Kinh nghiệm hướng dẫn giải các bài toán điển hình bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng

I.
T
rong năm học 2014 – 2015, tôi là giáo viên chủ nhiệm và là giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán cho học sinh lớp 5. Sau khi học sinh học xong các nội dung trên, các em giải chỉ được những bài toán đơn giản trong chương trình, vẽ sơ đồ chưa chính xác tỉ lệ chưa thể hiện được bài toán. Điều đó thể hiện qua bảng thống kê chất lượng kiểm tra sau :
 Trung bình cộng; Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
 Xếp loại
Tổng số HS
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
 28 em
11
39
7
25
7
25
3
11
- Tìm hai số khi biết tổng và tỉ của hai số đó.
- Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của hai số đó.
 Xếp loại
Tổng số HS
Giỏi
Khá
T.Bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
28 em
4
14
8
29
11
39
5
18
 Nhìn vào bảng thống kê ta có thể thấy được kiểm tra 2 dạng toán:Trung bình cộng; Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó thì các em đạt điểm cao hơn: Giỏi, Khá 18 em chiếm 64 % ; có 3 học sinh bị điểm yếu. còn dạng toán:Tìm hai số khi biết tổng và tỉ của hai số đó;Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của hai số đó thì kết quả rất thấp: Giỏi, Khá 12 em chiếm 43 % ; Yếu 5 em chiếm 18 %.
 Với sự khảo sát các em làm bài đạt chất lượng chưa cao là vì các em nắm chưa vững các dạng toán. Tôi xin trình bày một số nội dung và giải pháp mới sau:
II. NỘI DUNG GIẢI PHÁP MỚI:
 Để giúp học sinh có kỹ năng giải toán nói chung và kỹ năng giải bằng “Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng” nói riêng. Tôi đã giúp cho học sinh nắm một số bước cơ bản sau đây:
 CÁC BƯỚC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẰNG “PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG”
	Để giúp học sinh có được kỹ năng sử dụng “ Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng” giải các bài toán điển hình tôi đã chú ý các bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu đề bài.
 Đọc kỹ bài toán (Phân tích xem bài toán cho gì, hỏi hoặc tính cái gì, thuộc loại nào? Cần tìm hiểu kỹ ý nghĩa đầu bài toán và ý nghĩa của từng lời)
Bước 2: Lập luận để vẽ sơ đồ.
 Tóm tắt được bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng một cách cẩn thận, chính xác; từ đó suy nghĩ, tìm tòi phát hiện mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm.
 Khi vẽ sơ đồ phải chọn độ dài các đoạn thẳng và sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải một bài toán. 
 Có thể nói đây là một bước quan trọng vì đề toán được làm sáng tỏ: mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán được nêu bật. Các yếu tố không cần thiết được lượt bỏ. 
 Để rèn luyện kĩ năng tóm tắt đề bằng sơ đồ đoạn thẳng, trước hết hướng dẫn học sinh làm quen với cách biểu thị một số mối quan hệ oán học.
 Quan hệ “số b lớn hơn số a 3 đơn vị” hay “số a kém số b 3 đơn vị” có thể biểu thị một trong hai cách:
	3
 a	 a
 	3	
 b 	 b	
 Quan hệ “số b gấp 3 lần số a” hay “số a kém 3 lần số b”. 
a	 a	
 b	b
 Để nói tổng 2 số a và b là số S nào đó ta dùng dấu ngoặc móc. 
 a	a	S
S b	b
 Để nói hiệu 2 số a và b là số c nào đó, ta có thể tóm tắt:
	 a
 c
	b
 Để nói rằng a bằng hai phần ba số b ta dùng:
	a
	b
Để có thể thực hiện những bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng thì nắm được cách biểu thị các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) các mối quan hệ (quan hệ về tổng, hiệu, quan hệ về tỉ số) là hết sức quan trọng. Vì nó làm một công cụ biểu đạt mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng. “Công cụ” này học sinh đã được trang bị từ những lớp đầu cấp nhưng cần được tiếp tục củng cố, “mài giũa” ở các lớp cuối cấp.
Bước 3: Phân tích bài toán để tìm cách giải. Ở đây, muốn trả lời câu hỏi bài toán thì phải biết những gì? Cần phải làm tính gì? Trong đó ta đã biết gì? Cái gì chưa biết, cái gì đã biết. Muốn tìm cái chưa biết thì lại phải biết gì? Cần làm gì? Cứ như thế ta đi tìm tới những điều đã cho trong đề toán (theo hướng phân tích đi lên)
Bước 4: Giải và kiểm tra các bước giải.
Trình bày bài giải:
 Thực hiện các bước giải của bài giải. Thực hiện các phép tính theo trình tự được thiết lập để tìm đáp số; chú ý kiểm tra từng bước tính toán suy luận. tránh viết tắt, dùng kí hiệu tuỳ tiện. Đối với học sinh khá giỏi sau khi trình bày bài giải phải rút ra kinh nghiệm tìm ra cách giải khác; cố gắng tìm ra cách giải ngắn gọn và hay nhất.
 Bước 5: 
 Bài toán còn có cách giải nào khác?
 Ra đề toán mới tương tự, khai thác bài toán bằng mở rộng và khái quát hoá (thường dùng cho học sinh khá, giỏi).
 Tóm lại, để học sinh có thể giải các bài toán thành thạo bằng “Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng” trong việc giải toán thì việc giúp cho các em hiểu rõ nội dung của từng dạng toán sau đó có thể mô hình hoá nội dung từng dạng bằng sơ đồ đoạn thẳng từ đó tìm ra cách giải bài toán là một việc làm hết sức quan trọng. Làm được việc này giáo viên đã đạt được mục tiêu lớn nhất trong giảng dạy đó là việc không chỉ dừng lại ở việc “dạy toán” mà còn hướng dẫn học sinh “học toán sao cho đạt hiệu quả cao nhất” vì dạy toán không phải là “giải toán cho học sinh” mà là “dạy học sinh giải toán”. 
 Để khẳng định cụ thể hơn lợi ích của việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để dạy giải toán ở tiểu học tôi xin trình bày một số dạng toán cơ bản mà khi giải có thể sử dụng sơ đồ đoạn thẳng. 
 Dạng 1: Dạng toán có liên quan đến số trung bình cộng 
Đối với dạng toán này, học sinh nắm được khái niệm số trung bình cộng. Biết cách tìm số trung bình cộng của nhiều số. Khi giải các bài toán dạng này, thông thường các em thường sử dụng công thức. 
 1. Số trung bình = Tổng : số các số hạng 
 2. Tổng = số trung bình cộng x số các số hạng 
 3. Số các số hạng = Tổng : số trung bình cộng 
Áp dụng kiến thức cơ bản đó học sinh được làm quen với rất nhiều dạng toán về trung bình cộng mà có những bài toán nếu không tóm tắt bằng sơ đồ, học sinh sẽ rất khó khăn trong việc suy luận tìm ra cách giải. 
Ví dụ: Cho ba số có trung bình cộng bằng 21. Tìm ba số đó, biết rằng số thứ ba gấp 3 lần số thứ hai, số thứ hai gấp 2 lần số thứ nhất.
Giải:
?
?
?
Sau khi đọc kỹ đề toán, phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài, học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ: 
Số thứ nhất:	
Số thứ hai 63
Số thứ ba
Sau khi hướng dẫn tìm hiểu đề và tóm tắt bằng sơ đồ, nhiều học sinh đã biết từng bước tìm cách giải. Những em chưa làm được bài, sau khi nghe bạn trình bày cách suy luận của sơ đồ các em đều nắm được và biết tự giải quyết các bài toán dạng tương tự. 
Tổng của 3 số là:
21 x 3 = 63
Số thứ nhất là:
63 : ( 1 + 2 + 6) = 7
Số thứ hai là:
7 x 2 = 14
Số thứ ba là:
14 x 3 = 42
Đáp số:- Số thứ nhất: 7
 - Số thứ hai: 14
 - Số thứ ba: 42
Ví dụ 2: Dùng sơ đồ có thể giúp học sinh hiểu hoặc các em có thể giải thích cách làm dạng toán tìm 2 số khi biết hiệu và trung bình cộng của 2 số đó một cách ngắn gọn. 
	Ta thấy: 
 Hiệu
 Số lớn: 
Số bé: 
TBC: 
Qua sơ đồ ta có thể tìm ra: 
 Số lớn = TBC + ( Hiệu : 2)
 Số bé = TBC – ( Hiệu : 2) 
Ví dụ 3: 
	Một tổ công nhân đường sắt sửa đường, ngày thứ nhất sửa được 17m đường, ngày thứ hai sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 2m, ngày thứ ba sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 4m. Hỏi trung bình mỗi ngày sửa được bao nhiêu mét đường? 
	Ta có sơ đồ: 
	 	17 m
	Ngày thứ nhất: 
	 2m
Ngày thứ hai:	 
 4m 
Ngày thứ ba:
 Thông thường ta giải bài toán như sau: 
	Ngày thứ hai sửa được là:
	17 + 2 = 19 (m)
 Ngày thứ 3 sửa được 
	17 + 4 = 21 (m) 
	Trung bình mỗi ngày sửa được 
	(17 + 19 + 21) : 3 = 19 (m) 
	Đáp số: 19 m 
Nhận xét: Quan sát kỹ sơ đồ ta thấy nếu chuyển 2 mét từ ngày thứ ba sang ngày thứ nhất thì số m đường sửa được trong các ngày đều bằng 19 m. 
	 	 17m	 2m
	Ngày thứ nhất: 
	 2m
Ngày thứ hai:	 
 2m 2m
 Ngày thứ ba:
 Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày tổ đó sửa được 19m đường. 
Như vậy, sơ đồ giúp ta hình dung rõ khái niệm, đôi khi sơ đồ còn giúp ta tính nhẩm nhanh kết quả. 
Dạng 2: Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
Bài toán: Tổng hai số là 82, hiệu hai số là 16. Tìm hai số đó? 
	Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, căn cứ sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải. 
	Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tổng, hiệu, các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dưới đây. 
 82
	Số lớn: 
	 16	 
Số bé: 
Nhìn vào sơ đồ, yêu cầu học sinh nhận xét: 
+ Nếu lấy tổng trừ đi hiệu, kết quả đó có quan hệ như thế nào với số bé? (Giáo viên thao tác che phần hiệu là 16 trên sơ đồ)... từ đó học sinh sẽ dễ dàng nhận thấy phần còn lại là 2 lần số bé. 
Dựa vào suy luận trên, yêu cầu học sinh nêu cách tìm số bé. 
Hơn 80% số em nêu được tìm số bé là:
(82 – 16) : 2 = 33
Tìm được số bé suy ra số lớn là:
33 + 16 = 49
Hay: Số lớn là:
82 – 33 = 49
Từ bài toán ta xây dựng được công thức tính:
Số bé = ( Tổng – hiệu) : 2
 = Số bé + hiệu 
Số lớn
 = Tổng – số bé	
Cách giải vừa nêu trên là dễ nhất với học sinh. Tuy nhiên cũng có thể giới thiệu thêm phương pháp sau đây: 
Cũng biểu thị mối quan hệ hiệu nhưng sử dụng sơ đồ 
	Số lớn: 
	 16	 82
Số bé: 
Suy luận: nếu thêm một đoạn thẳng hiệu (16) vào số bé ta được hai đoạn thẳng bằng nhau tức là hai lần số lớn. 
Từ đó suy ra: 
	Số lớn là:
	(82 + 16) : 2 = 49 
	Vậy số bé là:
 49 – 16 = 33
 Hoặc: Số bé là:
 82 – 49 = 33
Sau khi học sinh đã nắm được cách giải ta xây dựng công thức tổng quát:
Số lớn = ( Tổng + hiệu) : 2
Số bé
 = Số lớn – hiệu
 = Tổng – số lớn
 Giáo viên nói thêm số lớn bằng tổng chia hai cộng hiệu chia hai = (tổng + hiệu) :2 chính là cách tìm số lớn.
 Như vậy qua sơ đồ đoạn thẳng học sinh nắm được phương pháp giải dạng toán này và có thể áp dụng để giải các bài tập về tìm hai số khi biết tổng và hiệu ở nhiều dạng khác nhau. 
Ví dụ 1: 
Ba lớp A, B, C mua tất cả 150 quyển vở. Tính số vở của mỗi lớp. Biết rằng nếu lớp 4A chuyển cho lớp 4B 15 quyển và cho lớp 4C 10 quyển thì số vở của 3 lớp sẽ bằng nhau.
Giải
Phân tích nội dung bài toán sẽ vẽ được sơ đồ
	 15	10
Lớp 4A: 
	 15
Lớp 4B: 	150
Lớp 4C: 
 10 
Dựa vào sơ đồ ta có:
Sau khi lớp 4A chuyển cho hai lớp thì mỗi lớp có số vở là:
150 : 3 = 50 (quyển)
Lúc đầu lớp 4C có là:
50 - 10 = 40 (quyển)
Lúc đầu lớp 4B có là:
50 - 15 = 35 (quyển)
Lúc đầu lớp 4A có là:
50 + 15 + 10 = 75 (quyển)
Đáp số: 4A: 75 quyển; 4B: 35 quyển; 4C: 40 quyển.
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
Bài toán: Một đội tuyển học sinh giỏi toán có 12 bạn, trong đó số bạn gái bằng số bạn trai. Hỏi có mấy bạn gái, mấy bạn trai trong đội tuyển đó? 
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, cắn cứ vào sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải: 
Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tỷ số và các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dưới đây: 
Số bạn trai: 
	 12 bạn
Số bạn gái: 
Vẽ sơ đồ đoạn thẳng thế này học sinh dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài toán: cả trai và gái có 12 bạn (biểu thị mối quan hệ về tổng) và có số bạn trai gấp 3 lần số bạn gái (biểu thị mối quan hệ về tỉ). 
	 Sơ đồ trên gợi cho ta 12 gồm (3+1)=4 phần bằng nhau. Từ đó dễ dàng tìm số bạn gái bằng cách 12 : (3+1) = 3 từ đó tìm được số học sinh trai.
Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là
1 + 3 = 4 (phần)
Số bạn gái trong đội tuyển là
12 : 4 = 3 (bạn)
Số bạn trai trong đội tuyển là
3 x 3 = 9 (bạn)
Hoặc 12 – 3 = 9 (bạn)
	Đáp số: 	Trai: 9 bạn	Gái: 3 bạn 
Từ bài toán cơ bản trên ta xây dựng các bước giải bài toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của 2 số đó”. 
 Bước 1: Vẽ sơ đồ 
 Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau 
 Bước 3: Tìm giá trị một phần
 Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau 
 Bước 4: Tìm số bé 
 Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé 
 Bước 5: Tìm số lớn 
 = giá trị 1 phần x số phần của số lớn 
	 = Tổng – số bé 
Số lớn 
Nắm được các bước giải học sinh sẽ biết áp dụng để giải nhiều bài toán cùng dạng, học sinh giỏi sẽ biết áp dụng quy tắc để giải các bài toán khó dạng này (đó là các bài toán cùng dạng như tổng, tỉ được thể hiện dưới dạng ẩn). 
Đề 1: Tuổi anh hiện nay gấp 3 lần tuổi em trước kia, lúc đó tuổi anh bằng tuổi em hiện nay. Sau này lúc tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì tổng số tuổi của hai anh em sẽ bằng 28. Tính tuổi hiện nay của anh và của em.
 (Bài toán trong quyển: phương pháp dạy học Toán.Giáo trình đào tạo GV Tiểu học hệ CĐSP).
Bài giải:
+ Trước kia
Tuổi em
?
?
Tuổi anh
?
?
+ Hiện nay
Tuổi em
Tuổi anh
 Sau này:
Tuổi em
 28 tuổi 
Tuổi anh 
 A B C D E
( Khi vẽ đồ chú ý vẽ sao cho tuổi anh trước đây bằng tuổi em hiện nay và tuổi anh hiện nay bằng tuổi em sau này).
 BC biểu thị hiệu của tuổi anh và tuổi em trước đây.
 CD biểu thị hiệu của tuổi anh và tuổi em hiện nay.
 DE biểu thị hiệu của tuổi anh và tuổi em sau này.
 Vì hiệu số tuổi không thay đổi nên BC =CD = DE
 Tiếp theo ta có:
 AD bằng tuổi anh hiện nay.
 AB bằng tuổi em trước đây.
 Vì vậy, AD gấp 3 lần AB, nhưng vì BC =CD
 Nên AB = BC =CD.
 Như thế nếu gọi tuổi em trước đây là 1 phần thì tuổi em sau này bằng 3 phần, tuổi anh sau này bằng 4 phần và tổng số tuổi của hai anh em bằng 7 phần. Do đó:
 Số tuổi 1 phần bằng:
28: 7 = 4 ( tuổi)
Tuổi em hiện nay:
4 x 2 = 8 ( tuổi)
Tuổi anh hiện nay:
4 x 3 = 12 (tuổi)
Đáp số: 8 tuổi; 12 tuổi.
Đề 2:
 Học sinh khối 3, khối 4 và khối 5 cùng thu nhặt giấy vụn để đóng góp phong trào “ kế hoạch nhỏ” được tất cả 360 kg. Biết số giấy vụn của khối 5 thu nhặt được gấp đôi số giấy vụn của khối 3 và bằng khối 4. Tính số giấy vụn mỗi khối ?
( Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hải Dương năm học 2001 – 2002)
Bài giải:
 Theo đề bài ra ta có sơ đồ:
?
?
?
 Số giấy Khối 3: 
 360 kg 
 Số giấy Khối 5:
 Số giấy Khối 4
Tổng số phần bằng nhau mà 3 khối có:
1 + 2 + 3 = 6 (phần)
Số giấy khối 3 là:
360 : 6 = 60 (kg)
Số giấy khối 5 là:
60 x 2 = 120 (kg)
Số giấy khối 4 là:
60 x 3 = 180 (kg)
 Đáp số: 	Khối 3: 60 kg
 Khối 5: 120 kg
 Khối 4: 180 kg
 Dùng phương pháp giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của 2 số đó học sinh dễ dàng tìm ra đáp số bài toán. 
 Qua các ví dụ trên ta có thể thấy sơ đồ đoạn thẳng không chỉ đơn thuần dùng để tóm tắt bài toán mà còn là một công cụ giúp cho việc suy luận tìm ra cách giải toán. Sử dụng sơ đồ ta có thể làm cho các bài toán khó, phức tạp trở thành các bài toán đơn giản theo dạng cơ bản nên có thể dễ dàng giải được. 
Đề 3: Ông chia 105 quyển vở cho 3 cháu theo tỉ lệ: Cứ Hồng được 4 quyển thì Cúc được 3 quyển và cứ Mai 7 quyển thì Hồng được 6 quyển. Hỏi mỗi cháu được bao nhiêu quyển vở? 
 ( Đề thi học sinh giỏi Khối 4 Quận Ba Đình năm học 1997- 1998)
Giải:
 Từ đề bài ta thấy cứ Hồng 4 x 3 = 12 quyển thì Cúc 3 x 3 = 9 quyển và Hồng 6 x 2 = 12 quyển thì Mai 7 x 2 = 14 quyển. Hay số vở của Hồng chiếm 12 phần, Cúc 9 phần, Mai 14 phần. 
 ?
?
?
 105 quyển
 Từ đó ta có sơ đồ: 
Số vở của 
Cúc 	
Số vở của 
Hồng
Số vở của 
Mai
Ta có tổng số phần: 9 + 14 + 12 = 35 (phần)
Số vở 1 phần:
105 : 35 = 3 (quyển)
Số vở của Cúc là:
3 x 9 = 27 (quyển).
Số vở của Hồng là:
3 x 12 = 36 (quyển)
Số vở của Mai là:
3 x 14 = 42 (quyển)
	Đáp số:	Cúc: 27 quyển
	Hồng: 36 quyển
	Mai: 42 quyển 
Dạng 4: Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
Số thứ nhất kém số thứ hai là 123. Tỉ số của hai số đó là . Tìm hai số đó.
 Hướng dẫn: Các bước giải:
 + Vẽ sơ đồ
 + Tìm hiệu số phần bằng nhau.
 + Tìm số bé.
 + Tìm số lớn.
Học sinh phân tích để vẽ sơ đồ vừa biểu thị mối quan hệ về hiệu, vừa biểu thị mối quan hệ về tỉ số: 
 Bài giải
Theo đề bài ta có sơ đồ:
?
?
123
Số bé: 
Số lớn: 
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
5 – 2 = 3 (phần)
Số bé là: 123 : 3 x 2 = 82
Số lớn là: 123 + 82 = 205
 Đáp số: số bé: 82; số lớn: 205
Từ bài toán cơ bản trên ta xây dựng các bước giải bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của 2 số đó”. 
Bước 1: Vẽ sơ đồ
Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau
Bước 3: Tìm số bé
 Số bé = Hiệu : Hiệu số phần bằng nhau x số phần của số bé
Bước 4: Tìm số lớn
 = Số bé + hiệu
 = Hiệu : Hiệu số phần bằng nhau x số phần của số lớn
Số lớn
 Nắm vững quy tắc giải học sinh cũng sẽ biết áp dụng để giải các bài toán nâng cao. 
Việc dùng sơ đồ đoạn thẳng một lần nữa lại thể hiện vai trò vô cùng quan trọng vì sơ đồ chính là chỗ dựa giúp học sinh dễ dàng trong việc suy luận tìm ra cách giải. Ta có thể lấy một số bài toán sau đây làm ví dụ. 
 Đề 1: Một cửa hàng có số gạo nếp ít hơn số gạo tẻ là 540 kg. Tính số gạo mỗi loại, biết rằng số gạo nếp bằng số gạo tẻ.
 Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó) Toán 4 tập 2.
Hướng dẫn: Các bước giải
Vẽ sơ đồ.
Tìm hiệu số phần bằng nhau.
Tìm số gạo mỗi loại.
Giải:
?
540 kg
? kg
 Ta có sơ đồ: 
Gạo nếp: 
Gạo tẻ:
Hiệu số phần bằng nhau là:
4 – 1 = 3 ( phần)
Số gạo nếp là:
540 : 3 = 180 ( kg)
Số gạo tẻ là:
540 + 180 = 720 ( kg)
 Đáp số: Gạo nếp: 180 kg; gạo tẻ: 720 kg.
Ví dụ 2: Hiện nay cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi con. Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay? 
Đây là một bài toán khó, học sinh sẽ lúng túng vì cả hiệu và tỉ số đều dưới dạng ẩn. Nhưng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng các em sẽ có số dựa vào suy luận và đưa ra bài toán về dạng điển hình. 
Sơ đồ bài toán: 
Trước đây 6 năm: 
Tuổi con: 
 	Tuổi cha: 
Hiện nay: 12 lần tuổi con trước đây 6 năm
 Tuổi con: 
	Tuổi cha: 
Theo sơ đồ, hiệu số tuổi của cha và con bằng 12 lần tuổi con trước đây.
Còn hiệu số tuổi của cha và con hiện nay bằng 3 lần tuổi con hiện nay.
Vì hiệu không thay đổi nên 3 lần tuổi con hiện nay bằng 12 lần tuổi con trước đây. 
Ta vẽ sơ đồ biểu thị tuổi con trước đây và tuổi con hiện nay: 
Tuổi con trước đây: 
	6 năm 
Tuổi hiện nay: 
Bài toán được đưa ra dạng cơ bản học sinh dễ dàng giải được: 
Giải
Từ sơ đồ suy ra tuổi con trước đây là:
6 : (4 – 1) = 2(tuổi)
Tuổi con hiện nay là:
2 + 6 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là:
4 x 8 = 32 (tuổi)
	Đáp số: 	Cha: 32 tuổi ; Con: 8 tuổi
III. KẾT QUẢ
 Thực tế giảng dạy ở trường tiểu học tôi nhận thấy việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong dạy toán điển hình hết sức cần thiết và có hiệu quả cao. Sau quá trình thực hiện đề tài kết quả bài kiểm tra về giải toán về điển hình cao hơn và kết quả học tập môn toán của học sinh cũng nâng cao rõ rệt. 
 Nhìn vào bảng thống kê ta thấy: 
- Học sinh Giỏi, Khá của dạng điển hình:Trung bình cộng; Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó của năm học 2012 - 2013 là 90,4%, tăng 12,1% so với năm học 2011-2012.
@ Phần 3: KẾT LUẬN
 -----–&—-----
I. KHÁI QUÁT CÁC KẾT LUẬN
D
ạy giải các bài toán điển hình bằng “ Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng” là khi phân tích một bài toán cần phải thiết lập được các mối liên hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng cho trong bài toán đó. Muốn làm việc này ta dùng các đoạn thẳng thay thế cho các số ( số đã cho, số phải tìm trong bài toán) để minh hoạ các mối quan hệ đó. Ta phải chọn độ dài các đoạn thẳng và cần sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để dễ dàng thấy được mối liên hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải bài toán.
 Để giúp học sinh có được kỹ năng sử dụng “ Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán điển hình tôi đã chú ý các bước sau:
Bước 1: Đọc kỹ bài toán (Phân tích xem bài toán cho gì, hỏi hoặc tính cái gì, thuộc loại nào? Cần tìm hiểu kỹ ý nghĩa đầu bài toán và ý nghĩa của từng lời)
Bước 2: Tóm tắt được bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng một cách cẩn thận, chính xác; từ đó suy nghĩ, tìm tòi phát hiện mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm.
 Bước 3: 
Phân tích bài toán để tìm ra cách giải. Huy động vốn kiến thức toán học, nắm vững các bước giải các dạng toán điển hình để áp dụng giải.
Bước 4: 
Trình bày bài giải và thử lại kết quả.
Thực hiện các bước giải của bài giải. Thực hiện các phép tính theo trình tự được thiết lập để tìm đáp số; chú ý kiểm tra thử lại từng bước tính toán suy luận và đáp số. tránh viết tắt, dùng kí hiệu tuỳ tiện. 
 Bước 5: 
Khai thác bài toán, sau khi làm xong cần suy nghĩ:
Có thể giải bài toán theo cách khác không.
Từ bài toán có rút ra nhận xét kinh nghiệm gì.
Từ bài toán này đặt bài toán mới như thế nào và giải ra sao.
 II. LỢI ÍCH VÀ KHẢ NĂNG VẬN DỤNG.
 Hướng dẫn các em giải các bài toán điển hình bằng “ Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng” là thiết thực. Bởi vì học sinh khi vẽ được sơ đồ thì các em sẽ nhìn thấy được hướng giải bài toán.
 “ Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng” phù hợp v