức cơ bản. Sử dụng phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp rất rõ ràng và dễ áp dụng để giải một lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, một nội dung mà học sinh luôn gặp trong bất cứ kì thi nào và hầu hết các em học sinh đều gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải. Hi vọng phương pháp này sẽ xoá tan tâm lí sợ gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức. Chính vì vậy mà đề tài này rất cần thiết cho các đối tượng là các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi, các em học sinh đang chuẩn bị cho kì thi đại học và tất cả các em học sinh muốn tìm hiểu một hướng sáng tác của các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh đội tuyển học sinh giỏi và ôn thi đại học qua các năm giảng dạy từ trước đến nay và hiện nay là đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 12 và học sinh lớp 12A1 năm học 2012- 2013.
Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu:
Nghiên cứu về phương pháp giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức trong chương trình ôn thi học sinh giỏi các cấp và ôn thi Đại học.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy tích cực, tư duy sáng tạo. Xây dựng và định hướng phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu lý luận : “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”.
Phương pháp quan sát : Nhìn nhận lại quá trình học tập môn toán của học sinh của trường trong năm học vừa qua.Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh của trường trong giai đoạn hiện nay.
Thời gian nghiên cứu: 
Từ đầu học kì I đến giữa học kì II năm học 2013 – 2014.
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
I.Cơ sở lí thuyết : 
Nghiệm bội của đa thức :
- Cho đa thức P(x), a được gọi là nghiệm bội r của P(x) nếu ta có . Trong đó Q(x) là đa thức và Q(a) ¹ 0. 
- Ta có a là nghiệm bội r khi và chỉ khi P(a) = P’(a) = = P(r-1) = 0 và P(r)(a) ¹ 0. 
Bất đẳng thức thuần nhất đối xứng ba biến và kĩ thuật chuẩn hóa : 
- Đa thức đối xứng định nghĩa dưới dạng: trong đó là một hoán vị tùy ý của . Hay nói cách khác là
- Hiểu một cách đơn giản đa thức thuần nhất nếu nó là tổng của các đơn thức đồng bậc. Do một số tính chất của hàm thuần nhất ta có thể chuẩn hóa điều kiện của biến để đơn giản hóa việc chứng minh. Ta có thể chuẩn hóa một đa thức thuần nhất đối xứng ba biến bằng cách đặt Đây là kỹ thuật rất quan trọng giúp ta đơn giản hóa và qui bất đẳng thức về chứng minh theo từng biến. 
II.Thực trạng vấn đề :
Bất đẳng thức là một vấn đề rất quan trọng và khó đối với học sinh cấp trung học phổ thông. Học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải vì không có một phương pháp và đường đi rõ ràng. Có những cách giải từ trên trời rơi xuống. Học sinh không thể hiểu được vì sao người ta lại nghĩ ra được một bài toán như vậy, vì sao lại có một bài giải như vậy. Trong đề tài này tôi xin trình bày một phương pháp mà nếu học sinh không nắm được cơ sở lí luận đó thì sẽ không hiểu tại sao lại có một lời giải như vậy, và khi học sinh nắm được cơ sở lí luận của phương pháp này rồi thì việc sử dụng phương pháp này thật rõ ràng cụ thể, các em sẽ có thể tự chứng minh được một lớp các bất đẳng thức và có thể tự sáng tác ra các bài toán chứng minh bất đẳng thức. 
III. Các bước tiến hành 
Nếu gặp các BĐT thuần nhất hoặc đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc điểm từng bài mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức về dạng các biến được cô lập dạng hoặc và với giả thiết với giả thiết . Sau đó thực hiện theo các bước sau :
- Bước 1: Xét xem dấu “=” xảy ra khi nào và phải là 
- Bước 2: Dựa vào hình thức của BĐT xét phần tử đại diện hoặc . 
- Bước 3: Viết các phần tử đại diện về dạng . Để chứng minh đa thức , dấu bằng xảy ra khi x = a ta cần phải chứng minh trong đó .
- Bước 4: Tìm m,n bằng cách sử dụng điều kiện a là nghiệm bội suy ra k P(a) = P’(a) = 0.
- Bước 5: Kiểm nghiệm . 
- Bước 6: Từ đó đưa ra lời giải : 
 hoặc , 
- Bước 7: Cộng bất đẳng thức theo vế ta được điều phải chứng minh
I.V. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh
.
Phân tích: 
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi .
Bất đẳng thức trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện 
Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu bằng xảy ra khi x =1.
Ta thấy . Ta tìm m, n sao cho đa thức có dạng trong đó . Suy ra phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội x =1, tức là 
Thay ta thấy.
Lời giải: 
- Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây 
 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
. Hiển nhiên đúng với . Dấu “=” xảy ra khi x =1.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: ; . Cộng về của các bất đẳng thức ta có 
Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi .
Ví dụ 2: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh
.
Phân tích: 
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi .
Bất đẳng thức trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện 
Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu bằng xảy ra khi .
Ta thấy . Ta đi tìm m, n sao cho đa thức có dạng trong đó . Suy ra phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội , tức là 
Thay ta thấy .
Lời giải: 
- Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây 
 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
 Hiển nhiên đúng với . Dấu “=” xảy ra khi .
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:;  ;. Cộng về của các bất đẳng thức ta có 
Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi .
Ví dụ 3: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh .
Phân tích: 
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi .
Bất đẳng thức trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện 
Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu bằng xảy ra khi .
Ta thấy . Ta đi tìm m, n sao cho đa thức có dạng trong đó . Suy ra phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội , tức là 
Thay ta thấy .
Lời giải: 
- Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây 
 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với Hiển nhiên đúng với . Dấu “=” xảy ra khi .
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: ; ;;. Cộng về của các bất đẳng thức ta có Ta có điều phải chứng minh. Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi.
Nhận xét: Bài này không thể giải được bằng phương pháp tiếp tuyến.
Ví dụ 4: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh .
Phân tích: 
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi .
Bất đẳng thức trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện
Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu bằng xảy ra khi .
Ta thấy Ta đi tìm m, n sao cho đa thức có dạng trong đó . Suy ra phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội , tức là 
Thay ta thấy .
Lời giải: 
- Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây 
 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với Hiển nhiên đúng với . Dấu “=” xảy ra khi .
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: ; ;. Cộng về của các bất đẳng thức ta có 
Ta có điều phải chứng minh. Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi.
Ví dụ 5: Cho là các số thực dương . Chứng minh .
Phân tích: 
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi .
Bất đẳng thức trên ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện 
Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu bằng xảy ra khi .
Ta thấy . Ta đi tìm m, n sao cho đa thức có dạng trong đó . Suy ra phải tìm điều kiện cần để đa thức P(a) có nghiệm bội , tức là 
Thay ta thấy .
Lời giải: 
- Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây 
 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với Hiển nhiên đúng với . Dấu “=” xảy ra khi .
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: ; . Cộng về của các bất đẳng thức ta có 
Ta có điều phải chứng minh. Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi.
Ví dụ 6: Cho là các số thực dương . Chứng minh
.
Phân tích: 
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi .
Bất đẳng thức trên ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện 
Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu bằng xảy ra khi .
Ta thấy . Ta đi tìm m, n sao cho đa thức có dạng trong đó . Suy ra phải tìm điều kiện cần để đa thức P(a) có nghiệm bội , tức là 
Thay ta thấy .
Lời giải: 
- Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây 
 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với Hiển nhiên đúng với . Dấu “=” xảy ra khi .
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:; Cộng về của các bất đẳng thức ta có 
Ta có điều phải chứng minh. Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi.
Ví dụ 7: Cho > 0 và . Chứng minh rằng:
Phân tích : 
- Dấu “=” xảy ra khi 
- Ta thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
- Bất đẳng thức trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện
Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu bằng xảy ra khi .
Ta thấy . Ta đi tìm m, n sao cho đa thức có dạng trong đó . Suy ra phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội , tức là 
Thay ta thấy .
Lời giải: 
- Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây , 
 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với Hiển nhiên đúng với . Dấu “=” xảy ra khi .
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: ; ;. Cộng về của các bất đẳng thức ta có 
Ta có điều phải chứng minh. Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi. 
Ví dụ 8: Cho và . Chứng minh rằng:
Phân tích : 
- Dấu “=” xảy ra khi 
- Ta thấy điều kiện của bài toán 
- Bất đẳng thức trên và điều kiện này khiến ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện
- Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu bằng xảy ra khi .
Ta thấy . Ta đi tìm m, n sao cho đa thức có dạng trong đó . Suy ra phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội , tức là 
Thay ta thấy .
Lời giải: 
- Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây , 
 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với Hiển nhiên đúng với . Dấu “=” xảy ra khi .
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: ; ;. Cộng về của các bất đẳng thức ta có 
Ta có điều phải chứng minh. Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi
Ví dụ 10: Cho . Chứng minh:
Phân tích: 
- Vì BĐT là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa bằng cách giả sử .
- Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành với 
- Dấu “=” của BĐT xảy ra khi 
- Bất đẳng thức trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện 
Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu bằng xảy ra khi .
Ta thấy . Ta đi tìm m, n sao cho đa thức có dạng trong đó . Suy ra phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội , tức là 
Thay ta thấy .
Lời giải: 
- Vì BĐT là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa bằng cách giả sử .
Khi đó ta phải chứng minh bất đẳng thức với
- Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây 
 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với Hiển nhiên đúng với . Dấu “=” xảy ra khi .
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: ; ;. Cộng về của các bất đẳng thức ta có Ta có điều phải chứng minh. Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi.
V. Bài tập áp dụng :
1.Cho các số thực >0 thỏa .Chứng minh rằng :
2.Cho là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng
3.Cho >0.Chứng minh rằng: 
4.Cho >0 . Chứn g minh rằng: 
5. Cho :.Chứng minh rằng: 
6. Cho >0. Chứng minh rằng:
7. Cho >0. Chứng minh rằng:
8.Cho n số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng: 
9.Cho a.b.c.d>0 thỏa . Chứng minh rằng 
10. Cho >0. Chứng minh rằng:
11. Cho >0, . Chứng minh rằng:
12. Cho >0, . Chứng minh rằng:
13. Cho >0, .Chứng minh rằng:
14. Cho >0. Chứng minh rằng:
15. Cho >0. Chứng minh rằng:
16. Cho là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng
17. Cho và .
Chứng minh rằng:
18. Cho >0. Chứng minh rằng:
19. Cho n số thực dương thỏa mãn 1 .Chứng minh rằng: 
20.Cho >0 và .Chứng minh rằng: 
21.Cho là các số thực dương sao cho 
Chứng minh rằng:
22.Cho >0 và .Chứng minh rằng: 
23. Cho >0, . Chứng minh rằng:
24. Cho >0. Chứng minh rằng:
PHẦN THỨ BA: KẾT QUẢ - KẾT LUẬN
A.KẾT QUẢ: 
Qua năm học 2013 – 2014, áp dụng cho các lớp 12A1 và đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của nhà trường dưới sự hướng dẫn của giáo viên kết hợp thảo luận trao đổi với nhau của học sinh. Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, học sinh đã hứng thú hơn với các bài toán chứng minh bất đẳng thức trong các đề thi. Cụ thể như sau: 
Thống kê điểm kiểm tra khảo sát chuyên đề hình học không gian tổng hợp: 
Đầu học kì I - Năm học 2013 - 2014
LỚP
TS
0 -3,25
3.5-4.75
Cộng
%
 5-6.25
6.5-7.75
8 -10.0
Cộng
%
12A1
35
 6
23
29
82,86
5
1
0
6
18,14
Đội tuyển HSG
10
1
3
4
40
3
2
1
6
60
Đầu học kì II - Năm học 2013 - 2014
LỚP
TS
0 -3.4
3.5-4.9
Cộng
%
 5-6.4
6.5-7.9
8 -10.0
Cộng
%
12A1
35
 0
3
4
10,53
5
17
12
34
89,47
Đội tuyển HSG
10
4
15
19
43,18
14
9
2
25
56,82
B.KẾT LUẬN:
	1. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
	 Rõ ràng phương pháp đánh giá phần tử đại diện là một phương pháp chứng minh bất đẳng thức rất rõ ràng, hiệu quả, dễ áp dụng đối với học sinh. Giúp học sinh không còn cảm giác “sợ “ khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức, một nội dung mà học sinh luôn gặp trong mọi kì thi của cấp trung học phổ thông, một nội dung mà đa số mọi học sinh đều gặp vướng mắc trong việc tìm phương pháp giải. Phương pháp này đã được áp dụng cho đối tượng là học sinh lớp 12A1 và đội tuyển học sinh giỏi khối 12 trong chuyên đề ‘Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức”. Trong chuyên đề này các em đã có thể tự giải những lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức thuần nhất hoặc cùng bậc trong các kì thi Olympic Quốc tế và hơn thế nữa các em đã có sự tập tành nghiên cứu khoa học là tự sáng tác các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mặc dù không phải bất cứ bài toán chứng minh bất đẳng thức nào cũng có thể giải bằng phương pháp trên nhưng ít ra nó cũng đã giúp các em có một phương pháp rõ ràng, dễ thực hiện đối với một lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức khó và quan trọng hơn cả nó đã giúp các em thấy được xuất xứ của bài toán chứng minh bất đẳng thức và các em cũng có thể tự sáng tác bài toán chứng minh bất đẳng thức tạo sự hứng thú học tập và sáng tạo cho các em . Từ đó tạo một niềm tin trong học tập cho các em, tạo một thái độ học tập là phải nắm được cái cốt lõi của vấn đề, và chính những điều đó đã giúp các em các em học sinh giỏi trong đội tuyển 12 đạt kết quả tốt trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh.	
	2. Những bài học kinh nghiệm:
Trong quá trình áp dụng sáng kiến , bản thân đã rút ra được kết luận 
Phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức dành để vận dụng cho một lớp bất đẳng thức thuần nhất hoặc cùng bậc cùng với phép chuẩn hoá thích hợp để cô lập được các biến.
Việc vận dụng Phương pháp đánh giá phần tử đại diện trong chứng minh bất đẳng thức thật sự là một phương pháp giải toán vô cùng hiệu quả trong việc giải một lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Qua việc vận dụng phương pháp này chúng ta có thể rèn luyện được phương pháp tư duy khoa học, phát triển vấn đề từ những vấn đề cơ bản và cuối cùng là rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề một cách sâu sắc từ gốc rễ, không qua loa đại khái, hời hợt bên ngoài.
Vì vậy, trong năm học này tôi tiếp tục triển khai áp dụng đề tài này để giảng dạy cho các em học sinh khối 12 và đội tuyển học sinh giỏi môn Toán. 
 Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ‎ý chân thành của các thầy cô giáo đồng nghiệp để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn.
Bảo Thắng, ngày 07 tháng 03 năm 2014.
 Người viết 
 Nguyễn Thị Thu Hằng
Tài liệu tham khảo
[1] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
[2] Tài liệu trên mạng.
MỤC LỤC
 Trang
PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU	1
I. Lý do chọn đề tài	1
II. Mục đích nghiên cứu	1
III. Đối tượng nghiên cứu	1
IV. Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu	1
V. Nhiệm vụ nghiên cứu	2
VI. Phương pháp nghiên cứu	2
VII. Thời gian nghiên cứu	2
PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG	3
I. Cơ sở lý thuyết	3
II. Thực trạng vấn đề	3
III. Các bước tiến hành	3
IV. Ví dụ minh họa	4
V. Bài tập vận dụng	16
PHẦN THỨ BA : KẾT QUẢ - KẾT LUẬN 	20
TÀI LIỆU THAM KHẢO 	22