Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong sách giáo khoa Toán 9

 tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho HS ở nhiều đối tượng khác nhau.
+ Để giải quyết vấn đề trên trong quá trình giảng dạy cần chú trong các bài toán ở SGK. Biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học, vừa có điều kiện tăng khả năng nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này.
+ Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải toán vì nó không tạo cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có sự tự tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn hình thành cho các em sự yêu thích và đam mê bộ môn hơn.
- Các em phải được tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. 
- Phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hình thành cho học sinh tư duy tích cực ,độc lập và kích thích tò mò ham tìm hiểu đem lại niềm vui cho các em.
	II.3. Giải pháp, biện pháp
a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :
	- Tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học.
	- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài.
	- Giải hoặc hướng dẫn học sinh cách giải. 
	- Khai thác bài toán và giúp học sinh hướng giải bài toán đã được khai thác	
	- Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
	 	- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
 	- Kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
	- Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra. Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
	- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán hình học, thông qua các bài toán có tính tư duy.
	b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
 	Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra 4 bài toán trong Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1& tập 2): 	
Bài 1: ( Bài tập 11 trang 104 SGK – Toán 9 tập 1)
	Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh CH = DK (Gợi ý kẻ OM ).
Cho (O, ), dây CD không cắt AB 
AHCD tại H; BKCD tại K
Giải:
GT
KL
C/m: CH = DK
Chứng minh:
	Ta có và (gt) nên AH// BK Tứ giác AHKB là hình thang.
	Kẻ tại M MC = MD (1) ( ĐL quan hệ giữa vuông góc giữa đường kính và dây). 
	Xét hình thang AHKB có OA =OB = R ; OM // AH // BK ()
OM là đường trung bình của hình thang (2)
	Từ (1) và (2), ta có CH = DK
 	Từ bài toán trên chúng ta có thể phát triển dưới dạng một bài toán khác như sau:
Bài 1.1: Thêm vào bài tập 1 câu b như sau: Chứng minh H và K ở bên ngoài đường tròn (O).
	Giải : ( Dùng phương pháp phản chứng)
	Giả sử chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng CD là H’. H’ là điểm nằm giữa hai điểm C và D.
	Xét , ta có : 
	Mà (theo giả sử)Tổng các góc trong của lớn hơn 1800 là điều vô lí. 
	Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn(O) hay H nằm ngoài đường tròn (O).
	Chứng minh tương tự đối với điểm K.
* Nhận xét: Từ việc vẽ ta có MH = MK ta dễ nhận thấy rằng 
HK.OM = AB.MM’(với tại M’)
 Bài 1.2: Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài 1 câu b: 
Chứng minh .
	Vẽ thêm ()
	Ta có (MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’)
	Mặt khác HK.OM = SAHKB ( Vì OM là đường trung bình của hình thang AHBK, nên )
	Từ đó (đpc/m)
Bài 1.3: Từ bài toán trên ta lại có bài toán quỹ tích:
	a/ Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng CD khi C (hoặc D) chạy trên đường tròn (O).
	b/ Tìm quỹ điểm H và K khi C ( hoặc D) chạy trên đường tròn O đường kính AB.
	c/ Gọi E là giao điểm của BK và (O). Chứng minh OMAE.
Hướng dẫn giải:
Dùng quỹ tích cung chứa góc ()
Khi điểm C cố định, điểm D chạy trên (O).
Gọi C’ là hình chiếu của C trên AB C, C’ cố định, ta có: Tứ giác AHCC’ và BKCC’ lần lượt nội tiếp đường tròn (I, ) và (I’, ) ,
c) Chứng minh AE // HK đpc/m
+) Nhận xét : Từ bài toán 1 nếu dây cung CD cắt đường kính AB thì kết luận CH = DK có còn đúng nữa không? Kết luận đó vẫn đúng và chúng ta có bài toán khó hơn bài toán (*) một chút như sau:
Bài 1.4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB tại G. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh rằng CH = DK.
Hướng dẫn giải:
	Để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có chung trung điểm.
	Qua O vẽ đường thẳng song song với AH và BK cắt CD tại I, cắt AK tại F.
	Lập luận để có OI là đường trung trực của đoạn CD và FI là đường trung bình của tam giác AHK I là trung điểm của HK đpc/m.
Bài 1.5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của các cạnh đối diện của tứ giác trên đường chéo CD bằng nhau. (Cách giải hoàn toàn tương tự như bài 1)
Bài 1.6: Gọi G là điểm thuộc đoạn thẳng AB (G không trùng với A và B). Lấy AB, AG và BG làm đường kính, dựng các đường tròn tâm O, O1, O2. Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt (O1) tại H, cắt (O2) tại K. Chứng minh CH = DK.
Hướng dẫn giải:
	Lập luận để có và Cách giải hoàn toàn tương tự như bài 1)
Bài 1.7: Đặc biệt khi CD không phải là một dây mà CD trở thành tiếp tuyến của (O) như hình vẽ bên ta vẫn có và ( lúc này M thuộc nửa đường tròn (O) nên AB = 2OM.
	Do đó ta có HK.OM = 2OM.MM’ 
	Dựa vào điều kiện một điểm thuộc đường tròn ta có tiếp xúc với AB tại M’.
Từ bài toán 1 chúng ta có thể phát biểu bài toán đảo như sau :
Bài 1.8 : Trên đường kính AB của đường tròn tâm (O) ta lấy hai điểm H và K sao cho AH = KB. Qua H và K kẻ hai đường thẳng song với nhau lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm C và D ( C, D cùng thuộc nửa đường tròn tâm O). Chứng minh rằng , .
Bài 1.9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD cắt bán kính OA ở I. Kẻ AE, BH cùng vuông góc với CD. Qua O kẻ đường kính vuông góc với CD tại G và cắt EB ở M. Chứng minh:
M là trung điểm của EB và G là trung điểm của EH.
EC = HD
Hướng dẫn tìm lời giải:
	a) Hãy chứng minh OM là đường trung bình của tam giác AEB và MG là đường trung bình của tam giác EHB.
	b) Áp dụng định lý về đường kính và dây cung và lưu ý G là trung điểm của EH (theo câu a) để được đẳng thức cần chứng minh.
Cách giải
Xét , có: 
OM là đường trung bình của 
 M là trung điểm của EB (đpc/m)
 Xét , có:
 MG là đường trung bình của 
 G là trung điểm của EH (đpc/m.
Xét (O) có: (gt) GC = GD (đ/l). 
Mà GE = GH (c/mt)
	 EC = HD(đpc/m)
Khai thác bài toán:
	Bài này có thể thêm câu hỏi sau đây: Chứng minh rằng: 
c) AE. IG = IE .OG; 
b) OG.IH = IG.BH ( cho học sinh tự chứng minh)
Bài toán 2 ( bài 30 – trang 116 SGk – toán 9, tập 1)
	Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phảng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a)	
b) CD = AC + BD
Cho (O, ), Ax AB tại A; 
By AB tại B; . 
CD OM tại M ()
c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
GT
C/mr: a)
 b) CD = AC + BD
 c) AC.BD không đổi 
KL
Xét (O) có CA, CM là tiếp tuyến của (O)
OC là tia phân giác của hay ( t/c tiếp tuyến) (1)
Tương tự DB, DM là tiếp tuyến của (O)(2)
Từ (1) và (2) 
Mà hay (đpc/m)
Theo t/c tiếp tuyến , ta có: CA = CM và DB = DM 
Mà 
Vậy (đpc/m)
Xét vuông tại O (c/mt), có:(gt) ( đ/l)
Mà CA = CM và DB = DM mà OM = R (gt)
 AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. (đpc/m)
Từ bài toán trên ta khai thác bài toán như sau:
1) Đối với học sinh trung bình:
Bài 2.1: OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F. Xác định tâm P của đường tròn đi qua bốn điểm O, E, M, F.
Bài 2.2: Chứng minh tứ giác ACBD có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật và tính diện tích nhỏ nhất đó.
Tìm hiểu đề bài: 
	Bài ra cho nủa đường tròn tâm O và ba tiếp tuyến theo thứ tự tạ A, B và M bất kì trên (O). Yêu cầu chứng minh một đẳng thức, bốn điểm thuốc đường tròn và diện tích nhỏ nhất của một tứ giác tạo thành.
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
1) Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật nên giao điểm P của hai đường chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật
2) Tứ giác ACDB là hình thang . AB không đổi chứng minh AC + BD nhỏ nhất khi CD // AB.
Cách giải:
1) Tứ giác EMFO có Tứ giác EMFO là hình chữ nhật. 
Mà tại P OP = OE =OM = OF . Vậy 4 điểm O, E, M, F .
2) Tứ giác ACBD cóTứ giác ACBD là hình thang vuông. (ON là đường trung bình của hình thang). Vậy .Khi đó N trùng với Q và ACDB là hình chữ nhật (tiếp tuyến CD // AB).
2) Đối với học sinh khá, giỏi:
Bài 2.3: Gọi K là giao điểm của BC và AD. Chứng minh: MK // AC // BD.
Bài 2.4: Gọi H là giao điểm của MK và AB. Chứng minh rằng K là trung điểm của MH.
	Bài 2.5: Gọi E, F lần lượt là giao điểm của OC và AM, OD và BM. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.
Chứng minh : 
3) Xét có AC // BD (gt) 
( đ/l talet) (1)
	CA, CM là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) nên CM = CA, DB = DM (t/c) (2)
Từ (1) và (2) ( theo định lí talet đảo)
Vậy MK // AC // BD (đpc/m)
Ä Sau khi chứng minh được MK // AC ta có thể có thêm yêu học sinh chứng minh:
 CD.MK = CM.DB.
Chứng minh: Theo chứng minh trên MK //AC 
đpc/m.
	Bài 2.6: Ta có thể đặt thêm các câu hỏi sau đây: Khi M chạy trên nửa đường tròn (O).
Tìm quỹ tích của N;
Tìm quỹ tích của P;
Cách giải như sau:
	1) Vì ON là đường trung bình của hình thang ACBD nên ON // Ax // By. Do đó quỹ tích N là tia Qt song song và cách đều hai tia Ax và By
	2) Giao điểm P các đường chéo của hình chữ nhật OEMF cách O một khoảng điểm O cố định, khoảng cách PO không đổi nên quỹ tích của P là nửa đường tròn đồng tâm với (O) bán kính bằng nửa bán kính của (O).
	Từ bài toán trên ta có thể ra bài toán mới như sau:
	Bài 2.7: Cho vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (A) tại D, E. Chứng minh rằng:
D, A, E thẳng hàng.
BD.CE = AH2 ( không đổi)
DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Bài toán 3( Bài 39/123 (SGK toán 9 tập 1)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC . , tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I.
Chứng minh rằng : 
Tính số đo 
Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O’A = 4cm.
Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A
OB BC tại B; CO’ BC tại C; , 
AI OO’ tại A ()
OA = 9cm; O’A= 4cm
Giải
GT
C/mr:
a)
b) Tính ?
c) Tính BC ?
KL
Chứng minh: 
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
(đ/l) vuông tại A (đ/l đường trung tuyến) Vậy (đpc/m)
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
OI là tia phân giác của 
O’I là tia phân giác của (đ/l)
Mà + = 1800 (kề bù)
Xét vuông tại I (c/mt), Có :
tại A (t/c) IA2 = OA. AO’ ( đ/l)
 = 9.4 = 36 IA = 6cm.
Mà BC = 2AI = 2.6 = 12cm.
Khai thác và phát triển bài toán :
Bài 3.1: Chứng minh rằng: OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Vì (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. 
Nên OO’ là tiếp tuyến của đường tròn tại A. (đpc/m)
Bài 3.2: Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O ( DA). Chứng minh rằng : Ba điểm B, O, D thẳng hàng.
Ta có 
Mà hai góc này ở vị trí so le trong O’C // OD.
Mặt khác O’C // OB () (gt) Ba điểm B, O, D thẳng hàng (tiên đề Ơclít)
Bài 3.3: Giả sử OA = R, O’A = r . 
Tính độ dài BC theo R, r.
Tính độ dài OI và O’I theo R, r.
Tính các cạnh của theo R, r.
Gọi H là giao điểm của OO’ và BC. Tính độ dài OH, O’H theo R, r.
Lời giải:
Ta có : và .Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: IA2 = OA. AO’ = R.r 
Mà BC = 2.IA = 
Ta có : 
.
Gọi . Khi đó ba điểm B, O, D thẳng hàng.
Xét vuông tại B, ta có : BC = ; BD = 2R.
Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: 
 Tương tự 
Vậy các cạnh của là : ; ; BC = . 
Xét và có :
(g.g) 
Bài 3.4: ( Bài toán đảo) Cho vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm (O’) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C. Chứng minh rằng:
(O) và (O’) tiếp xúc với nhau.
Trung tuyến AI của là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A.
Giải :
a) Vì các và là các tam giác cân.
Nên và 
Ta có 
Do đó 
ba điểm O, A, O’ thẳng hàng và OO’ = OA + O’A.
Vậy (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A. (đpc/m)
b) Vì AI là trung tuyến của vuông tại A, nên IA = IC 
tại A.
Vậy AI là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) tại A.(đpc/m)
+) Nhận xét : Nếu hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau, thì ta có bài toán sau:
Bài 3.5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, , đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) tại các điểm D và E. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a) .
b) AD.AB = AE.AC
c) Tứ giác BCED nội tiếp.
d) .
Chứng minh:
a) Theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
- Xét (O) có : ( t/c) 
- Xét (O’) có : ( t/c) 
Mà ( vì OB // O’C)
Nên .(đpc/m)
Ta có: ( phụ với )
( vì cân tạo O’)
	Mà (đối đỉnh) .
Xét và có: 
	(g.g) (đpc/m).
Vì (cmt) 
Mà là hai góc đối nhau.
Vậy tứ giác BCED nội tiếp (đpc/m)
Vì AI là trung tuyến của vuông tại A, nên IA = IB = IC (đ/l)
	 cân tại I 
(t/c)
(đpc/m).
+) Nhận xét : Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau, thì ta có bài toán sau:
Bài 3.6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M,N. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, , đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) tại các điểm D và E. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. 
Chứng minh rằng:
a) .
b) Tứ giác BCED nội tiếp.
c) AD.AB = AE.AC
Chứng minh:
Chứng minh tương tự câu a bài toán 3.
Ta có: ( phụ với )
( vì cân tạo O’)
 và cùng nhìn xuống cạnh DC dưới một góc không đổi.
Vậy tứ giác BCED nội tiếp (đpc/m).
c) Xét và có: 
	(g.g) 
	 (đpc/m).
Bài toán 4(Bài tập 95/105( SGK hình học 9 tập 2)
Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của cắt nhau tại H ( ) và cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE	;	b) cân	;	c) CD = CH
Cho nội tiếp (O)
BN AC tại N; AM BC tại M
tại D; tại E; 
tại H
C/mr:
a) CD = CE
b) cân
c) CD = CH
GT
KL
Chứng minh:
- Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AD với BC và BE với AC.
a) Ta có và 
Mà (đđ)
( các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)
( liên hệ giữa cung và dây) (đpc/m).
b)Ta có (cmt)( hệ quả góc nội tiếp) cân ( Vì có BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác) (đpc/m).
Vì cân tại B BC là đường trung trực của HD.
 CD = CH (t/c) (đpc/m).
Khai thác và phát triển bài toán :
Bài 4.1: Chứng minh rằng: 
Tứ giác ABMN; CMHN nội tiếp.
CN.CA = CM.CB.
Chứng minh:
- Xét tứ giác ABMN có: và cùng nhìn xuống cạnh AB.
Vậy tứ giác ABMN nội tiếp.
- Xét tứ giác CMHN có:
	Mà là hai góc đối nhau của tứ giác.
Vậy tứ giác CMHN nội tiếp.
	b) Xét và có: 
	(g.g) 
	(đpc/m).
Bài 4.2: Các đường cao AM và BN cắt (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng: 
MN // DE.
OC DE.
Chứng minh:
a) Vì tứ giác ABMN nội tiếp (cmt) (cùng chắn )
Mà (cùng chắn )
mà hai góc ở vị trí đồng vị 
 DE // MN (đpc/m).
Kẻ tiếp tuyến Cx với (O) tại C
Ta có: sđ(hệ quả)
Mà (vì tứ giác ABMN nội tiếp)
và hai góc ở vị trí so le trong.
MN // Cx DE // Cx 
Mặt khác tại C (đ/l)OC DE (đpc/m).
Bài 4.3: Kẻ đường cao CQ cắt (O) tại F.Chứng minh rằng: 
H là tâm đường tròn nội tiếp 
H là tâm đường tròn nội tiếp 
Chứng minh:
a) - Xét tứ giác AQHN có:
	Mà là hai góc đối nhau của tứ giác.
Vậy tứ giác AQHN nội tiếp (cùng chắn )
Vì tứ giác CMHN nội tiếp (cmt)(cùng chắn )
Mặt khác (phụ với )
 hay NH là tia phân giác của .
Chứng minh tương tự: 
- QH là tia phân giác của 
- MN là tia phân giác của 
H là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp (đpc/m).
Ta có: (cùng chắn )
 	(cùng chắn )
	Mà (phụ với )
	hay EH là tia phân giác của .
Chứng minh tương tự: 
- FH là tia phân giác của 
- DH là tia phân giác của 
H là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp (đpc/m).
Nhận xét: Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AQHN và đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMHN cắt nhau tại 2 điểm H và N. Nếu gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH, CH IK là đoạn nối tâm. Ta có bài toán sau:
Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H ( và lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tại D, E, F. Gọi I là trung điểm của HC. Chứng minh rằng: IK NH.
Nhận xét: Gọi P là trung điểm của BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Chứng minh rằng:
Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn.
Chứng minh:
a) –Xét tứ giác BHCT có:
Tứ giác BHCT là hình bình hành.
 BH // CT (t/c)
Mà tại N (gt)tại C hay 
Tương tự Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn (đpc/m).
b) Xét (O) có (cmt)AT là đường kính của (O).
- Xét có: OP là đường trung bình của 
(t/c)
Bài 4.4: Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp , Các đường cao AM, BN, CQ của cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: Nếu AM + BN + CQ = 9r thì đều.
Chứng minh:
 Ta có : 
 (1)
Áp dụng bất đẳng thức: . Dấu “ = ” xảy ra a = b = c. 
Chứng minh:Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương a,b,c. Ta có:
. Dấu “ = ” xảy ra a = b = c. (2)
 . Dấu “ = ” xảy ra a = b = c. (3)
Từ (2) và (3) . Dấu “ = ” xảy ra a = b = c. (4)
Từ (1) và (4) . Dấu “ = ” xảy ra AB = BC = AC.
 đều (đpc/m).
Æ Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2011 – 2012)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh:
1) BEDC là tứ giác nội tiếp.	2) HQ. HC = HP. HB
3) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ.
4) Đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Bài 2 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2012 – 2013)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn O (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. E là trung điểm đoạn AD. EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng:
Tứ giác OEBM nội tiếp.	;	2) MB2 = MA.MD.
3) .	;	4) BF // AM.
Bài 3 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2013 – 2014)
	Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax, by lần lượt tại P, Q.
Chứng minh rằng : tứ giác APMQ nội tiếp.
Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ.
Chứng minh rằng: AP. BQ = AO2.
Khi điểm M di động trên đường tròn (O), tìm các vị trí của điểm M sao cho diện tích tứ giác APQB nhỏ nhất.
Bài 4 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2014 – 2015)
	Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC ( M không trùng với H, C). Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AC lần lượt là P và Q.
1) Chứng minh rằng APMQ là tứ giác nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.
	2) Chứng minh rằng : BP. BA = BH. BM.
	3) Chứng minh rằng : OH vuông góc PQ.
	4) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên HC thì MP + MQ không đổi.
Bài 5 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2015 – 2016)
	Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC và A là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (A khác B và C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Đường tròn đường kính AH cắt các dây cung AB, AC lần lượt tại các điểm M và N.
Chứng minh rằng: tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
Chứng minh rằng: AM. AB = AN. AC
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CH và BH. Chứng minh MQ và NP là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
Khi điểm A di chuyển trên đường tròn (O; R), tính diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ theo R.
	c) Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp
	Để gặt hái được những thành tích cao trong học tập. Học sinh là nhân vật trung tâm trong việc bồi dưỡng đào tạo, đây là nhân tố giữ vai trò quyết định trong sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy. Vì chính các em mới là người học, là người đi thi và là người đem lại những thành tích đó.
	Người giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn toán trong bậc học của mình, phải là người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên những thuật toán, những thủ thuật