Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng một số phương pháp giải toán tiểu học cho giáo viên và học sinh giỏi

rừ một số đi một tổng, ta có thể lấy số đó trừ đi số hạng thứ nhất, được kết quả trừ tiếp đi số hạng thứ hai hoặc lấy số đó trừ đi số hạng thứ hai, được kết quả trừ tiếp đi số hạng thứ nhất.
	¯ Trừ đi một hiệu:
	Muốn trừ một số đi một hiệu, ta có thể lấy số đó cộng với số trừ rồi trừ đi số bị trừ.
 a – (b – c) = a + c – b
 a – b = c
 (a + m ) – (b + m) = c
 (a – n) – (b – n) = c
	¯Hiệu không đổi : Nếu ta cùng thêm (hoặc bớt) ở số bị trừ và số trừ đi cùng một số 
	¯ nếu ta thêm (hoặc bớt) ở số bị trừ đi bao nhiêu đơn vị và giữ nguyên số trừ thì hiệu tăng thêm hoặc giảm đi bấy nhiêu đơn vị.
 a – b = c
 (a + m ) – b = c + m
 (a – n) – b = c – n (n a)
	¯ nếu ta thêm (hoặc bớt) ở số trừ đi bao nhiêu đơn vị và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu giảm (hoặc tăng thêm) bấy nhiêu đơn vị.
 a – b = c
 a – (b + m ) = c – m 
 a – (b – m ) = c + m
	1.8.3 / Phép nhân
	¯ Tính chất giao hoán :
	Khi ta đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi
 a x b = b x a 
	¯Tính chất Kết hợp:
	Muốn nhân 3 thừa số, ta có thể nhân tích của thừa số thứ nhất và thừa số thứ hai với thừa số thứ ba (hoặc có thể nhân thừa số thứ nhất với tích thừa số thứ hai và thừa số thứ ba)
 a x b x c = a x (b x c)
	¯Bất kì số nào nhân với 0 cũng bằng 0.	a x 0 = 0
	¯Bất kì số nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó	a x 1 = a
	¯ Nhân với một tổng:
 a x (b + c) = a x b + a x c
	Muốn nhân một số với một tổng ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại.
	¯ Nhân với một hiệu:
	Muốn nhân một số với một hiệu ta có thể nhân số đó với số bị trừ, nhân số đó với số trừ, rồi trừ các kết quả cho nhau.
 a x (b – c) = a x b – a x c
	¯ Nếu gấp thừa số lên bao nhiêu lần thì tích gấp lên bấy nhiêu lần.
 a x b = c
(a x m) x b = c x m
	¯ Muốn tìm thừa số, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
 a x X = c
 X = c : a
1.8.4 / Phép chia
Ký hiệu
Tính chất
Tìm số bị chia, số chia chưa biết
 a : b = c
♦ a : 1 = a ; a : a = 1
♦ X : b = c
Số bị chia
Số chia
Thương
♦ a : b x c = (a : b) : c = (a : c) : b
X = c x b
♦ a : b : c = (a : c) : b = a : (b x c)
♦ (a x b) : c = a : c x b = a x (b : c)
♦ (a : c) : (b : c) = a : b 
♦ a : X = c
 X = a : c 
	¯Bất kì số nào chia cho 0 cũng bằng 0.	a x 0 = 0
	¯Bất kì số nào chia cho 1 cũng bằng chính số đó	a x 1 = a
	¯ Chia cho một tích:
 a : (b x c) = (a : b) : c = (a : c) : b (với b, c khác 0)
	Muốn chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể lấy số đó chia cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia cho thừa số kia.
	¯ Một tích chia cho một số:
	Muốn chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết) rồi nhân kết quả với số kia
 (a x b) : c = (a : c) x b = a x (b : c) (với c khác 0)
	¯ Nếu gấp số bị chia và số chia lên cùng một số lần thì thương không thay đổi.
 a : b = c (với b khác 0)
(a x m) : (b x m) = c (với m khác 0)
 a : b = c (b khác 0)
a : (b x n) = c : n (n khác 0)
a : (b : m) = c x m (m khác 0)
	¯ Trong phép chia nếu tăng (hoặc giảm) số chia đi bao nhiêu lần và giữ nguyên số bị chia thì thương sẽ giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần.
	¯ Trong phép chia nếu tăng (hoặc giảm) số bị chia đi bao nhiêu lần và giữ nguyên số chia thì thương sẽ tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.
 a : b = c (b khác 0)
(a x n) : b = c x n (n khác 0)
(a : m) : b = c : m (m khác 0)
	¯ Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia.
 X : a = c
 X = c x a (a khác 0)
	¯ Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương.
 a : X = c
 X = a : c (X khác 0)
 a : b = c (dư r) (b > 0, số dư r < b)
	Phép chia có dư :
	¯ Tìm số bị chia phép chia có dư :
 a = ( c x b) + r 
	Muốn tìm số bị chia trong phép chia có dư, ta lấy thương nhân với số chia rồi cộng với số dư.
	Ví dụ : X : 7 = 6 dư 2 X = 6 x 7 + 2
 X = 44 Thử lại : 44 : 7 = 6 dư 2
	¯ Tìm số chia phép chia có dư :
 b = ( a – r) : c 
	Muốn tìm số chia trong phép chia có dư, ta lấy số bị chia trừ cho số dư rồi chia cho thương.
	Ví dụ : 57 : X = 8 dư 1 X = (57 – 1) : 8
 X = 7 Thử lại : 57 : 7 = 8 dư 1
	¯ Trong phép chia có dư, số dư lớn nhất kém số chia 1 đơn vị
r + 1 = b
	2. Một số phương pháp cơ bản giải toán bậc tiểu học :
Theo chương trình và nội dung sách giáo khoa ở bậc tiểu học thì môn toán rất đa dạng, giáo viên cần thiết phải am tường để giảng dạy cho học sinh dễ hiểu và đạt kết quả cao nhất. Phần học sinh cũng cần thiết phải có kỹ năng giải toán để làm nền cho cấp học kế tiếp, đồng thời giải quyết được mọi tính toán trong đời sống hàng ngày .
Trên cơ sở nội dung của toán học ta có thể phân chia làm nhiều loại toán và cũng chính trên cơ sở toán được phân chia theo loại, nên ta có những phương pháp giải toán khác nhau nhằm giải quyết thích hợp cho từng loại toán. Sau đây là một số phương pháp cơ bản :
2.1/-phương pháp phân tích :
Phương pháp phân tích là dựa vào tính chất của số tự nhiên, tính chất của các phép tính và tư duy phân tích toán học nói chung để giải quyết các loại toán về số học đồng thời hỗ trợ cho nhiều phương pháp khác. Đường lối chung thường dùng đề phân tích tìm cách giải và giải các bài toán gồm bốn bước :
Bước 1 Đọc kĩ đề toán (ít nhất là hai lần), để nắm vững nội dung, ý nghĩa của bài toán : Xác định đâu là cái đã cho, đâu là cái phải tìm. Cần hết sức lưu ý tìm hiểu ý nghĩa của các từ quan trọng trong đề toán (chớ vội bắt tay vào tính toán khi chưa đọc kĩ đề).
Bước 2 : Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ, hình vẽ hoặc ngôn ngữ ngắn gọn. Thông qua đó, thiết lập mối quan hệ giữa những cái đã cho và những cái phải tìm.
	Bước 3 Phân tích bài toán để tìm cách giải
	Thông thường, ta xuất phát từ cái phải tìm, tức là câu hỏi của bài toán mà suy luận ngược lên cho tới điều đã cho để tìm cách giải. Như vậy, ta thường phải tự hỏi mình :
	-Bài toán hỏi gì ?
	-Muốn trả lời câu hỏi đó phải biết gì ?
	-Muốn biết cái đó thì phải thực hiện phép tính nào ?
	..........
	Ví dụ : Cứ 13,5m vải thì may được áo đồng phục cho 9 học sinh. Biết rằng lớp 5A có 45 học sinh, lớp 5B ít hơn lớp 5A là 3 học sinh. Hỏi cần phải dùng bao nhiêu mét vải để may áo đồng phục cho cả hai lớp ?
	Ta có thể phân tích để đi tìm cách giải như sau:
	-Bài toán hỏi gì ? (Số mét vải cần dùng cho cả hai lớp)
	-Muốn tìm số vải đó ta làm như thế nào ? (lấy tổng số học sinh của cả hai lớp nhân với số vải để may một áo)
	-Muốn tìm tổng số học sinh của cả hai lớp ta làm thế nào ? (lấy số học sinh lớp 5A cộng với số học sinh lớp 5B)
	-Số học sinh lớp 5A biết chưa ? (biết rồi : 45)
	-Số học sinh lớp 5B biết chưa ? ( chưa biết) . Có thể tính bằng cách nào ? (lấy số học sinh lớp 5A trừ đi 3).
	-Bây giờ muốn tìm số vải để may một áo ta làm thế nào ? (Lấy số vải để may 9 áo chia cho 9; tức là 13,5 : 9).
	Quá trình phân tích trên có thể được nhẩm trong đầu hoặc lần lượt ghi lại vắn tắt thành sơ đồ sau :
	 Tổng số vải
	 Tổng số HS x số vải để may một áo
	 5A + 5B	 (Số vải để may 9 áo) : 9
	 45 5A – 3 	 13,5 : 9 
	Đi ngược lại sơ đồ trên (từ dưới lên) ta có trình tự giải bài toán :
Tính số học sinh lớp 5B (Số học sinh lớp 5A – 3)
Tính tổng số học sinh hai lớp.
Tính số vải để may một áo (13,5m : 9)
Tính tổng số vải cân dùng (kết quả bước 2 nhân với kết quả bước 3)
	Bước 4 : Thực hiện chính xác các phép tính và trình bày bài giải
	-Thực hiện các phép tính theo trình tự đã được thiết lập để tìm đáp số. Mỗi khi thực hiện phép tính xong ta cần thử lại xem đã tính đúng chưa, phải thử xem đáp số có phù hợp với các điều kiện của bài toán không ?.
	-Trình bày bài giải (với bài toán đã nêu ở trên, ta trình bày bài giải như sau :
	Giải :
	Số vải để may áo cho một học sinh là :
	13,5 : 9 = 1,5 (m)
	Số học sinh lớp 5B là : 
	45 – 3 = 42 (học sinh)
	Số học sinh cả hai lớp là :
	45 + 42 = 87 (học sinh)
	Tổng số vải cần dùng là :
	1,5 x 87 = 130,5 (m)
	Đáp số : 130,5m
	Ghi chú : Khi học sinh làm bài kiểm tra thì chỉ cần tiến hành bước 4 này mà thôi.
2.2/-Phương pháp dùng sơ đồ đoan thẳng:
	2.2.1. Khái niệm về phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
 	PP sơ đồ đoạn thẳng(SĐĐT) là một PP giải toán ở tiểu học, trong đó mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm trong bài toán được biểu diễn bởi các đoạn thẳng.
	 Việc lựa chọn độ dài các đoạn thẳng để biểu diễn các đại lượng và sắp thứ tự của đoạn thẳng trong sơ đồ hợp lý sẽ giúp học sinh đi đến lời giải một cách tường minh.
	PP SĐĐT dùng để giải nhiều dạng toán khác nhau chẳng hạn: các bài toán đơn, các bài toán hợp và một số dạng toán có lời văn điển hình.
	2.2.2. Giải toán nâng cao dùng sơ đồ đoạn thẳng
Ví dụ 1: Một cửa hàng có 25 lít dầu đựng trong hai chiếc can. Sau khi bán 7 lít dầu của can thứ hai rồi chuyển 5 lít từ can thứ nhất sang can thứ hai thì số dầu có trong can thứ nhất gấp đôi can thứ hai. Tính số dầu đựng trong mỗi can lúc đầu.
Phân tích : 
Sau khi bán 7 lít thì cả hai can còn lại 18 lít. Như vậy ta đưa về một bài toán như sau : “Có 18 lít dầu đựng trong hai chiếc can. Số dầu can thứ nhất gấp đôi can thứ hai. Tính số dầu chứa trong mỗi can”.
Giải bài toán này ta tìm được số dầu đựng trong can thứ nhất sau khi đã chuyển sang can thứ hai 5 lít và số dầu trong can thứ hai sau khi đã bán đi 7 lít và nhận 5 lít từ can thứ nhất chuyển sang.
	Từ phân tích trên, ta đi đến lời giải bài toán như sau :
	Lời giải 
Sau khi bán 7 lít dầu, số dầu còn lại trong hai can là:
	25 – 7 = 18 (lít)
 ? lít
	Ta có sơ đồ sau :
18 lít
 ? lít
	Can 1:	|————|————|
	Số chia :	|————|
	Số dầu trong can thứ nhất lúc này là :
	18 : (2 + 1) x 2 = 12 (lít)
	Số dầu trong can thứ hai lúc này là :
	18 : (2 + 1) x 1 = 6 (lít)
	Số dầu trong can thứ nhất lúc đầu là :
	12 + 5 = 17 (lít)
	Số dầu trong can thứ hai lúc đầu là :
	25 – 17 = 8 (lít)
	Đáp số : Can 1 : 17 lít
	 Can 2 : 8 lít
Ví dụ 2: Tám năm về trước tuổi ba cha con cộng lại bằng 45, tám năm sau cha hơn con lớn 26 tuổi và hơn con nhỏ 34 tuổi. Tính tuổi của mỗi người hiện nay ?
Phân tích : 
	1/ Vì hiệu số tuổi hai người không thay đổi theo thời gian nên hiện nay cha hơn con lớn 26 tuổi, hơn con nhỏ 34 tuổi.
	2/ Tám năm trước tuổi ba cha con cộng lại bằng 45. Như vậy cho đến nay mỗi người thêm 8 tuổi. Cho nên tổng số tuổi của ba cha con hiện nay là : 
	45 + 8 x 3 = 69 (tuổi)
	Trên cơ sở phân tích như trên ta đi đến lời giải như sau :
	Lời giải 
	Tổng số tuổi của ba cha con hiện nay là : 
 34 tuổi
	Vì hiệu số tuổi hai người không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ sau biểu diễn tuổi ba cha con hiện nay :
 26 tuổi
69 tuổi
	Con nhỏ :	|——|------------------|
	Con lớn:	|———|---------------|
	Cha :	|—————— ——|
	Tuổi cha hiện nay là :
	(69 + 34 + 26) : 3 = 43 (tuổi)
	Tuổi con lớn hiện nay là :
	43 – 26 = 17 (tuổi)
	Tuổi con nhỏ hiện nay là :
	43 – 34 = 9 (tuổi)
	Đáp số : Cha 43 tuổi ; con lớn 17 tuổi ; con nhỏ 9 tuổi
	2.3/-Phương pháp rút về đơn vị – phương pháp dùng tỉ số:
	2.3.1. Khái niệm về Phương pháp rút về đơn vị – phương pháp dùng tỉ số:
	Phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số là hai phương pháp giải toán, dùng để giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch.
	Trong bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) thường xuất hiện ba đại lượng, trong đó có một đại lượng không đổi, hai đại lượng còn lại biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận (hoặc nghịch).
	Phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số là hai phương pháp giải toán khác nhau nhưng đều dùng để giải một dạng toán về tương quan tỉ lệ thuận (hoặc nghịch)
	2.3.2. Các bước giải bằng Phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp tỉ số:
	Trong bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) thường xuất hiện hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch). Trong hai đại lượng biến thiên người ta thường cho biết hai giá trị của đại lượng này và một giá trị của đại lượng kia rồi yêu cầu tìm giá trị còn lại của đại lượng thứ hai.
	Để tìm giá trị này ta có thể dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp tỉ số.
	a/ Phương pháp rút về đơn vị :
	-Bước 1: Rút về đơn vị : Trong bước này ta tính một đơn vị đại lượng thứ nhất ứng với bao nhiêu đơn vị của đại lượng thứ hai hoặc ngược lại. ( thường dùng phép chia )
	-Bước 2 : Tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai : Trong bước này ta lấy giá trị còn lại của đại lượng thứ nhất nhân với giá trị của đại lượng thứ hai.
	b/ Phương pháp dùng tỉ số :
	-Bước 1 :So sánh 2 giá trị và lập tỉ số
	-Bước 2 :Giá trị đại lượng thứ 2 tăng ( giảm ) theo tỉ số đã lập .
	Ví dụ 1 : May 5 bộ quần áo như nhau hết 20m vải. Hỏi may 23 bộ quần áo như thế thì hết bao nhiêu mét vải cùng loại.
	Phân tích :
	Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng.
	-Số mét vải để may một bộ quần áo là đại lượng không đổi.
	-Số bộ quần áo và số mét vải là hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận.
	Ta thấy :
	May 5 bộ quần áo hết 20m vải.
	May một bộ quần áo hết ? m vải.
	May 23 bộ quần áo hết ? m vải.
	Lời giải
	Số mét vải để may một bộ quần áo là :
	20 : 5 = 4 (m)
	Số mét vải để may 23 bộ quần áo là :
	4 x 23 = 92 (m)
	Đáp số : 92m vải
	Ví dụ 2 : Lát 9m2 nền nhà hết 100 viên gạch. Hỏi lát 36m2 nền nhà cùng loại gạch thì hết bao nhiên viên.
	Phân tích :
	Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng.
	-Một đại lượng không đổi là số viên gạch dùng để lát 1m2 nền nhà.
	Ta thấy diện tích 36m2 gấp 4 lần diện tích 9m2, vì vậy số gạch cần để lát 36m2 gấp 4 lần số gạch cần lát 9m2.
	-Hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận là số viên gạch và diện tích nền nhà.
	Lời giải
	Diện tích 36m2 gấp diện tích 9m2 số lần là :
	36 : 9 = 4 (lần)
	Số gạch cần để lát 36m2 nền nhà là :
	100 x 4 = 400 (viên)
	Đáp số : 400 viên gạch.
	Ví dụ 3 : Một đơn vị bộ đội chuẩn bị 5 được tạ gạo để ăn trong 15 ngày. Sau khi ăn hết 3 tạ thì đơn vị bổ sung thêm 8 tạ nữa. Hỏi đơn vị đó ăn trong bao nhiêu ngày thì hết toàn bộ số gạo đó ? Biết rằng số gạo của mỗi người ăn trong một ngày là như nhau.
	Phân tích
	Sau khi đơn vị ăn hết 3 tạ thì số gạo còn lại là 2 tạ. Với số gạo 8 tạ mua bổ sung thêm thì tổng số gạo đơn vị lúc này có là 10 tạ. Vậy bài toán có thể như sau :
	5 tạ thì ăn trong 15 ngày.
	10 tạ ăn trong ? ngày.
	Lời giải
	Cách 1:
	Thời gian để đơn vị đó ăn hết 1 tạ gạo là :
	15 : 5 = 3 (ngày)
	Số gạo đơn vị hiện có là :
	(5 – 3) + 8 = 10 (tạ)
	Thời gian để đơn vị đó ăn hết số gạo hiện có là :
	3 x 10 = 30 (ngày)
	Dáp số : 30 ngày
	Cách 2:
	Số gạo đơn vị hiện có là :
	(5 – 3) + 8 = 10 (tạ)
	Số gạo 10 tạ gấp 5 tạ số lần là :
	10 : 5 = 2 (lần)
	Thời gian để đơn vị đó ăn hết số gạo hiện có là :
	15 x 2 = 30 (ngày)
	Đáp số : 30 ngày
	Phụ chú : Ngoài hai phương pháp rút về đơn vị và tỉ số nêu trên ta còn có thể giải bằng “Quy tắc tam suất thuận” như sau, chẳng hạn.
	Cách 2 của ví dụ 1 :
	May 5 bộ quần áo hết 20m vải.
	May 23 bộ quần áo hết ? m vải.
	Số mét vải để may 23 bộ là :
	20 x 23 : 5 = 92 (m)
	Cách 2 của ví dụ 2 :
	Lát 9m2 hết 100 viên 
	Lát 36m2 hết ? viên 
	Số gạch cần để lát 36m2 nền là :
	(100 x 36) : 9 = 400 (viên)
	Phụ chú : Trong loại toán này hầu hết có thể giải bằng 2 cách, nhưng cũng có một số ít chỉ có thể giải bằng 1 trong 2 cách mà thôi .
	2.3.3. ứng dụng phương pháp rút về đơn vị và phương pháp dùng tỉ số giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.
	Ví dụ 1: Hai bạn An và cường được lớp phân công đi mua kẹo về liện hoan. Hai bạn nhẩm tính nếu mua kẹo loại 4000 đồng 1 gói thì được 21 gói. Hỏi cùng số tiền đó mà các bạn mua loại kẹo 7000 đồng 1 gói thì được bao nhiêu gói ?
	Phân tích : Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng :
	-Một đại lượng không đổi là số tiền mua kẹo.
	-Hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ nghịch là số gọi kẹo mua được và giá tiền 1 gói kẹo.
	Cách 1 :
	Nếu giá 1000 đồng 1 gói thì số gói kẹo mua được là
	21 x 4 = 84 (gói)
	Nếu giá 7000 đồng 1 gói thì số gói kẹo mua được là
	84 : 7 = 12 (gói)
	Đáp số : 12 gói
	Cách 2 :
	Số tiền hai bạn đi mua kẹo là
	21 x 4000 = 84000 (đồng)
	Số gói kẹo loại 7000 đồng mua được là
	84000 : 7000 = 12 (gói)
	Đáp số : 12 gói
	Ví dụ 2: Một đội công nhân chuẩn bị đủ gạo cho 40 người ăn trong 15 ngày. Sau 3 ngày có 20 công nhân được điều đi làm việc ở nơi khác. Hỏi số công nhân còn lại ăn hết số gạo trong bao nhiêu ngày ? Biết rằng khẩu phần ăn của mọi người là như nhau.
	Phân tích : Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng:
	-Một đại lượng không đổi là số gạo của một người ăn trong ngày.
	-Hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ nghịch là số người ăn và số ngày ăn hết số gạo.
	Phân tích : Sau khi ăn được 3 ngày thì số gạo còn đủ cho 40 người ăn trong 12 ngày nhưng chỉ có 20 người ăn số gạo còn lại đó. Vậy bài toán có thể đưa về dạng :
	40 người ăn trong 12 ngày
	20 người ăn trong ? ngày
	Lời giải
	Cách 1 :
	Số gạo còn lại đủ cho 40 người ăn trong số ngày là :
	15 – 3 = 12 (ngày)
	Số công nhân còn ở lại là :
	40 – 20 = 20 (người)
	Một người ăn hết số gạo còn lại trong số ngày :
	12 x 40 = 480 (ngày)
	Thời gian để số công nhân còn lại ăn hết gạo là:
	480 : 20 = 24 (ngày)
	Đáp số : 24 ngày
	Cách 2 :
	Số gạo còn lại đủ cho 40 người ăn trong số ngày là :
	15 – 3 = 12 (ngày)
	Số công nhân còn ở lại là :
	40 – 20 = 20 (người)
	Bốn mươi người gấp 20 người số lần là:
	40 : 20 = 2 (lần)
	Thời gian để số công nhân còn lại ăn hết gạo là:
	112 x 2 = 24 (ngày)
	Phụ chú : Ngoài hai phương pháp rút về đơn vị và tỉ số nêu trên ta còn có thể giải bằng “Quy tắc tam suất nghịch” như sau, chẳng hạn : cách 2 ở ví dụ 1
	Giá 4000 đồng 1 gói thì mua được 21 gói
	Giá 7000 đồng 1 gói thì mua được ? gói
	Nếu giá 7000 đồng 1 gói thì số gói kẹo mua được là :
	21 x 4000 : 7000 = 12 (gối)
	Đáp số : 12 gói.
2.4. Phương pháp chia tỉ lệ :
	2.4.1. Khái niệm về phương pháp chia tỉ lệ :
	Phương pháp chia tỉ lệ là một phương pháp giải toán, dùng để giải bài toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ hoặc hiệu và tỉ số của hai số đó.
	Phương pháp chia tỉ lệ còn dùng để giải các bài toán về cấu tạo số tự nhiên, cấu tạo phân số, cấu tạo số thập phân, các bài toán có nội dung hình học, các bài toán chuyển động đều...
	2.4.2 Các bước giải toán bằng phương pháp chia tỉ lệ
	Khi giải toán bằng phương pháp chia tỉ lệ ta thường tiến hành theo bốn bước:
	Bước 1 : Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Dùng các đoạn thẳng để biểu thị các số cần tìm. Số phần bằng nhau của các đoạn thẳng đó được ứng với tỉ số của các số cần tìm.
	Bước 2: Tìm tổng (hoặc hiệu) số phần bằng nhau.
	Bước 3: Tìm giá trị một phần.
	Bước 4 : Xác định mỗi số cần tìm
	Đôi khi ta có thể kết hợp các bước 2, 3 và 4.
	2.4.3. Ứng dụng phương pháp chia tỉ lệ để giải bài toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng.
	Ví dụ : Tuổi chị và tuổi em hiện nay bằng 32. Khi tuổi chị bằng tuổi em hiện nay thì tuổi chị gấp 3 lần tuổi em. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
	Lời giải
	Vì hiệu số tuổi hai chị em không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ sau :
	Tuổi em trước đây :	|——|
 ? tuổi
	Tuổi chị trước đây :	|——|——|——|
32 tuổi
 ? tuổi
	Tuổi em hiện nay:	|——|——|——|
	Tuổi em hiện nay:	|——|——|——|——|——|
	Tuổi em hiện nay là :
	32 : (3 + 5) x 3 = 12 (tuổi)
	Tuổi chị hiện nay là :
	32 – 12 = 20 (tuổi)
	Đáp số : Em 12 tuổi ; Chị 20 tuổi
	2.4.4. Ứng dụng phương pháp chia tỉ lệ để giải bài toán về tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng.
	Ví dụ : Năm năm trước con lên 8 tuổi và kém cha 32 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi cha hơn 3 lần tuổi con là 2 tuổi ?
	Lời giải
	Ta nhận xét : Vì hiệu số tuổi hai chị em không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ sau biểu thị số tuổi của hai cha con khi tuổi cha hơn 3 lần tuổi con là 2 tuổi:
?
2 tuổi
	Tuổi con:	|——|
32 tuổi
	Tuổi cha :	|——|——|——|—|
	Tuổi con lúc đó là :
	(32 – 2) : (3 – 1) = 15 (tuổi)
	Tuổi con hiện nay là :
	8 + 5 = 13 (tuổi)
	Thời gian từ nay cho đến khi đó là :
	15 – 13 = 2 (năm)
	 Đáp số : 2 năm
	2.4.5. Ứng dụng phương pháp chia tỉ lệ để giải bài toán về cấu tạo số tự nhiên
	Ví dụ : Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 8 vào bên trái số đó ta được một số gấp 26 lần số cần tìm.
	Lời giải
	Cách 1
	Gọi số cần tìm là . Khi viết thêm chữ số 8 vào bên trái ta được số . Theo đề ta có :